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如何寻找_线性规划问题_的整点最优解|中​学​整​点​问​题
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列方程(组)解应用题的方法及步骤
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3秒自动关闭窗口2012华图钻石班-数学运算题型汇总与解析(上)_百度文库
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2012华图钻石班-数学运算题型汇总与解析(上)|21华​图​钻​石​班​-​数​学​运​算​题​型​汇​总​与​解​析​(​上​)
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数学运算题型汇总与解析(上)
数学运算题型详讲（上） 1.行程问题此题型各种技巧较多，但实际上规律不难，只要把握住路程 =速度×时间这个基本公 式，对不同的题型灵活应用即可。1.解答行程问题的首要步骤是分析题目描述的情境中运动状态的改变， 而 后按照不同运动状态各个击破。行程问题中，路程往往是不变量，速度变化导 致时间变化。 2.当行程问题中引入“平均速度”的概念时，一定牢记，平均速度 =分段 路程和÷分段时间和，切忌认为平均速度就是速度的简单平均。 在 去 程 速 度 为 V1 回 程 速 度 为 V2 的 往 返 运 动 中 ， 往 返 的 平 均 速 度 =2V1V2/(V1+V2) 3.题目中出现数电线杆、数大树、数台阶问题时，当数了 N 个定点时， N 个定点间只有 N-1 段距离。 4.在解答行程问题中较难的题目时。画图的方法可以使题目更加直观，因 此用画图的方法寻找数量间的关系是解答行程问题的重要辅助手段之一。【例题 1】某人旅游爬一座小山，上山时每分钟走 30 米，下山时每分钟走 60 米， 问在上下山的过程中平均速度是每分钟多少米？ A． 40 B． 43 C． 45 D.48 【例题解析】我们设山上山下的距离为 l ，则有 上山时间为l l ，下山时间为 ，总距离为 2l 。列 30 60方程解得2l l l ? 30 60=40 米 /秒。或者，将山上山下的路程看作“整体 1” ，则有2 1 1 ? 30 60=40 米 /秒。故应选择 A 选项。【重点提示】在涉及往返的问题中，往返的平均速度 =2V1V2/(V1+V2) 【例题２】 （ 2009 北京第 11 题）游乐场的溜冰滑道如下图所示，溜冰车上坡时每分 钟行驶 400 米，下坡时每分钟行驶 600 米，已知溜冰车从 A 点到 B 点需要 3.7 分钟，从 B 点到 A 点只需要 2.5 分钟。 AC 比 BC 长多少米 ?CA A． 1200 可列方程组 B． 1440B C． 1600 D． 1800【例题解析】设 AC 距离为 x 米 ,BC 距离为 y 米x y + =3.7 400 600 x y + =2.5 600 400将方程组中两方程通分，再相减，可直接解得 x-y=1440 米 答案为 B 【例题３】（ 2010 浙江省 90 题）某环形公路长 15 千米，甲、乙两人同时同地沿公 路骑自行车反向而行， 0.5 小时后相遇，若他们同时同地同向而行，经过 3 小时后，甲 追上乙，问乙的速度是多少？ A． 12.5 千米 /小时 C． 15.5 千米 /小时 【例题解析】设甲的速度为 xKm/h,乙的速度 为 yKm/h, 因为反向而行， 0.5 小时后相遇， 可列方程，（ x+y）×0.5=15 同时同地同向而行，若使甲能追上乙，需使 甲行驶的路程比乙行驶的路程多一圈，经过 3 小 时后，甲追上乙，可列方程（ x-y）×3=15 解得 y=12.5Km/h 答案为 A 【例题４】两人从甲地到乙地同时出发，一人用匀速 3 小时走完全程，另一人用匀 速 4 小时走完全程，经过（ 2 倍。 A． 144 B． 360 C． 120 D.72 ）分钟，其中一人所剩路程的长是另一人所剩路程的长的 B． 13.5 千米 /小时 D． 17． 