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小学数学奥数基础教程(五年级)目30讲全[1]
小学奥数基础教程（五年级）-1-小学奥数基础教程(五年级) 第 1 讲数字迷（一） 第 2 讲 数字谜(二) 第 3 讲 定义新运算(一) 第 4 讲 定义新运算(二) 第 5 讲 数的整除性(一) 第 6 讲 数的整除性(二) 第 7 讲 奇偶性（一） 第 8 讲 奇偶性（二） 第 9 讲 奇偶性（三） 第 10 讲 质数与合数 第 11 讲 分解质因数 第 12 讲 最大公约数与最小公倍 数（一） 第 13 讲最大公约数与最小公倍 数（二） 第 14 讲 余数问题 第 15 讲 孙子问题与逐步约束法 第 16 讲 巧算 24 第 17 讲 位置原则 第 18 讲 最大最小 第 19 讲 图形的分割与拼接 第 20 讲 多边形的面积 第 21 讲 用等量代换求面积 第 22 用割补法求面积 第 23 讲 列方程解应用题 第 24 讲 行程问题（一） 第 25 讲 行程问题（二） 第 26 讲 行程问题（三） 第 27 讲 逻辑问题（一） 第 28 讲 逻辑问题（二） 第 29 讲 抽屉原理(一) 第 30 讲 抽屉原理(二)第 1 讲 数字谜（一） 数字谜的内容在三年级和 四年级都讲过，同学们已经掌握 了不少方法。 例如用猜想、 拼凑、 排除、枚举等方法解题。数字谜 涉及的知识多，思考性强，所以 很能锻炼我们的思维。 这两讲除了复习巩固学过 的知识外，还要讲述数字谜的代 数解法及小数的除法竖式问题。 例 1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○ 内，使等式成立（每个运算符号 只准使用一次） ： （5○13○7）○ （17○9）=12。 分析与解：因为运算结果是 整数，在四则运算中只有除法运 算可能出现分数，所以应首先确 定“÷”的位置。 当“÷”在第一个○内时， 因为除数是 13，要想得到整数， 只有第二个括号内是 13 的倍数， 此时只有下面一种填法，不合题 意。 （5÷13-7）×（17+9） 。 当“÷”在第二或第四个○ 内时，运算结果不可能是整数。 当“÷”在第三个○内时， 可得下面的填法： （5+13×7）÷ （17-9）=12。 例 2 将 1～9 这九个数字分 别填入下式中的□中，使等式成 立：□□□×□□ =□□×□□ =5568。 解：将 5568 质因数分解为 5568=26 × 3 × 29 。由此容易知 道，将 5568 分解为两个两位数 的乘积有两种：58×96 和 64× 87，分解为一个两位数与一个三 位数的乘积有六种： 12×464， 16×348， 24× 232， 29×192， 32×174， 48× 116。 显然，符合题意的只有下面 一 种 填 法 ： 174 × 32=58 × 96=5568。 例 3 在 443 后面添上一个三 位数，使得到的六位数能被 573 整除。 分析与解：先用 443000 除 以 573，通过所得的余数，可以 求出应添的三位数。由 3=773??71 推知， 443000+（573-71） =443502 一定能被 573 整除，所 以应添 502。 例 4 已知六位数 33□□44 是 89 的倍数，求这个六位数。分析与解：因为未知的数码 在中间，所以我们采用两边做除 法的方法求解。 先从右边做除法。由被除数 的个位是 4，推知商的个位是 6； 由左下式知，十位相减后的差是 1，所以商的十位是 9。这时，虽 然 89×96=8544，但不能认为六 位数中间的两个□内是 85， 因为 还没有考虑前面两位数。再从左边做除法。如右上式 所示，a 可能是 6 或 7，所以 b 只可能是 7 或 8。 由左、右两边做除法的商， 得到商是 3796 或 3896。由 3796 × 89=337844 ， 3896 × 89=346744 知，商是 3796，所求六位数 是 337844。 例 5 在左下方的加法竖式 中，不同的字母代表不同的数 字，相同的字母代表相同的数 字，请你用适当的数字代替字 母，使加法竖式成立。分析与解：先看竖式的个 位。由 Y+N+N=Y 或 Y+ 10，推知 N 要么是 0， 要么是 5。 如果 N=5， 那么要向上进位，由竖式的十位 加法有 T+E+E+1=T 或 T+10， 等号 两边的奇偶性不同，所以 N≠5， N=0。 此时，由竖式的十位加法 T+E+E=T 或 T+10， E 不是 0 就是 5，但是 N=0，所以 E=5。 竖式千位、万位的字母与加 数的千位、万位上的字母不同， 说明百位、千位加法都要向上进 位。因为 N=0，所以 I≠0，推知 I=1，O=9，说明百位加法向千位 进 2。小学奥数基础教程（五年级）-2-再看竖式的百位加法。因为 十位加法向百位进 1，百位加法 向千位进 2，且 X≠0 或 1，所以 R+T+T+1≥22，再由 R，T 都不等 于 9 知，T 只能是 7 或 8。 若 T=7，则 R=8，X=3，这时 只剩下数字 2，4，6 没有用过， 而 S 只比 F 大 1，S，F 不可能是 2，4，6 中的数，矛盾。 若 T=8，则 R 只能取 6 或 7。 R=6 时，X=3，这时只剩下 2，4， 7， 同上理由， 出现矛盾； R=7 时， X=4，剩下数字 2，3 ，6，可取 F=2，S=3，Y=6。 所求竖式见上页右式。 解这类题目，往往要找准突 破口，还要整体综合研究，不能 想一步填一个数。这个题目是美 国数学月刊上刊登的趣题，竖式 中从上到下的四个词分别是 40， 10， 10， 60， 而 40+10+10 正好是 60，真是巧极了！ 例 6 在左下方的减法算式 中，每个字母代表一个数字，不 同的字母代表不同的数字。请你 填上适当的数字，使竖式成立。解这道题启发我们，如果做 题时遇到麻烦，不妨根据数学的 有关概念、法则、定律把原题加 以变换，将不熟悉的问题变为熟 悉的问题。另外，做题时要考虑 解的情况，是否有多个解。 练习 1 1.在一个四位数的末尾添零 后，把所得的数减去原有的四位 数，差是 621819，求原来的四位 数。 2.在下列竖式中，不同的字 母代表不同的数字，相同的字母 代表相同的数字。请你用适当的 数字代替字母，使竖式成立：（100000+x）×3=10x+1， x=10x+1， 7x=299999， x=42857。 这种代数方法干净利落，比 用传统方法解简洁。我们再看几 个例子。 例 2 在□内填入适当的数 字，使左下方的乘法竖式成立。分析与解：按减法竖式分 析， 看来比较难。 同学们都知道， 加、减法互为逆运算，是否可以 把减法变成加法来研究呢（见右 上式）？不妨试试看。 因为百位加法只能向千位 进 1，所以 E=9，A=1，B=0。 如果个位加法不向上进位， 那么由十位加法 1+F=10， 得 F=9， 与 E=9 矛盾，所以个位加法向上 进 1，由 1+F+1=10，得到 F=8， 这时 C=7。余下的数字有 2，3， 4，5，6，由个位加法知，G 比 D 大 2，所以 G，D 分别可取 4，2 或 5，3 或 6，4。 所求竖式是3. 在下面的算式 中填上 括 号，使得计算结果最大：1÷2÷ 3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。 4.在下面的算式中填上若干 个（ ） ，使得等式成立：1÷2÷ 3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8。 5.将 1～9 分别填入下式的 □中，使等式成立：□□×□□ =□□×□□□=3634。 6.六位数 391□□□是 789 的倍数，求这个六位数。 7.已知六位数 7□□888 是 83 的倍数，求这个六位数。 第 2 讲 数字谜（二） 这一讲主要讲数字谜的代数 解法及小数的除法竖式问题。 例 1 在下面的算式中， 不同 的字母代表不同的数字，相同的 字母代表相求竖式。 例 3 左下方的除法竖式中 只有一个 8，请在□内填入适当 的数字，使除法竖式成立。解：竖式中除数与 8 的积是 三位数，而与商的百位和个位的 积都是四位分析与解：这道题可以从个位 开始，比较等式两边的数，逐个 确定各个数，所以 x=112，被除数为 989 ×112=110768。右上式为所求竖 式。 代数解法虽然简洁，但只适 用于一些特殊情况，大多数情况 还要用传统的方法。小学奥数基础教程（五年级）-3-例 4 在□内填入适当数字， 使下页左上方的小数除法竖式 成立。 分析与解：先将小数除法竖 式化为我们较熟悉的整数除法 竖式（见下页右上方竖式） 。可 以看出，除数与商的后三位数的 乘积是
的倍数，即 除数和商的后三位数一个是 23=8 的倍数，另一个是 53=125 的奇数倍，因为除数是两位数， 所以除数是 8 的倍数。又由竖式 特点知 a=9，从而除数应是 962. 用代数方法求 解下列 竖 式： 分析与解：由竖式（ 1 ）可 以看出被除数为 10**0（见竖式 （ 1 ） '） ，竖式（1）的除数为 3 或 9。在竖式（2）中，被除数的 前两位数 10 不能被整数整除， 故除数不是 2 或 5，而被除数的 后两位数*0 能被除数整除， 所以 除数是 4，6 或 8。3.在□内填入适当的数字， 使下列小数除法竖式成立：的两位数的约数，可能的取 值有 96，48，32，24 和 16。因 为，c=5，5 与除数的乘积仍是两 位数，所以除数只能是 16，进而 推知 b=6。因为商的后三位数是 125 的奇数倍， 只能是 125， 375， 625 和 875 之一，经试验只能取 375。至此，已求出除数为 16， 商为 6.375，故被除数为 6.375× 16=102。右式即为所求竖式。求解此类小数除法竖式题， 应先将其化为整数除法竖式，如 果被除数的末尾出现 n 个 0，则 在除数和商中， 一个含有因子 2n （不含因子 5） ， 另一个含有因子 5n（不含因子 2） ，以此为突破口 即可求解。 例 5 一个五位数被一个一 位数除得到下页的竖式（1） ，这 个五位数被另一个一位数除得 到下页的竖式（2） ，求这个五位 数。当竖式（1）的除数为 3 时， 由竖式（1）'知， a=1 或 2，所 以被除数为 100*0 或 101*0，再 由竖式（2 ）中被除数的前三位 数和后两位数分别能被除数整 除，可得竖式（2）的除数为 4， 被除数为 10020； 当竖式（1）的除数为 9 时， 由能被 9 整除的数的特征，被除 数的百位与十位数字之和应为 8。因为竖式（2）的除数只能是 4，6，8，由竖式（2）知被除数 的百位数为偶数，故被除数只有 1，10440 和 10620 四种可能，最后由竖式（2 ）中 被除数的前三位数和后两位数 分别能被除数整除，且十位数不 能被除数整除，可得竖式（ 2） 的除数为 8，被除数为 10440。 所以这个五位数是 10020 或 10440。 练习 2 1.下面各算式中，相同的字 母代表相同的数字，不同的字母 代表不同的第 3 讲 定义新运算（一） 我们已经学习过加、 减、 乘、 除运算，这些运算，即四则运算 是数学中最基本的运算，它们的 意义、符号及运算律已被同学们 熟知。除此之外，还会有什么别 的运算吗？这两讲我们就来研 究这个问题。这些新的运算及其 符号，在中、小学课本中没有统 一的定义及运算符号，但学习讨 论这些新运算，对于开拓思路及 今后的学习都大有益处。 例 1 对于任意数 a，b，定 义运算“*” ： a*b=a×b-a-b。 求 12*4 的值。 分析与解：根据题目定义的 运算要求，直接代入后用四则运 算即可。 