超好玩硬币游戏，你都会玩吗？ | 科学人 | 果壳网 科技有意思
超好玩硬币游戏，你都会玩吗？
怎么样赢硬币正反面的游戏？注定获胜的赌博
本文作者:方弦
出门在外，恰逢不巧，你和朋友被困住了，干点什么呢。来几局三国杀？是个不错的提议，但问题是你带牌了吗，没牌怎么打？死理性派想说的是，会玩的孩子怎么不能玩！凑几个硬币，随随便便就能玩一整天。不得不说，硬币是世界上最好的游戏机，哦，前提是你得懂点数学。
在所有二人游戏中，最古老最有魅力的就是这个尼姆游戏了（好吧，在所有二人数学游戏中）。据说它发源于中国，有时候孩子们用纸片玩，但通常人们出门可能很少带纸片，所以我们用硬币玩。
这个游戏最流行的版本是用 12 枚硬币摆成三行。
游戏规则很简单，游戏双方轮流取 1 枚或多枚硬币（只能在同一行），谁拿到最后一枚就算赢。留心的朋友玩几把就可以琢磨出，只要在自己的某一个回合里留下两行多于 1 枚且数量相同的硬币，就能确保获胜。一个优势策略是，先手的人一开始就拿掉最上面一行 2 枚硬币，这样的话，离胜利就不远了。
有趣的是，有人发现，当扩展到任意多行，每行有任意枚硬币时，利用二进制，可以把这个游戏玩得风生水起。哈佛大学的数学教授布顿在 1901 年首次发表了论文详述了这个问题，也正是他，正式将这个游戏命名为尼姆游戏。
把玩家每一步操作之后的游戏局面叫做“棋局”。在布顿的论文中，如果玩家每一步操作后的棋局能保证自己获胜，那就是“安全的”，否则就是“不安全的”。每个不安全棋局都可以一步正确的操作变成安全的，而如果没有正确地操作，一个安全的棋局就会变成不安全的。
如何判定一个棋局是安全的还是不安全的呢？这就用到了前面提到的二进制。将每一行的硬币数都用二进制表示，按矩阵元素的排列方式对齐，这时候如果每一列的数（ 0 或 1 ）相加都为偶数（包括 0 ），那么这个棋局就是安全的，只要有一列元素相加不为偶数，那这个棋局就是不安全的。
回到我们上面说的那个流行版本上，可以看到在初始状态，它的二进制表示如下图
可以看到，第 2 列之和为奇数，所以这个本版的初始状态是不安全的。拿掉最上面一行的 2 枚硬币，第 1 行就变成了 1 ，从而留下了一个安全棋局。通过用其他方法试验，可以看到，拿掉第 1 行的 2 枚硬币是留下安全棋局的唯一操作。
把棋局转化成上面这个二进制表格，根据表格决定怎么操作就不会出错了。但是在玩的时候，恐怕对手没那么宽容，让你不断画表格，在脑子中计算，一不小心就出错。那么记住下面这条就很有用了：在两行里留下同样多的硬币，总能赢。在此之后，让每行硬币数量保持相等就可以了。
尼姆游戏深受数学家喜爱并被广泛研究，它因此产生了很多变体。1910 年美国数学家穆尔就提出了一个，它规则与尼姆游戏相同，只不过玩家可以从不超过指定数 k 的任意多行里拿掉硬币。有趣的是，它同样可以通过二进制来分析，只要把安全棋局定义为：二进制表里的每列之和都可以被 k + 1 整除就可以了。
后选择一定赢的硬币游戏
对于粗心大意和无知的人来说，这个游戏就是一个十足的陷阱。让我们来看看这个它是怎么玩的。
抛三次硬币看最后哪一面朝上，结果无非只有这 8 种：
正正正 正正反 正反正 反正正 正反反 反正反 反反正 反反反
这个游戏的规则是，对手有优先选择权。首先对手在这 8 种组合中选一种作为他的组合，然后你选一组作为自己的组合。双方选定后，随便选一个人来连续抛硬币，直到他的或你的组合出现为止，谁的组合先出现谁就算赢。
这个游戏看上去没有什么问题，不管哪种组合，它们出现的概率都是一样的。但如果谁真这么想，那他可就输定了。事实上，先选的人一定会被针对。无论对手选择选择哪个组合，后选的人都可以选一个组合来针对他，使自己的获胜概率至少提高到 2／3 !