5 千米 /小时【例题解析】一人用 3 小时走完全程，则每小时走全程的 ，另一人用 4 小时走完 全程，则每小时走全程的1 31 ，设 x 小时后，其中一人是另一人所剩路程的两倍， 41-1 1 x=2(1- x)解得 x ? 2.4 小时 4 3也即共有 144 分钟 答案为 A 【例题５】小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用 50 分钟。若往返都步行，则全 程需要 70 分钟。求往返都骑车需要多少时间。 A． 30 B． 35 C． 38 D.40 【例题解析】小燕往返步行比单程步行单程骑车快 70-50=20 分钟，说明单程骑车比 单程步行快 20 分钟，因为另外单程都是骑车，故往返都骑车需要 50-20=30 分钟。故应 选择 A 选项。 【例题６】 （ 2009 内蒙古第 13 题）李先生去 10 层楼的 8 层去办事，恰赶上电梯停电， 他只能步行爬楼。他从第 1 层爬到第 4 层用了 48 秒，请问，以同样的速度爬到第 8 层需 要多少秒 ? A.112 B.96 C.64 D.48 【例题解析】他从第 1 层爬到第 4 层用了 48 秒，说明共走了 3 层，也即是每层要用 16 秒，那么到第八层实际上只走了 7 层。所以，时间为 16×7=112 答案为 A【例题７】小明坐在火车的窗口位置，火车从大桥的南端驶向北端，小明测得共用时 80 秒。爸爸问小明这座桥有多长，于是小明马上从铁路旁的某一根电线杆计时，到第十根 电线杆用时 25 秒。如果路旁每两根电线杆的间隔为 50 米，小明就算出了大桥的长度。 那么，大桥的长为（ A． 4000 ）米。 B． 1200 C． 1440 D.1600【例题解析】这道题应该注意是从第一根电线杆到第十根电线杆的间隔应为 9 倍的 50 米，即 450 米，这样，桥长就为 80× 答案为 C 【例题８】 （ 11 国考第 66 题）小王步行的速度比跑步慢 50%，跑步的速度比骑车慢 50%。如果他骑车从 A 城去 B 城，再步行返回 A 城共需要 2 小时。问小王跑步从 A 城到 B 城需要多少分钟？ A.45 C.56 B.48 D.60450 =1440 米 25【例题解析】设小王步行的速度为 x，跑步的速度为 2x，骑车的速度为 4x。设 A、B 城间相距距离 “ 1” ， 由他骑车从 A 城去 B 城， 再步行返回 A 城共需要 2 小时 （ 120 分钟） ， 可列方程1 1 5 1 ? =120，解得 =120，则有 =48 分钟，故应选择 B 选项。 x 4x 4x 2x【重点提示】本题利用特殊值法，更容易做。【例题９】甲、乙、丙三人同时从 A 地出发去距 A 地 100 千米的 B 地，甲与丙以 25 千米／时的速度乘车行进，而乙却以 5 千米／时的速度步行，过了一段时间后，丙下车 改以 5 千米／时的速度步行，而甲驾车以原速折回，将乙载上而前往 B 地，这样甲、乙、 丙三人同时到达 B 地，此旅程共用时数为（ A． 7 B． 8 C． 9 【例题解析】乙、丙二人步行的速度都是 5 千米 /小时， 坐车时的速度都是 25 千米 / 小时，他们走完全程的时间也完全一样。 这样，乙走路的距离。与丙走路的距离应该一样。如图，D 点是丙下车的地点，C 点是乙 上车的地点， AC+DB，AC+CD+DB=100,丙步行走完 DB 的时间，应该等于甲开始走 2CD +BD 的时间 由于 2CD+DB=2AB-2AC-DB=2AB-3DB ）小时。 D.10200 ? 3DB DB 错误！未指定书签。＝ 5 25 AC ? 3CD ? DB 共用的时间为 ? 8 小时 25可列方程 答案为 B∴ DB=252.相遇问题相遇问题是人才测评考试中经常考查的一种问题，解答人才测评中的相遇问题最关 键的方法是一定要认真想象题目所述的时空概念，将运动体在题目所述过程中的运动状 态（即速度、路程、时间关系）分析清楚，从其相互间的可列方程的等量关系着手解决。解答相遇问题的注意事项： 1.相遇问题的基本公式是：相遇路程 =（ A 速度 +B 速度）×相遇时间 2.在通常情况下，相遇问题中的相遇时间是相等的。 3.