一部分女性玩家匿名炫耀现实隐瞒的做法让普通男性对女性群体失去了最基本的信任，最终躺枪的，是那些一心想正儿八经过日子的普通女性。&br&&br&我是真心为这些普通女性叫屈啊。&br&&br&那些炮男炮女们玩他们的，可现实中就是不说，还偏偏要拿来到网上炫耀。一边骂不玩的人是屌丝臭傻逼，一边却连自己的一丁点真实信息都不敢公开（不是匿名就是开个一点有用信息都没有的知乎小号，要么就是我有一哥们儿姐们儿特洒脱blablabla），生怕有人查你的水表（谁有那个闲心呀）。&br&&br&这下好了，搞得一些普通男性看哪个女人都像玩家。就算你这样的只是想过平静生活的普通女性，哪怕平时开个无伤大雅的黄色小笑话，都会被人怀疑成是百人斩。&br&&br&然后，想要过好小日子的普通追求者，在脑补完你和各种男玩家、王思聪、知乎PUA课程老师ooxx的画面之后，留下一句&唉，不说了，我懂……&，然后离你绝尘而去。&br&&br&反倒是一群想和你打上几炮然后老死不相往来，甚至开房钱都要和你AA，最好再能排上几张你的裸照发到草榴社区，或是其他哥们儿那里炫耀的男玩家，冲上来对你眉飞色舞趋之若鹜，好像不和你大战个300回合再拍几张带你脸的裸照，就是对你性别以及人格的最大侮辱。&br&&br&你连句妈卖批都没处讲去，就问你虐不虐？&br&&br&我一向很讨厌屌丝这个词汇，全中国99.9%的人都被房价压的喘不过来气，你们这帮玩家中有几个配姓赵？&br&&br&你骂别人屌丝以给自己一种高高在上错觉的时候，到底有没有摇摇头仔细品味一下抽水马桶的声响？你为什么就不能醒一醒？明明你点的牛肉面，也是15块钱一碗哒。&br&&br&大部分人只是想过平静的生活，有错吗？&br&&br&你确定他们真的没有变坏的资本吗？&br&&br&毕竟，即使大部分男性，就算顶着4000块的工资，哪怕是一二线城市里喜欢存零花钱的初中生，一个月嫖一次小姐还是可以做到的。&br&&br&大部分女性，就算长得颜值一般不会打扮，只要愿意诱惑，能睡到几个6+的男青年还是可以做到的。&br&&br&可为什么还是有人不会去做？不就是想过平静的生活嘛。&br&&br&你喜欢玩蹦极，难道那些不喜欢玩蹦极的人都是胆小怕事六神无主的怂逼？&br&&br&你减肥成功了，难道那些胖子都是不思进取人格堕落的loser？&br&&br&你不好好学习，难道那些学习好的都是没有自我前途渺茫的书呆子？&br&&br&大家都在为生活打拼，也没有像你那么贪婪的欲望，为毛一定要像学你？你是雷锋叔叔吗？&br&&br&跟你比，我抢不过妹子，抢不过男人，又怎样？&br&&br&这就像高考一样，你化学学的比我好，难道我就注定考的没你高啦？我光数学就能单刷你30+好不？&br&&br&所以，人生在世，数不完的技能天赋可点，我要那么多性经历作甚？&br&&br&是在知乎上吹逼，私底下发人裸照，以显得别人很傻逼，而自己是个很受欢迎，很上流很Fashion的成功人士，知乎精英？&br&&br&还是要在知乎上，一边骂我们这帮普通青年是屌丝臭傻逼，一边给我们洗脑，好卖出去你那动辄四五千块的坑爹泡妞（PUA）课？&br&&br&拜托，我又不跟那么多异性在一个屋檐被窝下生活。&br&&br&喜欢你的人永远在排队又关我屌事？我还要过我自个儿的日子啊！看你吹逼很浪费我时间好不好？&br&&br&你有没有想过，既然你可以因为自己喜欢玩，而把那些想过平静生活的普通青年打上&屌丝&&矮穷矬&的标签，那你为啥就不能接受那些想要过平静生活的普通青年，给你们这些玩家打上&贱货&&婊子&&渣男&&诚哥结局&的标签？&br&&br&你有没有想过，既然玩家认为老实人没有经历过足够的诱惑，所以不足以称之为真老实，那老实人是不是也可以认为玩家们没有经历过足够的苦难，所以不足以称之为真洒脱？&br&&br&其实，想一想，你不会觉得很傻逼吗？&br&&br&说约炮很潇洒，很时尚，不约炮的都是挫货的这帮人，无非是3种人。&br&&br&自己约炮的。&br&&br&想要约炮的。&br&&br&卖课程的。&br&&br&这就像一个哥们儿天天跟你说，我长得真帅，帅到我都想艹自己。&br&&br&一个卖房子的，说这个房子有多么多么好。&br&&br&一个被传销洗了脑的，说你也来加入我们吧。&br&&br&你作为一个旁观者，你是啥感觉？&br&&br&仔细想想这是什么样的人，才能做出来的事儿。&br&&br&显然不是要脸的人能做出来的。&br&&br&为什么要说到这些呢？因为相当靠前的2个反问，牵扯到了PUA们的一些经典观点。&br&&br&PUA的某些话说起来真是有道理，但总觉得不对劲儿，那是因为他只把实话说了一半，而故意隐瞒了另一半——不然怎么赚钱啊？&br&&br&真相就是这么残酷，因为它会让所有人难过。&br&&br&将很多PUA的文章和观点奉为经典，那不是你了解真相的开始，而是没脑子的表现。&br&&br&学会反思啊，少年！&br&&br&当然，你玩是你的自由。这一点咱是确信无疑的。&br&&br&可拜托你公开身份一下。你不公开身份，我怎么把你从我的交际圈里排除掉？&br&&br&你以为我是真笨呢？我还有很多事情要做，没那个心力跟你玩猜猜看好伐？&br&&br&如果真要查你，你以为查不到你的底细？你自己其实比谁都清楚，不然知乎上也不会出现&匿名炫耀&这种所谓深藏功与名的可笑现象。&br&&br&你学学人家木子美。&br&&br&多好的女玩家，主动公开身份，直接让想过日子的男性把她pass了，觉悟多高。&br&&br&你再看看你，跟武大炮王有什么两样？&br&&br&哦，你还不如他呢。人家被曝光了起码承认了。你呢？&br&&br&你除了在约炮话题下的提问里匿名回答还能作甚？&br&&br&更多的玩家是什么作为呢？&br&&br&就像曾经几个认为我老实的玩家，把那些女孩儿的裸照发给我以示炫耀，第二天哪个不是担惊受怕，生怕我把这些照片和聊天记录转发给他们好不容易骗到手的傻白甜未婚妻？&br&&br&更有几位觉得我不&成熟&，觉得我调不开情的老姐（你是有多大脸？我一定要睡你？），在用炫耀和看人低的笔调给我调侃完她们的风流情史后，哪个不是第二天，翻着聊天记录细思极恐，各种旁敲侧击，自己安慰自己说，我一定不认识她们那个靠装纯哄骗到的男朋友？&br&&br&怎么样，玩家们，也中枪的滋味儿如何？你还觉得你很屌很潇洒吗？&br&&br&屁呀！你不但（和别人说起你约炮史的模样）很猥琐，（谈论起自己多受欢迎时的语气）很自恋，重要的是，（你连谈个恋爱都要各种隐瞒欺骗算计人心的样子）还怂成了渣。
一部分女性玩家匿名炫耀现实隐瞒的做法让普通男性对女性群体失去了最基本的信任，最终躺枪的，是那些一心想正儿八经过日子的普通女性。 我是真心为这些普通女性叫屈啊。 那些炮男炮女们玩他们的，可现实中就是不说，还偏偏要拿来到网上炫耀。一边骂不玩的人…
老虚作品的评价总是两极分化非常严重，比如我的某位挚友在家庭影响下，三观总是钢板一般正直。我们同时玩通沙耶之歌，并都自认读懂了其中的内涵。然而在我欣赏这部作品的同时，她却露出了唾弃的表情。&br&&br&当时的对话已经无从复原，但大意还记得清楚。她说，她不认同郁纪和沙耶之间那东西是爱。郁纪明显不过渣男一个，沙耶说好听些就是个被迷惑的无知少女。我全然认同她的观点，但并不妨碍我喜欢沙耶之歌这部游戏。这是由成长环境来决定的不同视角，就好像这个答案下一如既往充斥着“喜欢老虚的人不过是中二”的言论一般。&br&&br&没错，喜欢老虚的人不过是中二。然而之所以站在这个中二的视角上还能同那些为人所唾弃的黑暗作品相共鸣，自然有其中的道理。作为其中的中二之一，此时的我想要试着形容一下，站在“我”的立场所看到的世界。&br&&br&初二那年我第一次想到死，同年我读了太宰治的《人间失格》。和大多数人不同，读完这本书的我不仅没有感到悲伤抑郁，反而找回了重新站在人生旅途的勇气。理由很简单，我在太宰身上看到了自己的影子，同时也看到了自己的局限。在我把那些灰暗的感情和审判累加在自己身上时，是否如同他一样，仿佛在逼迫自己给走向毁灭的行为下定最后的决心？&br&那时我意识到自己和大部分人是不同的。我始终站在黑暗里，望着光明。&br&&br&老虚的故事背景常常是同一种模式。失去一切的少年和少女成为彼此世界唯一的救赎，沙耶之歌也未能免俗。郁纪不仅失去了平凡的人生，也失去了适合生存的世界。他听得懂其他人的言语，却仿佛被令人厌恶的怪物包围。无法表述也无法逃离，更无法坦然选择结束自己的人生。这看似超现实的状态，却只是把很多孤独痛苦的普通人的生活，用具体意象表达出来罢了。&br&&br&与其说玩家选择了老虚，不如说老虚选择了玩家。人是无法理解自己未曾经历过的一切的，因此能够理解老虚的人，必然是经历过他所描绘的世界的人。就像开篇我提到过的那个讨厌沙耶之歌的朋友，她并不喜欢这部游戏，却能够理解它所讲述的故事，我想是因为她也拥有足够孤独和坎坷的过去吧。&br&&br&每个身处腐肉泥沼的少年，都会有一瞬间期望某个美丽纯洁的…同类出现在身边，就好像每个准备开撸的少年都更想看到一部毫不拖泥带水的拔作一般。各取所需罢了。&br&&br&“同类”，老虚作品中另一个时常出现的关键元素。比如魔法少女小圆中，杏子邂逅了如同过去自己影子一般的沙耶加。她守护沙耶加。就仿佛在守护当初的自己。沙耶加和杏子都为他人成为魔法少女，都曾怀着一厢情愿的单纯热情，而未曾思考清楚用以交换的代价。杏子失去了很多，于是她开始漠视曾守护的东西，变得（看似）只在意利益，以行尸走肉的状态存在于世，却不愿步上自己后尘的沙耶加独自落入永恒的黑暗。&br&&br&那么在遇到沙耶加之前，总是露出不屑笑容的杏子，其实和郁纪没什么区别。人生只是无聊的苟延残喘，在杏子为沙耶加冠冕堂皇地葬送自己的时刻仍旧如此。正因为它是如此廉价，才宁愿为了满足感选择毁灭。没有爱的世界，即使不是由腐肉堆砌而成，又有何分别？&br&&br&郁纪很幸运，他遇到了同类，一个能够在彼此眼中留下美好影像的生物。沙耶为来自郁纪的接纳而开心，郁纪为这个柔软美好的支柱而稍微从孤独中挣脱出来了。这爱非常肮脏，是在极端黑暗中滋生出的畸形感情，却在同时，确保了它的唯一性。&br&&br&由于只能依赖对方，只有依赖对方才能稍微冲淡独自存活的痛苦，也就不存在背叛和破碎。就好像没有人类能离开食物一般，当爱变为赖以生存的食粮，某种病态的安全感会慢慢滋生其中。它丑陋而美丽，毒品一般令人上瘾。被沙耶改造的大叔只想伤害沙耶，郁纪曾经的朋友在他们眼中变得宛如牲畜……多么可怕的感情，却也是多么令病态之人向往的感情。&br&&br&然而它们是错的。凡是还拥有分毫作为人类的认同感的人，都能理解这种感情的可怕。老虚令我赞赏的一点是，他从未避讳过这丑陋，也从未赞扬过它。郁纪深陷腐肉固然痛苦，然而真正令他化身恶魔的却是他自身的劣根性。朋友丑陋的面貌和黏腻的嗓音令人作呕，他们的心和灵魂却并未发生改变。而后来他对自己曾经朋友所做的恶行，很多只是出于食欲和性欲…没错，性欲。试想一下假如郁纪没有那么卑劣，假如他一直对朋友温柔以待，只是因现实所迫黑化，这部游戏所面临的道德谴责，会不会少上很多呢？&br&&br&然而我们是人类，很多时候身不由己，更多时候自私自利。于是在老虚的笔下，郁纪从未是一个正面角色，他赤裸裸地写出了这个人的丑陋，包括沙耶身为怪物的冷酷，令人恨不得杀之而后快。在他的作品中，任谁都能看出这貌似纯洁的爱其实是多么不堪，最终必然走向毁灭。他并没有用漂亮的笔触粉饰太平，而是用肮脏的文字创造这世界，再给予它毁灭的审判。&br&&br&然而，在这么这么肮脏的故事背后，爱仍旧是存在的。某个结局中，被击杀的两只怪物仍然艰难地接近彼此，而另一个结局里，沙耶结束了自己的生命，却为郁纪创造了一个美丽的世界。他们爱着，即使曾经自私冷酷，心脏却在这一秒为对方悸动，灵魂也在这一秒为对方无私。&br&&br&这就是世界。并没有纯粹的善恶，并不像样板戏一样非黑即白。我们是人类，始终贪婪丑陋自私，也始终追求着能令自己变得无私美好的迷失。&br&&br&故事最后的日记讲述了名为沙耶的怪物的故事，她太过了解人类，以至于连自己都成为了一个彻底的人类少女。她以为爱是繁殖的必要条件，于是在和一个人类男子相爱一场以前甚至没有履行自己繁殖的使命。它在促使玩家去思考一个问题，如果繁殖才是人类生存的唯一目的，那某些时候，那反而会令繁殖的效率降低的爱，目的又是什么？&br&&br&无论是什么，我觉得老虚都没有愧对自己“爱的战士”的自称，因为从他的作品中，我的的确确能看到这个人在思考名为“爱”的东西。沙耶之歌在我心中远不是什么神作，它只是一部多少有些故弄玄虚却终究表达出作者自己所期待并唾弃着的，有些病态的“爱”的作品。&br&&br&最后引用一下网络上蘑菇对老虚的评价，似乎也能稍微验证我所表达的某部分：&br&&br&「虚渊玄在05年后，患上了写不出HappyEnd的病。这是只要真挚地面对故事，谁都会面临的病。有跨过它写出希望的作家，有跟它正面对峙写出理想的作家。哪边的坚强都是正确的，只是种类不同而已。奈须蘑菇选择了前者，虚渊玄选择了后者。」&br&&br&16.5.25.更新：哇42赞啦，这应该是我没匿名（…）回答的最高赞了。虽然并不算多，但我想说4月2日是我大本命的生日诶！！太开心了写点什么留念…（滚粗）