如果你不相信的话，就让我们选一个简单的例子来分析看看。假设对手选择的是“正正正”的组合，这时候我们只要选择“反正正”，胜率就可以瞬间到达 7／8。这是为什么呢？
如果前三次就抛出了“正正正”的结果，那对手就获胜了，这种情况发生的概率为 1／8 。但除此之外，只要最开始的三次对手没有获胜，那么我可以说，他已经没有获胜的机会了。因为前三次没有获胜，就说明在他获胜之前一定出现了反面，那第一次出现“正正正”的情况必然包含在如下的结果中：
……反正正正……
可以看到，当出现“反正正”的时候，他已经没有办法再玩下去了，因为那正是我们选择的组合，到这里我们已经获胜了。对于其他组合，这里不再专门讨论了，下面附出一张表格，给出了后选择的人采用正确策略的获胜概率，可以看到，后选择的人获胜的最低概率也是 2／3 。
你是否觉得这个结果有些出乎意料？需要说明的是，在涉及到概率时，我们的直觉很多时候都是错误的。如果你不相信，来看看死理性派的
是如何颠覆你对世界的认识的吧。
硬币正反不一样
通常我们所说的硬币，都是理想硬币。但由于设计的原因，硬币正反面的花纹并不一样，这就导致了它的实际重心不在正中心上。由于重心有偏向，所以掷硬币时，正反面出现的概率也会有所偏差，想要知道这个偏差具体有多大，难度颇大。幸好花纹导致的概率偏差非常非常小，可以忽略不计。
尽管如此，但万一就遇到了一个死较真的和你玩抛硬币，我们能不能找到一个方法，让真实的硬币达到理想硬币的效果呢？
答案是能。我们可以用下面这种玩法“化腐朽为神奇”：连续掷两次硬币，如果两次结果是相同的（都是正面朝上或都是反面朝上），那就重新再连续掷两次硬币，直到结果不同为止（一次反面朝上，一次正面朝上）。这时， [正,反] 的结果就可以对应掷理想硬币结果为正的情形， [反,正] 的结果就可以对应理想硬币为反的情形（反过来也可以）。
这是为什么呢？假设硬币掷出正面的概率是 p ，那掷出 [正,反] 的概率为 p( 1 - p ) ； [反，正] 的概率为 （1 - p）p。二者相等，所以采取这种方法，即便是一枚非理想硬币，游戏结果也会变成完全公平的。
《明知其输而博赢的概率分析》
《科学美国人 趣味数学集锦之二》
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全部评论(125)
机械电子工程、消费产品设计专业
真烦正。。。。表格里的
有机会玩玩看。
最流行的版本明明是第一行一个第二行两个第三行三个第四行四个。
智能科学专业
不好玩啊这些游戏。。。。。。
正在学概率论的飘过~~
我喜欢以前玩过的一个在纸上随机布点然后画三角形的游戏~
这玩法比死理性派的文章都难……
听没意思的…尤其是第一个，没法玩…
我还是乖乖上当受骗吧...
头脑简单的只有--闪...
硬币中的概率分析啊哈哈0 0
炮姐说：老娘一个硬币崩死你！
見過這個硬幣遊戲很多次，但是總是不是很清楚。。。感覺這里也沒說清啊= =|至少我是沒看懂。。。結論是不是先手的人可以必勝啊？
好奇妙啊。明天糊弄别人去。
第一个不理解。害怕矩阵...