12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。根据以上的规定，求 10△6 的 值。小学奥数基础教程（五年级）-4-3，x&=2，求 x 的值。 分析与解：按照定义的运 算， &1，2，3，x&=2，按通常的规则从左至右进行运 算。x=6。 由上面三例看出，定义新运 算通常是用某些特殊符号表示 特定的运算意义。新运算使用的 符号应避免使用课本上明确定 义或已经约定俗成的符号，如+， -，×，÷，＜，＞等，以防止发 生混淆，而表示新运算的运算意 义部分，应使用通常的四则运算 符号。如例 1 中，a*b=a×b-a-b， 新运算符号使用“*” ，而等号右 边新运算的意义则用四则运算 来表示。分析与解：从已知的三式来 看， 运算 “ ” 表示几个数相加，6 ！ =1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6=720， ?? 由此可推知，从 5！开始， 以后 6！ ，7！ ，8！ ，?，100！的 末位数字都是 0。 所以，要求 1！+2！+3！+? +100！的个位数字，只要把 1！ 至 4！ 的个位数字相加便可求得： 1+2+6+4=13。所求的个位数字是 3。 例 7 如果 m， n 表示两个数， 那么规定：m¤n=4n-（m+n）÷ 2。 求 3¤（4¤6）¤12 的值。 解：3¤（4¤6）¤12 =3¤[4×6-（4+6）÷2]¤12 =3¤19¤12 =[4×19-（3+19）÷2]¤12 =65¤12 =4×12-（65+12）÷2 =9.5。 练习 3 1.对于任意的两个数 a 和 b，规 定 a*b=3×a-b÷3。求 8*9 的值。 2.已知 a b 表示 a 除以 3 的余 4 的值。每个加数各数位上的数都是符 号前面的那个数，而符号后面的 数是几，就表示几个数之和，其 中第 1 个数是 1 位数，第 2 个数 是 2 位数， 第 3 个数是 3 位数?? 按此规定，得 3 5=3+33+333+=3数再乘以 b，求 13 3.已知 a 试计算： （5b 表示 （a-b） ÷ （a+b） ， 3） （10 6） 。分析与解：按新运算的定 义，符号“⊙”表示求两个数的 平均数。四则运算中的意义相同，即 先进行小括号中的运算，再进行 小括号外面的运算。7035。 从例 5 知，有时新运算的规 定不是很明显，需要先找规律， 然后才能进行运算。 例 6 对于任意自然数，定 义：n！=1×2×? ×n。 例如 4！=1×2×3×4。那 么 1！+2！+3！+?+100！的个位 数字是几？ 分析与解：1！=1， 2！=1×2=2， 3！=1×2×3=6， 4！=1×2×3×4=24， 5！=1×2×3×4×5=120，4.规定 a◎b 表示 a 与 b 的积与 a 除以 b 所得的商的和，求 8◎2 的值。 5.假定 m◇n 表示 m 的 3 倍 减去 n 的 2 倍，即 m◇ n=3m-2n。（2）已知 x◇（4◇1）=7，求 x 的值。小学奥数基础教程（五年级）-5-7.对于任意的两个数 P， Q， 规定 P☆Q=（P×Q）÷4。例如： 2☆8=（2×8）÷4。已知 x☆（8 ☆5）=10，求 x 的值。 8. 定 义 ： a △ b=ab-3b ， a （2 b=4a-b/a。计算： （4△3）△ b） 。 3=2×3×4，9.已知： 2 45=4×5×6×7×8，?? 4）÷（3 3）的值。求（4第 4 讲 定义新运算（二） 例 1 已知 a ※ b= （ a+b ） （a-b） ，求 9※2 的值。 分析与解：这是一道很简单 的题，把 a=9，b=2 代入新运算 式，即可算出结果。但是，根据 四则运算的法则，我们可以先把 新运算“※”化简，再求结果。 a※b=（a+b）-（a-b） =a+b-a+b=2b。 所以，9※2=2×2=4。 由例 1 可知，如果定义的新 运算是用四则混合运算表示，那 么在符合四则混合运算的性质、 法则的前提下，不妨先化简表示 式。这样，可以既减少运算量， 又提高运算的准确度。 例 2 定义运算：a⊙ b=3a+5ab+kb， 其中 a，b 为任意两个数，k 为常数。比如：2⊙7=3×2+5×2 ×7+7k。 （1）已知 5⊙2=73。问：8 ⊙5 与 5⊙8 的值相等吗？ （2）当 k 取什么值时，对于任何不同的数 a，b，都有 a⊙ b=b⊙a， 即新运算“⊙”符合交换 律？ 分析与解： （1）首先应当确 定新运算中的常数 k。因为 5⊙ 2=3×5+5×5×2+k×2 =65+2k， 所以由已知 5 ⊙ 2=73 ，得 65+2k=73，求得 k=（73-65）÷ 2=4 。 定 义 的 新 运 算 是 ： a ⊙ b=3a+5ab+4b。 8 ⊙ 5=3 × 8+5 × 8 × 5+4 × 5=244， 5 ⊙ 8=3 × 5+5 × 5 × 8+4 × 8=247。 因为 244≠247，所以 8⊙5 ≠5⊙8。 （2）要使 a⊙b=b⊙a，由新 运算的定义，有 3a+5ab+kb=3b+5ab+ka， 3a+kb-3b-ka=0， 3×(a-b)-k(a-b)=0， (3-k)(a-b)=0。 对于两个任意数 a，b，要使 上式成立，必有 3-k=0，即 k=3。 当 新 运 算 是 a ⊙ b=3a+5ab+3b 时，具有交换律， 即 a⊙b=b⊙a。 例 3 对两个自然数 a 和 b， 它们的最小公倍数与最大公约 数的差，定义为 a ☆ b ，即 a ☆ b=[a，b]-（a，b） 。 比如，10 和 14 的最小公倍 数是 70，最大公约数是 2，那么 10☆14=70-2=68。 （1）求 12☆21 的值； （2）已知 6☆x=27，求 x 的 值。 分析与解： （1） 12☆21=[12， 21]-（12，21）=84-3=81； （2） 因为定义的新运算 “☆” 没有四则运算表达式，所以不能 直接把数代入表达式求 x，只能 用推理的方法。 因为 6☆x=[6，x]-（6，x） =27， 而 6 与 x 的最大公约数 （6， x）只能是 1，2，3，6。所以 6与 x 的最小公倍数[6，x]只能是 28， 29， 30， 33。这四个数 中只有 30 是 6 的倍数，所以 6 与 x 的最小公倍数和最大公约数 分别是 30 和 3。因为 a×b=[a， b]×（a，b） ， 所以 6×x=30×3， 由此求得 x=15。 例 4 a 表示顺时针旋转 90°，b 表示顺时针旋转 180°， c 表示逆时针旋转 90°，d 表示 不转。定义运算“◎”表示“接 着做” 。求：a◎b；b◎c；c◎a。 分析与解： a◎b 表示先顺 时针转 90°， 再顺时针转 180°， 等于顺时针转 270°，也等于逆 时针转 90°，所以 a◎b=c。 b◎c 表示先顺时针转 180°，再逆时针转 90°，等于 顺时针转 90°，所以 b◎c=a。 c◎a 表示先逆时针转 90°， 再顺时针转 90°，等于没转动， 所以 c◎a=d。 对于 a，b，c，d 四种运动， 可以做一个关于“◎”的运算表 （见下表） 。比如 c◎b，由 c 所 在的行和 b 所在的列，交叉处 a 就是 c◎b 的结果。因为运算◎ 符合交换律，所以由 c 所在的列 和 b 所在的行也可得到相同的结 果。例 5 对任意的数 a，b，定 义：f（a）=2a+1， g（b）=b×b。 （1）求 f（5）-g（3）的值； （2） 求f （g（2） ）+g（f （2） ） 的值； （3）已知 f（x+1）=21，求 x 的值。 解： （1） f（5）-g（3）=（2 ×5+1）-（3×3）=2； （2）f（g（2） ）+g（f（2） ） =f（2×2）+g（2×2+1） =f（4）+g（5）=（2×4+1）小学奥数基础教程（五年级）-6-+（5×5）=34； （3）f（x+1）=2×（x+1） +1=2x+3， 由f （x+1） =21， 知 2x+3=21， 解得 x=9。 练 习 4余数记为 a 5 29=4，4b。比如 7 20=0。3=1，（ 1 ）计算： 1998 （5 19） 19， 5 （1 （2）已知 112000 ， 95） ；x=4，x 小于2.定义两种运算“※”和“△” 如下： a※b 表示 a，b 两数中较小 的数的 3 倍， a△b 表示 a，b 两数中较大 的数的 2.5 倍。 比如： 4※5=4 ×3=12 ， 4△ 5=5×2.5=12.5。 计算： [(0.6※0.5)+(0.3△0.8)] ÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]。4.设 m，n 是任意的自然数， A 是常数，定义运算 m⊙n=（A ×m-n）÷4， 并且 2⊙3=0.75。试确定常 数 A， 并计算： （5⊙7） × （2⊙2） ÷（3⊙2） 。 5.用 a，b，c 表示一个等边 三角形围绕它的中心在同一平 面内所作的旋转运动：a 表示顺时针旋转 240°， b 表示顺时针旋转 120°， c 表示不旋转。 运算“∨”表示“接着做” 。 试以 a，b，c 为运算对象做运算 表。 6.对任意两个不同的自然数 a 和 b，较大的数除以较小的数，20，求 x 的值。 7.对于任意的自然数 a，b， 定义：f（a）=a×a-1，g（b）=b ÷2+1。 （1）求 f（g（6） ）-g（f（3） ） 的值； （2）已知 f（g（x） ）=8，求 x 的值。 第 5 讲 数的整除性（一） 三、四年级已经学习了能被 2，3，5 和 4，8，9，6 以及 11 整除的数的特征，也学习了一些 整除的性质。这两讲我们系统地 复习一下数的整除性质，并利用 这些性质解答一些问题。 数的整除性质主要有： （ 1）如果甲数能被乙数整 除，乙数能被丙数整除，那么甲 数能被丙数整除。 （ 2）如果两个数都能被一 个自然数整除，那么这两个数的 和与差都能被这个自然数整除。 （ 3）如果一个数能分别被 几个两两互质的自然数整除，那 么这个数能被这几个两两互质 的自然数的乘积整除。 （ 4）如果一个质数能整除 两个自然数的乘积，那么这个质 数至少能整除这两个自然数中 的一个。 （ 5）几个数相乘，如果其 中一个因数能被某数整除，那么 乘积也能被这个数整除。 灵活运用以上整除性质，能 解决许多有关整除的问题。 例 1 在□里填上适当的数 字，使得七位数□7358□□能分 别被 9，25 和 8 整除。分析与解：分别由能被 9， 25 和 8 整除的数的特征， 很难推 断出这个七位数。因为 9，25，8 两两互质，由整除的性质（ 3） 知，七位数能被 9×25×8=1800 整除，所以七位数的个位，十位 都是 0；再由能被 9 整除的数的 特征，推知首位数应填 4。这个 七位数是 4735800。 例 2 由 2000 个 1 组成的数 111?11 能否被 41 和 271 这两个 质数整除？ 分 析 与 解 ： 因 为 41 × 271=11111，所以由每 5 个 1 组 成的数 11111 能被 41 和 271 整 除。按“11111”把 2000 个 1 每 五位分成一节， ， 就有 400 节，因为 2000 个 1 组成的数 11 ? 11 能 被 11111 整除， 而 11111 能被 41 和 271 整除， 所以 根据整除的性质（1 ）可知，由 2000 个 1 组成的数 111?11 能被 41 和 271 整除。 例 3 现有四个数：76550， 76551 ， 76552 ， 76554 。能不能 从中找出两个数，使它们的乘积 能被 12 整除？ 