高中数学。这里我算对了么？为什么我觉得又上角n而不是n-1？_百度知道
高中数学。这里我算对了么？为什么我觉得又上角n而不是n-1？
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样本方差S^2中是X均值是已知的,假设样本容量为n,那么只需知道n-1个样本值即可,剩下的一个样本值由总体均值减去这n-1个样本值得到,故只需n-1个样本值,即服从n-1个自由度
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噢~~我好像有点明白了。。非常感谢~~
扫描下载二维码这个结果是16，，不懂是怎么算出来的，特别是x*f(x,n-1)这是什么意思？_百度知道
这个结果是16，，不懂是怎么算出来的，特别是x*f(x,n-1)这是什么意思？
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4)= 2 *fun(2,2)=2* 2 *2*fun(2： 2 *fun(2,1)进入判断 n==1结果是ture,2)***************************第3次进入fun(2,3)=2* 2 *fun(2：fun(2,n)************第一次，那就返回x也就是2fun(2,n-1)这是递归简单地说就是代入x和n的值就是,1)***************************最后进入fun(2,2)进入判断 n==1结果肯定是false,n-1)也就是2*fun(2,4)进入判断 n==1结果肯定是false,3)***************************于是第二次进入fun(2,n-1)也就是2*fun(2， 那就执行x*fun(x， 那就执行x*fun(x， 那就执行x*fun(x,3)进入判断 n==1结果肯定是false，x=2fun(xn=4
x*f(x,n-1)就是递归调用自己，直到有值返回
那16怎么来的
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出门在外也不愁为什么样本方差（sample variance）的分母是 n-1？
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上面有答案解释得很明确，即样本方差计算公式里分母为的目的是为了让方差的估计是无偏的。无偏的估计(unbiased estimator)比有偏估计(biased estimator)更好是符合直觉的，尽管有的统计学家认为让mean square error即MSE最小才更有意义，这个问题我们不在这里探讨；不符合直觉的是，为什么分母必须得是而不是才能使得该估计无偏。我相信这是题主真正困惑的地方。要回答这个问题，偷懒的办法是让困惑的题主去看下面这个等式的数学证明：.但是这个答案显然不够直观（教材里面统计学家像变魔法似的不知怎么就得到了上面这个等式）。下面我将提供一个略微更友善一点的解释。======================================================================================= 答案的分割线 =====================================================================================================首先，我们假定随机变量的数学期望是已知的，然而方差未知。在这个条件下，根据方差的定义我们有由此可得.因此是方差的一个无偏估计，注意式中的分母不偏不倚正好是！这个结果符合直觉，并且在数学上也是显而易见的。现在，我们考虑随机变量的数学期望是未知的情形。这时，我们会倾向于无脑直接用样本均值替换掉上面式子中的。这样做有什么后果呢？后果就是，如果直接使用作为估计，那么你会倾向于低估方差！这是因为：换言之，除非正好，否则我们一定有,而不等式右边的那位才是的对方差的“正确”估计！这个不等式说明了，为什么直接使用会导致对方差的低估。那么，在不知道随机变量真实数学期望的前提下，如何“正确”的估计方差呢？答案是把上式中的分母换成，通过这种方法把原来的偏小的估计“放大”一点点，我们就能获得对方差的正确估计了：至于为什么分母是而不是或者别的什么数，最好还是去看真正的数学证明，因为数学证明的根本目的就是告诉人们“为什么”；暂时我没有办法给出更“初等”的解释了。