如果题目中某方先出发，注意把他先行的路程去掉，剩下的部分 依然是相遇问题。 4.环形路上的相遇问题，两者若同时同地反向出发，则相遇距离一 定为环形路的全长。若两者第一次相遇时距中点 M 米，则两者在第二次 相遇时相距 2M 米。 5.折返跑问题中，两者从两地出发，第一次相遇路程为 M，以后再相 遇，相遇路程均为 2M。 6.解答相遇问题中的“列车错车”问题时，计算相遇路程时还要注 意算上两列列车本身的长度。 7.在解决相遇个数问题时， （例如乘坐某公交车从一终点站到另一终 点站用 N 小时，全程遇到相向而来的同路线公交车 M 量，那么这路公交 车就每隔 问题。2N 小时发车一辆）尤其要注意对题意时空情境的想象，解答 M（ 1）一般相遇问题【例题 1】 （ 2006 年北京第 20 题）红星小学组织学生排队去郊游 ,每分钟步行 60 米，队尾的王老师以每分钟 150 米的速度赶到排头 ,然后立即返回队尾 ,共用去 10 分 钟 .求队伍的长度。 A.630 米 B.750 米 C.900 米 D.1500 米 【例题解析】本题可将王老师与队伍的关系视作先为对队首的追及，后为对队 尾的相遇，设队伍长度为 xx÷（ 150-60） +x÷（ 150+60） =10 答案为 A 解得 x=630 米【例题 2】甲、乙两辆清洁车，执行东、西城间的公路清扫任务。甲车单独清扫 需 10 小时，乙车单独清扫需 15 小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车 比乙车多清扫 12 千米。问：东、西两城相距多少千米？ A.45 B.50 C.55 D.60 【例题解析】甲车与乙车的所用时间比为 10:15，则速度比为 3:2，这样相遇时所用时间是相同的则所走过的距离比是 3:2， 这样甲比乙多走的应该是全程的 千米。故应选择 D 选项。1 1 ， 12÷ =60 5 5【例题 3】 A、 B 两城相距 60 千米，甲、乙两人都骑自行车从 A 城同时出发， 甲比乙每小时慢 4 千米，乙到 B 城当即折返，于距 B 城 12 千米处与甲相遇，那么甲 的速度是（ A． 8 ）千米。 B． 10 C． 12 D． 15【例题解析】甲乙两人在距 B 处 12 千米处相遇，则乙比甲多走 24 千米，甲比 乙每小时慢 4 千米，则说明相遇时已走了 24÷4=6 小时，甲的速度为（60-12）÷6=8千米 /小时。 答案为 A【例题 4】 (2007 年国家考试第 53 题 ) A、 B 两站之间有一条铁路，甲、乙两列 火车分别停在 A 站和 B 站，甲火车 4 分钟走的路程等于乙火车 5 分钟走的路程，乙 火车上午 8 时整从 B 站开往 A 站，开出一段时间后，甲火车从 A 站出发开往 B 站， 上午 9 时整两列火车相遇。相遇地点离 A、 B 两站的距离比是 15： 16，那么，甲火 车在（ ）从 A 站出发开往 B 站。 B． 8 时 15 分 C． 8 时 24 分 D． 8 时 30 分 A． 8 时 12 分【例题解析】甲火车 4 分钟走的路程是乙火车 5 分钟走的路程，甲、乙的速度 比为 5:4。相遇时离 A、B 点的距离比是 15:16，则甲、乙开过的路程比是 16:15，所用时间比则为 3:4，乙用 1 小时，则有甲用 45 分，所以甲发车时间为 8 点 15 分 答案为 B【例题 5】 (2003 年浙江一卷 14 题 )甲、乙、丙三人沿湖边散步，同时从湖边一 固定点出发，甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走，甲第一次遇到乙后 11 2 3 分钟遇到丙，再过 3 分钟第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的 ，湖的周长 4 3 4） 。 C． 26 米／分 D． 27 米／分 A． 24 米／分 B． 25 米／分为 600 米，则丙的速度为（【例题解析】甲与乙从第一次相遇到第二次相遇用了 1.25+3.75=5 分钟，所以甲、乙的速度和为 600÷5=120 米 /分钟，乙的速度是甲的 2/3，所以甲速度是 72 米 /分钟。