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假如你有一台智能手机或苹果手机,假如你在上面装了某个软件,那么你本年的新年很也许是在下面这样的场景中度过的:
而近来几天不少群里边又流行起来一种“红包接力”的玩法,大约的规矩是:群里边先由一人发一个红包,然后咱们开端抢,其间金额最大的那自个持续发新一轮的红包,以后不断往复循环。
红包初级模型——切面条法:
进行模仿试验,就需要设定一个红包金额的分配机制。但由于微信红包的算法并没有揭露,所以咱们只好从调查到的表象动身,“反推”出一个模型,让它尽量契合
调查成果。本来这即是科学方法的精华:咱们也许永久不也许知道世界的“源代码”,但咱们能为世界树立一个满意好用的模型。
微信的红包是一个个抢的,所以很简略给人以这样的形象:红包成堆钱摆在那里,榜首自个闭眼抓一把,第二自个再抓一把,等等。可是假使果真如此,后来的人全体而言就要吃亏。这样既不公正,也不满意实践中的调查。
更合理的做法是,一开端就把一切的钱一次性分红几个包,每人抓一个,每个包都是等同的,里边的钱数希望都是总金额的几分之一。满意这个需求的做法当然不止一个,但咱们先思考最契合直觉的方法——切面条。
假如你有一根面条要随机分红5根,怎么分?闭上眼睛剁4刀就行了。换成数学言语,即是在一条线段上随机扔4个点,分红5段。
如今你要把红包分红5份,好办,拿出你方才剁的面条,每一根面条有多长,对应的红包就塞多少钱。
(当然,面条是接连的,而红包是离散的——每个包的钱数都是1分钱的整数倍。但钱多的时分这点区别无关紧要,而要是有人发了个全一分钱的红包,仍是暂停评论把他踢出群比较好。)
以下即是切面条法分红包的一个实例,总金额为1元,分红5个:
0., 0.,0...
贫富差距也太大了吧?假如红包总金额是100,那么领得最多的人能够得到35.86元,而起码的只要2.67元。榜首名得到三分之一多的钱,终究一名不到
三十分之一?本来这彻底不极点。关于这种分法,咱们能够数学上证实,当1块钱(或许长度为1的面条)分红n份儿的时分,
第k大的值,希望为1/n*(1/n+1/(n-1)+1/(n-2)+…+1/k)。(证实留作操练(被踢飞))
所以,最大值的希望为 1/n*(1/n+1/(n-1)+1/(n-2)+…+1),而最小值的希望为 1/n^2。
换言之,在n=5的时分,均匀而言,五自个应当别离拿到的红包巨细是:0.456666……,0.256666……,0.156666……,0.09,0.04。真是朱门酒肉臭路有冻死骨啊。
好吧,尽管这恐怕和很多人的形象相符,但毕竟也太悬殊了,能不能添加一个调理杆,让红包间的区别稍微小一点呢?
红包进阶模型——狄利克雷散布
复习一下方才的切面条模型要害。
1 一次能够生成n个随机数,且总和为1,这样每个数乘以红包总金额即是每自个分得的钱;
2 每个随机数的希望应当对等,即n分之一,这是为了确保咱们抢红包时机对等;
如今咱们为它添加一个第三条:
有一个参数能够用来调理红包的“公正”程度。这儿的公正不是指时机公正,而是说每次发红包咱们实践拿到手的钱是不是相近,即金额分配的波动性是大仍是小。
比方100元的红包发给10自个,假如每人都是10元摆布,咱们认为这种分配更公正些;假如起码的才0.8元,最多的有20元,明显就有失公允了(意外的
是作者好几次碰到这种情况……)。
走运的是,在很多的随机变量散布中,有一个“狄利克雷散布”十分合适上面列出的这些情况。狄利克雷散布自身有n个参数,但为了满意条件2,咱们能够只用一个参数 α 来决议它的详细方式。α 越大,每人分得的金额份额就越倾向于均匀,反之则波动性越大。
更走运的是,咱们开端提出的切面条分法,恰恰即是当α=1的时分,狄利克雷散布的最简略情况。
方才切面条的成果,也即是α=1时的狄利克雷散布生成的随机数;
0., 0.,0...