老虚作品的评价总是两极分化非常严重，比如我的某位挚友在家庭影响下，三观总是钢板一般正直。我们同时玩通沙耶之歌，并都自认读懂了其中的内涵。然而在我欣赏这部作品的同时，她却露出了唾弃的表情。 当时的对话已经无从复原，但大意还记得清楚。她说，她…
&p&题主问了一个比较大的问题，我们先来提供一种思路，有空再来更新更多细节性的应对方法（比如来贴出不同方向更具针对性的问题回答，有相关的问题也欢迎大家邀请我们来答）。&/p&&p&当很多人在说童年“缺爱”的时候，ta们往往描述的都是一种“父母心理不健康”对自己童年造成的影响，比如父母对小时候自己的情感忽视造成“缺爱”的感受、没有安全感等等。&/p&&p&从一个相对总结性的角度去看待心理不健康的父母对孩子的影响，这种影响在长期会体现为&b&孩子本身基本的生理、情感需求没有得到满足（对一些人笼统说来就是“缺爱”的感觉），又在没有做好准备、能力不足的情况下，反过来充当家庭中的成年人，或多或少成为父亲或母亲的照料者。&/b&&/p&&p&因为心理不健康的原因多样、心理疾病的诊断广泛，&b&每一个在有心理不健康问题的家庭中成长的孩子，体会和经验都是会是独特和个人化的&/b&。在这里，我们总结了一些孩子会受到的普遍性的影响：&/p&&p&&b&1. 总是妥协的自我&/b&&/p&&p&有心理问题的父母带来的不幸，首先是&b&父母往往会成为家庭的聚焦点&/b&，全家人的注意力会集中在有问题的父亲或母亲身上，尽量降低他们的问题表现会成为家庭首要的考虑。&/p&&p&&b&孩子的很多感情需求无法被满足，总是需要妥协自己来满足父母的要求。久而久之，他们会觉得自己是非常孤独的，产生没人照看、不被爱、受冷落、寂寞的感觉。因为父母禁止，或者无人接送、支持，他们也无法参与正常的同辈交往活动，无法发展自己的兴趣爱好，甚至不懂得如何与他人交往和沟通。&/b&&/p&&p&孩子很多时候向父母提出需求，都会被驳回，这让孩子会有很强的低自尊，有时会认为“也许生活中没有自己会好很多”。他们能够感受到，自己的父母和别人不一样，却束手无策；自己也总是无法让父母满意，从而产生自我压抑感和焦虑感。他们也往往会羞于和同伴提起自己父母的情况，害怕他人发现自己家庭的秘密，而可能会刻意与父母疏远。&/p&&p&&b&2. 安全感的缺失和创伤&/b&&/p&&p&&b&由于心理疾病的父母在行为和情绪的不可预见性，会产生孩子持续的不确定感和不安全感。&/b&具有焦躁或情绪管理问题的父母可能会控制不住愤怒而爆发，抑郁或有人格障碍的父母则有可能会在孩子面前有自杀的想法和行为。&/p&&p&这些都会使得孩子处于长期恐惧之中或坐在情绪的过山车上，而且可能会伴有常发生的家暴（无论是肢体，语言还是感情），孩子可能会因此产生身体和心理创伤。&/p&&p&&b&3. “两极化”的生活和情绪&/b&&/p&&p&由于心理疾病的父母并非长久地处于“症状”之中，在生活中会有好的时候和坏的时候。&b&这种好和坏之间的转变，会让心智未成熟的孩子生活在“两极化”之中，而产生迷惑的感受和复杂的焦虑情绪。孩子可能会产生疑问：“父母究竟爱不爱我？”&/b&Dr. Nathiel 在 Daughters of Madness: Growing Up and Older with a Mentally Ill Mother 一书中，生动的描述了这种羞愧、渴望、自责、害怕、迷惑、怨恨等综合在一起的复杂情绪。&/p&&p&“母亲有时抑郁，有时温暖，有时候又会很焦虑狂躁，我永远无法预知下一秒的她会是怎样。她打我骂我的狠劲会让我觉得我并非亲生，之后又会很心疼的抱着我流泪。她会给我买很昂贵的礼物道歉，我表示拒绝，劝她退货，因为家里经济条件不好，她就把礼物随机送给一个过路的出租车司机。我会因此很迷惑，害怕，感觉很孤单。我会嫉妒别人，认为其他父母都不会像这样。我没和任何人说过这些，也从没在她开始服药和接受治疗之前认识到母亲这个问题是精神疾病，因为我总是认为是我做的不好她才会这样，但是似乎在她眼里我什么都做不好。”&/p&&p&&b&4. 心理疾病的代际影响&/b&&/p&&p&研究表明&b&，在心理不健康的家庭环境下成长的孩子，因为受到基因和不良心理社会环境的影响，而有更大的风险产生行为或者情绪问题&/b&，这也就是所谓的心理疾病代际影响。孩子在人际交往的关系中也会因为从有心理问题的父母那里学到的行为，而有一些不健康的因素或特质，从而影响孩子的人际关系。这些影响会伴随孩子直到成人，影响长大后的人际关系特别是亲密关系。&/p&&br&&p&&b&那么，像题主问的，面对心理不健康的父母，成年后的孩子应该怎么办？&/b&&/p&&p&作为心理不健康的父母的孩子，在成年后，他们也往往会忍不住问自己一些问题：&/p&&p&o 我自己是不是也遗传了他们的心理问题？&/p&&p&o 我会变得像自己的父母那样吗？我会是一个坏爸爸/妈妈吗？&/p&&p&o 我的家庭始终是我痛苦的源泉，我无法改变心理有问题的他们，但我也不能完全抛弃他们，我能怎么办？&/p&&p&如果你为此困扰，在更进一步、有针对性的重写原生家庭对自己带来的影响之前，你首先需要记住以下这些问题：&/p&&p&&b&1. 父母有心理疾病，并不代表你一定会罹患心理疾病。&/b&&/p&&p&尽管从遗传学和环境的角度上说，你患有心理疾病的风险因素的确较高，但即便你受父母影响，在人际沟通技能、自尊、亲密关系上存在一些问题，&b&这些都是可以认识和改变的&/b&。如果你有类似的担心，或他人表达了类似的担心，&b&建议接受正规的评估，而不是自行猜测。&/b&&/p&&p&但考虑到创伤对人的深刻影响和心理疾病的代际传播因素，如果你的童年创伤确实太重，以至于而影响到当下正常的工作生活，人际交往和需求满足，建议寻找专业的心理咨询师接受治疗。&/p&&p&&b&2. 在有心理疾病父母的家庭中成长，并不代表你也会成为一个坏的父母。&/b&&/p&&p&相反，你可能会拥有在自己处于父母角色时，要去做得更好的动力。做好自我反思，了解童年创伤对现在自己人际关系的影响，避免重演那些错误的方式；多和自己的亲密对象沟通，让Ta知道你的需求；学习正确的亲子教养方式；所有你曾遭受过的事情，也都能反过来帮助你。&/p&&p&&b&3. 你的家庭的动力关系会发生改变，你对家庭的影响力有机会变大。&/b&&/p&&p&&b&首先你要明白，你不能拯救你的父母，事实上没有任何人能够拯救任何人。&/b&他们的精神状态、幸福水平，都不是你能够决定的。&b&他们自身需要认识到自己的情况，并愿意承担起让自己好起来的责任，接受系统的治疗，这些都不在你的控制范围内。不要把他们的幸福看做你的责任，不要怀抱不现实的期待。这是你能够获得自由的第一步。&/b&&/p&&p&当你已经成年，有了独立的人格和生活，和有心理疾病的父母&b&设置良好的人际关系边界，做好良好的自我照顾非常重要。你首先需要照顾好你自己的情绪，你需要让自己的生活更稳定、更健康、更快乐。像我们的粉丝曾经留言给我们说的：长大之后，你就是自己的父母。&/b&&/p&&p&&b&往往，你会需要一段和父母保持一定距离的时间。灵活的运用“退出”策略有时是必要的。&/b&你选择退出家庭（比如去外地工作等），有时候可能会产生很多有挑战的情境，比如父母情绪和行为问题的突然极端化，所以需要提前做好充分的计划。&/p&&p&但同时，&b&你也可以尝试去了解父母心理疾病的症状和原因&/b&。了解父母的病理症状，能够帮助你自省。你也许会发现父母的行为和情绪问题是他们的心理疾病症状，他们对待周围的世界都是这样的行为模式，而并非针对自己；你也会发现，你的父母的行为，也许并不是真的想要伤害你，他们只是不懂得如何处理自己的情绪。当这样的理解发生时，你对待父母的看法和情绪会发生更平和的改变。&/p&&p&在这个过程中，&b&提升和父母的沟通技巧，学会坚定、自信地表达也很必须。&/b&有心理疾病的父母常常会使用Ta的情绪和你对话，很多时候也会说很多贬低你自尊和让你觉得很受伤的话，&b&尝试别把这些话语个人化，而把他们看做是心理疾病的症状。&/b&&/p&&br&&p&最后，总有一天，随着你不断成长，你的父母不断老去，你在这个家庭中的力量会越来越强。在你过去这么多年的感受中绝无可能撼动的家庭模式，在许多年后还是会发生松动。你对这个家庭的影响力会最终增强。如果到了那时，你能够用更健康地方式处理家庭成员间的关系，去示范、引导你的父母，你就仍有机会获得一个比最糟糕的情况稍好一些的结果。当然这一切，仍然要在不危及你个人的健康生活的前提下开展。&/p&&p&对你来说，只有你自己是这个世界上最重要的人，其他人至多可以像你自己一样重要，却绝不能够比你自己更重要。你可以在照顾好自己之余去照顾别人，在满足好自己之后去满足别人，却不能因为任何人放弃了自己，父母也不能例外。&/p&&br&&p&最后，精神分析师、自体心理学大家科胡特说过，&b&“我印象中最具创造性的生命，是那些尽管在早期遭遇了深切的创伤，但（通过各种途径）能够找到朝向内在完整性的方法，从而获得新结构的个体。”&/b&&/p&&p&我们在临床工作中见到很多在有心理疾病的家庭成长起来的孩子，&b&他们的直觉敏锐、博学善思、有着远超同龄人的成熟。&/b&在创伤得到处理以后，他们都能够发挥出极大的创造力。在此希望对所有关注此题的你们说，坚持住，别放弃。未来的那个你会弥补现在和过去的你。&/p&&p&以上。&/p&&p&原文发表于 &a href=&///?target=https%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI1OTAwNDc1OA%3D%3D%26mid%3Didx%3D1%26sn%3D9350b16cddb76e6702afbf95e4afebd1%26mpshare%3D1%26scene%3D1%26srcid%3D0401WegPU6boPYZYrf83jqe0%26key%3Dbf5efaaadceffae188a4c8f42d27a6be6e8bdbdeda79cdf5f5f2b4acb5ac8e5fafac9471a6ce%26ascene%3D0%26uin%3DNDg0OTUzNzc1%26devicetype%3DiMac%2BMacBookAir6%252C1%2BOSX%2BOSX%2B10.11.6%2Bbuild%%26version%3Dnettype%3DWIFI%26fontScale%3D100%26pass_ticket%3D%252BOBtpn0q6o6N66uz7YylyOsxUF%252F0m1NK7dO4XvjM%252Fhie8Uhy1zTsxY2G5aMCXto9& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&有些人的人生，从一出生就是幸存 | 父母心理不健康，我怎么办？&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&i& KY作者／袁蕾蕾&/i&&/p&&p&了解更多与心理相关的知识、研究、话题互动、人物访谈等等，欢迎关注&a href=&/org/knowyourself-1/activities& class=&internal&&KnowYourself - 知乎&/a&&/p&&p&&i&宇宙中最酷的心理学社区，人人都能看懂，但只有一部分人才会喜欢。&/i&&/p&