（補充一句哦，題主問的方差 estimator 通常用 moments 方法估計。如果用的是 ML 方法，請不要多想不是你們想的那樣， 方差的 estimator 的期望一樣是有 bias 的，有興趣的同學可以自己用正態分佈算算看。）本來，按照定義，方差的 estimator 應該是這個：但，這個 estimator 有 bias，因為：但，這個 estimator 有 bias，因為：而 (n-1)/n * σ? != σ? ，所以，為了避免使用有 bias 的 estimator，我們通常使用它的修正值 S?：
样本方差与样本均值，都是随机变量，都有自己的分布，也都可能有自己的期望与方差。取分母n-1，可使样本方差的期望等于总体方差，即这种定义的样本方差是总体方差的无偏估计。 简单理解，因为算方差用到了均值，所以自由度就少了1，自然就是除以(n-1)了。再不能理解的话，形象一点，对于样本方差来说，假如从总体中只取一个样本，即n=1，那么样本方差公式的分子分母都为0，方差完全不确定。这个好理解，因为样本方差是用来估计总体中个体之间的变化大小，只拿到一个个体，当然完全看不出变化大小。反之，如果公式的分母不是n-1而是n，计算出的方差就是0——这是不合理的，因为不能只看到一个个体就断定总体的个体之间变化大小为0。我不知道是不是说清楚了，详细的推导相关书上有，可以查阅。
我来补充一个新的视角吧，希望能帮助理解。有很多人提到了“自由度”的概念。那么自由度是什么？说的好玄乎，什么因为估计了一个参数所以少了一个自由度。我说自由度是矩阵的“秩”或者“迹”有人信吗？不信？来看：就写这么多了。就写这么多了。另外排名最高的答案道出了实情，就是这个scalar不一定是n-1，也可能是n，n+1。但是他没说清楚为什么我们要追求无偏性。一般来说，极大似然的估计量可以保证一致性，但是不能保证无偏性。而一致性是在样本量很大的情况下的性质，但是小样本情形下未必多么好。所以我们做假设检验的时候经常要调整自由度的，大样本情况下你甚至可以忽略t和N，x2和F的差异，但是样本小的情况下，我们更愿意用t而非N，用F而非x2.===================居然被顶的这么高。嗯嗯，那我就继续补充吧。回答评论区里面对几个问题。有人说这么简单一个问题你搞这么复杂干嘛。首先这个一点都不复杂，为了大家看清楚步骤写的比较详细而已，实际上非常简单的东西，只要你熟练掌握线性代数。而且，这是最简单的情形。稍微复杂一点的应用中，不这么麻烦你会搞糊涂的。比如工具变量的估计，假设N个观测，K个解释变量，K+1个工具变量，你告诉我计算误差项的方差的时候，是（N-K）还是（N-K-1）还是（N-K-K-1）？第一阶段不是已经估计量K+1个参数吗？要不要算在自由度里面？有兴趣自己用上面的方法简单推一下就明白了。projection而已。大神提到应该是trace，的确应该是trace，只不过我这里都是正交投影，trace=rank，但是我想用rank可以表达出跟“因为估计了一个参数”共同的理解，理解成N维空间里面投影的时候有一维共线了，这个纯属我自己多想。 说教材太过拘泥于无偏性，其实自由度调整有的时候不仅仅是为了无偏。举个栗子：当我们做面板效应固定效应（FE）的时候，如果计算误差项的方差，应该是用1/（NT-K）吗？嗯嗯，错了。应该用1/（NT-N-K）。为什么？你可以用上面的矩阵的形式推出来，也可以理解成我们做within group transformation的时候实际上每个group都减掉了一期，所以样本量相当于只有N(T-1)，也可以回想一下FE估计等价于FD估计的GLS估计，而FD估计只有N(T-1)个样本。不管了，反正记住FE计算方差要用NT-N-K，所以你看这里如果不对自由度做调整，这个方差的估计量连一致的都不是。当N趋向于无穷的时候，两种方法计算出来的趋向于T/(T-1)倍，两期的话就是两倍，三期的话就是1.5倍，差异很明显。此外，在一定条件下，FE对个体异质性的估计虽然不是一致的，但是可以是无偏的。存在总是有道理的。
是为了得到无偏估计。但是在现代统计学里，无偏估计不重要，最小化risk，比如minmax estimator更有意义。对于方差的例子，加一减一没啥区别。数据量够大时大家一样，数据量小时，做统计分析也没啥意义，Larry Wasserman原话。
