暗物质已经有足够的观测证据，都是天文学的，还没有物理学探测的直接证据。&/p&&p&
1932年，荷兰天文学家奥尔特通过对银河系中的恒星的运动推测银河系面应该有更多的质量，也就是说有一些隐藏的质量不能用可见的恒星来解释，事后他的结果被认为是错误的。奥尔特是一个高产的天文学家，太阳系外围的奥尔特云就是以他的名字命名的。1933年，瑞士天文学家兹威基研究了由星系结成的星系团，得到类似的结论。他研究的对象是后发星系团，这是一个巨大的星系团，含有上千个星系。不过，兹威基推测的暗物质质量实在太大了。&/p&&p&
天文学界真正积累了暗物质证据的时代是上世纪60年代。女天文学家鲁宾对当时天文学的主流研究不感兴趣，去研究不那么主流的星系转动曲线。所谓星系转动曲线就是旋转的星系在距离星系中心不同距离处的速度曲线。她和同事福特一同发现，多数涡旋星系的转动速度大于理论计算的数值，一个最简单的原因是这些星系含有很多不可见的质量。他们的结果是，星系平均含有高于可见物质6倍的暗物质。&/p&&p&
经过天文学家长期的检验，鲁宾等人的结论得以确立，人们找到了更多的暗物质存在的证据，括通过星系引力场对其后面其他星系光线的弯曲的观测，直到现代宇宙学的一些观测。今天，研究星系以及星系尺度之上的天文学不用暗物质几乎是不可能的。&/p&&p&
在我读研究生的时候，人们还不知道暗物质究竟是什么。当时流行的两个主要候选者有燃烧尽的恒星和黑洞，以及所谓极弱相互作用粒子，这两类候选者有一个共同特点，都是不发光不可能用电磁学手段探测到的东西，但都引起更大的万有引力。慢慢地，人们认为只有极弱相互作用粒子是可能的候选者。&/p&&p&
近年来，宇宙学观测的主要方式有好多种，最引入注目的有两种，一种是用IA型超新星测量宇宙膨胀的历史，得出的结论是，暗物质占宇宙总质量的25%。第二种方式是探测宇宙中无所不在的微波背景辐射，这一种方法得到的最新结论是，暗物质占宇宙总质量的26.8%。可见物质有多少？只有4.9%，这个结果证明当年鲁宾等人的结果接近正确。&/p&&p&
现在，天文学家对暗物质的“共识”是，暗物质主要成分是不参与电磁相互作用的粒子，这些粒子统称WIMPs（参与极弱相互作用的重粒子）。这些粒子较重，运动的速度较低，叫做冷暗物质，分布于星系中和星系的外围，以及星系团中和星系团的外围，这些结构叫暗物质晕。星系的暗物质晕的密度要大于星系团的暗物质晕。它们的存在使得每个恒星感受到的引力大于恒星引起的引力，使得每个恒星绕星系中心的运动速度变大，使得星系团中的星系之间的相对运动速度变大。另外，它们对背景的星系和星系团具有引力透镜效应。除了可见的引力效应外，暗物质的存在影响了微波背景辐射以及大尺度结构的形成。&/p&&p&
现在，全世界很多国家加入了物理探测暗物质的队伍，这些探测分为太空探测和地下探测。前者是所谓间接探测，以丁肇中先生领导的AMS02实验为典型，这些探测器通常探测暗物质粒子衰变产生的粒子。地下探测则主要是直接探测，当暗物质粒子与探测器中物质的原子核发生碰撞时，原子核的反冲带来一系列可观测效应，中国在近几年加入了直接探测暗物质的行列，两个实验都在锦屏地下实验室，一个是清华大学的实验，一个是上海交通大学的实验。&/p&&p&
暗物质探测毫无疑问是当前最重要的物理学问题之一，暗物质的研究将带来基础物理学革命。&/p&&p&
至于快子，只是物理学中引发系统不稳定的模式，并不会以粒子的方式存在。当然，有些人假设存在稳定的快子，速度超光速，这种假设并无与现有物理学不矛盾的证据。&/p&
暗物质已经有足够的观测证据，都是天文学的，还没有物理学探测的直接证据。 1932年，荷兰天文学家奥尔特通过对银河系中的恒星的运动推测银河系面应该有更多的质量，也就是说有一些隐藏的质量不能用可见的恒星来解释，事后他的结果被认为是错误的。奥尔特是…
题主的问题换一个表述 就是给定一个size为n的hash table处理n条记录， 用链表的方法解决冲突，求最长链的期望。&br&&br&这个问题看起来就是CLRS Problems 11-2嘛...给出封闭形式也许很难， 但是得到一个比较tight的渐近表示还是不难的。&br&&br&CLRS上给出的结论是&img src=&///equation?tex=O%28lgn%2Flglgn%29& alt=&O(lgn/lglgn)& eeimg=&1&&.一个比较好的solution可以参考&a href=&///?target=https%3A///stanford/cs161/ps3sol.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&/stanford/&/span&&span class=&invisible&&cs161/ps3sol.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br& 与&a data-hash=&3cac8a3d820c9bc64b27ec3a7a8ac4bf& href=&///people/3cac8a3d820c9bc64b27ec3a7a8ac4bf& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@德安城& data-tip=&p$b$3cac8a3d820c9bc64b27ec3a7a8ac4bf&&@德安城&/a&得到的结果基本吻合。