题主问了一个比较大的问题，我们先来提供一种思路，有空再来更新更多细节性的应对方法（比如来贴出不同方向更具针对性的问题回答，有相关的问题也欢迎大家邀请我们来答）。当很多人在说童年“缺爱”的时候，ta们往往描述的都是一种“父母心理不健康”对自己…
&p&你可以先别急着怼你的语文老师，因为他说的可能不是你理解的意思。&/p&&p&能看出来他挺了解杜甫的。&/p&&p&我觉得但凡一个对杜甫稍有了解的中国人，都不会贬损杜甫。因为中国人是有中国人的气节的。&/p&&p&杜甫有三次当官的机会。&/p&&p&第一次当官的机会源自于考试。&/p&&p&考试是中国的特色，不可不参与。杜甫积极参与了，不过当时的当朝宰相是李林甫。&/p&&p&李林甫怕那些不懂事的读书人在殿上抨击自己，所以亲自去遴选考生。当时杜甫就在这一批人中。&/p&&p&李林甫解决问题的方式，就是让问题不存在。所有的考生都不合格。&/p&&p&搞完了李林甫还跑到唐玄宗跟前说：恭喜陛下，这次考试一个都没中，这说明野无遗贤哪。&/p&&p&欺上瞒下，真是好手段。你语文老师要是评说李林甫，可以说他奸，可以说他坏，但“窝囊”这两个字断断是加不到他身上的。&/p&&p&杜甫的第二次机会，在四年之后。获得机会的原因是他诗写得好，所以玄宗让他“参列选序”，也就等候分配。&/p&&p&不过杜甫又碰到了李林甫，李林甫又是主考官，所以杜甫又没有考上。&/p&&p&考不上，除了当官又没别的出路，杜甫只能困在长安。&/p&&p&但是长安很贵的。&/p&&p&长安居，大不易。&/p&&p&当时的长安不仅是大唐的首都，更是一个国际性的大都市，更赶上了开元年间的通货膨胀，米价比贞观年间贵了整整一倍。&/p&&p&所以杜甫饱受经济问题折磨，从市中心一直往南搬家，最后搬到了郊区，也就是少陵。&/p&&p&于是杜甫自称“少陵野老”。&/p&&p&少陵相当于长安的郊区，野老野老，野的意思是在野，一直没当上官嘛；老的意思就是老了，三四十岁的人了还没个工作，还一直吃自己爸爸的，老婆都没办法自己养活。&/p&&p&这相当于什么呢？我打个比方吧：&/p&&p&一个北漂青年来到北京，一边求职一边充实自己，但是职位一直没求到，北京房价也贵，于是一步步地往郊区搬，最后搬到了河北。北漂青年于是开始自称：“河北天王。”&/p&&p&你自己想想吧，这是什么感觉？&/p&&p&没错，这就是窝囊的感觉。&/p&&p&不是别人觉得窝囊，而是自己觉得窝囊。&/p&&p&不光觉得窝囊，还要自黑。&/p&&p&杜甫的第三次当官来源于皇帝的怜悯，皇帝让他去当一个叫做“河西尉”的官。&/p&&p&我查了这个河西尉，大概相当于县公安局长，专管衙役捕快的。&/p&&p&但是杜甫不去。他不当。&/p&&p&朝廷说你不想管捕快，那你去管钥匙吧。&/p&&p&杜甫很穷，诗人也是人，也要吃饭的。所以他当了从八品的“ 右卫率府兵曹参军 ”，职责是看门。&/p&&p&现在很多大学生，学生物的回家种地，学电力的去换灯泡，学文学的去帮老板泡茶。&/p&&p&可是杜甫比这还要惨：他相当于学哲学的，当了理发师。&/p&&p&虽然都是伺候脑袋的学问，但是这真的不是他想要的。&/p&&p&人的命运真是不可预料，你说我一个诗人，怎么就变成看大门的了呢？&/p&&p&杜甫回家省亲，刚到家中，发现家里人在哭——自己小儿子饿死了。&/p&&p&我来总结一下杜甫的这一段经历吧：北漂青年杜甫雄心勃勃，怀揣文学梦，来到北京打拼，整整十年没有找到工作，还买不起房子；诗写了一沓又一沓，却不出名；寄居在朋友家里，以卖药为生。十年之后终于奋斗成功——成了看大门的，回家发现自己儿子饿死了。&/p&&p&如果单看这一段经历，你是不是觉得你语文老师的评价有几分道理？&/p&&p&一个男人，没有工作，成天写诗，孩子老婆都养不活。&/p&&p&如果你是这样，你会觉得自己窝囊吗？&/p&&p&但是我说杜甫不窝囊，一点也不窝囊。&/p&&p&因为杜甫发现他儿子死后，写了这样一首诗：《 自京赴奉先县咏怀五百字》。&/p&&p&里面的内容大概是这样：我一直忧国忧民，同学都嘲笑我。现在朝廷生活糜烂，百姓苦不堪言，朱门酒肉臭，路有冻死骨。我回到家，发现儿子居然饿死了，（话锋一转）我还是个小官呢，连我都过得这么惨，老百姓只有更惨！&/p&&p&如果你们能跟这个时候的杜甫说一句话，你们会说什么？&/p&&p&反正我会说：&/p&&p&先养好你自己吧！傻瓜！&/p&&p&你老师告诉你杜甫很窝囊，其实对你理解杜甫的诗是有好处的。&/p&&p&&b&因为你只有知道他有多窝囊，你才能知道他有多伟大。&/b&&/p&&p&题主还是个学生，没准家庭条件还挺不错，所以不太理解这整件事情意味着什么。&/p&&p&你知道现在很多人都在说：不吃不喝奋斗一百年，才能买一套房。&/p&&p&你需要一套房子，才能把阿姨变成丈母娘。&/p&&p&逃离北上广，钻进北上广，走过来走过去，没有根据地，最后落在了城乡结合处。&/p&&p&富人开宝马游艇，随便背个包都抵自己半年工资；穷人在steam上买个游戏都要剁手。&/p&&p&穷是原罪，钱可以把黑的变成白的，曲婉婷的妈妈贪污3.5个亿，她女儿说她是个英雄。&/p&&p&东北老工业基地日益凋敝，人们以开直播为生，人们都说东北傻三俗，但是东北人在大厦崩塌后，自己都不知道该去往何方。&/p&&p&这些事情，现在自媒体这么发达，你肯定知道的对吧？&/p&&p&但是你不理解，你觉得这些离你很远。&/p&&p&就和你不理解杜甫一样，因为你觉得杜甫离你很远，他是“诗圣”。&/p&&p&其实杜甫离你一点都不远。&/p&&p&你毕业的时候大概是二十二、三岁（和杜甫进士落第的年龄差不多），在北上广，百分之九十的应届毕业生的工资都不会超过一万。这意味着，你需要不吃不喝攒够一百个月，才能付得起一套郊区房子的首付。&/p&&p&所以你只能租房子，但是租金又贵，全靠强撑。你丈母娘一看你没房子，就不愿意把女儿嫁给你，于是你心爱的女人就要嫁给别人。&/p&&p&你专业学的是高大上，找的工作却一点也不对口，明明觉得自己很牛逼，但是没有贵人扶你一把，就完全没有出人头地的可能。&/p&&p&如果你是女生，你的尊严同样面临危机：只要有明星美女的新闻，评论总有人说这些女的早就被富二代玩烂了。这些人总想为处女情结正名，其实这是他们为数不多的反抗道具之一。&/p&&p&你觉得你可以自己养活自己，但是面临的将是整个社会的上层阶级和下层阶级的联合夹击：他们都想要处女。女权是什么？&/p&&p&这和杜甫的尊严危机相似：他是个诗人，但诗人只是权贵的优伶。&/p&&p&你看：杜甫离你真的不远，他简直跟你一模一样啊。&/p&&p&其实中国从唐至今1500多年，一点都没有变。&/p&&p&你这个时候再读杜甫，绝对就不一样了。&/p&&p&风急天高猿啸哀，渚清沙白鸟飞回。&/p&&p&八月秋高风怒号，卷我屋上三重茅。&/p&&p&国破山河在，城春草木深。&/p&&p&即使天崩地裂，诗人心中依然有一方值得誓死守护的净土。&/p&&p&哪怕他再窝囊，哪怕他再废柴，只要有悲悯，他也同样能伟大。&/p&&p&李白的伟大在于反抗，杜甫的伟大在于即使我都过的这么惨了，我也要反抗。&/p&&p&所以只有知道杜甫有多窝囊，才能知道他写的到底是什么。&/p&&p&才能知道他作为一个官二代为什么写的都是穷人的悲歌。&/p&&p&才能知道一个搞文学的，究竟该为中国人的灵魂负起怎样的责任。&/p&&p&我想这才是你语文老师告诉你杜甫很窝囊的真正含义。&/p&&p&也许你语文老师自己就是那个不得志的北漂青年。当自己发现自己的人生也就这样的时候，对任何人的讽刺其实都是对自己的讽刺。&/p&&p&但是我要说的是，杜甫绝不窝囊。&/p&&p&一个窝囊的人，不会关心天下苍生。&/p&&p&一个窝囊的人，不会思考那么多。&/p&&p&他只是不得志，他只是不合时宜。&/p&&p&一个诗人在那个大时代之下，控制不了任何东西，包括自己的命运。&/p&&p&如果说杜甫是窝囊的，那我们都是窝囊的。&/p&&p&最后我想说，让心中少一点冷气。&/p&&p&冷气就是否定伟大，否定光明，让努力变得没有意义。&/p&&p&中国历史上从来就不缺乏这样吹冷气的。&/p&&p&李林甫过得潇洒，也是社会冷空气构成的一部分。&/p&&p&但是中国历史上也从来不缺乏发光的人。&/p&&blockquote&愿中国青年都摆脱冷气，只是向上走，不必听自暴自弃者流的话。能做事的做事，能发声的发声。有一分热，发一分光，就令萤火一般，也可以在黑暗里发一点光，不必等候炬火。
此后如竟没有炬火：我便是唯一的光。
——鲁迅&/blockquote&&p&杜甫就是那个想要做光的人。&/p&
你可以先别急着怼你的语文老师，因为他说的可能不是你理解的意思。能看出来他挺了解杜甫的。我觉得但凡一个对杜甫稍有了解的中国人，都不会贬损杜甫。因为中国人是有中国人的气节的。杜甫有三次当官的机会。第一次当官的机会源自于考试。考试是中国的特色，…
现在学习虚数烧掉的脑细胞，在以后一定能够省回来的。&br&虚数的使用实际上扩展了数学的维度，简化了很多问题。&br&举个中学级别（也许是大学）的例子，来说明虚数是怎么做到这一点的:&br&&br&&b&（好多人评论说看不懂这个例子。。。&/b&&br&&b&那就只看加粗部分吧，重点在于思维，而不在于具体的解答过程。）&/b&&br&&br&================================&br&&b&情景A&/b&：&br&&br&&img src=&/e8c9550215fec01f47ce5f3adae75d3d_b.png& data-rawwidth=&1873& data-rawheight=&202& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1873& data-original=&/e8c9550215fec01f47ce5f3adae75d3d_r.png&&&br&&br&&blockquote&假设有一个光滑的碗。碗底在原点，碗的函数近似一个抛物线（但其实不是抛物线！）&br&碗里面放一个小球，小球不在碗底。假设小球的初始&b&x&/b&坐标为&b&x&/b&0，速度为0。&br&当小球被释放以后，它在碗里会做来回的摆动，凭想象都可以脑补出它的运动模式。&br&我们假设小球在任何位置受到的&i&&b&x&/b&&/i&方向加速度都正比于它的&i&&b&x&/b&&/i&位移，即 &b&a = -kx &/b&。注意不要漏了负号，因为这个加速度和小球的&i&x&/i&座标方向相反。&br&&u&求小球在x方向上的运动函数 x(t)。&/u&&/blockquote&&br&&b&其实答案都不用算，根据弹簧的类比，可以推测出小球在做简谐运动。因为碗是个光滑的表面，小球会在里面往复滚动，而且因为能量守恒，小球永远跑不出x0的范围。&/b&&br&&br&用数学的公式表达，小球的运动函数是一个三角函数 &img src=&///equation?tex=x%28t%29%3Dx_0%5Ccos+%28%7B%5Csqrt+k+t%7D%29& alt=&x(t)=x_0\cos ({\sqrt k t})& eeimg=&1&&&br&&br&当然这个情景有个特殊的情况：&br&当正数&b&k&/b&无限接近0的时候，小球的振荡周期无限延长。当&b&k&/b&等于0的时候，小球要么不动，要么做匀速直线运动（前提是有个初速度），因为这时候碗就变成了一块平板。（自行脑补）&br&&br&================================&br&&br&&b&情景B：&/b&&br&&br&&img src=&/c1f3c08d02ed54d10961ae_b.png& data-rawwidth=&1873& data-rawheight=&223& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1873& data-original=&/c1f3c08d02ed54d10961ae_r.png&&&br&&br&&b&现在把碗倒扣过来&/b&，其它条件不变，求小球的运动函数。