分析与解：根据有关整除的 性质，先把 12 分成两数之积： 12=12×1=6×2=3×4。 要从已知的四个数中找出 两个，使其积能被 12 整除，有 以下三种情况： （1）找出一个数能被 12 整 除，这个数与其它三个数中的任 何一个的乘积都能被 12 整除； （2）找出一个数能被 6 整 除，另一个数能被 2 整除，那么 它们的积就能被 12 整除； （3）找出一个数能被 4 整 除，另一个数能被 3 整除，那么 它们的积能被 12 整除。 容易判断，这四个数都不能 被 12 整除，所以第（1）种情况小学奥数基础教程（五年级）-7-不存在。 对于第（2 ）种情况，四个 数中能被 6 整除的只有 76554， 而 7 是偶数，所以 可以选 76554 和 7 和 76552。 对于第（3 ）种情况，四个 数中只有 76552 能被 4 整除， 76551 和 76554 都能被 3 整除， 所以可以选 76552 和 76551 ， 76552 和 76554。 综合以上分析，去掉相同 的，可知两个数的乘积能被 12 整除的有以下三组数：76550 和 76554， 76552 和 76554， 76551 和 76552。 例 4 在所有五位数中， 各位 数字之和等于 43 且能够被 11 整 除的数有哪些？ 分析与解：从题设的条件分 析，对所求五位数有两个要求： ①各数位上的数字之和等 于 43； ②能被 11 整除。 因为能被 11 整除的五位数 很多，而各数位上的数字之和等 于 43 的五位数较少，所以应选 择①为突破口。有两种情况： （1）五位数由一个 7 和四个 9 组成； （2）五位数由两个 8 和三个 9 组成。 上面两种情况中的五位数 能不能被 11 整除？9，8，7 如何 摆放呢？根据被 11 整除的数的 特征，如果奇数位数字之和是 27，偶数位数字之和是 16，那么 差是 11，就能被 11 整除。满足 这些要求的五位数是： 97999， 99979， 98989。 例 5 能不能将从 1 到 10 的 各数排成一行，使得任意相邻的 两个数之和都能被 3 整除？ 分析与解： 10 个数排成一行 的方法很多，逐一试验显然行不 通。我们采用反证法。 假设题目的要求能实现。那 么由题意，从前到后每两个数一组共有 5 组，每组的两数之和都 能被 3 整除，推知 1～10 的和也 应能被 3 整除。实际上，1～10 的和等于 55，不能被 3 整除。这 个矛盾说明假设不成立，所以题 目的要求不能实现。 练习 5 1.已知 4205 和 2813 都是 29 的倍数，1392 和 7018 是不是 29 的倍数？ 2.如果两个数的和是 64，这 两个数的积可以整除 4875， 那么 这两个数的差是多少？ 3.173□是个四位数。 数学老 师说： “我在这个□中先后填入 3 个数字，所得到的 3 个四位数， 依次可以被 9，11， 6 整除。 ”问： 数学老师先后填入的 3 个数字之 和 是 多 少 ？能被 7，11 和 13 整除的数的特 征： 如果数 A 的末三位数字所表 示的数与末三位数以前的数字 所表示的数之差（大数减小数） 能被 7 或 11 或 13 整除，那么数 A 能被 7 或 11 或 13 整除。 否则， 数 A 就不能被 7 或 11 或 13 整除。 例 2 判断 306371 能否被 7 整除？能否被 13 整除？ 解：因为 371-306=65 ， 65 是 13 的倍数，不是 7 的倍数， 所以 306371 能被 13 整除，不能 被 7 整除。 例 3 已知 10□8971 能被 13 整除，求□中的数。 解： 10□8-971=+□ 0=37+□0。 上式的个位数是 7，若是 13 的倍数，则必是 13 的 9 倍，由 13 × 9-37=80 ，推知□中的数是 8。2 位数进行改写。根据十进制数 的 意 义 ， 有 班 有多少名学生？ 6.能不能将从 1 到 9 的各数 排成一行，使得任意相邻的两个 数之和都能被 3 整除？ 第 6 讲 数的整除性（二） 我们先看一个特殊的数― ―1001。因为 ×13， 所以凡是 1001 的整数倍的数都 能被 7，11 和 13 整除。 因为
各数位上数 字之和是 3，能够被 3 整除，所 以这个 12 位数能被 3 整除。 根据能被 7（或 13）整除的 数 的 特 征 ，
与 （=） 100009 要么都能 被 7（或 13）整除，要么都不能 被 7（或 13）整除。 同理， 100009 与 （ 100-9=） 91 要么都能被 7（或 13）整除， 要么都不能被 7（或 13）整除。 因 为 91=7 × 13 ， 所 以
能被 7 和 13 整除， 推 知这个 12 位数能被 7 和 13 整除。小学奥数基础教程（五年级）-8-分析与解：根据能被 7 整除 的数的特征，555555 与 999999 都能被 7因为上式中等号左边的数 与等号右边第一个数都能被 7 整 除，所以等号右边第二个数也能 被 7 整除，推知 55□99 能被 7 整除。根据能被 7 整除的数的特 征，□99-55=□44 也应能被 7 整 除。由□44 能被 7 整除，易知□ 内应是 6。 下面再告诉大家两个判断 整除性的小窍门。 判断一个数能否被 27 或 37 整除的方法： 对于任何一个自然数，从个 位开始，每三位为一节将其分成 若干节，然后将每一节上的数连 加，如果所得的和能被 27 （或 37）整除，那么这个数一定能被 27（或 37）整除；否则，这个数 就不能被 27（或 37）整除。 例 6 判断下列各数能否被 27 或 37 整除： （ 1 ） 2673135 ；（ 2 ） 。 解： （1） ，673， 135，2+673+135=810。 因为 810 能被 27 整除，不 能被 37 整除，所以 2673135 能 被 27 整除，不能被 37 整除。 （2）=8，990， 615 ， 496 ， 8+990+615+496=2 ， 109。 2，109 大于三位数，可以再 对 2 ， 109 的 各 节 求 和 ， 2+109=111。因为 111 能被 37 整除，不 能被 27 整除， 所以 2109 能被 37 整除，不能被 27 整除，进一步 推知
能被 37 整除， 不能被 27 整除。 由上例看出，若各节的数之 和大于三位数，则可以再连续对 和的各节求和。 判断一个数能否被个位是 9 的数整除的方法： 为了叙述方便，将个位是 9 的数记为 k9（= 10k+9） ，其中 k 为自然数。 对于任意一个自然数，去掉 这个数的个位数后，再加上个位 数的（ k+1 ）倍。连续进行这一 变换。如果最终所得的结果等于 k9， 那么这个数能被 k9 整除； 否 则，这个数就不能被 k9 整除。 例 7 （1）判断 18937 能否 被 29 整除； （2）判断 296416 与 37289 能否被 59 整除。 解： （1）上述变换可以表示 为：88205， 167128， 250894， 396500， 675696， 796842， 805532， 。 2.六位数 175□62 是 13 的倍 数。□中的数字是几？7.九位数
能被 21 整除，求中间□中的数。 8.在下列各数中，哪些能被 27 整除？哪些能被 37 整除？ 1861026 ， 1884924 ， 2175683， 2560437，
， 。 9.在下列各数中，哪些能被 19 整除？哪些能被 79 整除？ 55119 ， 55537 ， 62899 ， 71258， 7。 第 7 讲 奇偶性（一） 整数按照能不能被 2 整除， 可以分为两类： （1）能被 2 整除的自然数叫偶 数，例如 0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，? （2）不能被 2 整除的自然数叫 奇数，例如 1，3，5，7，9，11，13， 15，17，? 整数由小到大排列，奇、偶数是 交替出现的。相邻两个整数大小 相差 1，所以肯定是一奇一偶。 因为偶数能被 2 整除，所以偶数 可以表示为 2n 的形式，其中 n 为整数； 因为奇数不能被 2 整除， 所以奇数可以表示为 2n+1 的形 式，其中 n 为整数。 每一个整数不是奇数就是偶数， 这个属性叫做这个数的奇偶性。 奇偶数有如下一些重要性质：由此可知，296416 能被 59 整除，37289 不能被 59 整除 。 一般地， 每进行一次变换， 被判断的数的位数就将减少一 位。当被判断的数变换到小于除 数时，即可停止变换，得出不能 整除的结论。 练习 6 1. 下列各数哪些能被 7 整 除？哪些能被 13 整除？小学奥数基础教程（五年级）-9-（1 ）两个奇偶性相同的数的 和（或差）一定是偶数；两个奇 偶性不同的数的和（或差）一定 是奇数。 反过来， 两个数的和 （或 差）是偶数，这两个数奇偶性相 同；两个数的和（或差）是奇数， 这两个数肯定是一奇一偶。 （2）奇数个奇数的和（或差） 是奇数； 偶数个奇数的和 （或差） 是偶数。任意多个偶数的和（或 差）是偶数。 （3）两个奇数的乘积是奇数， 一个奇数与一个偶数的乘积一 定是偶数。 （ 4）若干个数相乘，如果 其中有一个因数是偶数，那么积 必是偶数；如果所有因数都是奇 数，那么积就是奇数。反过来， 如果若干个数的积是偶数，那么 因数中至少有一个是偶数；如果 若干个数的积是奇数，那么所有 的因数都是奇数。 （ 5）在能整除的情况下， 偶数除以奇数得偶数；偶数除以 偶数可能得偶数，也可能得奇 数。奇数肯定不能被偶数整除。 （6）偶数的平方能被 4 整 除；奇数的平方除以 4 的余数是 1。 因为（ 2n ）2=4n2=4 × n2， 所以（2n）2 能被 4 整除； 因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4 ×（ n2+n） +1，所以（2n+1）2 除以 4 余 1。 （ 7）相邻两个自然数的乘 积必是偶数，其和必是奇数。 （ 8）如果一个整数有奇数 个约数（包括 1 和这个数本身） ， 那么这个数一定是平方数；如果 一个整数有偶数个约数，那么这 个数一定不是平方数。 整数的奇偶性能解决许多 与奇偶性有关的问题。有些问题 表面看来似乎与奇偶性一点关 系也没有，例如染色问题、覆盖 问题、棋类问题等，但只要想办 法编上号码，成为整数问题，便 可利用整数的奇偶性加以解决。例 1 下式的和是奇数还是偶 数？ 1+2+3+4+?+。 分析与解：本题当然可以先 求出算式的和，再来判断这个和 的奇偶性。但如果能不计算，直 接分析判断出和的奇偶性，那么 解法将更加简洁。根据奇偶数的 性质（2） ，和的奇偶性只与加数 中奇数的个数有关，与加数中的 偶数无关。1～1998 中共有 999 个奇数，999 是奇数，奇数个奇 数之和是奇数。所以，本题要求 的和是奇数。 例 2 能否在下式的□中填 上“+”或“-” ，使得等式成立？ 1□2 □3□4□5 □6□7□8□ 9=66。 分析与解：等号左端共有 9 个数参加加、减运算，其中有 5 个奇数，4 个偶数。5 个奇数的 和或差仍是奇数，4 个偶数的和 或差仍是偶数，因为“奇数 + 偶 数=奇数” ，所以题目的要求做不 到。 例 3 任意给出一个五位数， 将组成这个五位数的 5 个数码的 顺序任意改变，得到一个新的五 位数。那么，这两个五位数的和 能不能等于 99999？ 分析与解：假设这两个五位 数的和等于 99999，则有下式：其中组成两个加数的 5 个数 码完全相同。因为两个个位数相 加，和不会大于 9+9=18，竖式 中和的个位数是 9，所以个位相 加没有向上进位，即两个个位数 之和等于 9。