题主的问题换一个表述 就是给定一个size为n的hash table处理n条记录， 用链表的方法解决冲突，求最长链的期望。这个问题看起来就是CLRS Problems 11-2嘛...给出封闭形式也许很难， 但是得到一个比较tight的渐近表示还是不难的。CLRS上给出的结论是O(lgn/lgl…
&b&最核心的价值是以更高的效率帮助企业对于客户进行分析和整合。&/b&&br&&br&这个星球上，有史以来，最为成功的组织或者商业模式如下，&br&&br&&b&发现或者培养高级和专业用户，把高级和专业用户变成自己人，然后赚低级和业余用户的钱。&/b&&br&&br&&br&&img src=&/84f5f320adca90b4ff36a_b.jpg& data-rawwidth=&453& data-rawheight=&111& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&453& data-original=&/84f5f320adca90b4ff36a_r.jpg&&&br&&br&大学，教会，中国的科举制度，都是此种商业和组织模式。&br&&br&&b&大数据会比传统的模式，帮助企业和组织，更高效率的发现和甄别用户的层级和类别；&/b&&b&同样的，大数据对于用户也是一个高效率的归类工具，尤其是对于高级和专业用户。&/b&&br&&br&&b&----------------------------------------------------------------------------------------------------------&/b&&br&大量的业余和低级用户=专业和高级用户，请参照蚂蚁和蜜蜂的组织结构，能够深刻理解这一点的，请在评论区下面举例说明。&br&&br&&b&你如果不能深刻的理解企业和用户之间的关系，你就无法理解商业技术的价值。&/b&
最核心的价值是以更高的效率帮助企业对于客户进行分析和整合。这个星球上，有史以来，最为成功的组织或者商业模式如下，发现或者培养高级和专业用户，把高级和专业用户变成自己人，然后赚低级和业余用户的钱。大学，教会，中国的科举制度，都是此种商业和组…
Following shows how to construct a wrong answer:&br&&br&Could be the case,&br&&br&Consider &br&&br&f(x)= 1 when x is irrational &br&f(x)=1+1/(|p|+|q|), where x=p/q the unique representation for (p,q)=1 if x&0 and for x&0 we can still choose q&0.&br&&br&Finally f(0)=-1.&br&&br&Then function f may satisfy the requirement.&br&&br&Not sure , please check it out.&br&&br&Oppps, this is a function continuous only in irrational points....ignore it
Following shows how to construct a wrong answer:Could be the case,Consider f(x)= 1 when x is irrational f(x)=1+1/(|p|+|q|), where x=p/q the unique representation for (p,q)=1 if x&0 and for x&0 we can still choose q&0.Finally f(0)=-1.Then …
先从证明来看的话，本质上因为 1 是奇数而 1 + 1 是偶数。一般情形用加法化归。&br&&br&1 + 1 = 2 是偶数是显然的，要证 1 是奇数（……咦）。其实具体是要说明 1 是自然数而不是 2 的倍数，而这是因为 2 乘以自然数都比 1 大。&br&&br&如果这里有什么值得惊奇的东西的话，大概是我们从自然数的 Peano 公理定义知道它们有一个全序，借此得到了关于乘法的结论。&br&&br&再说玄些，就是说在这里我们用的偶数的定义是构造的，但奇数是非构造的。为了把奇数刻画成所有后继为偶数的自然数，我们借助于序的结构。也许又可以追问为什么有序，但回答就只有诉诸更基本的结构。个人的体会是，越还原，意义越稀薄，形式化的气氛就越浓厚，所以最好有个度。
先从证明来看的话，本质上因为 1 是奇数而 1 + 1 是偶数。一般情形用加法化归。1 + 1 = 2 是偶数是显然的，要证 1 是奇数（……咦）。其实具体是要说明 1 是自然数而不是 2 的倍数，而这是因为 2 乘以自然数都比 1 大。如果这里有什么值得惊奇的东西的话，…