&br&&br&&br&&b&答案也不难，小球会一直往外滚出去，而且速度越来越快。&/b&&br&小球的加速度这时候变成了 &b&a = kx&/b&。注意这时候就没有负号了，因为加速度是和小球的&b&x&/b&位移同方向的。这时候小球的运动函数应该是个指数函数&br&&img src=&///equation?tex=x%28t%29%3Dx_0e%5E%7B%5Csqrt+kt%7D& alt=&x(t)=x_0e^{\sqrt kt}& eeimg=&1&&&br&&br&这个情景同样有个特殊情况：当&b&k&/b&=0时，小球静止或者做匀速直线运动，和A的特殊情况是完全一样的。&br&&br&================================&br&&br&&b&下面到了划重点的时候：&/b&&br&&br&我们只不过把碗翻了个面，(小球的加速度沿&b&x&/b&方向反转一下而已)，就像把正数变成负数，把负数变成正数一样。&b&而我们得出来的方程形式完全变了，一个用三角函数，一个用指数函数。&/b&&br&&br&现在要放开思维去想：&b&&u&为什么对于两个极其相似的情景，简直就是阴阳的两面，我们就要用两种根本不同的函数去描述？&/u&&/b&&br&&b&&u&还是说这两种函数本来就有一种内在的联系&/u&？&/b&&br&&br&&br&那么就去探究一下它们的内在联系。&br&&br&假如我们不考虑碗底朝上还是朝下，直接用&b&a = Kx&/b& 来表示小球的加速度。注意这里用大写的&b&K&/b&代替了&b&k&/b&，强调这个系数&b&K&/b&是可以取正或负值的！那么小球的运动函数可以用这个微分方程来解&br&&br&&img src=&///equation?tex=x%22-Kx%3D0& alt='x&-Kx=0' eeimg=&1&&&br&&br&这个方程是学过高数的人都会解的。&blockquote&一个 ax&+bx'+cx=0 (且a!=0) 的形式的方程，其解的指数可以从: &img src=&///equation?tex=a%5Clambda%5E2%2Bb%5Clambda%2Bc%3D0& alt=&a\lambda^2+b\lambda+c=0& eeimg=&1&&的两个根求出来。&/blockquote&&br&那么以上这个微分方程的解的形式应该是&img src=&///equation?tex=x%3De%5E%7B%5Csqrt+Kt%7D& alt=&x=e^{\sqrt Kt}& eeimg=&1&&&br&&br&（这里忽略了正负符号和常数。严谨的做法是要加入边界条件。不过这不是重点，先不作讨论。）&br&&br&================================&br&&br&&b&注意我们把K放进了根号里，但是一直没有对K的正负号进行讨论。记得前面说过，大写的K代表它是可以取正或者取负的吧？&/b&现在来对这个函数&img src=&///equation?tex=x%3De%5E%7B%5Csqrt+Kt%7D& alt=&x=e^{\sqrt Kt}& eeimg=&1&&中&b&K&/b&的正负性进行讨论。&br&&br&如果&b&K&/b&为正，那么就跟情景B一样，直接解出指数函数。&br&&br&但是如果&b&K&/b&为负，即情景A的，这个负号就要出现在根号里面。怎么办？我们可以把根号负一单独拿出来作为常数&b&i&/b&，然后其它的运算就可以作为实数处理了。&br&&br&&b&所以情景A的解其实是&/b&&img src=&///equation?tex=x%3De%5E%7Bi%5Csqrt+%7B%7CK%7C%7D+t%7D& alt=&x=e^{i\sqrt {|K|} t}& eeimg=&1&&&br&对比一下情景B的解：&img src=&///equation?tex=x%3De%5E%7B%5Csqrt+Kt%7D& alt=&x=e^{\sqrt Kt}& eeimg=&1&&&br&&br&这个写法是不是更直观一点呢？两个情景应该是有非常相似的函数表达式的。那么情景A里面指数根号负一怎么处理呢？&br&&br&已知情景A的解是一个三角函数（可以通过实验来证明），&b&&u&那么虚数指数的函数就应该对应实数的三角函数，这就是指数函数和三角函数之间的内在联系&/u&&/b&。&br&&br&其实这就是大名鼎鼎的&b&&u&欧拉公式&/u&&/b&&br&&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bix%7D%3D%5Ccos+x%2Bi%5Csin+x& alt=&e^{ix}=\cos x+i\sin x& eeimg=&1&&&br&&br&所以以后学信号处理，时域/频域变换的时候，写简谐公式再也不用考虑是用sin还是cos了，直接写 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Comega+t%7D& alt=&e^{i\omega t}& eeimg=&1&&，多简单。两者本来就是阴阳互补的两面。
现在学习虚数烧掉的脑细胞，在以后一定能够省回来的。 虚数的使用实际上扩展了数学的维度，简化了很多问题。 举个中学级别（也许是大学）的例子，来说明虚数是怎么做到这一点的: （好多人评论说看不懂这个例子。。。 那就只看加粗部分吧，重点在于思维，而…
不知道我的回答会不会有用。我的儿子是早产儿，出生时窒息，半个脸半个身子都是紫的，抢救过4次，勉强活下来，瘦弱，五个月引他，他都很少笑，那时家人担心他是个傻子。后来6个月突然开始和普通孩子一样，会表达感情了，8个半月时甚至会叫“爸爸”了，欣喜若狂！一到四岁总是生病，医院简直就是半个家。那时，看着躺在病床上昏迷不醒的孩子，我就哭着对老公说：“他只要能活下来，健康，哪怕是个笨孩子，不爱读书，我也接受。我绝不逼他。”真的，心里只是祈祷他活着，活着……&br&到了孩子五岁时，由于精心照顾，他体质变好了，很少生病了。送去上幼儿园时，他胆小，天天哭，我妈就在教室门口他看得见的地方整整陪了一个月。那时我想，他不喜欢学校，随他吧，只要他健康快乐。虽然我和老公都是教师，但是，我们对他学习从不要求。一年级第一次考试，他只考33分，和同事那个同班的女儿一起一路从楼下挥舞着试卷高兴地跑到我们办公室“报喜”，同事女儿叫：“妈妈，考试了，我考99！”他也高兴地喊：“妈妈，考试了，我考33。”把办公室老师笑死了，但是我没有骂他，也笑着抱他：“哦，考试了啊，妈妈知道了，去玩吧。”我感恩他会跳会跑会亲我脸，对他学习如何真的不在意。&br&但是，我对他品德要求很高，生活习惯要求也不低，所以，他到哪里，别人都喜欢他。品行端正。&br&我不要求他，但是，他自己懂事了过后，自己努力学习，因为没有压力，（他就算考得差不用担心我们骂他，但是如果进步一点，我和他爸爸就会觉得是意外惊喜，就像中了一次彩票小奖一样。）他进步很快，真的很快，初二时，从倒数慢慢到了班级前三。那时我工作调动，一个星期回来一次，他爸也只有晚上回家，他住在我妈妈那里。我妈不识字，所以，我们对他学习从来没有帮助，更谈不上施压。当他班主任说他能进我们这里最好的高中时，我和他爸爸都不相信，以为他班主任故意激励他。我们从不看着他学习，也不管，也很少问，他得的奖状我也很少贴，他自己也不太在意。就这样，到了最后中考一个月，他班主任说：“他有百分之百的把握进重点高中！”我和他爸这才有点上心了，但也只是语言鼓励。他真的考上了重点高中，那天我和他爸爸又意外又惊喜，给他买了他想要的捷安特山地车作为奖励。&br&到了高中后，他来到了我身边，全家人总算生活在一起，他喜欢做作业时我坐在他旁边陪着，尽管我从不看他在写什么，也不问。他喜欢和我聊天。我教他和同学相处，不要自卑也不要自大，谦虚友善，真诚待人，他做的不错。从开始进班级的班级排名30多名，一点点进步到班级第一。从1800多人的年级，他一点点努力，从排名500多，到300多，到100多。现在高二下学期，他说他要努力，不知道什么时候起，他自己有了未来的规划，他说想考什么大学，想学什么专业……他利用一个休息天特地去了他想上的大学参观，他自己和他一个同学去的，我不陪同。回来告诉我：“我真想以后能把四年大学时光留在那里，我真想以后能在那里的实验室里做实验。”我说：“那可是985中的名校，很难，你想去，那还得努力。不过，妈妈对你的最高要求只是211大学。”&br&不给他压力，他的每个成长进步都是我赚的了，都是意外的礼物。&br&我不知道他未来是不是优秀，但是我知道他品行端正，他有目标，他在努力，他懂得感恩和孝顺，他善良大方，这足够了。&br&说了这么多，我自己也是老师，最后只想说：第一，目标应该是先培养个品行好的孩子，言谈举止一定要得体，有修养，这样就算孩子不优秀别人也会喜欢宽容；第二，不要总是批评责骂孩子，要允许孩子比别的孩子慢一个节拍，不要看到别人家蜻蜓飞就拖着自家蜗牛跑，慢就慢点，只要你鼓励，孩子自己不放弃不灰心，总会赶上的，迟一年或两年又何妨？第三，多以正面的榜样暗示，但不要直接对比。如果朋友家有特别优秀的又谦虚的孩子，可以让自家孩子和他多接触两次，也很有激励作用。&br&但愿对你有帮助。&br&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&br&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&br&
我没想到这么多人认同，但有两个知友说的对，我对孩子的教育模式并不适合所有孩子。每个孩子都是有独特个性的个体，不能用一个模子去套用所有孩子。到现在为止，我还是觉得我儿子只是个平凡的高中生，还谈不上“优秀”，我回答问题的初衷也是：“就算孩子不优秀，以后不是社会精英，我也坦然接受，也爱他。”我对孩子的爱没有任何附加条件，不会因为他不优秀就打折。&br&
有知友说文章中似乎有省略，关于孩子的转变。有的知友对我回答的真实性持怀疑态度，是的，这中间还有着长长的曲折的甚至一段心酸的过程，我会在这次补充里说清楚。但我要强调的是一点：对孩子，一定要用“爱”去浇灌，切不可有心灵上的伤害。在父母爱中成长的孩子才更自信更乐观更从容。相反，责骂批评只会让孩子要么自卑怯懦畏畏缩缩，要么叛逆无理难以管教。&br&
因为关注的人那么多，我就再简单补充一下孩子变化的过程。&br&
孩子一年级时考试几乎没有及格过，二年级时保持在5、60分，三年级时勉强70分左右……我和他爸爸心态好，从不拿自家孩子和亲戚朋友家那些学习成绩拔尖的孩子比，那时除了学习不好，孩子其他方面都不错。比如自从会走路就从没吵着要抱，知道关心心疼我们，四周岁时就敢一个人去集市买早点去超市买东西，与小朋友在一起玩不吝啬玩具，好吃的东西一定要和我一起分享……我觉得他简直是上帝奖励给我的天使！！！&br&
四年级时他开始慢慢懂事，成绩进步到85分以上，在这过程中，我庆幸我没有拔苗助长。然后一点点提高，虽然不稳定，但六年级时就已经是中等偏上了。&br&
这个时候我做了一件让我最后悔的决定，我受几个朋友的蛊惑，让他参加了我们这里一个住宿制私立中学的招生考试，结果他通过了。我们在家纠结了很多天，因为我知道那个学校学习压力很大，学校管理很严格，教师也很凶，以升学率高和优秀率高闻名。我知道我的孩子散养惯了，一定不适应那里环境，但是，朋友家孩子鼓动他一起去，朋友也天天劝我，孩子自己也说想去，我就错误地让他去了，那时他刚刚11岁。年龄小，从小做事不泼辣，使他经常打不到饭菜；扫地慢，使他经常受罚扫一个月地；学习压力大，他成绩一直下滑，最后是班级倒数第三；由于从小身体不好，所以体育训练老是不达标，被体育老师当众打过两次耳光……现在写出这些经历，我还是心碎难忍！孩子好不容易建立的自信心在那里被摧毁完了。为了他，我多次与他老师沟通，希望能像小学时那样，老师对他宽容一些，允许他慢慢适应，但私立学校老师的奖金与学生成绩直接挂钩，他们容忍不了差生。最后彻底放弃他了，孩子被孤立了。孩子变得敏感自卑爱哭，作为妈妈，看着那个欢蹦乱跳离开我的孩子变成这样，怎能不后悔心碎！我只要他生活的阳光快乐，何必要把他送到这所只“培养精英”，不能容忍“不优秀”学生的学校！悔恨吞噬了我的心，每次想到孩子战战兢兢生活在校园里受欺凌，我就泪落纷纷。歧视和自卑能彻底毁掉一个孩子，作为老师，这我太清楚。&br&