对手选择 反正反 的时候 我们是不是应该选择 反反正 啊
电脑游戏什么的在死理性派面前都弱爆了。。。
小狡猾阿，挺好玩的！
给水排水专业
我还是比较喜欢用硬币变小魔术哄女生的男生…而不是玩什么该死的数学游戏…（我要被追打了么）
很不错，可以骗妹纸啦~~~
引用chiefoforc的回应：对手选择 反正反 的时候 我们是不是应该选择 反反正 啊是的。谢谢。已更正。
有意思，哈哈……
正反0.....
我经常用硬币的铸造年份来演示排序。。。我这样学会了快速排序和归并排序铸造年份不知道？硬币正面最下方（指新式硬币）的4位数字
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聊聊你向别人推荐游戏的经历
众所周知，渴望共享信息是人类的天性之一。当你发现了一款十分不错的是，相信你也有迫不及待想要推荐给周遭人的冲动，不过由于每个人对于新事物的接受程度不尽相同，在这个过程中又发生了哪些有趣的？本期话题就让我们一起来讨论下。提起安利那些事儿，这几年来每逢厦门有漫展活动，小编就紧抱着卡店店主大腿，行推广桌游之名，在桌游区当起了NPC，实际上是为了免门票钱而已。不过相对地在卡牌的安利上也积攒了一些看法，没想到还能有拿出来传教（祸害？）的机会。首先卡牌嘛你得要有吸引路人的卡牌产品，此时不论是引发贫乳党、巨乳党战争的妹子卡绘，还是酷炫到闪瞎眼的签名罕贵都通通摆在最显眼的位置；其次要堂而皇之地告诉小盆友们这些卡都是在摊位上兜售的卡盒里开出来的（当然不能明说其实一箱才一张的事实），配合上“买买买，抽抽抽”、“不抽怎么证明自己是欧洲人”等煽动性话语，那些气血上涌、一时脑热的路人们立马就败下阵来；紧接着当目睹路人开出来的卡牌后，身为安利者的你得客观地从卡牌价格和实用价值上进行评价（如果有你想要的卡牌时，不介意但不推荐去颇回新人）；最后不妨来一场实打实的教学战，对的基础流程和玩法进行说明，针对稀有的妹子玩家还可留下联系方式什么的。上述一连串的Combo屡试不爽，若对方还不上钩，那就证明真的是意兴阑珊。现身说法的小编表示没有无目的的安利，入坑需谨慎，且行且珍惜……要说安利这个事的话，个人做得最成功的一个自然数《以撒的结合（The Binding of Isaac）》了。作为一款随机地牢类，每局都是全新的开始，越玩越上瘾是我的主打广告语，当然少不了身体力行地玩给别人看了，特别是每次得到神奇的道具组合都会让人对这个更加向往，大多数接受了安利的人一旦上手，就会停不小来。在这里推荐给所有喜欢随机地牢类以及挑战难度的玩家，steam上时不时会有特价哦（记得买rebirth版）。但如果说距离现在最近的一次安利就要数《怪物猎人X》了，为了这次安利我做了精心的准备。首先在两台3DS上下好试玩版，然后和我的同学一起联机玩试玩版，让他体验一下机器、以及联机的感觉。接着推荐他先和我一人买一盘，机子则由我来提供。这样玩了两周，期间我还不断地软磨硬泡，最后他终于下定决心买了一台机器，我也是成功推销出了人生中的第一台3DS。然而后来才得知MHX的记录居然是存在SD卡里的，于是拿了新机器的他只好放弃几十个小时的存档，从头再来了……“既不回头，何必不忘”。记得当时随口说出仙剑一的时候那个时候已经通关了三次，而随意的一次推荐引得同学被这款深深吸引。那个时候距离上一次通关已经过去了一年多，大致还可以和他交流些经验。基本上一有空，课间操，放学路上我们两个就讨论仙剑一。时而我也会询问他的进度，有时他也会向我征询一些攻略。记得突然有一天，他表情麻木的对我说：“月如就那么死了？”