所以，题主一定已经了解群同构定理了，三个 isomorphism theorems&br&&br&正规子群一个重要的性质是可以被商掉建立商群，但是这也不是特别重要…重要的是，任何正规子群都是某个群同构的核。 进而我们可以把正规子群这个概念引申到广义代数里（universial algebra） 或者 variety 里，进而可以定义商代数。 一些简单的例子就是线性空间，环，modulo，等等等…对于线性空间的正规子群概念就是子空间，环里面就是ideal，modulo里面也叫ideal…&br&&br&如果前面的范畴性质不给力的话，Jordan-H?lder 定理中的composition sequence 就是一个正规子群链，商群都是简单群，每个群，额，每个有限群吧，必含有composition sequence 并且每条composition sequence 的引出商群集合是相同的，从这里可以得到很多有关有限群的性质&br&&br&如果还不给力的话， 一个有限群的solvability 是一个很有用的概念，同样是一个正规子群链，商群都是可交换的，在Galois理论中有一些应用。但本身也很有意思，比如任何的奇数群如果是简单群那么是同构于Z/pZ的，作为奇数群的solvability定理里面的一个重要结论。（那篇 F啥啥啥-thompson theorem 的论文 ，记不清作者名字了 ，叫on the solvability of groups with odd order 好像，我至今没看完…）&br&&br&关于conjugate，不知道哪个概念引出的哪个概念，conjugate的概念可以用于判定一个子群是不是正规的，前面的群同构的核和conjugate的判定都可以看成正规子群的定义。&br&&br&conjugate 的有意思的地方在于，通过它我们可以证明，任何的群都可以表示成某种 group action，任何group action 都能找到一个群，使得这个群是个自由的act on（这个应该翻译成 群作用么） 的， 并且这个自由的action的群是原来那个群的正规子群（或者，同构于那个群的一个正规子群）&br&&br&上面的思想其实可以引申到很多地方， 就不说Galois theory了因为感觉都属于纯代数，在拓扑中，相应的概念是universial covering space，然后每个拓扑空间的covering space 都可以看成是universial covering space的商空间，上面的foundamental group 也有相应的结构关系，就不细说了。 微分几何中，更确切的讲李群中，也有universial covering group 这个概念，当然这是拓扑covering space的扩展概念。&br&&br&上面的思想，在category theory中叫做universials，也不细说了暂时。好像已经跑题太远了。&br&&br&总结一下，不是我们需要正规子群，而是正规子群是一种更广泛的范畴概念在群范畴里面的具体表示而已。
所以，题主一定已经了解群同构定理了，三个 isomorphism theorems正规子群一个重要的性质是可以被商掉建立商群，但是这也不是特别重要…重要的是，任何正规子群都是某个群同构的核。 进而我们可以把正规子群这个概念引申到广义代数里（universial algebra）…
应邀回答。 &br&这个取决于你吧什么叫做“数”。 孤立的讨论一个东西是不是数是没有意义的， 我想你说的“数” 是一个“域”中的元素， 而域的定义是 一个集合上面有加法和乘法 满足 交换律，结合律，分配律。 而且非0元素有逆。
然后你说“更多” 是什么意义。 是指在集合意义下的更多， 还是域的意义下。 比如存在R到C的域的嵌入，但是不存在反向的嵌入。
但是R和C在集合意义下是一样大的。&br&但是不管怎么样，我们可以构造集合意义下任意大的域。
取 S是一个势必实数大的集合，比如R^R：=所以实数到实数的映射的集合。 那么C(S) 记成C加上S中所有元素生成的域。 S中的元素全部看成不定元，就是说他们全部代数无关。 那么这个域的基数和S一样大，所以比实数大。 同时实数能嵌入这个域。 至于为什么R^R基数比R大，这个就是经典的对角线法。
应邀回答。 这个取决于你吧什么叫做“数”。 孤立的讨论一个东西是不是数是没有意义的， 我想你说的“数” 是一个“域”中的元素， 而域的定义是 一个集合上面有加法和乘法 满足 交换律，结合律，分配律。 而且非0元素有逆。 然后你说“更多” 是什么意义。…
线性空间也可以定义在除环上&br&&br&实际上线性空间的推广就是所谓的环上的模。&br&然而推广之后的东西就不再如线性空间那么好了&br&比如无法定义一组基，或者两组基的个数不一样。&br&&br&如果有一组基的模叫自由模&br&如果环上的自由模满足它的任何两个基的个数一样，那么叫这种环为IBN环(invariant basis number不变基数)&br&&br&这样的IBN环很多，比如交换环，具体一点的例子是整数环Z&br&而Z模就是常说的交换群，于是交换群也可以统一在模论下。&br&当系数环是域(除环)时，那么域(除环)上的模就是线性空间。&br&&br&对于线性空间来说最重要的是可以研究线性代数咯&br&那么对于一般环上的模来说，线性代数的对应部分是什么呢？&br&或者说，线性代数在环上的推广是什么呢？