甲、 乙相遇用 5 分钟，则甲、丙相遇一次用 5+1.25=6.25 分钟，甲、丙速度和为 600÷6.25=96 米 /分钟，丙的速度为 96-72=24 米 /分钟 答案为 A【例题 6】从甲地到乙地，客车行驶需 8 小时，货车需 12 小时，如果两列火车 同时从甲地开往乙地，客车到达乙地后立即返回，经过（ A． 9 B． 9.5 C． 9.6 D． 10 ）小时与货车相遇？1 1 ，货车每小时走全程的 ，相遇时两辆车加 8 12 1 1 起来走完两个全程，所用时间为 2÷（ + ） =9.6 小时 8 12【例题解析】客车每小时走全程的答案为 C【例题 7】绕湖的一周是 20 千米，甲、乙二人从湖边某一地点同时出发反向而 行，甲以 4 千米 /小时的速度每走一小时后休息 5 分钟，乙以 6 千米 /小时的速度每走 50 分钟休息 10 分钟，则两人从出发到第一次相遇用（ A． 2 小时 B． 2 小时 10 分钟 ）小时。 D． 2 小时 16 分钟 C． 2 小时 15 分钟【例题解析】甲相当于每 1 小时 5 分钟走 4 千米，乙相当于每 1 小时走 5 千米， 则两小时 10 分钟后，甲走 8 千米，乙走 10+6/6=11 千米。2 小时 10 分钟之后，甲、乙共走了 19 千米（这已经考虑了他们各自的休息了） ，还剩 1 千米，将用 1÷（ 4+6） =1/10 小时，所以相遇时走了 2 小时 16 分钟。 答案为 D【例题 8】樊政和一名老先生爬一座小山，樊政比老先生快。二人同时从山下起 点出发，到达山顶后立刻返回，且下山的速度都各是自身上山速度的 1.5 倍。樊政和 老先生相遇时老先生已出发 40 分钟。老先生到达山顶时，樊政正好在半山腰。求樊 政往返用（ A． 120 ）分钟。 B． 90 C． 60 D． 50【例题解析】我编写本题目的是为了拓展同学们的思路，使同学们能够更熟练深入 掌握相遇题型的解决方法。近年来公务员考试题目难度日益增大的趋势愈发明显， 练一练难度较大的题目对大家会有一定帮助的。 方法一： 设樊政的速度为 x ， 老先生速度为 y ， 当老先生到达山顶时有：1/ 2 1 1 = + y x (3 / 2) x4 3 y 从山底到山顶为 l 米，当樊政到达山顶时，老先生应该已走 l ，此时用时 3 4 l l 为 ，从樊政向山下走到相遇的用时为 除以老先生的速度加樊政的速度，这时樊政的 x 4解得： x=l l 3 3 l 4 4 速度为下山速度即 x ， 老先生速度为 x ， 即 ， 则有 + =40， 整理得： 3 3 3 3 x 2 4 x? x x? x 4 2 4 2l =40 x l 解得： =36 x10/9樊政上山用 36 分钟，则下山用时为 36×2/3=24 分钟，共用 60 分钟。方法二：当老先生到达山顶时，樊政正好 在半山腰，这时樊政应该走完了上山的全 程和下山的半程，如果樊政下山时用的是 上山时的速度，那么樊政这时应该走半程 的2 1 ， 即下山全程的 ， 也就是老先生上到 3 3山顶时， 如果樊政一直用上山速度走， 则走了4 倍的距离， 樊政与老先生的速度比为 4 : 3 。 3相 遇 的 时 候 ， 樊 政 比 老 先 生 多 走 2CB ， 如 果 樊 政 一 直 用 上 山 时 的 速 度 走 ， 则 将 走5 4 4 倍，则有ＡＣ＋ ＣＢ＝ ＡＣ， 3 3 3 20 10 5 解得：ＡＣ＝５ CB，则 AB=6CB， 40 分钟樊政ＡＣ＋ ＣＢ＝ ＣＢ＝ ＡＢ，则 3 3 9 9 樊政上山用时应为４０× ＝３６分钟， 下山速度是上山的 1.5 倍， 则用时为 36÷1.5=24 10CB+2/3CB=5/3ＣＢ，由于樊政上山速度是老先生的 分钟，共计 60 分钟。 答案为 C-（ 2）特殊相遇问题【例题 1】 （ 09 黑龙江 6 题）甲、乙、丙三辆车的时速分别为 80 公里、 70 公里和 60 公 里，甲从 A 地，乙和丙从 B 地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后 15 分钟又遇到丙，那 么 A、 B 两地相距多少公里？ ( ) A． 650 公里 B.525 公里 C． 480 公里 D． 