同理，十位、百位、 千位、 万位数字的和也都等于 9。 所以组成两个加数的 10 个数码 之和等于 9+9+9+9+9=45 ，是奇 数。 另一方面，因为组成两个加 数的 5 个数码完全相同，所以组 成两个加数的 10 个数码之和，等于组成第一个加数的 5 个数码 之和的 2 倍，是偶数。 奇数≠偶数，矛盾的产生在 于假设这两个五位数的和等于 99999 ，所以假设不成立，即这 两个数的和不能等于 99999。 例 4 在一次校友聚会上， 久 别重逢的老同学互相频频握手。 请问：握过奇数次手的人数是奇 数还是偶数？请说明理由。 分析与解：通常握手是两人 的事。甲、乙两人握手，对于甲 是握手 1 次，对于乙也是握手 1 次，两人握手次数的和是 2。所 以一群人握手，不论人数是奇数 还是偶数，握手的总次数一定是 偶数。 把聚会的人分成两类：A 类 是握手次数是偶数的人，B 类是 握手次数是奇数的人。 A 类中每人握手的次数都是 偶数，所以 A 类人握手的总次数 也是偶数。又因为所有人握手的 总次数也是偶数，偶数-偶数=偶 数，所以 B 类人握手的总次数也 是偶数。 握奇数次手的那部分人即 B 类人的人数是奇数还是偶数 呢？如果是奇数，那么因为“奇 数个奇数之和是奇数” ，所以得 到 B 类人握手的总次数是奇数， 与前面得到的结论矛盾，所以 B 类人即握过奇数次手的人数是 偶数。 例 5 五（2）班部分学生参 加镇里举办的数学竞赛，每张试 卷有 50 道试题。评分标准是： 答对一道给 3 分，不答的题，每 道给 1 分，答错一道扣 1 分。试 问：这部分学生得分的总和能不 能确定是奇数还是偶数？ 分析与解：本题要求出这部 分学生的总成绩是不可能的，所 以应从每个人得分的情况入手 分析。因为每道题无论答对、不 答或答错，得分或扣分都是奇 数，共有 50 道题，50 个奇数相 加减，结果是偶数，所以每个人小学奥数基础教程（五年级）- 10 -的得分都是偶数。因为任意个偶 数之和是偶数，所以这部分学生 的总分必是偶数。 练习 7 1.能否从四个 3、三个 5、两 个 7 中选出 5 个数，使这 5 个数 的和等于 22？ 2.任意交换一个三位数的数 字，得一个新的三位数，一位同 学将原三位数与新的三位数相 加，和是 999。这位同学的计算 有没有错？ 3.甲、乙两人做游戏。任意 指定七个整数（允许有相同数） ， 甲将这七个整数以任意的顺序 填在下图第一行的方格内，乙将 这七个整数以任意的顺序填在 图中的第二行方格里，然后计算 出所有同一列的两个数的差（大 数减小数） ，再将这七个差相乘。 游戏规则是：若积是偶数，则甲 胜；若积是奇数，则乙胜。请说 明谁将获胜。4.某班学生毕业后相约彼此 通信，每两人间的通信量相等， 即甲给乙写几封信，乙也要给甲 写几封信。问：写了奇数封信的 毕业生人数是奇数还是偶数？ 5.A 市举 办五年级小 学生 “春晖杯”数学竞赛，竞赛题 30 道，记分方法是：底分 15 分， 每答对一道加 5 分，不答的题， 每道加 1 分，答错一道扣 1 分。 如果有 333 名学生参赛，那么他 们的总得分是奇数还是偶数？ 6.把下图中的圆圈任意涂上红 色或蓝色。是否有可能使得在同 一条直线上的红圈数都是奇 数？试讲出理由。7.红星影院有 1999 个座位，上、下午各放映一场电影。有两 所学校各有 1999 名学生包场看 这两场电影，那么一定有这样的 座位，上、下午在这个座位上坐 的是两所不同学校的学生，为什 么？ 第 8 讲 奇偶性（二） 例 1 用 0～9 这十个数码组 成五个两位数，每个数字只用一 次，要求它们的和是奇数，那么 这五个两位数的和最大是多 少？ 分析与解：有时题目的要求 比较多，可先考虑满足部分要 求，然后再调整，使最后结果达 到全部要求。 这道题的几个要求中，满足 “和最大”是最容易的。暂时不 考虑这五个数的和是奇数的要 求。 要使组成的五个两位数的 和最大，应该把十个数码中最大 的五个分别放在十位上，即十位 上放 5，6，7，8，9，而个位上 放 0，1，2，3，4。根据奇数的 定义，这样组成的五个两位数 中，有两个是奇数，即个位是 1 和 3 的两个两位数。 要满足这五个两位数的和 是奇数，根据奇、偶数相加减的 运算规律，这五个数中应有奇数 个奇数。现有两个奇数，即个位 数是 1，3 的两位数。所以五个 数的和是偶数，不合要求，必须 调整。调整的方法是交换十位与 个位上的数字。要使五个数有奇 数个奇数，并且五个数的和尽可 能最大，只要将个位和十位上的 一个奇数与一个偶数交换，并且 交换的两个的数码之差尽可能 小， 由此得到交换 5 与 4 的位置。 满足题设要求的五个两位数的 十位上的数码是 4，6，7，8，9， 个位上的数码是 0，1，2，3，5， 所 求 这 五 个 数 的 和 是 （ 4+6+7+8+9 ） × 10+ （0+1+2+3+5）=351。 例 2 7 只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的 2 只杯子。能否经过若干次翻转， 使得 7 只杯子全部杯口朝下？ 分析与解：盲目的试验，可 能总也找不到要领。如果我们分 析一下每次翻转后杯口朝上的 杯子数的奇偶性，就会发现问题 所在。一开始杯口朝上的杯子有 7 只，是奇数；第一次翻转后， 杯口朝上的变为 5 只， 仍是奇数； 再继续翻转，因为只能翻转两只 杯子，即只有两只杯子改变了 上、下方向，所以杯口朝上的杯 子数仍是奇数。类似的分析可以 得到，无论翻转多少次，杯口朝 上的杯子数永远是奇数，不可能 是偶数 0。也就是说，不可能使 7 只杯子全部杯口朝下。 例 3 有 m（m≥2）只杯子 全部口朝下放在桌子上，每次翻 转其中的（m-1）只杯子。经过 若干次翻转，能使杯口全部朝上 吗？ 分析与解：当 m 是奇数时， （m-1）是偶数。由例 2 的分析 知，如果每次翻转偶数只杯子， 那么无论经过多少次翻转，杯口 朝上（下）的杯子数的奇偶性不 会改变。 一开始 m 只杯子全部杯 口朝下，即杯口朝下的杯子数是 奇数，每次翻转（m-1）即偶数 只杯子。无论翻转多少次，杯口 朝下的杯子数永远是奇数，不可 能全部朝上。 当 m 是偶数时， （m-1） 是奇 数。为了直观，我们先从 m= 4 的情形入手观察，在下表中用∪ 表示杯口朝上，∩表示杯口朝 下，每次翻转 3 只杯子，保持不 动的杯子用* 号标记。翻转情况 如下：由上表看出， 只要翻转 4 次，小学奥数基础教程（五年级）- 11 -并且依次保持第 1，2，3，4 只 杯子不动，就可达到要求。一般 来说，对于一只杯子，要改变它 的初始状态，需要翻奇数次。对 于 m 只杯子，当 m 是偶数时， 因为（m-1）是奇数，所以每只 杯子翻转（m-1）次，就可使全 部杯子改变状态。要做到这一 点，只需要翻转 m 次，并且依次 保持第 1， 2， ?， m 只杯子不动， 这样在 m 次翻转中， 每只杯子都 有一次没有翻转，即都翻转了 （m-1）次。 综上所述： m 只杯子放在桌子上， 每次翻转（m-1）只。当 m 是奇 数时，无论翻转多少次，m 只杯 子不可能全部改变初始状态；当 m 是偶数时， 翻转 m 次， 可以使 m 只杯子全部改变初始状态。 例 4 一本论文集编入 15 篇 文章，这些文章排版后的页数分 别是 1，2，3，?，15 页。如果 将这些文章按某种次序装订成 册，并统一编上页码，那么每篇 文章的第一面是奇数页码的最 多有几篇？ 分析与解：可以先研究排版 一本书，各篇文章页数是奇数或 偶数时的规律。一篇有奇数页的 文章，它的第一面和最后一面所 在的页码的奇偶性是相同的，即 排版奇数页的文章，第一面是奇 数页码，最后一面也是奇数页 码，而接下去的另一篇文章的第 一面是排在偶数页码上。一篇有 偶数页的文章，它的第一面和最 后一面所在的页码的奇偶性是 相异的，即排版偶数页的文章， 第一面是奇（偶）数页码，最后 一面应是偶（奇）数页码，而紧 接的另一篇文章的第一面又是 排在奇（偶）数页码上。 以上说明本题的解答主要 是根据奇偶特点来处理。 题目要求第一面排在奇数 页码的文章尽量多。首先考虑有 偶数页的文章，只要这样的第一 篇文章的第一面排在奇数页码上（如第 1 页） ，那么接着每一 篇有偶数页的文章都会是第一 面排在奇数页码上，共有 7 篇这 样的文章。然后考虑有奇数页的 文章，第一篇的第一面排在奇数 页码上，第二篇的第一面就会排 在偶数页码上，第三篇的第一面 排在奇数页码上，如此等等。在 8 篇奇数页的文章中，有 4 篇的 第一面排在奇数页码上。因此最 多有 7+4=11（篇）文章的第一面 排在奇数页码上。 例 5 有大、小两个盒子，其 中大盒内装 1001 枚白棋子和 1000 枚同样大小的黑棋子， 小盒 内装有足够多的黑棋子。阿花每 次从大盒内随意摸出两枚棋子， 若摸出的两枚棋子同色，则从小 盒内取一枚黑棋子放入大盒内； 若摸出的两枚棋子异色，则把其 中白棋子放回大盒内。问：从大 盒内摸了 1999 次棋子后，大盒 内还剩几枚棋子？它们都是什 么颜色？ 分析与解：大盒内装有黑、 白棋子共 01 （枚） 。 因为每次都是摸出 2 枚棋子 放回 1 枚棋子，所以每摸一次少 1 枚棋子，摸了 1999 次后，还剩 （枚）棋子。 从大盒内每次摸 2 枚棋子有 以下两种情况： （ 1）所摸到的两枚棋子是 同颜色的。此时从小盒内取一枚 黑棋子放入大盒内。当所摸两枚 棋子同是黑色，这时大盒内少了 一枚黑棋子；当所摸两枚棋子同 是白色，这时大盒内多了一枚黑 棋子。 （ 2）所摸到的两枚棋子是 不同颜色的，即一黑一白。这时 要把拿出的白棋子放回到大盒， 大盒内少了一枚黑棋子。 综合（1） （2） ，每摸一次， 大盒内的黑棋子总数不是少一 枚就是多一枚，即改变了黑棋子 数的奇偶性。 原来大盒内有 1000 枚即偶数枚黑棋子，摸了 1999次，即改变了 1999 次奇偶性后， 还剩奇数枚黑棋子。因为大盒内 只剩下 2 枚棋子，所以最后剩下 的两枚棋子是一黑一白。 例 6 一串数排成一行： 1， 1， 2，3，5，8，13，21，34，55，? 到这串数的第 1000 个数为 止，共有多少个偶数？ 分析与解：首先分析这串数 的组成规律和奇偶数情况。 1+1=2 ， 2+3=5 ， 3+5=8 ， 5+8=13，? 这串数的规律是，从第三项 起，每一个数等于前两个数的 和。根据奇偶数的加法性质，可 以得出这串数的奇偶性： 奇，奇，偶，奇，奇，偶， 奇，奇，偶，?? 容易看出， 这串数是按 “奇， 奇，偶”每三个数为一组周期变 化的。 1000 ÷3=333 ??1 ，这 串数的前 1000 个数有 333 组又 1 个数，每组的三个数中有 1 个偶 数，并且是第 3 个数，所以这串 数到第 1000 个数时，共有 333 个偶数。 练习 8 1. 在 11 ， 111 ， 1111 ， 11111 ，?这些数中，任何一个 数都不会是某一个自然数的平 方。这样说对吗？ 2.一本书由 17 个故事组成， 各个故事的篇幅分别是 1， 2， 3，?，17 页。这 17 个故事有各 种编排法，但无论怎样编排，故 事正文都从第 1 页开始，以后每 一个故事都从新一页码开始。如 果要求安排在奇数页码开始的 故事尽量少，那么最少有多少个 故事是从奇数页码开始的？ 3.桌子上放着 6 只杯子，其 中 3 只杯口朝上， 3 只杯口朝下。 如果每次翻转 5 只杯子，那么至 少翻转多少次，才能使 6 只杯子 都杯口朝上？ 4.70 个数排成一行，除了两 头的两个数以外，每个数的 3 倍 都恰好等于它两边的两个数的小学奥数基础教程（五年级）- 12 -和，这一行数的最左边的几个数 是这样的：0，1，3，8，21，? 