本着不剧透的精神，我说继续下去，会有惊喜的。然后他看到了后面的，和我一样觉得李逍遥简直是人生赢家。就这么闲聊着度过了高二上学期，新学期开学，他骄傲的对我说，我把李逍遥练到七十级了，还有，你听说过十里坡剑神吗？我是一个被学业困扰的少年，而他后来以高分录取了名校。我只是去了一个普通的西部省重点，关于仙剑的交流从来没有中断过。后来仙剑五发售，他让我帮他第一时间预购，仙剑五前传又一次通知到赶紧下手。当一些事物只能以“情怀”的幌子不断消费我们，而我却依然记得当年一个无心的推荐，收获了一段幼稚而单纯的学生生活，以及一段忘不掉的回忆和挚友。朋友哟，你会想起我当年随口推荐你玩的仙剑一吗？会不会你的下一个电话是让我帮你预购仙剑七呢？首先作为一个妹子，如此沉迷网络自己觉得也是比较少见的，下班约同事去网吧连坐开黑那都是经常的事了。其次，作为一个特别喜欢把自己觉得还不错的东西推荐给别人的善良妹子来说，推荐自然也就成了必不可少的日常生活之一。其实自己给不少人推荐过不少，但是印象最深的是网易的一款端游《新飞飞》。这款自己在高二的时候第一次接触，当时纯粹觉得无聊想找一款玩玩。作为颜值控的妹子，画面必须好看不是。当初也没接触多少，看到这款萌萌哒的画风就决定入坑了。后来因为学习的关系弃坑，直到大三的时候重新拾起。大三的时候，小编还是一个不需要吃狗粮的妹子，而这类大多数都有情侣系统、结婚系统。于是小编决定，推荐给对象一起玩。奈何，对象是一个对完全无感的汉子，小编一再推荐都不为所动。然后，就没有然后了。小编要吃点狗粮压压惊了，毕竟这是一个悲伤的。声明：首先我说的是dota系列，并没有分开dota1和dota2，小编也是从dota1转到dota2的玩家。要我给别人安利其他，倒不如说我是怎么被安利这款的。遥想当年war3 RPG地图火热的年代，各种平台兴起的时候我就是那个时候被安利了RPG，但是玩第一个叫守卫剑阁！但是觉得这好好玩，操纵一个英雄打怪升级买装备，继续打怪升级买装备。用的是三国元素的人物，觉得挺稀奇，然后要boss被一遍一遍的刷。后面出了曹操传、火影传等等很多rpg都玩了，突然觉得打电脑npc挺无聊的，就转真三了，但是发现挖槽，但年刷怪的经验完全没用啊。无限被吊打，真三这如果你不会正补和反补，你就可以呵呵了（毋庸置疑真三才是真正对正补反补最严苛的）。因为你要出飞鞋，玄武斧，才能赢！问大家一个问题你说赵云是先开大还是先开玄武斧呢？知道我为什么放弃真三了吗！因为真三打团战，辅助是没钱的，谁抢人头谁得钱！但是dota怎么跟团战都有可以蹭钱，为什么呢？！因为那个年代的我不会正补反补！所以玩上了dota，你玩过dota，才知道团战是你的经济来源，当你一个人被下路抓，4张tp出现的时候你会泪崩的，再讲一个梗（5.12汶川地震，中午有很多人掉线了，然后泉水都放了很多tp，你知道为什么吗！因为那是回家的车票），我就是那个时候的 （blablabla~~我可以讲好几个晚上）。。 我确实有给别人安利过dota怎么玩，哈哈~但是还没有lol 的时候，确实很多人玩的。当时还有cf，不过可能是时机不对吧，我被安利去玩cf了！！！~~然后cf完以后lol出来了！这个时候出来了！我回到了dota，他们去玩了lol（我也被安利过玩cs2）。我再给他们安利dota的时候，他们就破渣像素，任务丑，出去一直被杀，被杀还掉钱，打一整盘还是草鞋，掉线不能回来，匹配复杂，环境差，，， 哈哈哈 我承认这些确实有！但是我就默默的打了好几年的dota，自从dota2出来了，我有本事说dota的像素好了！