使用样本来无偏估计总体方差的时候，公式如下：
为什么分母是n-1，而不是n呢？这直觉上不太对。其实，如果分母为n，也可以成为一个估计值，但是它不满足无偏这个条件。仅在除以n-1时才满足无偏这个条件。所以说，关键问题在于“无偏”。那么“无偏”的定义是什么？如果一个估计量是“无偏”的，那么它的期望就等于真实值。
看到一些书上和网上的资料，有不同的角度。现在按照从感性角度到理性角度的顺序对它们进行整理：角度一 生活实例
样本的容量小于整体，所以有较小的可能性抽中一些极端的数据。比如找来一堆人做样本来测量身高，那么样本中出现巨人的可能性是很小的，这样得到的结果可能就会比实际小。为了弥补这点不足，就把分母变得小一些，这样就更能反应实际数据了。
质疑：这个解释其实不太合理。因为既然可能抽不到高个子，也同样可能抽不到矮个子，所以，分母既然可以变得小一些，也就应该有同样的理由变得大一些。我认为这个角度并不能说明问题。角度二 自由度
自由度指的是等式中能够自由取值的变量的个数，如果有n个数能够自由取值，那么自由度就为n。
在公式①中， Xi有n个可取的值，所以Xi的自由度为n，但是，它接着还减去了 ，而 代表了样本中第1到第n个数值的平均值。那么，其实相当于增加了一个限制条件，原来的自由度要减去1，得n-1。(可以这样理解，如果自由度仍为n，那么n个数可以随意取值的情况下，是不能得到一个确定的均值的。或者说，一堆数，如果知道了均值，那么其实只需要知道另外的n-1个数，这堆数中的每个数都确定了)角度三 公式推导
参考高教《概率论与数理统计》第168页。首先，这是对公式本身的化简。现在，求S2的期望其中，μ和σ
分别是总体X的均值和方差。并且，倒数第二步,两次运用了下面这个方差的性质： D(X)=E(X2)-[E(X)]2 角度4 依然公式推导
依然是公式推导，过程有小区别。在有详细描述。
其中，原文中谈到“关于第二部分和第三部分，实际上有...”后紧跟着的公式那里，我一开始没有看懂，请教老师后发现。过程是这样的：对于适用条件：参见样本描述：研究中实际观测或调查的一部分个体称为样本(sample)，研究对象的全部称为总体。为了使样本能够正确反映总体情况，对总体要有明确的规定；总体内所有观察单位必须是同质的；在抽取样本的过程中，必须遵守随机化原则；样本的观察单位还要有足够的数量。又称“子样”。按照一定的抽样规则从总体中取出的一部分个体。样本中个体的数目称为“”。
先谢谢少年邀请啦！兔纸才疏学浅受宠若惊~我认为，样本方差的分母为n-1最主要的原因是这样样本方差才是总体方差的无偏估计。证明如下：由Student's Theorem,而故是总体方差的无偏估计，只是总体方差的渐进无偏估计。但是，我觉得在现在人力物力财力都充足的时代，计算机运算速度更是比以前快了那么多，还有人只做30个样本一下的小样本抽样么？那么，既然是大样本了，这俩其实差别不大吧？至于上面有人说无偏估计、MLE等等各种估计量用哪个的问题，我觉得这很大程度上取决于使用者的价值观了吧。各有利弊，就看问题的背景需求和你如何定义那个balance了，所以我觉得统计有意思的地方之一就是 她不仅仅是一门科学还是一门艺术。
我来说个我们这种文科生都能看得懂的。如果让你列出三个数，X1、X2、X3,，要求这三个数的平均值是5。可以有很多种，什么5、4、3，什么1、4、10，列着列着你就会发现，X1、X2、X3着三个数字，只要前面两个列出来了，第三个数字直接就确定了。如果让你列四个数字，X1、X2、X3、X4，平均值是5，你依然会发现只要列出前面三个数字，最后一个数字就确定了。所以这里我们引出一个概念，叫自由度。顾名思义，就是可以自由取值的个数。相信文科生们看到这里都知道了，这里自由度就是n-1。那么，为什么要除以的是自由度呢？因为，在计算样本标准差之前，先把样本的平均值算出来。既然样本个数知道了，平均值知道了，那自由取值的个数不就是n-1了吗？除以自由度以后我们会发现，样本的标准差是总体标准差的无偏估计量。