半年后，我就把他转回到老家一所普通公办中学。但私立学校这次求学经历给孩子心灵造成的创伤恢复期长达一年。&br&
因为老家中学有很多老师我认识，也了解孩子的成长经历，所以，送他去之前，我就与他所有的任课老师沟通，恳请他们宽容，多鼓励孩子，让他走出心理阴影。换了环境后，孩子一天比一天状态好，虽然学习还很吃力，但他又开始喜欢他的老师了，有了新朋友，每次他说喜欢哪个老师，或者说有了一个新朋友时，我都暗暗高兴好久。初二时，他遇到了一个新班主任，一个女老师，正好是我初中同学，这是他飞跃的起点。这个时候他各门课都在进步，老师们总是表扬他，他学习的信心被全部调动起来，进步飞快。在这过程中，我只是让他懂得“感恩”，我说：“你们老师好喜欢你啊，你努力不要让老师们失望。”特别感谢他的英语老师，把他英语成绩从30分提高到130分，对于我来说，这就是奇迹。正是因为老家学校老师们对他的“爱”、“鼓励”与“宽容”，我和他爸爸对他的信任与期待，孩子才能从倒数进步到前几名，最后考入重点高中。而最让我欣慰的是：他成了一个自信阳光有目标的男孩！这比什么都重要。&br&
高中才入校时他成绩不突出，我们不着急，他已经超出了我的期望，那时我常常浏览一些大专院校的招生简章，我对他的目标也就是考上大专，从没想过本科。他喜欢和我聊天，我还是从他的表述中找到“证据”，告诉他：“你们老师很关心你啊！”“真的吗？你的化学老师曾是中考全县状元？高考全县前几名？他真了不起！”我知道，一个孩子只有乐于接受他的老师，才会乐于去学习，事实证明这一招很有效。对他的每一点进步表示高兴，不给他太大的目标，只给小目标，比如他考全班11名的时候，我只是问问第10名是谁，比他高几分，学习态度如何？然后只说：“嗯，这孩子不错。不过，你很有可能超过他，进入全班前十名。”有的家长错误在问了自己孩子成绩就问全班最高分，然后就骂：“你看看，别人都考多少分，你才考这么点，你……”给孩子造成的暗示是：我只有考到第一才行。但有时差距太大，孩子自己就畏惧了。所以，不要定太高要求。哪怕一次只进步一分两分，也要表示赞赏，让孩子满怀信心地去学习。&br&
关于孩子学习经历，补充了这么多，很曲折，希望家长们不要走弯路，心智健全的孩子才是我们需要的最好的结果。我和他爸爸一直认为我们的孩子很普通，谈不上“优秀”，他喜欢化学，对他以后会选择什么院校，我们也不清楚，但，支持他的决定，让他做他喜欢的事，这是肯定的。感谢大家的关心。
不知道我的回答会不会有用。我的儿子是早产儿，出生时窒息，半个脸半个身子都是紫的，抢救过4次，勉强活下来，瘦弱，五个月引他，他都很少笑，那时家人担心他是个傻子。后来6个月突然开始和普通孩子一样，会表达感情了，8个半月时甚至会叫“爸爸”了，欣喜…
&p&在回答问题之前，我想先来解释一下这个问题到底是什么意思。如题目所说，系数为有理数的五次（及以上）方程没有&b&加减乘除&/b&和&b&开方&/b&的求根公式。&/p&&p&&b&不要理解为『有理数系数五次方程没有公式解』。&/b&我们有办法使用一些超越函数来构造出五次方程的公式解。这里说的是，只用『加减乘除』和『开方（即使用根号）』给不出五次方程的求根公式。&/p&&p&&b&也不要理解为『对于每一个有理数系数的五次方程，都无法只用加减乘除和开方来表示出它的根』。&/b&对于某些五次方程，我们完全可以找到根式解，比如&img src=&///equation?tex=x%5E5-2%3D0& alt=&x^5-2=0& eeimg=&1&& 的解（之一）是&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%5B5%5D%7B2%7D& alt=&\sqrt[5]{2}& eeimg=&1&& . 这里说的是，我们没法给出一个只使用加减乘除和开方的通用公式，使其可以给出任何一个有理数系数的五次方程的解——就像大家熟知的二次方程求根公式那样。&/p&&p&所以，理论上说，我们其实只需要找到一个没有根式解的有理数系数的五次方程，就可以说明五次方程没有只使用加减乘除和开方的求根公式了。这样的例子当然是有的，比如&img src=&///equation?tex=x%5E5-6x%2B3%3D0& alt=&x^5-6x+3=0& eeimg=&1&& 就没有根式解。（当然，要说明其为什么没有根式解并不是一件简单的事情。）&/p&&p&其实，这个现象没有看上去那么神奇。这只是说明，『加减乘除』和『开方』的运算组合有其&b&局限性&/b&罢了。如果我们不允许开方，只允许用加减乘除，那么我们只能给出一次方程的求根公式，对于二次方程我们便束手无策了——这就是『加减乘除』的局限性。通过引入『开方』运算，我们可以给出四次方程的一般解，这已经是一大进步啦=w= 所以，如果说『开方』运算如加减乘除一样，也有其局限性，这并不是一件那么让人意外的事情。&/p&&p&然而，这还是有一点点神奇的。神奇之处在于，&b&为什么恰好是五次呢？&/b&为什么不是四次或者六次？嗯，这便是这篇回答想要讨论的问题。&/p&&p&大致思路是这样的：为了找到方程的解（在本文的语境下是多项式的根），我们需要进行域扩张，因为方程的解往往不在有理数域中。同时，多项式的根具有某种对称性。我们可以通过群的概念来描述对称性，而多项式的根的对称性可以转化为域扩张的对称性，后者可以被『伽罗瓦群』来描述。『加减乘除』这四种运算无法进行域扩张，而通过『开方』进行的域扩张（根式扩张）具有某种特殊的对称性——其对应的伽罗瓦群是『可解的』。而通常情况下，五次方程的解（即五次多项式的根）对应的域扩张的伽罗瓦群是『不可解的』，所以仅用『加减乘除』和『开方』不可能让我们从有理数域扩张到包含五次方程解的域。&/p&&p&好吧，我估计不少人都会觉得上面一段话『每个字都能看懂』……我会试图在回答里慢慢解释上述这些概念。如之前一样，这篇回答为了可读性，会牺牲一些严谨性。&/p&&p&一般说来，要想真正弄清楚这个问题，&b&需要学习两个学期的抽象代数&/b&，而且对于大多数人来说，抽象代数也不是一上来毫无基础就可以学的。所以，想通过一篇简短（跟教材比起来）的回答来把这个问题彻底解释清楚，是&b&根本不可能&/b&的事情。&/p&&p&这篇回答最多只能让没学过相关数学知识的读者大致了解要解决这个问题『&b&大概是怎样做的&/b&』或『&b&从什么角度入手&/b&』，所以不要对本文抱有太高的期望。（如果只靠阅读知乎回答就可以学数学，那我们还要大学干什么呢？）对于将要学习或正在学习相关数学知识的读者，我不敢保证这篇回答会对你们在『直观理解』上有帮助。但如果有一点点帮助的话，我会很开心的=w=&/p&&p&以下是一些阅读建议：&/p&&p&1. &b&不要试图一次性读完全文&/b&（尤其对于没有学过相关知识的同学来说）。我把全文分了若干节，每次读一到两节就可以了，不要求快，尤其是在读数学时。&/p&&p&2. 我在每一节的开头写出了『读完这一节之后你应该知道哪些概念』。再阅读下一节之前，先确保自己对这些概念有一定的认识。&/p&&p&3. 本文以介绍『对称与群的关系』开始，这一部分&b&非常重要&/b&。囫囵吞枣可能会导致之后的阅读寸步难行。&/p&&p&4. 在读本文之前，最好先读：&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&群论研究结构，「结构」一词是什么意思？跟数学有什么关系？ - 匡世珉的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何给高中生解释群论？ - 匡世珉的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&为什么尺规不能三等分一个任意角？ - 匡世珉的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&&b&以上三篇回答有助于更好地理解本文。&/b&为了控制篇幅，以上三篇回答中详细介绍过的概念，本文可能就不会花过多笔墨了。&/p&&p&5. 再强调一遍，这篇回答最多只能让没学过相关数学知识的读者大致了解要解决这个问题『&b&大概是怎样做的&/b&』或『&b&从什么角度入手&/b&』，所以不要对本文抱有太高的期望。在本文最后我会列出一些教材与资料，对于想真正弄清楚这个问题的同学们来说，那些才是你们应该认真看、认真读的东西。&/p&&p&这篇回答献给教了我一学年抽象代数的Robert D. Friedman教授。&/p&&p&大二上学期的最后一次抽代考试，我在答题纸的最后写下了：&/p&&p&Thank you for your great lectures. They have made mathematics as beautiful as it should be.&/p&&p&好的，正文要开始了=w=&/p&&p&&br&&/p&&p&===============第一节===============&/p&&p&【对称、对称操作、对称操作的四条性质】&/p&&p&首先我们来看两个图形：&/p&&img src=&/v2-a0aff79f48d38a4ac88aa_b.jpg& data-rawwidth=&337& data-rawheight=&163& class=&content_image& width=&337&&&p&左边的是圆，右边的是正方形，他们都是『对称图形』，没错吧？&/p&&p&请听题：这两个图形哪一个『更对称』呢？&/p&&p&为了回答这个问题，我们必须要知道到底&b&什么是『对称』&/b&。当我们用『对称』来形容一个图形的时候，我们其实是在说这个图形&b&在某些操作下保持不变&/b&——这样的操作我们称之为『&b&对称操作&/b&』。&/p&&p&对于正方形来说，『（顺或逆时针）旋转90度』就是一个对称操作，而『旋转45度』则不是。我们可以这么理解：&b&如果你在我闭上眼睛的时候悄悄地把正方形（绕中点）旋转90度，我是不会发现你做了这个操作的。&/b&但如果你把正方形转了45度，我肯定就会发现了。&/p&&p&那么正方形的对称操作有哪些呢？一个可能的答案是『所有角度为90的倍数的旋转（包括旋转0度）』。然而，由于旋转360度等于没有转，所以其对称操作其实只有『&b&（顺时针）旋转0度、90度、180度、270度&/b&』这四种。&/p&&p&如果允许翻折的话，我们还可以得到另外四种对称操作，即『&b&水平、竖直、沿对角线翻折&/b&』。&/p&&p&那么圆的对称操作有哪些呢？&/p&&p&我们发现，&b&任何角度的旋转都是对称操作&/b&。如果允许翻折的话，沿任何一条过圆心的直线翻折也都是对称操作。&/p&&p&所以，圆具有无穷多种对称操作，而正方形只有有限多种对称操作（四或八种，取决于是否允许翻折）。如果以对称操作的数量为标准的话，我们可以说『&b&圆比正方形更对称&/b&』。&/p&&p&现在我们来仔细研究一下『对称操作』。&/p&&p&正如之前所说的那样，我没有办法确定你是否在我闭上眼睛期间做了某种『对称操作』。我们可以说，对称操作就是那些可以通过『&b&闭眼测试&/b&』的操作。（啊，这个词是我自己造的，只是为了方便叙述与理解=w=）&/p&&p&注意，这样意味着我们只关心『操作开始前的状态』和『操作结束后的状态』，至于中间到底做了什么我们并不关心。比如，一次『先逆时针旋转45度再顺时针旋转135度』的操作与一次『顺时针旋转90度』的操作并无区别，都是同一种对称操作。&/p&&p&那么对称操作（可以通过『闭眼测试』的操作）具有哪些性质呢？&/p&&p&&b&第一，如果我们把两个对称操作连起来做，看成一个『复合操作』，那么这个新得到的『复合操作』也是一个对称操作。