&br&我很高兴可以介绍这样的“高等线性代数”的东东，也很高兴现在在这方面了解了一丁点也希望可以一直做下去，接下来就是几种不同却相通的线性代数的推广:&br&&br&群表示论:群G的一个表示就是一个二元组(V,f)，G是一个群，V是一个线性空间(对，就是线性空间)，f是从G到V这个线性空间中所有可逆线性变换全体的一个映射(同态)，即$$f:G \to GL(V)$$右半部分就是线性代数里熟悉的东西了。&br&表示论:上面的群可以进一步做成一个群环Z[G],然后就可以把右边的可逆线性变换换成所有线性变换了，也就是f:Z[G]------&End(V)。这就可以得到环的表示理论，这一套方法当然还要借助于环论里的工具，但究其思想还是想用线性代数来做研究。&br&&br&同调代数:可能放在这里比较牵强，但这也同样和线性代数中一个问题相关。&br&考虑一个线性方程组，以下x,y是合适的向量,A,B是适当的矩阵&br&Ax=0 (*)&br&如果AB=0，那么对于任意的y&br&都有 By是(*)的解，那么反过来问x都可以表示成为By这种形式么？&br&如果都可以表示那么熟悉同调代数的人知道这相当于一个复形正合:&br&V1----------&V2--------&V3&br&Ker A=Im B&br&&br&另外最后再提一个线性代数的推广是所谓的(低阶)代数K理论。作为一种分类工具，定义了与线性空间的维数类似的 K0群(Grothendieck群)，定义了与行列式的性质类似的K1群(Whitehead群)。还有研究初等矩阵的K2群(Milnor)。&br&感兴趣的请搜索美国数学月刊里T.Y.Lam(林节玄)的简介，对于表示论的历史感兴趣的同样也可以搜索到T.Y.Lam的有关表示论历史的简介(AMS Notice)
线性空间也可以定义在除环上实际上线性空间的推广就是所谓的环上的模。然而推广之后的东西就不再如线性空间那么好了比如无法定义一组基，或者两组基的个数不一样。如果有一组基的模叫自由模如果环上的自由模满足它的任何两个基的个数一样，那么叫这种环为IB…
以前有人问过，然后我的回答被吐槽了…说是用了超出初中数学的方法=_=&br&&br&&a href=&/question/& class=&internal&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&/question/2789&/span&&span class=&invisible&&8880&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&
以前有人问过，然后我的回答被吐槽了…说是用了超出初中数学的方法=_=
竟然没有人提这个方法。。。&br&&img src=&///equation?tex=%281%2Bx%29%5En%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7Dx%5Ek& alt=&(1+x)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k& eeimg=&1&&&br&两边求导&br&&img src=&///equation?tex=n%281%2Bx%29%5E%7Bn-1%7D%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7Dkx%5E%7Bk-1%7D& alt=&n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}kx^{k-1}& eeimg=&1&&&br&取&img src=&///equation?tex=x%3D1& alt=&x=1& eeimg=&1&&即得&br&接下来还有&br&&img src=&///equation?tex=n%28n-1%292%5E%7Bn-2%7D%3D%5Csum_%7Bk%3D2%7D%5En%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7Dk%28k-1%29& alt=&n(n-1)2^{n-2}=\sum_{k=2}^n\binom{n}{k}k(k-1)& eeimg=&1&&&br&等等等&br&&i&Concrete Mathematics &/i&书里有很多这类技巧
竟然没有人提这个方法。。。(1+x)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k两边求导n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}kx^{k-1}取x=1即得接下来还有n(n-1)2^{n-2}=\sum_{k=2}^n\binom{n}{k}k(k-1)等等等Concrete Mathematics 书里有很多这类技巧
简单说，就是你承认数学归纳法么？&br&1，承认， 那么你可以证明存在一个不能被证明为真和假的命题，当然你的公理体系应该和数学归纳相容，数学归纳就当做是皮亚诺公理吧。&br&2，不承认， 好吧，那么整数集是不存在的，或者可数无限集是不存在的。
简单说，就是你承认数学归纳法么？1，承认， 那么你可以证明存在一个不能被证明为真和假的命题，当然你的公理体系应该和数学归纳相容，数学归纳就当做是皮亚诺公理吧。2，不承认， 好吧，那么整数集是不存在的，或者可数无限集是不存在的。
