4 100米接力赛赛20x1=()x2()x2()

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-10-14 13:05 标签： 4 100米接力赛
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：（1）f′（x）=ax2+bx-a2，由于函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=7x-20，可得f′(2)=7f(2)=-6，解出即可；（2）由于x1，x2是函数f（x）的两个极值点，可得x1，x2是方程ax2+bx-a2=0的两个实数根，可得x1+x2=-ba，x1x2=-a，由b=-a（x1+x2）=x1x2（x1+x2），可得b2=(x1x2)2(x21+x22+2x1x2)，利用|x1|+|x2|=2，a＞0，可得x21+x22=4+2x1x2，即可得出．（3）设y=b2=4a2-4a3，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
解：（1）f′（x）=ax2+bx-a2，∵函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=7x-20，∴f′(2)=7f(2)=-6，即4a+2b-a2=783a+2b-2a2=-6，解得a=3b=2．（2）∵x1，x2是函数f（x）的两个极值点，∴x1，x2是方程ax2+bx-a2=0的两个实数根，∴x1+x2=-ba，x1x2=-a，∴b=-a（x1+x2）=x1x2（x1+x2），∴b2=(x1x2)2(x21+x22+2x1x2)，∵|x1|+|x2|=2，∴x21+x22+2|x1x2|=4，∵a＞0，∴x1x2=-a＜0，∴x21+x22=4+2x1x2，∴b2=(x1x2)2(x21+x22+2xx)=a2（4+4x1x2）=a2（4-4a）=4a2-4a3（a＞0）．（3）设y=b2=4a2-4a3，∴y′=8a-12a2，令y′=0，又a＞0，解得a=23．当a＞23时，y′＜0，函数y单调递减；当0＜a＜23时，y′＞0，函数y单调递增．∴当a=23时，函数y取得极大值，也是最大值，且最大值为1627，∴b2≤1627，∴|b|≤439．
点评：本题查克拉利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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根据样本方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]．其中n是这个样本的容量，是样本的平均数，所以本题中样本的平均数是20．故答案为：20．
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