人物变好看了，还有自己的服务器了，blablablabla的时候， 朋友都已经25好几了，他们也不太愿意去接受新，玩也不太在乎输赢和分数了，开心就好。就这样我再也没有给人安利过了，开心就好嘛。老王说这周聊一下自己安利的经历，我奋起就是给老王一脚，为什么每次都要选这种我失败的话题来说呢？当年大学同学给我安利魔兽世界，舌头都磨烂了，给我讲得天花乱坠，世界观如何庞大，系统如何犀利！然而我依然无动于衷，当我的勤奋好学的好少年！直到有一天，我们一起去网吧，看见他用一个盗贼在杀精英怪，隐身，伏击，背刺，消失！！！我操，这么帅，果断到外面的报亭买了张30块钱的点卡，从此跳入暴雪8年之久，脱出不得！多年后的我也已经是一个魔兽高玩，也可以为师，到处传道授业！对我的一个朋友，开启了我的安利之路，也一样从嘴遁开始，无果之后，也同样邀请朋友来观看我的操作，多年后我的也已经是一个武林高手，一套操作之后，我的朋友只是默默丢下一句，这好无聊！所以安利这个事，和处对象一样，需要天时地利人和！找到合适的人，你只需要寻找到合适的方法，然后刺激到他的G点，一切就都顺其自然，而如果是一个道不同不相为谋的人，任你千般变化，到最后也只是分道扬镳。众乐乐不如独乐乐，我不太建议大家给别人推荐。个人是一个不太喜欢给别人安利的人，或者说曾经喜欢安利但现在却放弃了这种行为。首先一点，人与人之间的品位真的差太多。萝卜青菜各有所爱，当然这里面并没有什么优劣和高低，只是喜好不同而已。可是当你兴冲冲的去向别人安利一款、（或是一本书一部电影），换来的却是对方的冷漠甚至不解，你跟他说xx电影好看，他跟你说不如小时代，你跟他说xx好玩，他回答你我只玩我的世界，你觉得他蠢，他觉得你装，你一片好心，他也并无恶意，最后俩人不欢而散，你说这又是何必。另外一点，小编是一个很矛盾的人，一方面觉得自己喜欢的东西能被更多人接受很开心，另一方面又觉得一件大家都喜欢的东西就难免有些俗不可耐。就像上学的时候，我从来都没有对班花和大众女神产生过什么想法，当然你也可以说我就算是有想法也追不到。我还是觉得，众乐乐不如独乐乐，没有人跟你分享，没有人跟你抢，在偌大的世界里有你专属的喜好，多么清净的世界，多么快乐的体验。为什么一定要安利给别人呢？毕竟，如果你安利的对象是一只蜣螂的话，那他觉得你推荐的佳肴完全不如屎，反过来，如果你是一只蜣螂的话，那你给别人安利屎，你不觉得自己很蠢么？你有给别人分享的经历吗？欢迎留言与大家一起讨论。■ 如果你喜欢这篇文章，可以通过下方的来订阅4399手机网每天浏览！■ 转载请注明“作者-4399手机网”，谢谢合作！更多，行业资讯请搜索并关注下面量个微信订阅号：公共微信号：sj4399，行业微信号：yingyan_4399（←_←长按复制并打开微信搜索公众号）↓订阅
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「游戏化学习」是这几年的教育热潮之一，虽然说让上课变得更生动有趣、更多好玩互动本来就是自古以来的通则，但透过网络与数字技术的进步，我们有更多新鲜工具与互动方法可以应用到学习上。
而今天要介绍的「」这个线上网站，或者说「线上游戏」，则是要让初学者透过玩游戏来学习编程，而且他有完整的繁体中文内容，不需要任何编程的经验，小学生就能上手，在有趣的奇幻世界与战斗关卡中学会各种编程的基本技巧。
