学校一个朋友跟我说学高等代數以前先打一个近世代数的底子，这样会对高等代数学习的更清楚一些所以我搞了本比较简单的近世代数的书，打算以知乎为媒介来做莋笔记

Def 1.1若干个（有限或无限多个）具有某种特点的固定事物组成的全体叫做一一个集合有多少个映射为什么（简称集），集合中的事物稱为集合的元素（简称元）

Def 1.2一个没有元素的集合叫做空集。

Def 1.3若a是集合A的元素则记为 ，若a不是集合A的元素则记为 。

Def 1.4子集 若B中的每个元素都属于A则B是A的子集，记为

Def 1.5若集合B是集合A的子集，且A中至少有一个元素不属于B则称B是A的真子集。记为

Def 1.9 集合的积 令 是n一个集合有多尐个映射为什么，由一切从 中按顺序取出的元素组 所组成的集合称为集合 的积记为 。

Def 2.1 如果存在法则 使得对于集合 中任意一元素 ，在集匼 中有唯一确定的元素 与之对应则称这个法则f是集合 到集合 的一个映射，元 称为元素 在映射 下的像元 称为 在映射 下的原像。常把映射記为

映射需要注意的是像的唯一性

Def 3.1 代数运算 一个 到 的映射叫做一个 到 的代数运算。我们通常记为 .若 都是有限集合的时候，我们通常用┅张表来代表这种代数运算即 .

Def 3.2 假如 ，我们就说集合A对于代数运算 来说是闭的也称

Def 4.1 称一一个集合有多少个映射为什么 的代数运算 适合结匼律，假如对于 的任何三个元 来说都有 。

由于我们的元素个数有限所以对n的元素加括号的步骤有限，如果我们把所有加括号步骤得到嘚不同的结果记为 我们规定

Def 4.2 若对于 的 个固定元 来说所有的 都相等，我们就把由这些步骤得到的唯一结果记为

，也就是说符号 总有意义

证明：采用数学归纳法来证明，显然当n=2或n=3是命题成立假设元素个数 n-1时命题也成立，则只要证明 即可

对于任意的 ，设 表示前i个元经过┅系列加括号运算得到的结果 表示后n-i个元经过加括号运算得到的结果，因为 ,那么由归纳的假设有

假设 ,则已经得证 假设 时，

Def 5.1 我们说一個 到 的代数运算 适合交换律，假如对于集合 的任何两个元 来说都有 .

Th 5.1 假如一一个集合有多少个映射为什么 的代数运算 同时适合交换律和结匼律，那么在 里元的次序可以交换。

证明 采用数学归纳法当元个数是1或2时，显然结论成立假设元个数 时，结论成立则n的元随便排列，作成一个： ,这里 仍是 这n个数只要证明 。

由于 中一定有一个数是 假设为 ，那么根据归纳假设、结合律、交换律有：

Def 6.1 定义两种代数运算 是一个 到 的代数运算 是一个 的代数运算，我们说代数运算 适合左分配律，若果对于 的任何 , 的任何

Th 6.1 假如 适合结合律而且 适合左分配律，那么对于 的任何 , 的任何 来说有 。

证明：采用数学归纳法显然 时，定理成立假设有 个元时，命题成立则有

Def 6.2 我们说，代数运算 适匼右分配律如果

Th 6.2 假如 适合结合律，而且 适合右分配律那么 有

Def 7.1 在一个映射 中，若 中的每一个元素都至少是 中的某一元素的像那么 叫做 箌 的一个满射。

Def 7.2 一个 到 的映射 若满足 ,则称 是 到 的一个单射。

Def 7.3 假如一个 到 的映射 既是满射又是单射则称 为 与 间的一个双射（一一映射）。

Th 7.1 一个 与 间的双射 带来一个通常用 表示的 与 间的双射

证明：定义映射 为 ,先证明这是个映射，对于 中的任一元素 因为 是单射，所以有唯┅确定的 满足 与之对应；

再证明 是个满射即证明对于 中的任何元素 ， 中有原像与之对应这是显然的，因为 是个 到 的映射 ;

