在△abc中,∠A=90°,DE垂直平分弦的直径垂直于弦BC,求证,BE^2-AE^2=AC^2

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-03-16 05:15 标签： 垂直平分线的性质
如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点，DE垂直AB于E，求证：BC?=BE?-AE?.
如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点，DE垂直AB于E，求证：BC?=BE?-AE?.
不区分大小写匿名
证明：D是AC中点，AD=CDDE?=AD?-AE?，故CD?=AD?=DE?+AE?BD?=DE?+BE?BC?=BD?-CD?=DE?+BE?-CD?=DE?+BE?-DE?-AE?=BE?-AE?
运用角AED和角DEB是直角得出两个勾股定理关系，再用两式子相减即可得BE?-AE?=BD?-AD?=BC?即得证
因为在Rt△CBD中CD^2+CB^2=DB^2
BE^2+DE^2=DB^2
AE^2+ED^2=AD^2 因为D为AC中点 所以AD^2=CD^2=AE^2+ED^2
所以AE^2+ED^2+CB^2=DB^2（用AD^2代替CD^2)
CD^2+CB^2=DB^2
AE^2+ED^2+CB^2=DB^2
可得BE^2+DE^2=AE^2+ED^2+CB^2
所以BE^2=AE^2+CB^2
证明：因为在△ABC中，∠C=90°，斜角边的平方是两条直角边的平方和，所以BC?=BD?-CD?，
又因为DE垂直AB于E，所以△ADE和△BDE都是直角三角形，所以BD?=BE?+DE?，而DE?=AD?-AE?，因而BD?=BE?+AD?-AE?，把它代换到BC?=BD?-CD?得：BC?=BE?+AD?-AE?-CD?，
因为D又是AC的中点，所以AD=CD，那么AD?=CD?，故而最后：BC?=BE?+AD?-AE?-CD?
得出：BC?=BE?-AE?
证：连接BD、得直角三角形BCD、BDE、ADE再分别写出这三个三角形的勾股，得三式，将其相减，即得所求
解：从D点做辅助线至A点，由于ED垂直与AB，所以三角形AED也是直角三角形
所以：AE^2=AD^2-ED^2
同理：BE^2=BD^2-ED^2
因此：AE^2-BE^2=AD^2-BD^2
由于角C为直角
所以：AD^=DC^2+AC^2
将方程(4)代入(3)中可得
AE^2-BE^2=DC^2+AC^2-BD^2
已知D点为BC中点，BD=DC
所以 AE^2-BE^2=AC^2
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数学领域专家
& &SOGOU - 京ICP证050897号如图,在三角形ABC中,角C=90度,D是BC的中点DE垂直AB于点E,求证AE^2-BE^2=AC^2_百度作业帮
如图,在三角形ABC中,角C=90度,D是BC的中点DE垂直AB于点E,求证AE^2-BE^2=AC^2
ycycedc5586
从D点做辅助线至A点,由于ED垂直与AB,所以三角形AED也是直角三角形所以：AE^2=AD^2-ED^2 (1)同理：BE^2=BD^2-ED^2 (2)因此：AE^2-BE^2=AD^2-BD^2 (3)由于角C为直角所以：AD^=DC^2+AC^2 (4)将方程(4)代入(3)中可得AE^2-BE^2=DC^2+AC^2-BD^2 (5)已知D点为BC中点,BD=DC所以 AE^2-BE^2=AC^2
其他类似问题
连接AD,AE^2-BE^2 可以写成（AD^2-DE^2)-(BD^2-DE^2),接着化简的事，你应该会了吧
是否可以把这道题的整个过程写一下！
2.因为 AE^2-BE^2=(AD^2-DE^2)-(BD^2-DE^2),化简得 AD^2-BD^2
3.又因为BD=CD,所以 AD^2-BD^2=AD^2-CD^2=AC^2
4.所以证得
AE^2-BE^2=AC^2
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【切线的性质定理】圆的切线垂直于经过切点的半径。&【推论1】经过圆心且垂直于切线的必经过切点；&【推论2】经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC...”，相似的试题还有：
如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AB=6，AE=\frac{24}{5}，求BD和BC的长．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90&，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．(Ⅰ)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；(Ⅱ)若，求EC的长．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90&，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．(1)求证：点E是边BC的中点；(2)若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长度．已知，如图，在△ABC中，∠A=90°，DE为BC的垂直平分线，求证：BE2=AC2+AE2．_百度作业帮
已知，如图，在△ABC中，∠A=90°，DE为BC的垂直平分线，求证：BE2=AC2+AE2．
V天使P騵瑿9
∵DE为BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴BE2-AE2=CE2-AE2=AC2，即BE2=AC2+AE2．
其他类似问题
根据垂直平分线的性质可得CE=BE，根据勾股定理可得BE2-AE2=CE2-AE2=AC2，问题得解．
本题考点：
勾股定理；线段垂直平分线的性质．
考点点评：
本题考查了垂直平分线的性质和勾股定理，解题的根据是注意线段相互间的转化．
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