其实我一直觉得，好像没有真正的不确定性。 不确定的产生应该可以归因为动力学系统的复杂性。 但是量子力学直接引入了概率诠释，并未指出什么是概率，也未指出不确定性的原因。那么究竟微观粒子的量子力学描述是一种表象描述还是本质描述还不能回答，不过不确定性能被观察到而且现在暂时用量子理论能解释而且解释的还不错，所以我们暂时可以认为世界本质上就是随机的，但并不意味着那就是一个终极正确的理论。
其实我一直觉得，好像没有真正的不确定性。 不确定的产生应该可以归因为动力学系统的复杂性。 但是量子力学直接引入了概率诠释，并未指出什么是概率，也未指出不确定性的原因。那么究竟微观粒子的量子力学描述是一种表象描述还是本质描述还不能回答，不过不…
大学理科水平，好的。&br&&br&哈密顿力学知道吧，相空间，相流也应该知道吧。 下一步，集合的测度知道么？ 欧几里德空间的勒贝格测度呢？ 下一步， 广义可测动力学系统知道么？&br&&br&如果你都知道，那么庞伽莱回归定理是，对于一个有限测度上的测度不变动力学系统，任何正测度子集中，几乎所有的点在有限时间内回到那个集合中。&br&&br&如果你知道前两步，那么首先哈密顿力学的相流可以看成一个动力学系统，这个动力学系统是勒贝格测度不变的，就是说一个相空间的子集的体积在相流作用下不会改变，进一步，如果考虑光滑的哈密顿函数，那么由于勒贝格测度是依照欧氏空间基本拓扑规范的，可以进一步得出，考虑任何紧致的哈密顿体系，对于任何开集来说，不只是几乎所有的点都会回归，而是所有的点都会回归。&br&&br&好吧，如果你只知道第一步，如果你有一个有限大的空间，里面有一个牛顿力学体系，参与运动的粒子速度是有限的，那么任意选取初始条件，经过有限的时间，整个体系会任意接近初始状态。
大学理科水平，好的。哈密顿力学知道吧，相空间，相流也应该知道吧。 下一步，集合的测度知道么？ 欧几里德空间的勒贝格测度呢？ 下一步， 广义可测动力学系统知道么？如果你都知道，那么庞伽莱回归定理是，对于一个有限测度上的测度不变动力学系统，任何正…
数学上的证明就更不直观了，既然问了…&br&&br&考虑哈密顿力学系统，我们可以看成是一个微分流形以及上面定义了一个向量场，这个向量场是由哈密顿函数导出的，（这方面的研究叫simplectic geometry，懒得查拼写了），我们考虑的哈密顿系统一般是欧氏空间的子流形，欧氏空间可定义勒贝格测度，然后可定义勒贝格测度在子流形上的导出测度，可证明，那个导出测度是哈密顿不变的，由此可得出任何相空间的测度如果是不变的以及倚勒贝格测度连续的话那么那个测度可用一个函数表示，这个函数在哈密顿函数的等高线上是常数，所以可悲退化成一个关于哈密顿函数的函数。&br&&br&统计力学里面，微正则系宗就是勒贝格导出测度，正则的是Gibbs测度，就是e指数上面带有温度啥啥啥的，都可以退化成关于哈密顿的函数，所以引出的测度是哈密顿不变的。
数学上的证明就更不直观了，既然问了…考虑哈密顿力学系统，我们可以看成是一个微分流形以及上面定义了一个向量场，这个向量场是由哈密顿函数导出的，（这方面的研究叫simplectic geometry，懒得查拼写了），我们考虑的哈密顿系统一般是欧氏空间的子流形，…
不是吧，比如考虑全体实数列，考虑sup模，所有的有界列构成线性空间，而且有界列关于sup模是完备的，这是个巴拿赫空间，但有可数维数…hmm，等等，没错，是完备的，因为考虑一个数列列，如果关于sup模是Cauchy的话意味着数列的每一项都是Cauchy列，而且数列的每一项都是有界的，并且一致有界的，所以极限数列也是有界列。&br&&br&刚睡醒，不知道想的对不对。
不是吧，比如考虑全体实数列，考虑sup模，所有的有界列构成线性空间，而且有界列关于sup模是完备的，这是个巴拿赫空间，但有可数维数…hmm，等等，没错，是完备的，因为考虑一个数列列，如果关于sup模是Cauchy的话意味着数列的每一项都是Cauchy列，而且数列…
考虑的是微分流形吧，两个微分流形是同胚的…额，微分同胚是diffeomorphism么？我没用中文学的，所以不太清楚…好的，如果你说的微分同胚是diffeomorphism的话，那么两个流形是微分同胚的意味着这两个流形拥有拓扑同胚的拓扑结构，然后在局域坐标中两个流形局域是一样的差别仅仅在一个可微的坐标变换，就是说，这两个流形大体上和局域上看起来都没差别（差别仅在一个映射变换上），两个微分同胚的流形的向量场张量场是同构的，当然所有的依赖于微分流形结构的性质同时适用于那两个看起来一样的流形。&br&&br&如果你说的同胚是homotopic的话就有点复杂，两个流形M，N是微分同胚的话意味着存在一个函数 H(m,t), m是一个微分流形M的点，t取 0到1实数，MxI，I是单位线段，是个微分流形，H：MxI--》N是可微函数，当t=0时H是等值映射H(m,0)=m,当t等于1时H是从M到N的一个diffeomorphism，就是说虽然两个流形看起来不一样但是经过一些可微变换后看起来就一样了。&br&&br&第二个概念更有意思，因为如果两个流形是topological homotopic的话意味着他们也是diffeomorphical homotopic的，意味着他们有一样的de Rham cohomology.