&/b&&/p&&p&不妨这么想：如果操作A和B都能分别通过『闭眼测试』，那么『先做A再做B』也应该能通过『闭眼测试』。&/p&&p&举个例子，『先顺时针旋转90度，再顺时针旋转180度』也是一个对称操作，等价于『顺时针旋转270度』。&/p&&p&两个对称操作的复合可以让我们得到新的对称操作，就像两个整数相加可以得到新的整数一样，所以我们可以把对称操作的『复合』看成是一种运算。（这让我想到Friedman教授在第一节抽代课上说的：Basically, you combine two things and get a third. That’s algebra.）&/p&&p&&b&第二，对称操作的复合运算满足『结合律』。&/b&&/p&&p&这几乎是一句废话。如果A、B、C是三个对称操作，那么结合律就可以描述为『先「做A然后做B」再做C』与『先做A再「做B然后做C」』的效果一样——这显然效果一样，因为两次都是把A、B、C按顺序做，完全没有区别。&/p&&p&注意，这是结合律，不是交换律，对称操作的顺序没有改变。（复合运算不一定满足交换律，考虑正方形『顺时针旋转90度』与『竖直翻折』这两个操作。）&/p&&p&如果觉得结合律过于显然，那么可以暂时不去管它。（强调结合律其实是为了把对称操作进行抽象，而既然我们现在就在讨论对称操作，所以结合律就是自带属性。）&/p&&p&&b&第三，『什么都不做』也是一个对称操作。&/b&&/p&&p&额，我知道这个看起来有点奇怪，『什么都不做』为什么也算是一个操作呢？不过『什么都不做』也可以通过『闭眼测试』呀：我没办法知道我闭上眼睛之后你是做了『什么都不做』还是什么都没做……&/p&&p&好吧，如果觉得这不能说服你，那么让我们来想一想之前的第一条性质：对称操作的复合还是对称操作。我们把『顺时针旋转90度』与『顺时针旋转270度』复合起来，得到的就是『什么都不做』。为了让第一个性质成立，就让我们把『什么都不做』也当成对称操作吧！&/p&&p&好吧，这简直是个假对称操作。&/p&&p&为了显得稍微正经一些，我们把『什么都不做』的操作称为『&b&恒等操作&/b&』。&/p&&p&&b&第四，每一个对称操作的『逆操作』也是对称操作。&/b&&/p&&p&这不难理解：如果一个操作可以通过闭眼测试，那么把它反过来做，也可以通过闭眼测试。比如『顺时针旋转90度』是对称操作，那么『逆时针旋转90度』即『顺时针旋转270度』也是对称操作。&/p&&p&等等，逆操作就是『反过来做』的操作？那什么叫『反过来做』？&/p&&p&好吧，如果觉得这个说法随意了一些，那我这么说：把一个对称操作与其『逆操作』复合起来（无论先做哪一个），得到的新对称操作都是『恒等操作』。&/p&&p&好的，关于『对称操作』的性质，我们知道这四个就足够了。现在我们可以说：&b&『群』就是某个图形（或对象）的所有对称操作的集合。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&===============第二节===============&/p&&p&【群、群与对称的关系、群的例子（很重要，后文会用到）、群同构】&/p&&p&是的，就是这么简单。&b&给定一个图形（或对象），其所有对称操作构成的集合就是一个群。&/b&注意到集合自然地带有一个『&b&复合&/b&』运算。（反过来说，对于任何一个群，它都是由某个图形（或对象）的所有对称操作构成的。）&/p&&p&还是用例子来说明吧：假设桌上有&b&五个完全一样的纸杯&/b&排成一行，把每个纸杯看成一个点（如下图），那么把这五个纸杯看成一个整体，其对应的群是什么？&/p&&img src=&/v2-d23e7de0f6d2d5f84f3293_b.jpg& data-rawwidth=&271& data-rawheight=&95& class=&content_image& width=&271&&&p&给个提示：想想看之前所说的『闭眼测试』。既然纸杯完全一样，那么在闭眼时交换任意两个纸杯，我都发现不了。&/p&&p&没错，所以这五个纸杯的每一种『&b&重新排列&/b&』（即『&b&置换&/b&』）都是一种对称操作。注意，对称操作是『置换』的动作，而不是置换之后的状态。&/p&&p&于是，对称操作的数量就是五个纸杯不同排列的数量，也就是120种。&b&这五个纸杯所对应的群就由『五个对象的全部置换方式』构成&/b&，记作&img src=&///equation?tex=S_5& alt=&S_5& eeimg=&1&& ，是一个120阶的群（阶即元素的个数）。&/p&&p&请听题：如果把五个纸杯改为四个纸杯呢（如下图）？对应的群是什么？&/p&&img src=&/v2-e5b4a1bb49cda920e630_b.jpg& data-rawwidth=&216& data-rawheight=&95& class=&content_image& width=&216&&&p&好吧，这题过于简单了。对应的群由『四个对象的全部置换方式』构成，记作&img src=&///equation?tex=S_4& alt=&S_4& eeimg=&1&& ，是一个24阶的群。&/p&&p&下一题有点难度：如果纸杯A和B完全一样，纸杯C和D完全一样，而纸杯A和C不一样（如下图），这回对应的群是什么？&/p&&img src=&/v2-fd82e2c4ceafb_b.jpg& data-rawwidth=&216& data-rawheight=&95& class=&content_image& width=&216&&&p&回忆一下『闭眼测试』，我们发现，『交换A和C』是不行的，因为这两个纸杯不一样，交换了就会被发现。我们只能交换A和B，或者交换C和D，所以对应的群是什么？&/p&&p&答案是：一个由『恒等操作』、『交换A和B』、『交换C和D』、『同时交换A和B、C和D』这四个对称操作构成的四阶群，记作&img src=&///equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&，或者称为『&b&克莱因四元群&/b&』。&/p&&p&稍微想一下我们会发现，如果把四个点分成黑色与红色两部分，那么每一部分分别对应一个&img src=&///equation?tex=S_2& alt=&S_2& eeimg=&1&&的群（与之前的记号一致），所以我们可以把&img src=&///equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&群看成是由两个&img src=&///equation?tex=S_2& alt=&S_2& eeimg=&1&&群『组合』在一起得到的——我们说&img src=&///equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&是两个&img src=&///equation?tex=S_2& alt=&S_2& eeimg=&1&&的『直积』，记作&img src=&///equation?tex=V%5Ccong+S_2%5Ctimes+S_2& alt=&V\cong S_2\times S_2& eeimg=&1&& ——不过这暂时不重要。&/p&&p&提醒一下，别忘了群还带有『复合』运算。比如在这个例子中，先做『交换A和B』再做『同时交换A和B、C和D』，就得到了『交换C和D』。&/p&&p&讲了这么半天，这些东西跟五次方程到底有什么关系啊？&/p&&p&别急，再举一个例子我们就讲方程（多项式）。&/p&&p&一个长方形，在允许翻折的情况下，对应的群是什么？&/p&&p&答案是：一个由『&b&恒等操作&/b&』、『&b&水平翻折&/b&』、『&b&竖直翻折&/b&』、『&b&旋转180度&/b&』这四个对称操作构成的四阶群。复合运算关系如下图：&/p&&img src=&/v2-cb6a82ee64a3c8dff047ba3_b.jpg& data-rawwidth=&339& data-rawheight=&339& class=&content_image& width=&339&&&p&重点来了：这个群跟之前所说的&img src=&///equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&群具有&b&同样的结构&/b&！&/p&&p&什么意思？&/p&&p&如果我们把&img src=&///equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&群中的元素『恒等操作』、『交换A和B』、『交换C和D』、『同时交换A和B、C和D』分别换成『恒等操作』、『水平翻折』、『竖直翻折』、『旋转180度』，就会发现它们的复合运算完全一致。&/p&&p&前一个例子中，我们说过，先做『交换A和B』再做『同时交换A和B、C和D』，就得到了『交换C和D』。按照上述规则，这个句子被我们换成：&/p&&p&先做『水平翻折』再做『旋转180度』，就得到了『竖直翻折』。&/p&&p&实际上确是如此！&/p&&p&再打个比方，如果我现在造出一个机器，机器上有四个按钮，分别贴着『恒等操作』、『交换A和B』、『交换C和D』、『同时交换A和B、C和D』这四个标签。依次按下任意两个按钮，其复合运算对应的按钮就会亮起。所以这相当于是一个『&img src=&///equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&群复合运算计算器』。&/p&&p&此时，如果我把这四个标签换成『恒等操作』、『水平翻折』、『竖直翻折』、『旋转180度』，而丝毫不改动机器本身的电路，我们会发现这个机器依然可以正确计算这四个操作的复合运算！&/p&&p&所以，我们说这两个群是『&b&同构&/b&』的，只是元素的名字不同罢了。如果用函数&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&来表示『换标签』，即标签&img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&被换成了&img src=&///equation?tex=f%28a%29& alt=&f(a)& eeimg=&1&&，并用&img src=&///equation?tex=%2A& alt=&*& eeimg=&1&&来表示复合运算，那么同构满足什么样的条件呢？&/p&&p&如果我们用&img src=&///equation?tex=ab& alt=&ab& eeimg=&1&&来表示&img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&与&img src=&///equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&&复合的结果，那么我们就有&img src=&///equation?tex=a%2Ab%3Dab& alt=&a*b=ab& eeimg=&1&&，而『换标签』对运算完全不影响，所以就有&img src=&///equation?tex=f%28a%29%2Af%28b%29%3Df%28ab%29& alt=&f(a)*f(b)=f(ab)& eeimg=&1&&，而通常我们会把星号省略，写成&img src=&///equation?tex=f%28a%29f%28b%29%3Df%28ab%29& alt=&f(a)f(b)=f(ab)& eeimg=&1&&；同时，这里『换标签』是&b&一一对应&/b&的，所以我们也要求&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&是一一对应的，即不能有两个不同的按钮换成了同样的标签。