如图所示已知在三角形abc中,ab等于ac等于八,p是bc上任一点,pd垂直于ab于点d,pe垂直于ac于点e,若三角形abc的面积为十四,问pd加pe的值是否确定?若能确定是多少那不能确定请说明理由.
郭敦顒回答：在三角形ABC中,AB=AC=8,P是BC上任一点,PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,若三角形ABC的面积为14,问PD加PE的值是否确定?设AB边上的高为CM,AC边上的高为BN,则BN=CM=14×2/8=7/2,∠B=∠C,∴Rt⊿BCM≌Rt⊿CBN,∠NBC=∠MCB.P是BC上任一点,作PG⊥CM于G,则DPGM为矩形,PD=GM,∠CPG=∠B=∠C,PD∥CM,∠EPC=∠NBC,∠EPC=∠MCB,∠GCB=∠MCB（同角）,∴∠EPC=∠GCB,在△GPC与ECP中,∠EPC=∠GCB,∠CPG=∠C,PC为公共边,∴△GPC≌ECP,CG=PE,PD+PE=GM+CG=CM=3.5,∴PD+PE= CM=3.5,可以确定.&&&&&&&&&&&&&& &&至A&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 至A& & & & & && & && & & &&& &&&&&&&&&&&&&&& &M&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& N&&&&&&&&&& D&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& G&&&&& &&&&&&&&&E&&&&&&&&& B&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&P&&&&&&&&&&&&&&&&& C
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S(△ABC)=S(△PAB)+S(△PAC)=PD·AB/2+PE·AC/2=4(PE+PD)=14,因此PE+PD=7/2
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第四章 三角形1 认识三角形第4课时 三角形的高线活动1 知识准备按要求画图：过点P画直线l的垂线，垂足为O.图4－1－60[答案]略活动2 教材导学探究三角形的高1．画出图中每个三角形的三条高．图4－1－61[答案]如图4－1－62所示．图4－1－622．通过上面的活动，你发现三角形的三条高有什么特点？[答案]三角形的三条高所在的直线交于一点．锐角三角形的三条高交于三角形内一点；直角三角形的三条高交于直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形外一点．◆知识链接――[新知梳理]知识点一、二? 知识点一 三角形的高的概念从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外．? 知识点二 三角形的高的位置特征三角形的三条高所在的直线交于一点． 探究问题一 利用面积相等求线段的长例1 [高频考题]如图4－1－63所示，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD＝10，CE＝9，AB＝12，求BC的长．图4－1－63解：因为AD，CE是△ABC的两条高，所以BC?AD＝S△ABC＝AB?CE，即BC?AD＝AB?CE.因为AD＝10，CE＝9，AB＝12，所以10BC＝12×9，所以BC＝10.8.[归纳总结]解决此题的方法称为面积法，当题目中出现垂直条件时，要留心这一方法．利用图形的面积相等构建方程，是求解相关线段长的重要方法，其中表示图形的面积方法有直接(运用图形面积公式)计算、间接(图形面积的加减)计算，一般涉及有关高的问题，常与面积计算有关．探究问题二 与三角形中线、角平分线、高有关的计算与应用例2 [高频考题]如图4－1－64，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．(1)若∠ABE＝15°，∠BAD＝35°，求∠BED的度数；(2)在△BED中作BD边上的高；(3)若△ABC的面积为60，BD＝5，则点E到BC边的距离为多少？图4－1－64解：(1)∵∠ABE＝15°，∠BAD＝35°，∴∠BEA＝180°－∠ABE－∠BAD＝130°，∴∠BED＝180°－∠BEA＝50°.(2)如图4－1－65所示，EF即是△BED中BD边上的高．图4－1－65(3)∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，∴S△BED＝S△ABC＝×60＝15.∵BD＝5，∴EF＝2S△BED÷BD＝2×15÷5＝6，即点E到BC边的距离为6.[归纳总结]三角形的角平分线、高、中线都是线段，三角形的高常与三角形的面积紧紧联系在一起，常用来求解面积，三角形的中线可以平分三角形的面积，在已知面积的情况下可以依据中线求解相关图形的面积．一、选择题1．小胡在电话中问小号：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小号提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小胡根据小号的提示，作出的图形正确的是( )图4－1－66[答案]C2．三角形三条高所在直线的交点一定在( )A．三角形的内部B．三角形的外部C．三角形的内部或外部D．三角形的内部、外部或顶点上[解析]D 锐角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的内部，直角三角形的三条高所在直线的交点在直角顶点，钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部．