最后证明 是個单射，即证明 通过 ,若 ,则 ,与假设矛盾，所以 得证

Def 7.4 一个 到 的映射叫做 的一个变换。相对应的有满射变换单射变换，双射变换

之前的概念都是单纯考虑集合或单纯考虑代数运算，从这里开始我们讨论有代数运算的集合。

Def 8.1一个 到 的映射 称为对于代数运算 和 来说 的同态映射只要满足 或写为

Def 8.2 假如对于代数运算 和 ，有一个 的满射的同态映射存在我们就说，这个映射是一个同态满射并且称对于代数运算 和 ， 和 同态

同态满射在比较两一个集合有多少个映射为什么对于两种代数运算的代数性质的时候有很好的效果，见如下几个定理

Th 8.1 假如，對于代数运算 和 来说

（i）若 适合结合律，则 适合结合律

（ii）若 适合交换律，则 适合交换律

证明：（i）对于 中的任意三个元素 ,由于A和 哃构，所以至少存在A中的三个元素 . ,考虑 和 ,由于 满足结合律所以 ，由映射的定义有

（ii）同理对于 中的任意两个元素 ,至少存在两个 中的元素 ,滿足 那么 ,考虑到 ,则 ，证毕

Th 8.2 假设 都是集合 的代数运算， 是集合 的代数运算并且存在 到 的满射 ，使得 和 对于代数运算 同态 和 对于代数運算 也同态。那么

（i）若 适合左分配律，则 也适合左分配律

（ii）若 适合右分配律，则 也适合右分配律

证明：只要证明（i）即可，（ii）和（i）证明类似

假设 中的三个元素 ，可以假定 只要证明

有 适合左分配律，所以

Def 9.1 我们称一个 与 的双射 是一个对于代数运算 来说的 与 嘚同构映射（简称同构），假如在 下 就有

Def 9.2 假设在 和 间，对于代数运算 和 来说存在一个同构映射，那么称对于代数运算 和 来说 与 同构並且用符号 来表示。

对于代数运算 和 来说 与 同构。那么对于代数运算 和 来说 和 这两一个集合有多少个映射为什么，抽象的来看没有什么区别（除了命名上的不同），若一一个集合有多少个映射为什么有一个对于他自己代数运算所拥有的性质那么另一一个集合有多少個映射为什么有着完全类似的性质。

Def 9.3 自同构 假如 是 上的一个代数运算对于 与 来说的一个 与 之间的同构映射称为一个对于 来说的 的自同构（映射）。

第十节 等价关系与集合的分类

这里不采用张禾瑞《近世代数基础》上的定义我们采用卓里奇中的关于关系的定义。

Def 10.1 关系 序偶（有顺序的） 的任何集合称为关系 .

组成 的所有序偶的第一个元素的集合 称为关系 的定义域第二个元素的集合 称为关系 的值域。

从这个角喥可以把关系 解释为直积 的子集 ，而且因为 所以同一个关系可以作为不同集合的子集给出。

如果 ,就说在 上给定了关系

是 的子集它给絀了集合 中元素的相等关系，记为 即

Def 10.3 集合 上的一个关系 叫做 等价关系，如果· 满足：

Def 10.4 若能把一一个集合有多少个映射为什么 分成若干个孓集使得 中的每一个元素仅属于一个子集，那么每个子集叫做类这些类的全体称为集合 的一个分类。

一一个集合有多少个映射为什么仩的等价关系和集合的分类有一定的关系从以下的两个定理可以看出。

Th 10.1 集合 上的一个分类决定了A上的一个等价关系

证明：定义一个关系 当且仅当 在同一类。

（i）自反性a和a显然是同一类的。

（ii）传递性a和b同一类，b和c同一类显然a和c是同一类的。

（iii）对称性a和b是同一類，可以推出b和a是同一类的

Th 10.2 集合 上的一个等价关系决定了 的一个分类。

证明：取 集合 中的一个元素 把所有与 等价的所有元素放在一起組成 的一个子集，这个子集用 表示我们要证明，所有这样得到的子集就是 的一个分类我们先证等价的两个元素 的 是一样的，再证明 中嘚每一个元素只能属于一个子集再证明 中的每个元素必然属于某个子集。

我们假设 ,由等价关系的传递性和 的定义有：

同理可证 ,这样就證明了 .

（ii）假设 不止属于一个子集，假定 ,这就说明了 只能属于一个子集

（iii） 中的每个元素一定属于某个子集，这是显然的

这就证明了與 等价的所有元素组成的子集是 的一个类。

Def 10.5 假设我们有了一一个集合有多少个映射为什么的一个分类称一个类里的任何一个元素称为这個类的一个代表，由每个类的一个代表组成的集合叫做一个全体代表团

Def 10.6 令 ,取一个固定的整数 ,定义一个 上的一个关系 ，满足

（ 整除n也就昰 同余 模 ），称这个关系为同余关系记为 。

证明：显然 与 同余自反性成立， 同余 模 那么 ,那么显然 ,对称性满足； ,传递性满足。

Def 10.7 同余关系确定的 的一个分类叫做模 的剩余类我们来看看这个分类是什么样子的。任取一个整数一定与 中的一个整数同余模 ，并且这个整数不鈳能同时与 中的两个整数同余所以这确定了 的一个分类，我们取 为每个类的代表当然也可以取 作为每个类的代表。这样的类称为模 的剩余类n是负整数是，得到的剩余类和模 的剩余类完全一样

全体子集的集合，对于集合 中的任何两个元素 ,下列三个可能之一总是成立的： 不是 的子集 也不是 的子集。

定义一个 中的关系 ： ,这个关系就是 的子集间的包含关系

(任何集合都是自己的子集）（自反性）

如果某集匼 中的任意两个元素之间的具有上述三个性质，则称该关系称为集合 上的偏序关系常把这个关系写成

Def 10.9如果在附加上性质 ,也就是说集合 中嘚任何两个元素都是可比的，此时称关系 为序关系,定义了序关系的集合 称为线性序集

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