问：最右边的一个数是奇数还是 偶数？ 5.学校组织运动会，小明领 回自己的运动员号码后，小玲问 他： “今天发放的运动员号码加 起来是奇数还是偶数？”小明 说： “除开我的号码，把今天发 的其它号码加起来，再减去我的 号码，恰好是 100。 ”今天发放的 运动员号码加起来，到底是奇数 还是偶数？ 6.在黑板上写出三个整数， 然后擦去一个换成所剩两数之 和，这样继续操作下去，最后得 到 88，66，99。问：原来写的三 个整数能否是 1，3，5？ 7.将 888 件礼品分给若干个 小朋友。问：分到奇数件礼品的 小朋友是奇数还是偶数？ 第 9 讲 奇偶性（三） 利用奇、偶数的性质，上两 讲已经解决了许多有关奇偶性 的问题。本讲将继续利用奇偶性 研究一些表面上似乎与奇偶性 无关的问题。 例 1 在 7×7 的正方形的方 格表中，以左上角与右下角所连 对角线为轴对称地放置棋子，要 求每个方格中放置不多于 1 枚棋 子，且每行正好放 3 枚棋子，则 在这条对角线上的格子里至少 放有一枚棋子，这是为什么？ 分析与解：题目说在指定的 这条对角线上的格子里必定至 少放有一枚棋子，假设这个说法 不对，即对角线上没放棋子。如 下图所示，因为题目要求摆放的 棋子以 MN 为对称轴，所以对于 MN 左下方的任意一格 A，总有 MN 右上方的一格 A＇ ， A 与 A＇ 关于 MN 对称，所以 A 与 A＇要 么都放有棋子，要么都没放棋 子。由此推知方格表中放置棋子 的总枚数应是偶数。而题设每行 放 3 枚棋子，7 行共放棋子 3× 7=21（枚） ，21 是奇数，与上面的推论矛盾。所以假设不成立， 即在指定的对角线上的格子中 必定至少有一枚棋子。成的长方形？例 2 对于左下表， 每次使其 中的任意两个数减去或加上同 一个数，能否经过若干次后（各 次减去或加上的数可以不同） ， 变 为 右 下 表 ？ 为 什 么 ？分析与解：因为每次有两个 数同时被加上或减去同一个数， 所以表中九个数码的总和经过 变化后，等于原来的总和加上或 减去那个数的 2 倍，因此总和的 奇偶性没有改变。原来九个数的 总和为 1+2+?+9=45，是奇数， 经过若干次变化后，总和仍应是 奇数，与右上表九个数的总和是 4 矛盾。 所以不可能变成右上表。 例 3 左下图是一套房子的 平面图，图中的方格代表房间， 每个房间都有通向任何一个邻 室的门。有人想从某个房间开 始，依次不重复地走遍每一个房 间，他的想法能实现吗？分析与解：将这 14 个小方 格黑白相间染色（见右上图） ， 有 8 个黑格，6 个白格。相邻两 个方格必然是一黑一白，如果能 剪裁成 7 个小长方形，那么 14 个格应当是黑、白各 7 个，与实 际情况不符，所以不能剪裁成 7 个由相邻两个方格组成的长方 形。 例 5 在右图的每个○中填 入一个自然数（可以相同） ，使 得任意两个相邻的○中的数字 之差（大数减小数）恰好等于它 们之间所标的数字。能否办到？ 为什么？分析与解：假定图中 5 与 1 之间的○中的数是奇数，按顺时 针加上或减去标出的数字，依次 得到各个○中的数的奇偶性如 下：分析与解：如右上图所示， 将相邻的房间黑、白相间染色。 无论从哪个房间开始走，因为总 是黑白相间地走过各房间，所以 走过的黑、 白房间数最多相差 1。 而右上图有 7 黑 5 白，所以不可 能不重复地走遍每一个房间。 例 4 左下图是由 14 个大小 相同的方格组成的图形。试问能 不能剪裁成 7 个由相邻两方格组因为上图两端是同一个○ 中的数，不可能既是奇数又是偶 数，所以 5 与 1 之间的○中的数 不是奇数。 同理，假定 5 与 1 之间的○ 中的数是偶数，也将推出矛盾。 所以，题目的要求办不到。 例 6 下页上图是半张中国 象棋盘，棋盘上已放有一只马。 众所周知，马是走“日”字的。 请问：这只马能否不重复地走遍 这半张棋盘上的每一个点，然后 回到出发点？小学奥数基础教程（五年级）- 13 -分析与解：马走“日”字， 在中国象棋盘上走有什么规律 呢？ 为方便研究规律，如下图所 示，先在棋盘各交点处相间标上 ○和●，图中共有 22 个○和 23 个●。因为马走“日”字，每步 只能从○跳到●，或由●跳到 ○，所以马从某点跳到同色的点 （指○或●） ，要跳偶数步；跳 到不同色的点，要跳奇数步。现 在马在○点，要跳回这一点，应 跳偶数步，可是棋盘上共有 23+22=45（个）点，不可能做到 不重复地走遍所有的点后回到 出发点。学交换座位。问：能不能换成？ 为什么？ 2.房间里有 5 盏灯，全部关 着。每次拉两盏灯的开关，这样 做若干次后，有没有可能使 5 盏 灯全部是亮的？ 3.左下图是由 40 个小正方 形组成的图形，能否将它剪裁成 20 个相同的长方形？讨论：如果马的出发点不是 在○点上而是在●点上，那么这 只马能不能不重复地走遍这半 张棋盘上的每个点，最后回到出 发点上呢？按照上面的分析，显 然也是不可能的。但是如果放弃 “回到出发点”的要求，那么情 况就不一样了。从某点出发，跳 遍半张棋盘上除起点以外的其 它 44 点， 要跳 44 步， 44 是偶数， 所以起点和终点应是同色的点 （指○或●） 。因为 44 步跳过的 点○与点●各 22 个，所以起点 必是●， 终点也是●。 也就说是， 当不要求回到出发点时，只要从 ●出发，就可以不重复地走遍半 张棋盘上的所有点。 练习 9 1.教室里有 5 排椅子，每排 5 张，每张椅子上坐一个学生。 一周后，每个学生都必须和他相 邻（前、后、左、右）的某一同4.一个正方形果园里种有 48 棵果树，加上右下角的一间小 屋，整齐地排列成七行七列（见 右上图） 。守园人从小屋出发经 过每一棵树，不重复也不遗漏 （不许斜走） ，最后又回到小屋。 可以做到吗？ 5.红光小学五年级一次乒乓 球赛，共有男女学生 17 人报名 参加。为节省时间不打循环赛， 而采取以下方式：每人只打 5 场 比赛，每两人之间用抽签的方法 决定只打一场或不赛。然后根据 每人得分决定出前 5 名。这种比 赛方式是否可行？ 6.如下图所示，将 1～12 顺 次排成一圈。如果报出一个数 a （在 1～12 之间） ， 那么就从数 a 的位置顺时针走 a 个数的位置。 例如 a=3，就从 3 的位置顺时针 走 3 个数的位置到达 6 的位置； a=11，就从 11 的位置顺时针走 11 个数的位置到达 10 的位置。 问：a 是多少时，可以走到 7 的 位置？整除的自然数，这类数只有一 个，就是 1。 第二类：只能被两个不同的 自然数整除的自然数。因为任何 自然数都能被 1 和它本身整除， 所以这类自然数的特征是大于 1，且只能被 1 和它本身整除。 这类自然数叫质数（或素数） 。 例如，2，3，5，7，? 第三类：能被两个以上的自 然数整除的自然数。这类自然数 的特征是大于 1，除了能被 1 和 它本身整除外，还能被其它一些 自然数整除。这类自然数叫合 数。例如，4，6，8，9，15，? 上面的分类方法将自然数 分为质数、合数和 1，1 既不是 质数也不是合数。 例 1 1～100 这 100 个自然数 中有哪些是质数？ 分析与解：先把前 100 个自 然数写出来，得下表：第 10 讲 质数与合数 自然数按照能被多少个不 同的自然数整除可以分为三类： 第一类：只能被一个自然数1 既不是质数也不是合数。 2 是质数，留下来，后面凡 能被 2 整除的数都是合数，都划 去； 3 是质数，留下来，后面凡 能被 3 整除的数都是合数，都划 去； 类似地，把 5 留下来，后面 凡是 5 的倍数的数都划去； 把 7 留下来，后面凡是 7 的 倍数的数都划去。 经过以上的筛选，划去的都 是合数，余下 26 个数，除 1 外， 剩下的 25 个都是质数。这样， 我们便得到了 100 以内的质数 表： 2，3，5，7，11，13，17，小学奥数基础教程（五年级）- 14 -19，23，29，31，37，41， 43，47，53，59，61，67， 71，73，79，83，89，97。 这些质数同学们应当熟记！ 细心的同学可能会注意到， 以上只划到 7 的倍数，为什么不 继续划去 11，13，?的倍数呢？ 事实上，这些倍数已包含在已划 去的倍数中。例如，100 以内 11 的倍数应该是 11×A≤100（其中 A 为整 数） ，显然，A 只能取 2，3，4，5， 6，7，8，9。因为 4=22，6=2×3， 8=23，9=32，所以 A 必是 2，3， 5，7 之一的倍数。由此推知，11 的倍数已全部包含在 2，3，5，7 的倍数中，已在前面划去了。 要判断一个数 N 是质数还是 合数，根据合数的定义，只要用 从小到大的自然数 2，3，4，5， 6，7，8，?，N-1 去除 N，其中 只要有一个自然数能整除 N，N 就是合数，否则就是质数。但这 样太麻烦，因为除数太多。能不 能使试除的数少一点呢？由例 1 知，只要用从小到大的质数去除 N 就可以了。例 2 给出的判别方 法，可以使试除的数进一步减 少。 例 2 判断 269，437 两个数 是合数还是质数。 分析与解：对于一个不太大 的数 N，要判断它是质数还是合 数， 可以先找出一个大于 N 且最 接近 N 的平方数 K2，再写出 K 以内的所有质数。如果这些质数 都不能整除 N，那么 N 是质数； 如果这些质数中有一个能整除 N，那么 N 是合数。 因为 269＜172=289。17 以 内质数有 2，3，5，7，11，13。 根据能被某些数整除的数的特 征，个位数是 9，所以 269 不能 被 2，5 整除；2+6+9=17，所以 269 不能被 3 整除。经逐一判断或试除知，这 6 个质数都不能整 除 269，所以 269 是质数。 因为 437＜212=441。21 以 内的质数有 2，3，5，7，11，13， 17，19。容易判断 437 不能被 2， 3，5，7，11 整除，用 13，17， 19 试除 437，得到 437÷19=23， 所以 437 是合数。 对比一下几种判别质数与 合数的方法，可以看出例 2 的方 法的优越性。判别 269，用 2～ 268 中所有的数试除，要除 267 个数；用 2～268 中的质数试除， 要除 41 个数；而用例 2 的方法， 只要除 6 个数。 例 3 判断数 1 是质数还是合数？ 分析与解：按照例 2 的方法 判别这个 13 位数是质数还是合 数，当然是很麻烦的事，能不能 想出别的办法呢？根据合数的 意义，如果一个数能够写成两个 大于 1 的整数的乘积，那么这个 数是合数。 根据整数的意义，这个 13 位数可以写成： 1 =0+11111×（） =00001。 由 上 式 知 ， 111111 和 1000001 都 能 整 除 1 ， 所 以 1 是合数。 这道例题又给我们提供了 一种判别一个数是质数还是合 数的方法。 例 4 判定 298+1 和 298+3 是 质数还是合数？ 分析与解：这道题要判别的 数很大，不能直接用例 1、例 2 的方法。我们在四年级学过 an 的个位数的变化规律，以及 an 除以某自然数的余数的变化规 律。 2n 的个位数随着 n 的从小到 大，按照 2，4，8，6 每 4 个一 组循环出现，98÷4=24?? 2， 所以 298 的个位数是 4， （298+1）的个位数是 5，能被 5 整除，说 明（298+1）是合数。 （298+3）是奇数，不能被 2 整除； 298 不能被 3 整除，所以 （ 298+3 ） 也 不 能 被 3 整 除 ； （298+1）能被 5 整除， （298+3） 比（298+1）大 2，所以（298+3） 不能被 5 整除。再判断（298+3） 能否被 7 整除。