考虑的是微分流形吧，两个微分流形是同胚的…额，微分同胚是diffeomorphism么？我没用中文学的，所以不太清楚…好的，如果你说的微分同胚是diffeomorphism的话，那么两个流形是微分同胚的意味着这两个流形拥有拓扑同胚的拓扑结构，然后在局域坐标中两个流形…
题主的表示(全等于)的含义是集合等势么？就是说三位平面的直线的集合可以划分成不相交的子集,每个子集与二维平面可以建立一一映射么？ 有任何的代数同构的要求么？ 有任何的拓扑同构要求么？ 有任何的其他要求么...比如我需要建立直线集合上的微分流形结构之类的&br&&br&如果单纯的考虑集合等势的话, 那么考虑三维空间的一条直线, 这条直线要么经过一个特殊的点(0,0,0)要么是一个球心为(0,0,0)的球的切线, 反过来, 任何的直线都能找到一个球半径可以是0, 球上唯一的一个点, 使得这条直线是那个球在那个点的切线, 就是说, 不同的球半径, 球上不同的点对应不同的直线, 说了这么多, 严格的表述应该是:&br&&br&定义 L={三维空间的直线}, &br&定义 S={球心在原点的球面}, &br&定义 PT(s,a)={球面 s&img src=&///equation?tex=%5Cin& alt=&\in& eeimg=&1&&S, a&img src=&///equation?tex=%5Cin& alt=&\in& eeimg=&1&&s 的切线}(这个集合就是球面的一个点的切空间的一个商空间,不管那么多),&br&&br&首先, 如果球半径不是0, 那么球面等势于 单位球面 &img src=&///equation?tex=S%5E2& alt=&S^2& eeimg=&1&&, PT(s,a)对于任何的非0球面和任何球面上的点 等势于 [0,1).&br&&br&所有球心在原点的球面等势于 [0,+&img src=&///equation?tex=%5Cinfty& alt=&\infty& eeimg=&1&&)&br&&br&如果球半径是0, 那么球面上只有一个点, 这个点的切线集合等势于 &img src=&///equation?tex=PS%5E2& alt=&PS^2& eeimg=&1&&,如果只考虑集合等势而不考虑任何其他的结构的话这个集合等势于 &img src=&///equation?tex=hS%5E2& alt=&hS^2& eeimg=&1&&+[0,1), hS^2 是一个不含边界的半球面.&br&&br&好了, L 等势于 [0,+&img src=&///equation?tex=%5Cinfty& alt=&\infty& eeimg=&1&&)x[0,1)x&img src=&///equation?tex=S%5E2& alt=&S^2& eeimg=&1&&+&img src=&///equation?tex=hS%5E2& alt=&hS^2& eeimg=&1&&+[0,1)&br&&br&写到这里, 所有的+号都表示集合的无交集并.&br&&br&写到这里, 题主应该可以知道
[0,+&img src=&///equation?tex=%5Cinfty& alt=&\infty& eeimg=&1&&),[0,1),&img src=&///equation?tex=S%5E2& alt=&S^2& eeimg=&1&&,&img src=&///equation?tex=hS%5E2& alt=&hS^2& eeimg=&1&& 都是连续统的势, 也应该知道连续统势的笛卡尔积, 无交并集, 都是连续统势, 所以L等势于一个连续统, 然后二维平面也具有连续统的势, 也就是说 不需要分割, 三维空间直线的集合直接可以建立与 二维平面的一一映射.