325 公里 【例题解析】甲与乙相遇后 15 分钟又遇到丙，这说明这 15 分钟甲和丙走的距离就是乙 比丙多走的距离，我们可以求出： （ 80+60）×1/4=35，所以从出发至甲乙相遇，乙车共 超丙车 35 千米，而乙车每小时比丙车快 10 千米，所以当甲车和乙车相遇时他们共走了 3.5 小时。 所以 AB 两地相距为（ 80+70）×3.5＝ 525 答案为 B【例题 2】 （ 2010 年江西省第 49 题）甲从 A 地，乙从 B 地同时以均匀的速度相向而 行，第一次相遇离 A 地 6 千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离 B 地 3 千米 处第二次相遇，则 A,B 两地相距多少千米？ A.10 A 距 A 地 6Km B.12 设为 xKm C.18 距 B 地 3Km B D.15【例题解析】 方法一： 如图所示，设两次相遇中间部分的路程为 x 千米。 由题目知，甲乙均是匀速行进，所以甲乙相同时间内行进的路程的比值是相同的， 第一次相遇时，甲行了 6 千米，乙行了 x+3 千米；第二次相遇时，甲行了 x+3+3 千 米，乙行了 6+6+x 千米，由此可列方程：解得 x=6 所以 AB 两地相距 6+6+3=15 千米6 x ?3?3 ? x?3 6?6? x答案为 D方法二： 如图，从甲、乙第一次相遇 到甲、乙在 D 点第二次相遇，甲、 乙应该加起来共走了两个全程。 从 第一次相遇到第二次相遇的过程中，甲走了 CD ? 2 DB ，乙走了 CD ? 2 AC ，这样在此过程中乙就比甲多走 2 AC ? 2 DB ? 6 公里， 也就是说从第一次相遇到第二次相遇的过程中乙比 甲多走 6 公里，这一过程甲、乙共走了两个全程，则有甲、乙共走一个全程时乙比甲多走 3 公里。 在第一次相遇时，乙比甲多走 3 公里，甲走了 6 公里，则全程为 6 ? 6 ? 3 ? 15 公里 【例题 3】 （ 2006 年国考一卷第 39 题）A、B 两地以一条公路相连。甲车从 A 地，乙 车从 B 地以不同的速度沿公路匀速率相向开出。两车相遇后分别掉头，并以对方的速率 行进。甲车返回 A 地后又一次掉头以同样的速率沿公路向 B 地开动。最后甲、乙两车同 时达到 B 地。如果最开始时甲车的速率为 X 米 /秒，则最开始时乙车的速率为（ A． 4X 米 /秒 B． 2X 米 /秒 C． 0.5X 米 /秒 D．无法判断 ） 。【例题解析】很明显，如果甲、乙相遇各自不掉头，也不“交换”速率，那么，甲、 乙会以同样的时间同时到达 B 地。在此过程中，乙车行使两倍的 AB 路程，甲车行使一倍 的 AB 路程，所以，乙车的速率是甲车的 2 倍。 答案为 B 【例题 4】有一人乘火车回家，火车早点一个小时。预定开车接他的家人还未到。 火车站到他家只有一条路，他决定先步行回家，路上遇到开车的家人后再乘车。结果到 家一看，比原定计划（火车准点）提早 20 分钟到家。现假设他家人事先不知道火车会早 点，按计划准时离家，路上汽车匀速，问他从火车站出发步行（ A． 20 B． 30 C． 40 D． 50 ）分钟才遇到家人？【例题解析】提早 20 分 钟到家， 说明汽车比原计划少 开 20 分钟，这样从相遇点到车站，汽车往返的时间应为 20 分钟，也就是说从相遇点到 车站汽车单程的时间是 10 分钟，如果火车没有早点，汽车应该途经相遇点后再开 10 分 钟到车站，由此可知，相遇时距火车准点到达的时间为 10 分钟，此人从距火车正点 60 分钟开始步行，所以走了 50 分钟 答案为 D（ 3）相遇次数问题【例题 1】在一个 400 米的圆形跑道上，甲、乙二人从同一地点背向出发各跑5000 米。甲每分钟 240 米，乙每分钟 160 米。问甲、乙二人相遇（ A． 19 B． 20 C． 12 D． 31）次？【例题解析】这道题可能出错之处是，有人可能认为甲每跑一圈会与乙相遇一 次，而实际上乙也在跑，甲、乙加起来每跑一圈相遇一次。甲每分钟 240 米，乙每 分钟 160 米， 相加正好是 400 米， 也就是说每分钟相遇一次， 甲跑了 5000 ? 260 ? 19 （取整） ，所以相遇 19 次。