于是，如果一个一一对应的函数&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&满足&img src=&///equation?tex=f%28a%29f%28b%29%3Df%28ab%29& alt=&f(a)f(b)=f(ab)& eeimg=&1&&的等式，我们就说&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&是一个（群）同构。而&img src=&///equation?tex=f%28a%29f%28b%29%3Df%28ab%29& alt=&f(a)f(b)=f(ab)& eeimg=&1&&这个等式的意义就是『&b&函数&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&保持运算结构&/b&』。&/p&&p&（在这里提一下：按照一般的严格定义，『群』是带有一个运算的集合，并满足封闭性、结合律、存在单位元、存在逆元这四个条件，这正是我们之前总结的『对称操作』的性质。事实上，从范畴的角度来看，群可以定义为由一个元素构成的范畴，其态射为群同构，这正是我在本文中所说的定义。Leinster 的Basic Category Theory 的例子1.1.8(c)对此有精彩的描述。）&/p&&p&&br&&/p&&p&===============第三节===============&/p&&p&【多项式的根的对称性】&/p&&p&好的，我们来谈方程与多项式吧！&/p&&p&由于多项式的根就是使其等于零的&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&的值，也就是方程的解，所以在下文中我将不加区分地使用『&b&方程的解&/b&』和『&b&多项式的根&/b&』这两个表述。&/p&&p&我在开头说过，方程的解具有某种&b&对称性&/b&。这到底是什么意思呢？举个例子，我们来看多项式&img src=&///equation?tex=x%5E4-4x%5E2-5& alt=&x^4-4x^2-5& eeimg=&1&&，因式分解为&img src=&///equation?tex=%28x%5E2%2B1%29%28x%5E2-5%29& alt=&(x^2+1)(x^2-5)& eeimg=&1&&，它的四个根为：&img src=&///equation?tex=%5Cpm+i%2C+%5Cpm+%5Csqrt%7B5%7D& alt=&\pm i, \pm \sqrt{5}& eeimg=&1&& .&/p&&p&我们写出随便写几个包含这四个根的&b&多项式形式的&/b&（以下省略）等式，比如&img src=&///equation?tex=i%5E2%2B1%3D0& alt=&i^2+1=0& eeimg=&1&&, &img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B5%7D%2B%28-%5Csqrt%7B5%7D%29%3D0& alt=&\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0& eeimg=&1&&, &img src=&///equation?tex=i%28-%5Csqrt%7B5%7D%29-%28-i%29%5Csqrt%7B5%7D%3D0& alt=&i(-\sqrt{5})-(-i)\sqrt{5}=0& eeimg=&1&&.&/p&&p&现在，把这些数字都当成标签，交换&img src=&///equation?tex=%5Cpm+i& alt=&\pm i& eeimg=&1&&的标签，我们发现&b&等式依然成立&/b&：比如之前的&img src=&///equation?tex=i%5E2%2B1%3D0& alt=&i^2+1=0& eeimg=&1&&变成了&img src=&///equation?tex=%28-i%29%5E2%2B1%3D0& alt=&(-i)^2+1=0& eeimg=&1&&，而这个等式是对的。&/p&&p&换句话说，如果我告诉你我用&img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&&来表示&img src=&///equation?tex=%5Cpm+i& alt=&\pm i& eeimg=&1&&，写出一堆包含&img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&&的等式，你永远不可能知道到底&img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&&哪个是&img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&哪个是&img src=&///equation?tex=-i& alt=&-i& eeimg=&1&&，因为无论是哪种情况，等式都成立。所以我们说，&img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=-i& alt=&-i& eeimg=&1&&在代数上是无法区分的，因为它们满足的等式完全一样——&b&它们的标签可以随意交换&/b&。&/p&&p&还记得什么叫『对称』吗？对称就是在某些操作下保持不变。而在这里，交换&img src=&///equation?tex=%5Cpm+i& alt=&\pm i& eeimg=&1&&的标签，所有的等式都没有发生变化，这就是&b&多项式的根的对称性&/b&。&/p&&p&同样地，交换&img src=&///equation?tex=%5Cpm+%5Csqrt%7B5%7D& alt=&\pm \sqrt{5}& eeimg=&1&&的标签，或者同时交换&img src=&///equation?tex=%5Cpm+i& alt=&\pm i& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=%5Cpm+%5Csqrt%7B5%7D& alt=&\pm \sqrt{5}& eeimg=&1&&的标签，等式仍然保持不变。&/p&&p&于是，这个多项式的根所对应的群是什么呢？&/p&&p&答案是：一个由『恒等操作』、『交换&img src=&///equation?tex=%5Cpm+i& alt=&\pm i& eeimg=&1&&的标签』、『交换&img src=&///equation?tex=%5Cpm+%5Csqrt%7B5%7D& alt=&\pm \sqrt{5}& eeimg=&1&&的标签』、『同时交换&img src=&///equation?tex=%5Cpm+i& alt=&\pm i& eeimg=&1&&、&img src=&///equation?tex=%5Cpm+%5Csqrt%7B5%7D& alt=&\pm \sqrt{5}& eeimg=&1&&的标签』这四个对称操作构成的四阶群。&/p&&p&也许你已经意识到了，这个群同构与&img src=&///equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&，&b&所以多项式&img src=&///equation?tex=x%5E4-4x%5E2-5& alt=&x^4-4x^2-5& eeimg=&1&&对应的群正是『克莱因四元群』。&/b&&/p&&p&这真的是很神奇的一件事情。如果不借助群来研究对称性，我们很难想到这个多项式竟然会跟长方形有内在的联系！&/p&&p&为了更方便地研究多项式的根的对称性，我们需要引进一个新的概念：&b&域&/b&。&/p&&p&&br&&/p&&p&===============第四节===============&/p&&p&【域、域扩张、域的对称性、自同构群】&/p&&p&&b&所谓『域』，就是一个对加、减、乘、除都封闭的集合。&/b&换句话说，对于域中的数字，无论你怎么用加减乘除（当然，零不能做除数）去蹂躏它们，它们依然还是在这个域里。&/p&&p&比如，全体有理数构成有理数域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&，因为任意两个有理数做加减乘除之后结果还是有理数。而全体整数则不能构成域，因为两个整数相除不一定得到整数。&/p&&p&如果只能使用加、减、乘、除，那么我们无法给出（有理数系数，以下省略）二次方程的求根公式。为什么呢？从『域』的角度看，我们就可以给出答案了：&b&因为二次方程的解却可能不在有理数域里&/b&（比如&img src=&///equation?tex=x%5E2-5%3D0& alt=&x^2-5=0& eeimg=&1&&），而无论在有理数域中怎么做加减乘除，我们仍然只能得到有理数。&/p&&p&这样看来，『域』就如同如来佛的手掌心——如果加减乘除是你全部的招数，那你永远无法离开这个『域』。&/p&&p&而这个时候，『开方』就是一个格外强大的技能：它能让我们离开原来的域，进行『&b&域扩张&/b&』。&/p&&p&比如，在有理数域里对&img src=&///equation?tex=5& alt=&5& eeimg=&1&&开二次方根，我们就得到了&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B5%7D& alt=&\sqrt{5}& eeimg=&1&&，而&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B5%7D& alt=&\sqrt{5}& eeimg=&1&&不是有理数——不在有理数域中。这时，我们再借助加减乘除，就可以得到一个同时包含有理数和&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B5%7D& alt=&\sqrt{5}& eeimg=&1&&的新的域，记作&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B5%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{5})& eeimg=&1&&，而&img src=&///equation?tex=x%5E2-5%3D0& alt=&x^2-5=0& eeimg=&1&&的解正是在这个新的域里。所以，通过『开方』的操作，我们就可以得到&img src=&///equation?tex=x%5E2-5%3D0& alt=&x^2-5=0& eeimg=&1&&的解。&/p&&p&&b&所以，要想给出一个五次方程的解，我们希望能通过『开方』不断地扩张我们的域，直到我们的域中包含该方程的解。&/b&然而伽罗瓦告诉我们，这往往是做不到的。&/p&&p&还记得之前我们说的多项式的根的对称性吗？我们之前考察了&img src=&///equation?tex=x%5E4-4x%5E2-5%3D%28x%5E2%2B1%29%28x%5E2-5%29& alt=&x^4-4x^2-5=(x^2+1)(x^2-5)& eeimg=&1&&的四个根的对称性——其对应的群正是『克莱因四元群』。这个多项式还是复杂了些，因为它可以被拆成两个次数更低的多项式的乘积——我们称其为『&b&可约&/b&』多项式。&/p&&p&我们现在来单独考察它的一个因子&img src=&///equation?tex=x%5E2-5& alt=&x^2-5& eeimg=&1&&——它作为有理数系数多项式是『不可约』的，因为它没有办法再被拆成两个次数更低的多项式的乘积，除非引进&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B5%7D& alt=&\sqrt{5}& eeimg=&1&&。