3．如图4－1－67所示，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，DE⊥BC于点E，下列说法中错误的是( )图4－1－67A．△ABC中，AC是BC边上的高B．△BCD中，DE是BC边上的高C．△ABE中，DE是BE边上的高D．△ACD中，AD是CD边上的高[答案]C二、填空题4．一个直角三角形两条直角边长分别是3和4，斜边长是5，则斜边上的高为________．[答案]三、解答题5．如图4－1－68，在△ABC中，(1)画出△ABC的角平分线AD；(2)画出△ABC的中线BE；(3)画出△ACD的边AC上的高和CD上的高．图4－1－68 图4－1－69解：图形如图4－1－69所示．6．如图4－1－70所示，已知△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高．求∠DBC的度数．图4－1－70[解析]∠DBC在△BDC中，∠BDC＝90°，为求∠DBC，应先求出∠C.解：设∠A＝x°，则∠C＝∠ABC＝2x°，∴x＋2x＋2x＝180，解得x＝36，∴∠C＝72°.在△BDC中，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC＝180°－90°－72°＝18°.7．如图4－1－71所示，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AE是△ABC中∠BAC的平分线，∠B＝45°，∠AED＝80°.求∠C，∠EAD的度数．图4－1－71解：由图形有∠BAE＋∠B＋∠BEA＝180°，∠BEA＋∠AED＝180°，所以∠AED＝∠B＋∠BAE，所以∠BAE＝35°.所以∠BAC＝2∠BAE＝70°.所以∠C＝180°－∠BAC－∠B＝65°.在△AED中，有∠EAD＝180°－∠AED－∠ADE＝180°－80°－90°＝10°.如图4－1－72所示，已知在△ABC中，AB＝AC＝8，P是BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E.若△ABC的面积为14，问：PD＋PE的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，请说明理由．图4－1－72解：PD＋PE的值能确定，且PD＋PE＝.理由如下：连接AP，则S△ABC＝S△ABP＋S△APC.因为S△ABC＝14，S△ABP＝AB?PD，S△APC＝AC?PE，所以14＝AB?PD＋AC?PE，即14＝×8PD＋×8PE.所以4(PD＋PE)＝14.所以PD＋PE＝.
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与三角形有关的线段
1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.
2.三角形三边的不等关系
三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。
3.三角形的高：从三角形的 向它的 作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
三角形的三条高相交于一点。
4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）
5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 与
之间的线段,叫做三角形的角平分线.
三角形三个角的平分线相交于一点
三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
6.三角形的稳定性:
例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.
例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。
例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a 2b，c-a 4cm，求a、b、c的长.
例4.已知等腰三角形的周长是16cm．
（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；
（2）若其中一
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在△ABC中,AB=AC=8,P是BC上任意一点,PD⊥AB于点D,DE⊥AC于点E。若△ABC的面积为14问：PD+PE的值是否确定
提问者采纳
PG⊥BF于G易证Rt△PGB≌Rt△PDB∴PG=PD∵PG⊥BF、P;2，P与C重合时有最大值7/2证明;2+CE如果是PE⊥AC于E，则PD+PE≡7&#47：作BF∥AC、G三点共线∴PD+PE=EG=7&#47，PE⊥AC，BF∥AC∴E不确定P与B重合时有最小值7&#47
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出门在外也不愁如图,已知在三角形ABC中,AB=AC=8,P是BC上任意一点,PD垂直AB于点D,DE垂直AC于点E.若三角形ABC的面积为14.问：PD+PE的值是否确定?若能确定,是多少?若不能确定,请说明理由.
因为三角形ABC的面积为14,所以PD+PE的值为定值.由已知：AB=AC=8,S(△ABC)=14,得S(△ABC)=1/2*AB*PD+1/2*AC*PE=1/2*8*PD+1/2*8*PE)=141/2*8*(PD+PE)=14PD+PE=14/4=3.5即&PD+PE=3.5
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