「CodeCombat」创立于 2013 年，并且是一个开放原始码专案，所以很快地就拥有了世界各国语言版本，包含繁体与简体中文，关卡数量、可学习程序语言也持续增加，目前已经拥有 110 多个免费的关卡，能够学习 Python、JavaScript、Lua、CoffeeScript、Clojure 等不同程序语言，这些语言能够运用到游戏设计、网页应用、App 的开发上。
1. 学任何东西都不应该无聊：玩编程，学编程
当你打开「CodeCombat」网站，你不会觉得这是一个让你看不懂的代码学习网站，因为他的网站外观看起来就像是一个魔兽争霸风格的线上游戏，而且当你实际玩玩看，你会发现过程真的就是英雄要去打怪、寻宝与解谜，只是搭配了程序语言的学习。
虽然我们无法期待初学者玩过「CodeCombat」后就能直接成为攻城狮，但是在整个游戏的过程中，我们还是能够学会每种程序语言的基本语法、逻辑架构、设定变量。
所以「CodeCombat」自称是设计给 9 岁以上想要学习代码的学生来练习的游戏，因为游戏帮助我们快速熟练，如果在课堂上还搭配老师的讲解，就更能事半功倍。
2. 循序渐进的游戏学习关卡
「CodeCombat」甚至连上手都非常简单，完全不需要额外指导，任何玩过游戏的朋友也一定都能立刻开始游戏，也能从中学习到各种程序语言的基础。
我们用 Google 或 Facebook 就能登入「CodeCombat」，这时候要挑选一位英雄，并选择自己想要学习的程序语言。
接着在几个游戏大章节中，我们将会一步一步从基础语法开始，到相对复杂的变量设定，把这个程序语言逻辑循序渐进地理解。
而章节里就是一个一个游戏关卡，但每一场小战役，都是精心设计的一个程序语言小技巧。
到这里为止，相信没有人会觉得有任何难度，任何人一定都能进入。
3. 各种武器道具就是你学会的编程指令
而在「CodeCombat」中最大的不同就是把游戏里的命令操作、武器道具都变成程序语言的指令，我可以使用语法去攻击敌人，或是当我获得技能宝典时可以学会让程序自动回圈的新指令。
于是我就能在打怪、寻宝的过程中，慢慢理解每个程序语法的作用。
而且完全不懂代码的朋友也不要担心。
因为「CodeCombat」并非是要考验 你游戏技巧的游戏，所以他的关卡里都有非常详尽的提示，会教你怎么输入程序语言来命令角色行动，当你输入错误时，也有清楚的提示教你为什么这样的语法会出错。
这些引导全部都有中文化。
于是在简单几关的过程中，很快的我们就知道程序指令的逻辑，怎么设定一连串互相引发的行为，怎么命令对某个物件产生行动等等。
后面就会有愈来愈复杂的命令方式，这让你学会程序语言概念，也可以用来熟练程序语言的输入，或是懂得怎么设计出更有效的代码。
因为关卡也有不同的成就等级，如果可以用更精简的指令完成动作，可以获得更高分。
4. 多人连线练习与老师学生部落
更进一步的，在自学编程语言之外，「CodeCombat」还设计了团队学习程序语言的模式。
在「多人连线」中，我们可以根据不同难度来跟全世界学习编程的朋友进行连线对战，例如一个简单对战中我们要比谁可以更快输入一连串指令，在战斗中让自己存活更久。
而在「部落」模式中，老师可以开设一个社团让学生加入，这样一来可以观察社团中每一个人的学习进度，并且互相激励。
你也想开始学编程吗？或者你想要带学生一起练习编程？那么完全中文化的「CodeCombat」，或许是一个玩游戏学编程的好选择。
声明：「领客专栏」所有文章均由原作者授权 AppSolution 发布/转载，任何个人/组织未经授权不得使用。本文转载自「電腦玩物」，原文链接：
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