而下面是α=10时的一组随机数
0.....1703169
能够看出,当α=1时,金额分配的改变性十分大,而在α=10的景象下,金额的分配就均匀多了。
模仿接力游戏,开端
了这个设想的红包分配机制,咱们就能够来模仿红包接力的游戏。首要假定咱们有一个50人的群,每人初始手头上的可用金额为50元(这儿是为了发生“破产”
表象而故意放低的,土豪们请疏忽此设定),依据规矩,每次红包的总金额是20元,发放给10自个,其间抢得最大红包金额的人将宣布下一轮的红包。假如或人
发完红包后余额变成了负值,就不能再持续抢红包(请原谅这个丧尽天良的设定……),由于他/她现已发不起下轮红包了,但答应如今其余额为负。
在咱们的模仿中,仍然对实践情况##,咱们也许会依据自个余额的多少来决议是不是持续参与,但在此咱们疏忽了这种也许。
咱们设定 α=2,并让红包接力100次,终究咱们的余额如下:
31.24 82.69 18.07 44.56 62.87 33.40 47.00 45.55 77.11 70.44
54.28 26.98 54.74 80.30 28.32 43.98 48.80 82.69 82.94 -11.00
34.30 80.64 60.68 47.34 40.13 52.55 23.39 62.67 92.20 72.43
41.55 40.12 50.51 81.30 51.17 43.36 34.93 64.38 42.70 -8.9
9.10 78.61 46.35 64.18 61.90 13.61 50.01 68.51 41.21 54.14
够看出,有两位兄弟意外破产了,而终究财物最多的有92.20元,几乎翻了一倍。一个很明显的事实是,破产的玩家都是由于“中头奖”中得太多了,
致使入不敷出。相反,终究收得92.20元的这位玩家归于“闷声发大财”。经计算,他/她取得榜首名0次,第二名3次,第三名2次,第四名2次,第五名4
次,等等。
下面展现了每自个的金钱改变情况
当然,概率面前人人对等,没有谁能预知自个抽中红包后会是最大的仍是最小的,所以从对称性的视点思考,自个选择的成果是彻底随机的。可是,从悉数群的视点来看,有一个目标却在悄然发生改变,那即是这个群的“贫富差距”。
均匀仍是独大?基尼系数来判别
咱们注意到,在游戏最开端的时分,咱们的资金都是相同的(50元),而在100次接力以后,几家欢欣几家愁,贫富差距被拉大了。所以咱们有两个很天然的疑问:1. 怎么量化这种贫富差距?2. 跟着游戏的进程,贫富差距会有怎样的改变?