答案为 A【例题２】 （ 2011 年国考第 68 题）甲、乙两人在长 30 米的泳池内游泳，甲每分钟 游 37.5 米，乙每分钟游 52.5 米，两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回， 如是往返。 如果不计转向的时间， 则从出发开始计算的 1 分 50 秒内两人共相遇了多少次？ A.2 C.4 B.3 D.5【例题解析】甲、乙两人速度和为 90 米 /分钟，1 分 50 秒内两人可游 165 米。两人 第一次相遇时，两人须共游 30 米，而后每次相遇，两人须共游 60 米， （ 165-30）÷60 ≈ 2， 2+1=3 次，故两人共相遇了 3 次。故应选择 B 选 【例题３】甲乙两人在相距 90 米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒跑 3 米，乙的 速度是每秒跑 2 米。如果他们同时分别从直路两端出发， 10 分钟内共相遇几次？ A． 16 B． 17 C． 20 D． 45 【例题解析】甲、乙第一次相遇时所走过的路程和应该是 90 米，从第一次相遇之后，每 次相遇之间，甲、乙走过的路程和就应该是 2 倍的 90 米了 所以第一次相遇， 是出发后的 90÷ （ 3+2） =18 秒， 在此之后每 36 秒相遇一次 （ 10×60-18） ÷36≈ 16（取整）这样 10 分钟之内，甲、乙共相遇 16+1=17 次。 答案为 B 【例题４】樊政坐某路公共汽车从一个终点站到另一个终点站用了 1 个小时，途中 看到过 20 辆从对面驶来的同一路公共汽车。问这路公共汽车大约每（ 发出一辆车？ A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 【例题解析】从一个终点站到另一个终点站用 1 小时，这样樊政在刚刚出发后看到的 第一辆车应该是将近 1 小时前，另一个终点发出的车，而樊政在快到另一个终点时看到 的最后一辆车，应该是在樊政出发将近 1 小时后发车的。这样，樊政看到第一辆与最后 一辆的发车时间的差应该是将近 2 小时，2 小时中发出 20 辆车，说明正好每 6 分钟发一 辆车。 答案为 D 【例题 5】 （ 2007 年天津第 15 题）甲乙两地有公共汽车，每隔 3 分钟就从两地各发一 辆汽车，30 分驶完全程。如果车速均匀，一个人坐上午 9 点的车从甲地开往乙地，一共 遇上多少辆汽车 ? ）分钟从终点站A． 15B． 18C． 19D． 20【例题解析】首先我们应该明白这样的道理，在 9 点的时间，路上肯定已经有车了。 当此人人从甲出发的时候，乙也有个车刚出发，由于每 3 分钟发一辆车，因此，从乙地 出发的车有出发 0 分钟的 （也就是在乙点准备出发的车） ， 出发 3 分钟， 出发 6 分钟． ． ． ． ． 出 发 27 分钟，出发 30 分钟 （也就是此时已经到达甲点的车） ．因此，对车上的这个人来说， 距他最近的还在路上开着的车距甲点有 3 分钟的车程．由于车速相同，因此，此人和该 车 1.5 分钟的相遇．同样的，再过 1.5 分钟后又与另一辆车相遇，依此类推，每 1.5 分 钟与一辆车相遇．当该人在路上行驶了 27 分钟后，已经与 18 辆车相遇．并且此时乙地 又出发了一辆车，将会在 1.5 分钟之后也就是出发 28.5 分钟的时候相遇，这是最后相遇 的一辆车．所以总共相遇 19 辆车． 答案为 C 【例题 6】甲、乙两个码头分居一条大河的上下游。从甲到乙需 10 个小时，从乙到 甲需 20 个小时。甲、乙两个码头每半小时会不间断地同时发出一条客船。问一条客船从 乙到甲沿途会遇到几条从甲发出的客船？ A． 39 B． 40 C． 59 D． 60 【例题解析】客船从乙出发时，应该正好有一条从甲驶来的船进入乙港。这条船应该是 10 小时前从甲出发的。从乙出发的这条船，经 20 小时后驶入甲港，这时也应该正好有 一条船离开甲港。 从乙出发的这条船，出港时看到的是 10 小时前从甲出发的，而从乙出发的这条船进 入甲港时看到的是出发后 20 小时从甲出发的，这样，这条船将看到 30 小时，从甲港出 发的船， 30 小时内甲港应发出 61 条船。