&/p&&p&如前文所说，&img src=&///equation?tex=x%5E2-5& alt=&x^2-5& eeimg=&1&&的根是&img src=&///equation?tex=%5Cpm+%5Csqrt%7B5%7D& alt=&\pm \sqrt{5}& eeimg=&1&&，均不在有理数域中。同时，这两根具有对称性：我们可以随意交换两根，它们满足的等式不会改变。&/p&&p&重点来了：如果我们把这两个根放在它们所在的域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B5%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{5})& eeimg=&1&&中考虑，那么&b&根的对称性就转化为域的对称性&/b&——我们可以同时交换一切&img src=&///equation?tex=a%2Bb%5Csqrt%7B5%7D& alt=&a+b\sqrt{5}& eeimg=&1&&与&img src=&///equation?tex=a-b%5Csqrt%7B5%7D& alt=&a-b\sqrt{5}& eeimg=&1&&，而域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B5%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{5})& eeimg=&1&&中所有的等式都不会改变！&/p&&p&举个例子：我们知道&img src=&///equation?tex=%282%2B%5Csqrt%7B5%7D%29%283-%5Csqrt%7B5%7D%29%3D1%2B%5Csqrt%7B5%7D& alt=&(2+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=1+\sqrt{5}& eeimg=&1&&，现在我们交换一切&img src=&///equation?tex=a%2Bb%5Csqrt%7B5%7D& alt=&a+b\sqrt{5}& eeimg=&1&&与&img src=&///equation?tex=a-b%5Csqrt%7B5%7D& alt=&a-b\sqrt{5}& eeimg=&1&&，得到&img src=&///equation?tex=%282-%5Csqrt%7B5%7D%29%283%2B%5Csqrt%7B5%7D%29%3D1-%5Csqrt%7B5%7D& alt=&(2-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})=1-\sqrt{5}& eeimg=&1&&，而这个等式依然是成立的！&/p&&p&也许这有些难以置信，但事实就是如此。你可以自己尝试更多的例子=w=&/p&&p&套用之前的比方，如果我现在造出一个机器，它有无穷多个按钮，对应了域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B5%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{5})& eeimg=&1&&的每一个数。它可以正确地计算域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B5%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{5})& eeimg=&1&&中的加减乘除（如之前一样，以亮灯的形式）。如果我同时交换一切&img src=&///equation?tex=a%2Bb%5Csqrt%7B5%7D& alt=&a+b\sqrt{5}& eeimg=&1&&与&img src=&///equation?tex=a-b%5Csqrt%7B5%7D& alt=&a-b\sqrt{5}& eeimg=&1&&的按钮标签，这个机器依然能够正确的计算加减乘除！&/p&&p&所以，如之前一样，这个『交换标签』的操作是域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B5%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{5})& eeimg=&1&&的『同构』。不仅如此，它还是一个『&b&自同构&/b&』，因为它没有牵涉到任何『新的标签』，&b&仅仅是把原有的标签换了位置&/b&！&/p&&p&其实，我们在中学数学里早已接触过域的自同构了。&/p&&p&不知大家是否还记得，我们在解二次方程时，复数解一定是成对出现的——如果其中的一个解是复数，那么另一个解也是复数，并且这两个解一定共轭。&/p&&p&比如，&img src=&///equation?tex=x%5E2-2x%2B5%3D0& alt=&x^2-2x+5=0& eeimg=&1&&的解是&img src=&///equation?tex=1%2B2i& alt=&1+2i& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=1-2i& alt=&1-2i& eeimg=&1&&，它们是共轭的。&/p&&p&这是为什么呢？因为全体复数构成复数域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&&，其中的每个元素都可以写成&img src=&///equation?tex=a%2Bbi& alt=&a+bi& eeimg=&1&&的形式，而『同时交换一切&img src=&///equation?tex=a%2Bbi& alt=&a+bi& eeimg=&1&&与&img src=&///equation?tex=a-bi& alt=&a-bi& eeimg=&1&&』是复数域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&&的自同构。&/p&&p&我们把思路理一下。如果我们已经知道『同时交换一切&img src=&///equation?tex=a%2Bbi& alt=&a+bi& eeimg=&1&&与&img src=&///equation?tex=a-bi& alt=&a-bi& eeimg=&1&&』是复数域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&&的自同构，那么对于任何一个等式，比如&img src=&///equation?tex=%281%2B2i%29%5E2-2%281%2B2i%29%2B5%3D0& alt=&(1+2i)^2-2(1+2i)+5=0& eeimg=&1&&，我们可以放心地交换&img src=&///equation?tex=1%2B2i& alt=&1+2i& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=1-2i& alt=&1-2i& eeimg=&1&&，得到&img src=&///equation?tex=%281-2i%29%5E2-2%281-2i%29%2B5%3D0& alt=&(1-2i)^2-2(1-2i)+5=0& eeimg=&1&&；前者意味着&img src=&///equation?tex=1%2B2i& alt=&1+2i& eeimg=&1&&是&img src=&///equation?tex=x%5E2-2x%2B5%3D0& alt=&x^2-2x+5=0& eeimg=&1&&的解，后者意味着&img src=&///equation?tex=1-2i& alt=&1-2i& eeimg=&1&&是&img src=&///equation?tex=x%5E2-2x%2B5%3D0& alt=&x^2-2x+5=0& eeimg=&1&&的解。&/p&&p&所以，二次多项式的复根一定是成对出现的。（实际上，我们完全不用局限于二次——任何次数的多项式的复根都是成对出现的，理由正是『交换共轭对』是复数域的自同构。）&/p&&p&接下来的一句话很重要！&/p&&p&&b&『自同构』就是一个域的『对称操作』。&/b&&/p&&p&（其实我之前讲了这么多，就是为了说出这句话。不妨停下来想一想，确定自己理解这句话之后再继续往下读。）&/p&&p&所以，一个域的所有自同构构成了一个群——我们称之为『自同构群』。&/p&&p&那么域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%28%5Csqrt%7B5%7D%29& alt=&\mathbb{Q}(\sqrt{5})& eeimg=&1&&的自同构群是什么呢？&/p&&p&『同时交换一切&img src=&///equation?tex=a%2Bb%5Csqrt%7B5%7D& alt=&a+b\sqrt{5}& eeimg=&1&&与&img src=&///equation?tex=a-b%5Csqrt%7B5%7D& alt=&a-b\sqrt{5}& eeimg=&1&&』是一个对称操作（自同构），并且『恒等操作』也是一个对称操作（自同构），除此之外没有更多的对称操作（自同构）了。所以，其对称群就是&img src=&///equation?tex=S_2& alt=&S_2& eeimg=&1&&——还记得这个符号吗？回想一下排列纸杯的例子吧。&/p&&p&（其实这就相当于是在置换&img src=&///equation?tex=%5Cpm+%5Csqrt%7B5%7D& alt=&\pm \sqrt{5}& eeimg=&1&&，因为它们的变动完全决定了域中每一个数的变动。）&/p&&p&为了避免大家迷失在众多的数学概念中，我们来简短地回顾一下：&/p&&p&我们的目的是&b&寻找五次方程的根式解&/b&。由于五次方程的解往往不在有理数域中，所以我们只能寄希望于&b&通过『开方』不断地扩张数域&/b&，直到数域包含五次方程的解。&b&同时，方程的解具有对称性，并可以转化为所在的域的对称性，可以用『自同构群』来描述。&/b&&/p&&p&如果我们能说明『五次方程的解所在的域』具有的对称性与『可以通过开方扩张的数域』具有不同的对称性，那么就意味着『五次方程的解所在的域』不是『可以通过开方扩张的数域』，也就意味着五次方程没有求根公式。&/p&&p&所以，为了说明这一点，我们不仅需要研究『域』的对称性，还需要研究&b&『域扩张』的对称性&/b&。域的对称性可以用『自同构群』来描述，而域扩张的对称性则可以用『&b&伽罗瓦群&/b&』来描述。&/p&&p&有了之前这么多的铺垫，『伽罗瓦群』就不难理解了——&b&它只是『自同构群』的『子群』罢了&/b&。&/p&&p&&br&&/p&&p&===============第五节===============&/p&&p&【子群、域扩张的对称性、伽罗瓦群】&/p&&p&『&b&子群&/b&』的概念与『子集』类似，很简单。&b&H是G的子群就意味着G包含了H中的所有对称操作。&/b&也就是说，&b&H是G的『一部分』&/b&——当然，&b&H也得是一个群&/b&。&/p&&p&举个例子，回到最开始的正方形。如果不允许翻折，那么正方形具有四种对称操作，它们构成的群记作&img src=&///equation?tex=C_4& alt=&C_4& eeimg=&1&&；如果允许翻折，那么正方形据有八种对称操作，它们构成的群记作&img src=&///equation?tex=D_4& alt=&D_4& eeimg=&1&&. 显然，每一个&img src=&///equation?tex=C_4& alt=&C_4& eeimg=&1&&里的对称操作都在&img src=&///equation?tex=D_4& alt=&D_4& eeimg