我能说陈述不成立么？嗯，样本方差的分母是m-1是因为他是无偏的，嗯，这个解释其实蛮牵强。分母是m-1的情况下，估计值是总体方差的无偏估计。分母是m的情况下，估计值是最大似然估计。分母是m+1的情况下，估计值是最小MSE（Mean Squared Error) 的估计。那凭什么m-1就好呢？无偏就这么好，要比最大似然好，要比最小MSE好？如果觉得样本够大，那么用m-1是不错的，因为在大样本下，参数的方差就算大一点儿也不会多多少，影响也不会大到哪儿去。如果要保证信息利用充分，那我肯定选择最大似然估计的方差。如果样本数量较小，我就选择最小MSE，因为此时无偏性其实不是第一准则，因为无偏导致了大方差是不可取的行为。统计是一门很灵活的学科，不同的数据，会有不同的方法来处理。
因为样本均值与实际均值有差别。如果分母用n，样本估计出的就方差会小于真实方差。维基上有具体计算过程：
其实你可以这样想：样本均值只可能在一堆抽样值之间，而实际均值可能不在这一堆抽样值中间。所以拿样本均值来估计方差肯定是把方差变小了的。
除以n-1了以后是无偏估计 因为我们关心的是真实的方差即总体方差，但总体方差往往不可知，所以要用样本方差对总体方差进行估计。可以通过概率论证明，分母为n-1的样本方差才是总体方差的无偏估计，而无偏性是评价一个估计的重要准则，无偏性保证了你的估计量会均匀地落在真实的总体方差的附近。当然了，当n很大的时候，其实除以n和除以n-1的区别并不大。随着样本的增多，两者都会收敛到真实的总体方差。
因为自由度是n-1
把样本容量为n的样本分成两部分，前n-1个x(x1到xn-1)和最后第n个x。前n-1个可以变化，但是没一次变化都固定对应一个xn，而如果变化的是前n-2个，剩下两个xn-1和xn不能全都确定，所以可以理解为自由度是n-1我一直是这么理解的。。好记虽然不知道对不对
答案作为 答案的补充，
要觉得有用可以直接领走。简单来说为什么少了一个自由度：一般假设是围绕均值正太分布的。各个之间是独立的。那么-也都是正太分布，按理说也应该有个自由度，但是他被一个线性条件约束着：那一个自由度就是丢在这里了。这个解释不需要Matrix Theory和Multivariate Analysis的知识。
我觉得无偏估计可以这么理解。因为均值你已经用了n个数的平均来做估计　在求方差时，只有　(n-1)个数　和　均值信息　是不相关的。而你的第ｎ个数已经可以由前(n-1)个数和均值　来唯一确定，实际上没有信息量所以在计算方差时，只除以(n-1)
排名第一的答案分了三种情况，前两个还好，最后一个n+1看起来有点让人摸不到脑袋额，在这里我对n+1作下严格的分析，为什么它是最小化均方误差的估计。
有一个特别简单的解释。见图。
一句话的事。测量平均值是有方差的。测量值与测量平均值的差的平方和 的平均。是本次的测量值与本次测量平均值之间的方差。不是测量值与真实平均值之间的方差。想要计算测量值与真实平均值之间的方差。还需要加上真实平均值和测量平均值之间的方差。有一正态分布。平均值是 X(真实）。 方差是 套方(测量相对真实）。不管测量多少次。平均而言。 测量值X(测量）与X(真实)之间的方差都是套方(测量相对真实）。可是X(真实）是多少呢？ 没有人知道。知道就不用测量了。所以大多数情况利用X(测量）是无法得到套方(测量相对真实）。但是人们可以得到一个值，就是测量平均值。X(测量平均） 以及 测量值和测量平均值之间的方差。套方(测量相对测量平均）。注意此时。得到的是 套方(测量相对测量平均）。而这个值其实是相对没有意义的。每次测量的平均值都不一样。人们更关心的其实是
套方(测量相对真实）。那么 怎么求呢。我们知道。由于多次测量取平均 X(测量平均） 相对真实值的方差 套方(测量平均相对真实）是 套方(测量相对真实）的N分之一。又知道。 套方(测量相对真实） =
套方(测量平均相对真实） + 套方(测量相对测量平均）于是得到。化简得到再次化简 得到
"估计总体的方差（\sigma\,）时所使用的統計量是樣本的方差s，而s必須用到樣本平均數\overline x來計算。\overline x在抽樣完成後已確定，所以大小為n的樣本中只要n-1个数确定了，第n個數就只有一個能使樣本符合\overline x的數值。也就是說，樣本中只有n-1個數可以自由變化，只要確定了這n-1個數，方差也就确定了。这裡，平均數\overline x就相当于一个限制条件，由于加了这个限制条件，樣本方差s的自由度为n-1。" [1][1] 自由度_(统计学)
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