首先看看 2n÷7 的余数的变化规律：因为 98÷3 的余数是 2，从 上表可知 298 除以 7 的余数是 4， （298+3） 除以 7 的余数是 4+3=7， 7 能被 7 整除，即（298+3）能被 7 整除，所以（298+3）是合数。 例 5 已知 A 是质数， （A+10） 和（A+14）也是质数，求质数 A。 分析与解：从最小的质数开 始试算。 A=2 时，A+10=12，12 是合 数不是质数，所以 A≠2。 A=3 时，A+10=13，是质数； A+14=17 也是质数，所以 A 等于 3 是所求的质数。 A 除了等于 3 外，还可以是 别的质数吗？因为质数有无穷 多个，所以不可能一一去试，必 须采用其它方法。 A， （A+1） ， （A+2）除以 3 的 余 数 各 不 相 同 ， 而 （ A+1 ） 与 （ A+10 ）除以 3 的余数相同， （A+2）与（A+14）除以 3 的余 数相同， 所以 A， （A+10） ， （A+14） 除以 3 的余数各不相同。因为任 何自然数除以 3 只有整除、 余 1、 余 2 三种情况，所以在 A， （A+10） ， （A+14）中必有一个能 被 3 整除。能被 3 整除的质数只 有 3，因为（A+10） ， （A+14）都 大于 3，所以 A=3。也就是说， 本题唯一的解是 A=3。 练习 10 1.现有 1，3，5，7 四个数字。 （ 1）用它们可以组成哪些两位 数的质数（数字可以重复使小学奥数基础教程（五年级）- 15 -用）？ （ 2）用它们可以组成哪些各位 数字不相同的三位质数？ 2.a，b，c 都是质数，a＞b＞c， 且 a×b+c=88，求 a，b，c。 3.A 是一个质数， 而且 A+6， A+8， A+12， A+14 都是质数。 试求出所 有满足要求的质数 A。5.试说明：两个以上的连续 自然数之和必是合数。 6. 判断 266+388 是不是质 数。 7.把一个一位数的质数 a 写 在另一个两位数的质数 b 后边， 得到一个三位数，这个三位数是 a 的 87 倍，求 a 和 b。 第 11 讲 分解质因数 自然数中任何一个合数都 可以表示成若干个质因数乘积 的形式，如果不考虑因数的顺 序，那么这个表示形式是唯一 的。把合数表示为质因数乘积的 形式叫做分解质因数。 例 如 ， 60=22 × 3 × 5 ， ×37。 例 1 一个正方体的体积是 13824 厘米 3，它的表面积是多 少？ 分析与解：正方体的体积是 “棱长×棱长×棱长” ，现在已 知正方体的体积是 13824 厘米 3， 若能把 13824 写成三个相同的数 相乘，则可求出棱长。为此，我 们先将 13824 分解质因数：×6=3456（厘米 2） 。 例 2 学区举行团体操表演， 有 1430 名学生参加，分成人数 相等的若干队，要求每队人数在 100 至 200 之间， 共有几种分法？ 分析与解：按题意，每队人 数×队数=1430，每队人数在 100 至 200 之间，所以问题相当于求 1430 有多少个在 100 至 200 之间 的约数。为此，先把 1430 分解 质因数，得 ×11×13。 从这四个质数中选若干个， 使其乘积在 100 到 200 之间，这 是每队人数，其余的质因数之积 便是队数。 2×5×11=110，13； 2×5×13=130，11； 11×13=143，2×5=10。 所以共有三种分法，即分成 13 队，每队 110 人；分成 11 队， 每队 130 人；分成 10 队，每队 143 人。 例 3 1×2×3×…×40 能 否 被 90909 整除？ 分析与解：首先将 90909 分 解质因数，得 ×13 ×37。 因为 33（=27） ，7，13，37 都在 1～40 中， 所以 1×2×3×…×40 能被 90909 整除。 例 4 求 72 有多少个不同的 约数。 分析与解：将 72 分解质因 数得到 72=23×32。 根据 72 的约 数含有 2 和 3 的个数，可将 72 的约数列表如下：把这些因数分成三组，使每 组因数之积相等，得 13824=（23 ×3）×（23×3）×（23×3） ， 于是， 得到棱长是 23×3=24 （厘米） 。所求表面积是 24×24上表中，第三、四行的数字 分别是第二行对应数字乘以 3 和 32，第三、四、五列的数字分别 是第二列对应数字乘以 2，22 和 23。对比 72=23×32，72 的任何 一个约数至多有两个不同质因 数：2 和 3。因为 72 有 3 个质因数 2，所以在某一个约数的质因 数中， 2 可能不出现或出现 1 次、 出现 2 次、出现 3 次，这就有 4 种情况；同理，因为 72 有两个 质因数 3，所以 3 可能不出现或 出现 1 次、出现 2 次，共有 3 种 情况。 根据乘法原理， 72 的不同约 数共有 4×3=12（个） 。 从例 4 可以归纳出求自然数 N 的所有不同约数的个数的方 法： 一个大于 1 的自然数 N 的约 数个数，等于它的质因数分解式 中每个质因数的个数加 1 的连乘 积。 例如，×72，因 为 2352 的质因数分解式中有 4 个 2，1 个 3，2 个 7，所以 2352 的不同约数有 （4+1）×（1+1）×（2+1） =30（个） ； 又如，×52×7， 所以 9450 的不同的约数有 （ 1+1 ）×（3+1 ）×（2+1 ）× （1+1）=48（个） 。 例 5 试求不大于 50 的所有 约数个数为 6 的自然数。 分析与解：这是求一个数的 约数个数的逆问题，因此解题方 法正好与例 4 相反。 因为这个数有六个约数， 6=5+1=（2+1）×（1+1） ，所以， 当这个数只有一个质因数 a 时， 这个数是 a5； 当这个数有两个质 因数 a 和 b 时， 这个数是 a2×b。 因为这个数不大于 50， 所以对于 a5，只有 a=2，即 25=32；对于 a2×b，经试算得到，22×3=12， 22 × 5=20 ， 22 × 7=28 ， 22 × 11=44 ，32 ×2=18 ，32 ×5=45， 52×2=50。 所以满足题意的数有八个： 32，12，20，28，44，18，45， 50。 练习 11 1.一个长方体，它的正面和 上面的面积之和是 209 分米 2， 如果它的长、宽、高都是质数，小学奥数基础教程（五年级）- 16 -那么这个长方体的体积是多少 立方分米？ 2.爷孙两人今年的年龄的乘 积是 693，4 年前他们的年龄都 是质数。爷孙两人今年的年龄各 是多少岁？ 3.某车间有 216 个零件，如 果平均分成若干份，分的份数在 5 至 20 之间，那么有多少种分 法？ 4.小英参加小学数学竞赛， 她说： “我得的成绩和我的岁数 以及我得的名次乘起来是 3916， 满分是 100 分。 ”能否知道小英 的年龄、考试成绩及名次？ 5.举例回答下面各问题： （1） 两个质数的和仍是质数吗？ （2）两个质数的积能是质数 吗？ （3）两个合数的和仍是合数 吗？ （ 4）两个合数的差（大数减小 数）仍是合数吗？ （ 5）一个质数与一个合数的和 是质数还是合数？ 6.求不大于 100 的约数最多 的自然数。 7.同学们去射箭，规定每射 一箭得到的环数或者是“0” （脱 靶）或者是不超过 10 的自然数。 甲、乙两同学各射 5 箭，每人得 到的总环数之积刚好都是 1764， 但是甲的总环数比乙少 4 环。求 甲、乙各自的总环数。 第 12 讲 最大公约数与最小公 倍数（一） 如果一个自然数 a 能被自然 数 b 整除， 那么称 a 为 b 的倍数， b 为 a 的约数。 如果一个自然数同时是若 干个自然数的约数，那么称这个 自然数是这若干个自然数的公 约数。在所有公约数中最大的一 个公约数，称为这若干个自然数 的 最 大 公 约 数 。 自 然 数 a1 ， a2，?，an 的最大公约数通常用 符号（a1，a2，?，an）表示， 例如， （8，12）=4， （6，9，15）=3。 如果一个自然数同时是若 干个自然数的倍数，那么称这个 自然数是这若干个自然数的公 倍数。在所有公倍数中最小的一 个公倍数，称为这若干个自然数 的 最 小 公 倍 数 。 自 然 数 a1 ， a2，?，an 的最小公倍数通常用 符号 [a1， a2，?， an]表示，例 如[8，12]=24，[6，9，15]=90。 常用的求最大公约数和最 小公倍数的方法是分解质因数 法和短除法。 例 1 用 60 元钱可以买一级 茶叶 144 克，或买二级茶叶 180 克，或买三级茶叶 240 克。现将 这三种茶叶分别按整克数装袋， 要求每袋的价格都相等，那么每 袋的价格最低是多少元钱？ 分析与解：因为 144 克一级 茶叶、180 克二级茶叶、240 克 三级茶叶都是 60 元，分装后每 袋的价格相等，所以 144 克一级 茶叶、180 克二级茶叶、240 克 三级茶叶，分装的袋数应相同， 即分装的袋数应是 144， 180， 240 的公约数。题目要求每袋的价格 尽量低，所以分装的袋数应尽量 多，应是 144，180，240 的最大 公约数。498-450=48 ， 450-414=36 ， 498-414=84。 所求数是 （48， 36， 84） =12。 例 3 现有三个自然数， 它们 的和是 1111， 这样的三个自然数 的公约数中，最大的可以是多 少？ 分析与解：只知道三个自然 数的和，不知道三个自然数具体 是几，似乎无法求最大公约数。 只能从唯一的条件“它们的和是 1111”入手分析。三个数的和是 1111， 它们的公约数一定是 1111 的约数。因为 ，它 的约数只能是 1， 11， 101 和 1111， 由于三个自然数的和是 1111， 所 以三个自然数都小于 1111， 1111 不可能是三个自然数的公约数， 而 101 是可能的，比如取三个数 为 101，101 和 909。所以所求数 是 101。 例 4 在一个 30×24 的方格 纸上画一条对角线（见下页上 图） ，这条对角线除两个端点外， 共经过多少个格点（横线与竖线 的交叉点）？所以（144， 180 ，240 ）=2 ×2×3=12，即每 60 元的茶叶分 装成 12 袋，每袋的价格最低是 60÷12=5（元） 。 为节约篇幅，除必要时外， 在求最大公约数和最小公倍数 时，将不再写出短除式。 例 2 用自然数 a 去除 498， 450 ，414 ，得到相同的余数， a 最大是多少？ 分析与解：因为 498，450， 414 除以 a 所得的余数相同，所 以它们两两之差的公约数应能 被 a 整除。分析与解： （ 30， 24） =6，说 明如果将方格纸横、竖都分成 6 份，即分成 6×6 个相同的矩形， 那么每个矩形是由（ 30÷6 ）× （24÷6）=5×4（个） 小方格组成。在 6×6 的简 化图中，对角线也是它所经过的 每一个矩形的对角线，所以经过 5 个格点（见左下图） 。在对角线 所经过的每一个矩形的 5×4 个 小方格中，对角线不经过任何格 点（见右下图） 。小学奥数基础教程（五年级）- 17 -所以，对角线共经过格点 （30，24）-1=5（个） 。 例 5 甲、乙、丙三人绕操场 竞走， 他们走一圈分别需要 1 分、 1 分 15 秒和 1 分 30 秒。三人同 时从起点出发，最少需多长时间 才能再次在起点相会？ 分析与解：甲、乙、丙走一 圈分别需 60 秒、75 秒和 90 秒， 因为要在起点相会，即三人都要 走整圈数，所以需要的时间应是 60，75，90 的公倍数。所求时间 为[60， 75， 90]=900 （秒） =15 （分） 。 例 6 爷爷对小明说： “我现 在的年龄是你的 7 倍，过几年是 你的 6 倍，再过若干年就分别是 你的 5 倍、4 倍、3 倍、2 倍。 ” 你知道爷爷和小明现在的年龄 吗？ 分析与解：爷爷和小明的年 龄随着时间的推移都在变化，但 他们的年龄差是保持不变的。爷 爷的年龄现在是小明的 7 倍，说 明他们的年龄差是 6 的倍数；同 理，他们的年龄差也是 5，4，3， 2，1 的倍数。由此推知，他们的 年龄差是 6，5，4，3，2 的公倍 数。 [6，5，4，3，2]=60， 爷爷和小明的年龄差是 60 的整 数倍。考虑到年龄的实际情况， 爷爷与小明的年龄差应是 60 岁。 所以现在 小明的年龄=60÷ （7-1） =10 （岁） ， 爷爷的年龄=10×7=70（岁） 。 练习 12 1.有三根钢管，分别长 200 厘米、240 厘米、360 厘米。现 要把这三根钢管截成尽可能长 而且相等的小段，一共能截成多 少段？ 2.两个小于 150 的数的积是2028，它们的最大公约数是 13， 求这两个数。 3.用 1～9 这九个数码可以 组成 362880 个没有重复数字的 九位数，求这些数的最大公约 数？ 4.大雪后的一天，亮亮和爸 爸从同一点出发沿同一方向分 别步测一个圆形花圃的周长。亮 亮每步长 54 厘米，爸爸每步长 72 厘米， 由于两个人的脚印有重 合，所以雪地上只留下 60 个脚 印。问：这个花圃的周长是多少 米？ 5.有一堆桔子，按每 4 个一 堆分少 1 个，按每 5 个一堆分也 少 1 个，按每 6 个一堆分还是少 1 个。这堆桔子至少有多少个？ 6.某公共汽车站有三条线路 的公共汽车。第一条线路每隔 5 分钟发车一次，第二、三条线路 每隔 6 分钟和 8 分钟发车一次。 9 点时三条线路同时发车，下一 次同时发车是什么时间？ 7.四个连续奇数的最小公倍 数是 6435，求这四个数。 第 13 讲 最大公约数与最小公 倍数（二） 这一讲主要讲最大公约数 与最小公倍数的关系，并对最大 公约数与最小公倍数的概念加 以推广。 在求 18 与 12 的最大公约数 与最小公倍数时，由短除法可知， （18，12）=2×3=6， [18，12]=2 ×3×3×2=36。如果 把 18 与 12 的最大公约数与最小 公倍数相乘，那么 （18，12）×[18，12] =（2×3）×（2×3×3×2） =（2×3×3）×（2×3×2） =18×12。 也就是说，18 与 12 的最大 公约数与最小公倍数的乘积，等 于 18 与 12 的乘积。当把 18，12换成其它自然数时，依然有类似 的结论。从而得出一个重要结 论： 两个自然数的最大公约数 与最小公倍数的乘积，等于这两 个自然数的乘积。即， （a，b）×[a，b]=a×b。 例 1 两个自然数的最大公 约数是 6，最小公倍数是 72。已 知其中一个自然数是 18， 求另一 个自然数。 解：由上面的结论，另一个 自然数是（6×72）÷18=24。 例 2 两个自然数的最大公 约数是 7，最小公倍数是 210。 这两个自然数的和是 77， 求这两 个自然数。 分析与解：如果将两个自然 数都除以 7，则原题变为： “两个 自然数的最大公约数是 1，最小 公倍数是 30。 这两个自然数的和 是 11，求这两个自然数。 ” 改变以后的两个数的乘积 是 1×30=30，和是 11。 30=1 × 30=2 × 15=3 × 10=5 ×6， 由上式知，两个因数的和是 11 的只有 5×6，且 5 与 6 互质。 因此改变后的两个数是 5 和 6， 故原来的两个自然数是 7×5=35 和 7×6=42。 例 3 已知 a 与 b，a 与 c 的 最大公约数分别是 12 和 15，a， b，c 的最小公倍数是 120，求 a， b，c。 分析与解：因为 12，15 都 是 a 的约数，所以 a 应当是 12 与 15 的公倍数， 即是[12， 15]=60 的倍数。再由[a，b，c]=120 知， a 只能是 60 或 120。[a，c]=15， 说明 c 没有质因数 2，又因为[a， b， c]=120=23×3×5， 所以 c=15。 因为 a 是 c 的倍数，所以求 a，b 的问题可以简化为： “a 是 60 或 120， （a， b） =12， [a， b]=120， 求 a，b。 ” 当 a=60 时， b=（a，b）×[a，b]÷a小学奥数基础教程（五年级）- 18 -=12×120÷60=24； 当 a=120 时， b=（a，b）×[a，b]÷a =12×120÷120=12。 所以 a，b，c 为 60，24，15 或 120，12，15。的最小公倍数 a； （ 3）求出各个分数的分子 的最大公约数 b； 同理，黄鼠狼掉进陷井时与 起点的距离为要将它们全部分别装入小 瓶中，每个小瓶装入液体的重量 相同。问：每瓶最多装多少千 克？ 分析与解：如果三种溶液的 重量都是整数，那么每瓶装的重 量就是三种溶液重量的最大公 约数。现在的问题是三种溶液的 重量不是整数。要解决这个问 题，可以将重量分别乘以某个 数，将分数化为整数，求出数值 后，再除以这个数。为此，先求 几个分母的最小公倍数，[6，4， 9]=36 ，三种溶液的重量都乘以 36 后，变为 150，135 和 80， （150，135，80）=5。 上式说明，若三种溶液分别 重 150，135，80 千克，则每瓶 最多装 5 千克。可实际重量是 150，135，80 的 1/36，所以每瓶 最多装类似地，我们也可以将最小 公倍数的概念推广到分数中。 如果某个分数（或整数）同 时是若干个分数（含整数）的整 数倍，那么称这个分数是这若干 个分数的公倍数。在所有公倍数 中最小的一个公倍数，称为这若 干个分数的最小公倍数。 求一组分数的最小公倍数 的方法： （1）先将各个分数化为假分数； （ 2）求出各个分数的分子的最 小公倍数 a； （ 3）求出各个分数的分母的最 大公约数 b；所以黄鼠狼掉进陷井时跳 了 31 1/2÷6 3/10=5（次） 。 黄鼠狼先掉进陷井，它掉进 陷井时，狐狸跳了练习 13 1.将 72 和 120 的乘积写成它 们的最大公约数和最最小公倍 数的乘积的形式。 2.两个自然数的最大公约数 是 12，最小公倍数是 72。满足 条件的自然数有哪几组？ 3.求下列各组分数的最大公 约数：4.求下列各组分数的最小公倍 数：在例 4 中，出现了与整数的 最大公约数类似的分数问题。为 此，我们将最大公约数的概念推 广到分数中。 如果若干个分数（含整数） 都是某个分数的整数倍，那么称 这个分数是这若干个分数的公 约数。在所有公约数中最大的一 个公约数，称为这若干个分数的 最大公约数。 由例 4 的解答，得到求一组 分数的最大公约数的方法： （ 1）先将各个分数化为假 分数； （ 2）求出各个分数的分母一个陷井。它们之中谁先掉进陷 井？它掉进陷井时另一个跳了 多远？ 部分别装入小瓶中，每个小瓶装 入液体的重量相同。问：最少要 装多少瓶？小学奥数基础教程（五年级）- 19 -于同一处只有一次，求圆形绿地 的周长。 第 14 讲 余数问题 在整数的除法中，只有能整 除与不能整除两种情况。当不能 整除时，就产生余数，所以余数 问题在小学数学中非常重要。 余数有如下一些重要性质 （a，b，c 均为自然数） ： （1）余数小于除数。 （2）被除数= 除数×商 +余 数； 除数=（被除数-余数）÷商； 商=（被除数-余数）÷除数。 （3）如果 a，b 除以 c 的余 数相同，那么 a 与 b 的差能被 c 整除。例如，17 与 11 除以 3 的 余数都是 2，所以 17-11 能被 3 整除。 （4）a 与 b 的和除以 c 的余 数， 等于 a， b 分别除以 c 的余数 之和（或这个和除以 c 的余数） 。 例如，23，16 除以 5 的余数分别 是 3 和 1，所以（23+16）除以 5 的余数等于 3+1=4。注意：当余 数之和大于除数时，所求余数等 于余数之和再除以 c 的余数。例 如，23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以（23+19）除以 5 的 余数等于（3+4）除以 5 的余数。 （5）a 与 b 的乘积除以 c 的 余数， 等于 a， b 分别除以 c 的余 数之积（或这个积除以 c 的余 数） 。例如，23，16 除以 5 的余 数分别是 3 和 1，所以（23×16） 除以 5 的余数等于 3×1=3。 注意： 当余数之积大于除数时，所求余 数等于余数之积再除以 c 的余数。例如，23，19 除以 5 的余数 分别是 3 和 4，所以（23×19） 除以 5 的余数等于（3×4）除以 5 的余数。 性质（4 ） （5）都可以推广 到多个自然数的情形。 例 1 5122 除以一个两位数 得到的余数是 66，求这个两位 数。 分析与解：由性质（2）知， 除数×商=被除数-余数。 6， 5056 应是除数的整数倍。 将 5056 分解质因数，得到 。 由性质（1 ）知，除数应大 于 66，再由除数是两位数，得到 除数在 67～99 之间，符合题意 的 5056 的约数只有 79，所以这 个两位数是 79。 例 2 被除数、除数、商与余 数之和是 2143，已知商是 33， 余数是 52，求被除数和除数。 解：因为被除数=除数×商+ 余数 =除数×33+52， 被除数=2143-除数-商-余数 =2143-除数-33-52 =2058-除数， 所以 除数×33+52=2058-除 数， 所以 除数 = （ 2058-52 ）÷ 34=59， 被除数=9。 答：被除数是 1999，除数是 59。 例 3 甲、乙两数的和是 1088， 甲数除以乙数商 11 余 32， 求甲、乙两数。 解：因为 甲=乙×11+32， 所以 甲 +乙 = 乙× 11+32+ 乙 =乙×12+32=1088， 所 以 乙 = （ 1088-32 ） ÷ 12=88， 甲=1088-乙=1000。 答：甲数是 1000 ，乙数是 88。 例 4 有一个整数， 用它去除70，110，160 得到的三个余数之 和是 50。求这个数。 分析与解：先由题目条件， 求出这个数的大致范围。 因为 50 ÷ 3=16 ?? 2，所以三个余数中 至少有一个大于 16， 推知除数大 于 16。 由三个余数之和是 50 知， 除数不应大于 70 ，所以除数在 17～70 之间。 由 题 意 知 （ 7+110+160 ） -50=290 应能被这个数整除。将 290 分解质因数，得到 290=2×5 ×29， 290 在 17～70 之间的约数 有 29 和 58。 因为 110 ÷ 58=1 ?? 52 ＞ 50，所以 58 不合题意。所求整 数是 29。 例 5 求 478×296×351 除以 17 的余数。 分析与解：先求出乘积再求 余数，计算量较大。根据性质 （5） ，可先分别计算出各因数除 以 17 的余数，再求余数之积除 以 17 的余数。 478，296，351 除以 17 的余 数分别为 2， 7 和 11， （2×7×11） ÷17=9??1。 所求余数是 1。 例 6 甲、 乙两个代表团乘车 去参观，每辆车可乘 36 人。两 代表团坐满若干辆车后，甲代表 团余下的 11 人与乙代表团余下 的成员正好又坐满一辆车。参观 完，甲代表团的每个成员与乙代 表团的每个成员两两合拍一张 照片留念。 如果每个胶卷可拍 36 张照片，那么拍完最后一张照片 后，相机里的胶卷还可拍几张照 片？ 分析与解：甲代表团坐满若 干辆车后余 11 人，说明甲代表 团的人数（简称甲数）除以 36 余 11； 两代表团余下的人正好坐 满一辆车，说明乙代表团余 36-11=25（人） ， 即乙代表团的人 数（简称乙数）除以 36 余 25； 甲代表团的每个成员与乙代表 团的每个成员两两合拍一张照小学奥数基础教程（五年级）- 20 -片，共要拍“甲数×乙数”张照 片，因为每个胶卷拍 36 张，所 以最后一个胶卷拍的张数，等于 “甲数×乙数”除以 36 的余数。 