于榜首个疑问,咱们能够借用经济学中的一个概念来予以答复,那即是所谓的“基尼系数”(Gini
Coefficient)。基尼系数通常被用来衡量一个国家居民收入的公正性,其取值在0到1之间,越大表示贫富差距越大,即少有些的人掌握了这个经济体
大多数的收入。基尼系数的计算公式能够在它的维基页面中找到,关于之前的模仿游戏成果,计算出的基尼系数是0.2551。
这个成果的肯定数值也许并没有太大的含义,因而咱们在每一轮接力以后都计算出其时这个群的基尼系数,然后调查它的改变。成果如下:
这儿咱们将接力次数延伸到了500次。能够看出,跟着接力的进行,基尼系数的全体趋势是在不断变大的,意味着贫富差距会跟着游戏的进行变得越来越大。这本
来很好了解:总是会有人由于拿了太多头奖而破产,这样财富会在越来越少的人中心进行分配,所以相应地贫富差距就拉大了。
红包越“公正”,贫富差越大:
前 面说到,在咱们的模型中有一个参数 α
用来操控红包金额分配的“公正”程度(或许更精确地说,是“均匀”的程度,由于就时机而言,每自个分得金额的也许性都是相同的,但就每一次实践分得的金额
而言,α 越大,这种分配越倾向于均匀,即成果的波动性越小)。下图展现了一组随机模仿试验的成果,其间咱们模仿了20次红包接力的游戏,10次取
α=2, 别的10次取 α=20。每次游戏中,红包都接力了500次。
能够看出,红线和蓝线尽管有所堆叠,但全体来看蓝线的取值要比红线更大,也即是说,红包金额越“公正”,贫富差距反而会越大。
个定论看起来也许有些反直觉,但本来也入情入理:假如红包的分配是肯定公正的,那么榜首名得到的金额就将是2元,而下一轮又有必要送出20元,所以
一共亏本18元;假如红包金额的波动性很大,就会有一有些人得到的金额小于2元,而榜首名就会得到更多,也就更不简略破产。所以说,一个规矩是不是真的
“公正”,不能只看其外表。
出人意料的更多玩法:
除了前面说到的这个规矩,咱们还能够思考一系列别的的玩法:
1. 之前的规矩记为1号;
2. 玩法2:榜首个红包金额为20,第二个为21, 第三个为22,……到30后又递减至20,以此重复;
3. 玩法3:下一个红包的总金额是上一轮的最大金额加10;
4. 玩法4:下一个红包的总金额是上一轮最大金额的4倍,30封顶;
5. 玩法5:下一个红包的总金额是上一轮最大金额的5倍,30封顶;
你必定古怪玩法4和玩法5只差一个数,为啥要独自列出来。这儿能够先剧透一下,原因是它们有着大相径庭。在给出成果之前,咱们能够先依据自个的直觉给这几种玩法排个序,然后再和下面的成果比照一下,看看是不是真的让你大跌眼镜了。
下面是这五种玩法的比照图,悉数取10个红包,α=2,初始20元。每种玩法咱们模仿10次,也即是有10条基尼系数曲线。
能够看出,依照贫富差距排序,从大到小别离是玩法5&玩法2&玩法1&玩法3&玩法4。怎么样,你猜对了吗?
我相信你必定被4和5之间的“大相径庭”惊呆了。为啥一个是最大,而另一个甚至是平整的呢?
来,规矩里边4和5这两个系数十分要害。在α=2、分10个包的条件下,榜首名均匀能拿到红包金额的23%摆布。4乘以23%得到0.92&1,换
言之红包会变得越来越小。比方榜首轮最大假如是4,下一轮的总金额即是16;这一轮最大也许就变成了3,那么再下一轮总金额就变成了12……到了后来,总
金额小于1分钱,就坚持不变了(图中的水平线有些)。相比之下,5乘以23%得到115%,成果红包会变得越来越大,而由于咱们设定了30块钱封顶,会让
每个红包稳定在30元邻近,因而贫富差距就依照“正常”的趋势逐步加大了。
能够想见的是,在4倍和5倍之间应当会有一个临界值,把这两种极点景象分隔开来。时刻所限咱们没有进行谨慎的理论推演,但随机模仿表明这个数字在4.35摆布。
如开篇所言,这只是红包算法的一个模型,并不必定即是背面的实在源代码。从经历和直觉上来看,这个模型(特别是在α较小时)对实践的模仿还算令人满意,不
过严厉的科学方法当然要做计算分析来验证这一模型是不是契合实践了——鉴于验证繁琐,红包数据搜集不易,并且自身即是个文娱项目,此处就不再对此较真。期
待感兴趣的读者进行更深化的验证
除了这篇文章调查的这些也许影响金额分配的要素以外,读者还能够使用文中用到的代码持续调查别的要素对贫富差距的影响(也许需要对代码稍作修正),比方红包人数,初始金额等等。
终究提醒咱们的是,红包主要仍是在春节的时分图个喜庆,游戏有风险,抢包需谨慎
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