题主的表示(全等于)的含义是集合等势么？就是说三位平面的直线的集合可以划分成不相交的子集,每个子集与二维平面可以建立一一映射么？ 有任何的代数同构的要求么？ 有任何的拓扑同构要求么？ 有任何的其他要求么...比如我需要建立直线集合上的微分流形结构…
如果, 我们能证明 (0,1) 跟 R 然后 [0,+&img src=&///equation?tex=%5Cinfty& alt=&\infty& eeimg=&1&&) 跟 R 的一一映射的话, 我们然后取这两个一一映射的复合映射就能得到一个 从 (0,1) 到 [0,+&img src=&///equation?tex=%5Cinfty& alt=&\infty& eeimg=&1&&) 的一一映射了.&br&&br&如果我引入连续统势的概念的话, 这个问题是很平庸的, 但是似乎我们需要一个明显定义的映射.&br&&br&(0,1) 到 R 是很简单的, 考虑一个环, 与一条直线相切, 取切点做直径, 对应的另外一个点给删去, 这样一来我们得到的其实就是 (0,1), 然后从那个被删去的点出发作直线, 直线跟环和那个相切的直线各有一个交点, 可以证明, 这样可以定义 (0,1) 和 R 的一一映射.&br&&br&[0,+&img src=&///equation?tex=%5Cinfty& alt=&\infty& eeimg=&1&&) 会复杂一点, 为啥呢, 因为 它跟 R 不是拓扑同构的, 意味着你不能找到一个连续的一一映射, 不过没关系, 反正我们又不限制于连续的映射, 我们可以用连续统(就是集合论那一套体系)来证明如果一个集合 A是连续统的, 那么 A U {有限集} 也是连续统的, 这就是为啥我说引入连续统势的话一切都很平庸, 但是我们要找到一个明确的定义是吧.&br&&br&首先我如果说 [0,+&img src=&///equation?tex=%5Cinfty& alt=&\infty& eeimg=&1&&) 跟 [0,1) 能建立一一映射的话没有意见吧, 事实上我们可以建立连续一一映射.&br&&br&然后考虑什么是 [0,1) , 任何一个数都能表示成一个数列, 数列的每一项取自有个有限集, 大家想象10进制数的展开, 但是简单起见我用2进制展开, 考虑所有0,1 序列, 我们根据给序列赋值成相应的2进制数（比如 ... 赋值成二进制的 0....）, 但是这个赋值不是 1-1 的, 因为比如 0.11111....跟 0....都是0.1. 但不管怎样, 我们可以定义一个对序列的操作, 取一个0,1 序列, 如果所有数都是0 那么给这个序列赋值为0, 否则, 如果第一位是0 那么考虑 从第二位开始的子列, 赋值成相应地二进制数, 然后附上+号, 如果第一位是1 那么 还是去从第二位开始的子列, 赋值成相应的二进制数, 然后附上-号。&br&&br&上面的操作后我们得到的是一个从 所有无限可数0,1序列的集合到 (-1,1) 的一个映射, 这个映射是满的, 因为首先 0 在值域里, 任意的(-1,1) 实数都存在二进制展开, 根据正负我们可以找到映射到那个实数的序列.(第一项是0 或者 1)。 然后我们考虑二进制无理数, 每一个二进制的无理数都有唯一的二进制表示, 上面的 末尾全0 和末尾全1 的例子都是二进制有理数. 任取一个二进制无理数在[0,1) , 我们找到那个唯一的0,1数码, 然后做上面的操作, 我们得到一个带符号的二进制无理数的二进制展开, 这个操作是一个 1-1 映射, 因为考虑0,1 序列, 所有的序列其实都可以看成某个第一项是0或1的序列的从第二项开始的子列.&br&&br&然后我们考虑所有[0,1)中的二进制有理数, 这个集合是一个可数集, 因为这个集合可以表示称可数个有限集的并集, 结果也是一个可数集。 然后是所有 (-1,1) 的二进制有理数, 还是一样的, 是个可数集, 我们知道可数集和可数集之间存在 1-1 映射, 然后我们得到了一个函数:&br&f(x), 如果x是二进制无理数那么 f(x)= 上面的数列操作后得到的数 (是一个 （-1，-1）中的二进制无理数);如果x是二进制有理数那么f(x)= 上面可数集之间的一一映射的结果。&br&&br&这个函数是一个 1-1 映射, 因为这个函数定义域和值域都可以分解成两个不相交的子集, 并且这个函数在两个子集上的限制都是 1-1 的.&br&&br&所以, 存在[0,1) 与 (-1,-1) 的一一映射, 但是 (-1,-1) 与 R 可以建立一一映射, 所以 [0,+&img src=&///equation?tex=%5Cinfty& alt=&\infty& eeimg=&1&&) 与 [0,1) 然后是(-1,-1) 然后是 R 可建立一一映射。&br&&br&huhuhuhuuhuhu,&br&&br&然后终于, 上面的所有结论放在一起, [0,1) 与 [0,+&img src=&///equation?tex=%5Cinfty& alt=&\infty& eeimg=&1&&) 可建立一一映射。
如果, 我们能证明 (0,1) 跟 R 然后 [0,+\infty) 跟 R 的一一映射的话, 我们然后取这两个一一映射的复合映射就能得到一个 从 (0,1) 到 [0,+\infty) 的一一映射了.如果我引入连续统势的概念的话, 这个问题是很平庸的, 但是似乎我们需要一个明显定义的映射.(0,…
其实就是一种矩阵幂级数的记号，仿照实数或复数的情况。然后，发现这样的记号满足少数简单的指数函数的运算性质。矩阵函数都是这样推广来的。能这样写，主要是基于矩阵自乘是可交换的，以及收敛性。&br&&br&但是常用的很多幂指数函数的性质对矩阵情况是不成立的，因为不同矩阵相乘不具有交换性。