因为甲数除以 36 余 11，乙 数除以 36 余 25，所以“甲数× 乙数”除以 36 的余数等于 11× 25 除以 36 的余数。 （11×25）÷36=7??23， 即最后一个胶卷拍了 23 张， 还可拍 36-23=13（张） 。 由例 6 看出，将实际问题转 化为我们熟悉的数学问题，有助 于我们思考解题。 练习 14 1.今天是星期六，再过 1000 天是星期几？ 2.已知两个自然数 a 和 b（a ＞b） ，已知 a 和 b 除以 13 的余 数分别是 5 和 9，求 a+b，a-b，a ×b，a2-b2 各自除以 13 的余数。 3.2100 除以一个两位数得到 的余数是 56，求这个两位数。 4.被除数、除数、商与余数 之和是 903，已知除数是 35，余 数是 2，求被除数。 5. 用一个整数去除 345 和 543 所得的余数相同，且商相差 9，求这个数。 6. 有一个整数， 用它去 除 312，231，123 得到的三个余数 之和是 41，求这个数。 7.2000 年五月有 5 个星期 三、4 个星期四，这个月的一日 是星期几？ 第 15 讲 孙子问题与逐步约束法 在古书《孙子算经》中有一 道题： “今有物不知其数，三三 数之剩二，五五数之剩三，七七 数之剩二， 问物几何？” 意思是： 有一堆物品，三个三个数剩两 个，五个五个数剩三个，七个七 个数剩两个。求这堆物品的个 数。 我们称这类问题为孙子问题。 例 1 一个数除以 3 余 2，除 以 5 余 3，除以 7 余 2。求满足 条件的最小自然数。分析与解：这道例题就是 《孙子算经》中的问题。这个问 题有三个条件，一下子不好解 答。那么，我们能不能通过先求 出满足其中一个条件的数，然后 再逐步增加条件，达到最终解决 问题的目的呢？我们试试看。 满足“除以 3 余 2”的数， 有 2，5，8，11，14，17，? 在上面的数中再找满足“除 以 5 余 3”的数，可以找到 8，8 是同时满足“除以 3 余 2” 、 “除 以 5 余 3”两个条件的数，容易 知道， 8 再加上 3 与 5 的公倍数， 仍然满足这两个条件，所以满足 这两个条件的数有 8，23，38，53，68，? 在上面的数中再找满足“除 以 7 余 2”的数，可以找到 23， 23 是同时满足 “除以 3 余 2” “除 、 以 5 余 3” 、 “除以 7 余 2”三个 条件的数。23 再加上或减去 3， 5，7 的公倍数，仍然满足这三个 条件，[3，5，7]=105 ，因为 23 ＜ 105，所以满足这三个条件的 最小自然数是 23。 在例 1 中，若找到的数大于 [3，5，7]，则应当用找到的数减 去[3，5，7]的倍数，使得差小于 [3，5，7]，这个差即为所求的最 小自然数。 例 2 求满足除以 5 余 1，除 以 7 余 3，除以 8 余 5 的最小的 自然数。 分析与解：与例 1 类似，先 求出满足“除以 5 余 1”的数， 有 6， 11， 16， 21， 26， 31， 36， ? 在上面的数中，再找满足 “除以 7 余 3”的数，可以找到 31。 同时满足 “除以 5 余 1” 、 “除 以 7 余 3”的数，彼此之间相差 5×7=35 的倍数，有 31， 66，101， 136，171， 206，? 在上面的数中，再找满足 “除以 8 余 5”的数，可以找到 101。因为 101＜[5，7，8]=280， 所以所求的最小自然数是 101。在例 1、例 2 中，各有三个 约束条件，我们先解除两个约束 条件，求只满足一个约束条件的 数，然后再逐步加上第二个、第 三个约束条件，最终求出了满足 全部三个约束条件的数。这种先 放宽条件，再逐步增加条件的解 题方法，叫做逐步约束法。 例 3 在 10000 以内，除以 3 余 2，除以 7 余 3，除以 11 余 4 的数有几个？ 解：满足“除以 3 余 2”的 数有 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， ? 再满足“除以 7 余 3”的数 有 17，38，59，80，101，? 再满足“除以 11 余 4”的数 有 59。 因为阳[3，7，11]=231 ，所 以符合题意的数是以 59 为首项， 公 差 是 231 的 等 差 数 列 。 （10000-59） ÷231=43??8， 所 以在 10000 以内符合题意的数共 有 44 个。 例 4 求满足除以 6 余 3，除 以 8 余 5，除以 9 余 6 的最小自 然数。 分析与解：如果给所求的自 然数加 3， 所得数能同时被 6， 8， 9 整除，所以这个自然数是 [6，8，9]-3=72-3=69。 例 5 学校要安排 66 名新生 住宿，小房间可以住 4 人，大房 间可以住 7 人，需要多少间大、 小房间，才能正好将 66 名新生 安排下？ 分析与解：设需要大房间 x 间， 小房间 y 间， 则有 7x+4y=66。 这个方程有两个未知数，我 们没有学过它的解法，但由 4y 和 66 都是偶数，推知 7x 也是偶 数，从而 x 是偶数。 当 x=2 时，由 7×2+4y=66 解得 y=13，所以 x=2，y=13 是一 个解。 因为当 x 增大 4，y 减小 7 时，7x 增大 28，4y 减小 28，所 以对于方程的一个解 x=2， y=13， 当 x 增大 4， y 减小 7 时， 仍然是小学奥数基础教程（五年级）- 21 -方程的解， 即 x=2+4=6， y=13-7=6 也是一个解。 所以本题安排 2 个大房间、 13 个小房间或 6 个大房间、6 个 小房间都可以。就是说， 方程 7x+4y=66 有无数个 解。由于这类方程的解的不确定 性，所以称这类方程为不定方 程。 根据实际问题列出的不定 方程，往往需要求整数解或自然 数解，这时的解有时有无限个， 有时有有限个，有时可能是唯一 的，甚至无解。例如： x-y=1 有无限个解， 因为只要 x 比 y 大 1 就是解； 3x+2y=5 只有 x=1，y=1 一个 解； 3x+2y=1 没有解。 例 6 求不定方程 5x+3y=68 的所有整数解。 解：容易看出，当 y=1 时， x=（68-3×1）÷5=13，即 x=13， y=1 是一个解。 因为 x=13，y=1 是一个解， 当 x 减小 3，y 增大 5 时，5x 减 少 15，3y 增大 15，方程仍然成 立，所以对于 x=13，y=1，x 每减 小 3，y 每增大 5，仍然是解。方 程的所有整数解有 5 个：由例 5、例 6 看出，只要找 到不定方程的一个解，其余解可 通过对这个解的加、减一定数值 得到。限于我们学到的知识，寻 找第一个解的方法更多的要依 赖“拼凑” 。 练习 15 1.一个数除以 5 余 4， 除以 8 余 3，除以 11 余 2，求满足条件 的最小自然数。 2.有一堆苹果，3 个 3 个数余 1 个，5 个 5 个数余 2 个，6 个 6 个数余 4 个。这堆苹果至少 有多少个？ 3.在小于 1000 的自然数中， 除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 7 余 4 的最大的自然数是几？ 4.在 5000 以内， 除以 3 余 1， 除以 5 余 2，除以 7 余 3 的自然 数有多少个？ 5.有一个两位数，除以 2 与 除以 3 都余 1，除以 4 与除以 5 都余 3，求这个数。 6.用 100 元钱去买 3 元一个 和 7 元一个的两种商品，钱正好 用完，共有几种买法？ 7.五年级一班的 43 名同学 去划船，大船可坐 7 人，小船可 坐 5 人， 需租大、 小船各多少条？ 第 16 讲 巧算 24 同学们可能都玩过“数学 24”的游戏，它把枯燥的基本数 字计算变得趣味盎然，能大大提 高计算能力和速度，使得思维灵 活敏捷，是一种寓教于乐的智力 竞赛游戏。 游戏规则：给定四个自然数， 通过+，-，×，÷四则运算，可 以交换数的位置，可以随意地添 括号，但规定每个数恰好使用一 次，连起来组成一个混合运算的 算式，使最后得数是 24。 “数学 24”游戏通常是用扑 克牌进行的，此时，给定的四个 自然数就被限定在 1～13 范围内 了。 “数学 24”游戏可以 1 个人 玩，也可以多个人玩，比如四个 人玩，把扑克牌中的大、小王拿 掉，剩下的 52 张牌洗好后，每 人分 13 张，然后每人出一张牌， 每张牌的点数代表一个自然数， 其中 J，Q，K 分别代表 11，12 和 13，四张牌表示四个自然数。 谁最先按游戏规则算出 24， 就把 这四张牌赢走。然后继续进行。 最后谁的牌最多谁获胜。 要想算得又快又准，这就要 靠平时的基本功了。最重要的有 两条：一是熟悉加法口诀和乘法口诀，二是利用括号。括号既能 改变运算顺序，也可以改变运算 符号。 请用下面例题中给出的四 个数，按规则算出 24。 例 1 3，3，5，6。 解一：根据 3×8=24，3 已 有，将另三个数凑成 8，得 3× （5+6-3）=24。 解二：根据 6×4=24，6 已 有，将另三个数凑成 4，得 6× （5-3÷3）=24 或 6×（3×3-5） =24。 解三：还是根据 3×8=24， 把 3 和 8 各分成两数，得（6-3） ×（3+5）=24。 解四：先把其中两数相乘， 积不足 24 的用另两数补足， 得3 ×5+3+6=24。 解五：先把其中两数相乘， 积超过 24 的用另两数割去， 得5 ×6-3-3=24。 例 2 2，2，4，8。 解一：根据 8×3=24，得 8 ×[（2+4）÷2]=24 或 8×（4-2 ÷2）=24。 解二：根据 4×6=24，得 4 ×（2+8÷2）=24。 解三：根据 2×12=24，得 2 ×（2×8-4）=24。 解四：根据 8+16=24，8 已 有，将另三个数凑成 16，得 8+2 ×2×4=24 或 8+（2+2）×4=24。 解五：根据 8+16=24，把 8 和 16 各分成两数，得 2×4+2× 8=24。 解六：根据 4+20=24，4 已 有，将另三个数凑成 20，得 4+2 ×（2+8）=24。 具体玩法很多，在这里特别 要注意的是：2×12，3×8，4× 6 是三个最基本的算式，在玩的 过程中，你可以先固定某数为一 个因数，看另三个数能否凑成相 应的另一个因数。你也可以把每 一个因数分别看成由两个数凑 成。下面，我们借助“乘法分配 律”来玩“数学 24”游戏。小学奥数基础教程（五年级）- 22 -例 3 1，4，4，5。 分析：很明显，我们看到 4 ×（1+5）=24，三个数已经能够 算出 24 了， 可惜的是还有一个 4 没有用过。根据规则，必须把这 个 4 也用进去，怎么办？怎样把 这个多余的 4 用到算式里面而又 不影响得数呢？ 解：利用“乘法分配律” ：4 ×（1+5）=4×1+4×5=24。 例 4 6，8，8，9。 解： 8 ×（ 9-6 ） =8 × 9-8 × 6=24。 例 5 5，7，12，12。 解：12×（7-5）=12×7-12 ×5=24。 在例 3～例 5 中，我们利用 了： a×（b+c）=a×b+a×c， a×（b-c）=a×b-a×c。 例 6 2，2，6，9。 分析：很明显，我们看到 2 ×9+6=24，三个数已经能够算出 24 了， 可惜的是还有一个 2 没有 用过。根据规则，必须把这个 2 也用进去，怎样把这个多余的 2 用到算式里