如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5。若将△APB绕点B逆时针旋转后，得到△CQB。 （1）求点P与点Q之间的距离；（2）求∠APB的度数。
解：（1）连结PQ，由题意，有BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴△PBQ是等边三角形。
∴PQ=PB=4。
（2）QC=PA=3，PC=5，
∴△PCQ是直角三角形，且∠PQC=90°，
∵∠PQB=60°，∠CQB=150°
而△QCB是△PAB旋转得到的，∠APB=∠CQB=150°。
根据一元二次方程根的定义，解答下列问题．一个三角形两边长分别为3cm和7cm，第三边长为a cm，且整数a满足a2-10a+21=0，求三角形的周长．由已知可得4＜a＜10，则a可取5，6，7，8，9．（第一步）当a=5时，代入a2-10a+21=52-10×5+21≠0，故a=5不是方程的根．同理可知a=6，a=8，a=9都不是方程的根．∴a=7是方程的根．（第二步）∴△ABC的周长是3+7+7=17（cm）．上述过程中，第一步是根据______，第二步应用了______数学思想，确定a的值的大小是根据______．
三角形的一边长为5，另两边长是方程x2-7x+12=0的两实根，则这是一个______三角形．
三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-7x+12=0的根，则该三角形的周长为（　　）
D．以上都不对
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旗下成员公司（1）请阅读材料并填空：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=根号3，PC=1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′．根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC=____°，等边△ABC的边长为____．（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=根号5，BP=根号2，PC=1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．-乐乐课堂
& 旋转的性质知识点 & “（1）请阅读材料并填空：问题：如图1，在...”习题详情
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（1）请阅读材料并填空：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=√3，PC=1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′．根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC=150°&°，等边△ABC的边长为√7&．（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=√5，BP=√2，PC=1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：2011-永安市质检
分析与解答
习题“（1）请阅读材料并填空：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=根号3，PC=1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的...”的分析与解答如下所示：
根据旋转得出AP′=CP=1，BP′=BP=√3，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等边△BPP′，推出PP′=√3，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，由∠MP′B=30°，求出BM=√32，P′M=32，根据勾股定理即可求出答案；（2）求出∠BEP=12（180°-90°）=45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，求出FE=BF=1，AF=2，关键勾股定理即可求出AB．
（1）解：∵等边△ABC，∴∠ABC=60°，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，∴AP′=CP=1，BP′=BP=√3，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，∴△BPP′是等边三角形，∴PP′=√3，∠BP′P=60°，∵AP′=1，AP=2，∴AP′2+PP′2=AP2，∴∠AP′P=90°，∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，∴∠MP′B=30°，BM=√32，由勾股定理得：P′M=32，∴AM=1+32=52，由勾股定理得：AB=√AM2+BM2=√7，过答案为：150°，√7．（2）解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP=√2，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，∴∠BEP=12（180°-90°）=45°，由勾股定理得：EP=2，∵AE=1，AP=√5，EP=2，∴AE2+PE2=AP2，∴∠AEP=90°，∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；∴∠FEB=45°，∴FE=BF=1，∴AF=2；∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB=√5；∴∠BPC=135°，正方形边长为 √5．答：∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是√5．
本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的 直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键．
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（1）请阅读材料并填空：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=根号3，PC=1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画...
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经过分析，习题“（1）请阅读材料并填空：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=根号3，PC=1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的...”主要考察你对“旋转的性质”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
旋转的性质
（1）旋转的性质：　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
与“（1）请阅读材料并填空：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=根号3，PC=1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的...”相似的题目：
[2014o义乌o中考]如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（　　）70°65°60°55°
[2014o龙岩o中考]如图，△ABC中，∠B=70°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE=&&&&°．
[2014o汕尾o中考]如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A=&&&&°．
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该知识点好题
1如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，下列说法：①将△ADC绕C点顺时针旋转60°可得△CBE②将△ADC逆时针旋转60°可得△ABE③将△ADC绕点A逆时针旋转60°可得△ABE④将△ABE绕点A顺时针旋转60°可得△ADC，其中正确的有（　　）
2如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC+∠ABC=180°，下列结论：①CD=CB；②AD+AB=2AE；③∠ACD=∠BCE；④AB-AD=2BE．其中正确的是（　　）
3（2013o晋江市）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是（　　）
该知识点易错题
1一个平行四边形绕着它的对角线的交点旋转90°，能够与它本身重合，则该四边形是（　　）
2下列说法正确的是（　　）
3（2012o犍为县模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：（1）AE=CF；（2）△EPF是等腰直角三角形；（3）S四边形AEPF=12S△ABC；（4）EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中是正确的结论的概率是（　　）
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摘要: 如图，AD是已知△ABC中BC边上的高．P是AD上任意一点，当P从A向D移动时，线段PB、PC的长都在变化，试探索PB2﹣PC2的值如何变化？
分析： AD为△ABC的高，则△BDP和△CDP为直角三角形，根据勾股定理计算PB，PC即可求解 ...
ADABCBCPADPADPBPCPB2PC2
ADABCBDPCDPPBPC
PB2=BD2+DP2PC2=CD2+PD2
PB2PC2=BD2+DP2CD2+PD2
=DB2DC2PB2PC2
刚表态过的朋友 ()如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC边上任意一点,求证BD +CD =2AD_百度文库
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如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC边上任意一点,求证BD +CD =2AD
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&&如​图​,​△​A​B​C​中​,​A​B​=​A​C​,​∠​B​A​C​=0​°​,​D​是​B​C​边​上​任​意​一​点​,​求​证​B​D​ ​+​C​D​ ​=A​D
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你可能喜欢如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ。
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由。
解：（1）猜想：AP=CQ，证明：在△ABP与△CBQ中，∵AB=CB，BP=BQ，∠ABC+∠PBQ=60°，∴，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ；（2）由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，连接PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，∴△PBQ为正三角形，∴PQ=4a，于是在△PQC中，∵，∴△PQC是直角三角形。
三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-7x+12=0的根，则该三角形的周长为（　　）
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已知一个三角形的两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2-14x+48=0的一个根，则这个三角形的周长为______．
一个三角形的两边长为8和6，第三边的边长是方程（x-2）（x-4）=0的根，则这个三角形的周长是（　　）
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