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新乐霸气入驻中国——老品牌,新运作
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(1)线段BC的长为50cm.
(2)设△PDQ的面积为S.
①求S关于t的函数解析式;
②当P在何处时△PDQ的面积最大,最大值是多少?
(3)当t为何值时,△PDQ是等腰三角形;
(4)若点P关于直线BD的对称点为P′,连接P′E,当t=s或5s时,P′E∥BD(直接写出答案).
解:(1)∵∠A=90°,AB=30cm,AD=40cm,
∴BD=2+AD2
∴BC=BD=50cm;
(2)①如图,过Q作QF⊥AD于点F,则△ABD∽△FQD,
解得QF=3t,
∴S=PDoQF=(40-4t)o3t=-6t2+60t,
即S═-6t2+60t;
②∵S=-6t2+60t=-6(t-5)2+150,
∴当t=5,AP=4×5=20cm,即P为AD的中点时,S有最大值150cm2;
(3)因为腰不明确,所以分三种情况讨论,
①当DP=DQ时,即40-4t=5t,解得,t=(s),
②当QP=QD时,过Q作QF⊥AD于点F,则PF=DF,△ABD∽△FQD,
解得DF=4t,
∴(40-4t)=4t,
解得,t=(s),
③当PD=PQ时,cos∠ADB==,
解得,t=(s),
综上所述,当t=,t=,t=(s)时,△PDQ为等腰三角形;
(4)①如图,当E在CD上时,延长AD交P′E的延长线于F点,显然DQ是△PEF的中位线,
∴DQ∥EF,
∴∠1=∠3,
又∵BD=BC,
∴∠1=∠C,
∵AD∥BC,
∴∠2=∠C,
∴∠2=∠3,
∴EF=DF=PD=40-4t,
由DQ是△PEF的中位线得,DQ=EF,
∴5t=(40-4t),
解得t=(s),
②如图,当E在BC上时,则QR是△PEP′的中位线,Q是PE的中点,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
在△PDQ和△EBQ中,
∴△PDQ≌△EBQ(AAS),
∴DQ=QB=BD,
即5t=×50,
解得t=5(s),
综上所述,当t=s或5s时,P′E∥BD
(1)利用勾股定理列式求出BD的长度,即为BC的长度;
(2)①过Q作QF⊥AD于点F,利用相似三角形对应边成比例列式求出QF的长度,再根据三角形的面积公式列式整理即可得解;
②根据二次函数的最值问题解答;
(3)因为腰长没有明确,所以分①DP=DQ,②QP=QD,③PD=PQ三种情况,分别用含有t的代数式列式求解即可;
(4)分①点E在CD边上时,延长AD交P′E的延长线于F点,显然DQ是△PEF的中位线,根据垂直于同一直线的两直线平行可得DQ∥EF,然后根据平行线的性质以及等边对等角的性质推出∠FDE=∠DEF,再用t的代数式表示出DF、EF的长度,根据等角对等边的性质列出方程求解即可;②点E在BC上时,则QR是△PEP′的中位线,可得Q是PE的中点,然后利用“角角边”
证明△PDQ和△EBQ全等,根据全等三角形对应边相等可得DQ=BQ,然后根据DQ=BD列出方程求解即可.

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