其实就是一种矩阵幂级数的记号，仿照实数或复数的情况。然后，发现这样的记号满足少数简单的指数函数的运算性质。矩阵函数都是这样推广来的。能这样写，主要是基于矩阵自乘是可交换的，以及收敛性。但是常用的很多幂指数函数的性质对矩阵情况是不成立的，因…
根据定义就可以了，如果&img src=&///equation?tex=A%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D1%261%5C%5C1%261%5Cend%7Bpmatrix%7D& alt=&A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}& eeimg=&1&&，那么&br&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%2A%7D%0Ae%5E%7BA%7D%26%3DI%2BA%2B%5Cfrac%7BA%5E2%7D%7B2%21%7D%2B%5Cfrac%7BA%5E3%7D%7B3%21%7D%2B%5Ccdots%5C%5C%0A%26%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D1%260%5C%5C0%261%5Cend%7Bpmatrix%7D%2B%5Cbegin%7Bpmatrix%7D1%261%5C%5C1%261%5Cend%7Bpmatrix%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D2%262%5C%5C2%262%5Cend%7Bpmatrix%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D4%264%5C%5C4%264%5Cend%7Bpmatrix%7D%2B%5Ccdots%5C%5C%0A%26%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D1%2B1%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B6%7D%2B%5Ccdots%260%2B1%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B6%7D%2B%5Ccdots+%5C%5C%0A0%2B1%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B6%7D%2B%5Ccdots+%261%2B1%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B6%7D%2B%5Ccdots+%5Cend%7Bpmatrix%7D%0A%5Cend%7Balign%2A%7D%0A& alt=&\begin{align*}
e^{A}&=I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots\\
&=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}+\frac{1}{6}\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}+\cdots\\
&=\begin{pmatrix}1+1+\frac{2}{2}+\frac{4}{6}+\cdots&0+1+\frac{2}{2}+\frac{4}{6}+\cdots \\
0+1+\frac{2}{2}+\frac{4}{6}+\cdots &1+1+\frac{2}{2}+\frac{4}{6}+\cdots \end{pmatrix}
\end{align*}
& eeimg=&1&&&br&最后得到一个&img src=&///equation?tex=2%5Ctimes+2& alt=&2\times 2& eeimg=&1&&的矩阵，因为&img src=&///equation?tex=1%2B1%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B6%7D%2B%5Ccdots+& alt=&1+1+\frac{2}{2}+\frac{4}{6}+\cdots & eeimg=&1&&是一个收敛的实数级数（根据比较判别法就可以了），所以它是一个实数，但我们一般并不关心这个具体的数值。具体计算可以见 &a data-hash=&336d88c717a698e1dec3bd6a79b08845& href=&///people/336d88c717a698e1dec3bd6a79b08845& class=&member_mention& data-tip=&p$b$336d88c717a698e1dec3bd6a79b08845&&@王筝&/a& 的方法。
根据定义就可以了，如果A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}，那么\begin{align*}
e^{A}&=I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots\\
&=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&2\\…
3596 人关注
443 个回答
181 人关注
1147 人关注
205 个回答
1897 人关注
463 个回答
470 人关注
121 个回答