由于是每半小时甲、乙两港同时发船，所以， 有两条船将是在港内与之相遇，这样在途中共应看到 59 条船。 答案为 C3.追及问题人才测评中的追及问题是考查考生时空情境想象能力、抽象能力、分析能力的一种 题型，其难点也往往是在题目所述过程中速度、路程、时间关系的分析上。解答追及问题的注意事项： 1.在一般追及问题中，追及速度等于两运动体的速度之差（大速度－小速 度） 。追及问题的基本公式为追及路程 =（大速度 -小速度）×追及时间 2.环形路（如跑道）上的追及问题，两者若同时同地同向出发，大速度者 若要追上小速度者一圈，需要追及的路程一定为环形路的总长。 3.间歇追及问题实际上是一般追及问题的变形，重点在于把握过程中间歇 次数不同所造成的新的路程差。 4.“追队伍，追列车”问题中，很多情况下，追及路程还需加上队伍和列 车本身的长度。【例题 1】 （ 2003 年国考 A 类第 14 题）姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走 40 米，走了 80 米后姐姐去追他。姐姐每分钟走 60 米，姐姐带的小狗每分钟跑 150 米。小 狗追上了弟弟又转去找姐姐，碰上了姐姐又转去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇 小狗才停下来。问小狗共跑了多少米 ?（ A.600 米 B.800 米 ） 。 D.1600 米 C.1200 米【例题解析】小狗跑的时间就是姐姐追上弟弟所用的时间。从姐姐出发到姐姐追上 弟弟所用时间为 80÷（ 60-40） =4 分钟，则 4 分钟内小狗跑的距离为 150×4=600 米。 答案选 A 【例题 2】甲乙两位同学在环形跑道上的同一地点同时开始跑步，如果两位同学反 向而行，3 分钟后相遇，甲比乙多跑 50 米，如果两位同学同向而行，18 分钟后相遇。请 问跑道的长度是多少米？ A.200 米 B.250 米 C.300 米 D.400 米【例题解析】 甲 3 分钟比乙多跑 50 米， 则 1 分钟比乙多跑 追及距离为 18× 答案为 C50 米。 甲 18 分钟追上乙， 350 =300 米。在环形跑道上，追及距离就应该正好是跑道一圈的长度。 3【重点提示】环形路上的追及问题，追及路程一定为环形路的总路程。 【例题 3】 (2009 江西 13 题 )甲、 乙二人同时同地绕 400 米的循环环行跑道同向而行， 甲每秒跑 8 米，乙每秒跑 9 米，多少秒后甲、乙第 3 次相遇？ A． 400 B． 800 C． 1200 D． 1600 【例题解析】由于乙每秒比甲快 1 米，所以第一次乙追上甲是在 400 秒后，也即是 乙超过了甲一周，同样乙第二次追上甲是在 800 秒后，所以 1200 秒后甲乙第三次相遇。 答案为 C【例题 4】 （ 2006 年北京第 19 题）左下图是一个边长为 100 米的正三角形，甲自 A点、乙自 B 点同时出发，按顺时针方向沿三角形的边行进。甲每分走 120 米，乙每分走 150 米， 但过每个顶点时， 因转弯都要耽误 10 秒。 问： 乙出发后多长时间在何处追上甲？ A． 3 分 B． 4 分 C． 5 分 D． 6 分 【例题解析】乙欲追上甲，就要比甲多过一个顶点， 这样就要延误 10 秒，这 10 秒钟甲将走 120×1/6=20 米， 这样追及距离就成了 100+20=120 米。120÷（ 150-120）=4 分钟，而 4 分钟内，乙共走了 600 米，也即是转弯了 6 次， 要多费 60 秒，所以共用时间为 5 分钟。 答案为 C 【例题 5】（ 2010 年河南省第 50 题）甲、乙两地相距 100 千米，张先骑摩托车从甲 出发， 1 小时后李驾驶汽车从甲出发，两人同时到达乙地。摩托车开始速度是 50 千米 / 小时， 中途减速为 40 千米/小时。 汽车速度是 80 千米 /小时。 汽车曾在途中停驶 10 分钟， 那么张驾驶的摩托车减速时是在他出发后的多少小时 ?( )A.1B.1 2C.1 3D.2【例题解析】由于汽车在中途停了 10 分钟 =1 小时， 6故汽车到达乙地时共用时间为100 1 + 小时， 80 6摩托车到达乙地共用100 1 + +1 小时 80 6由于摩托车中途减速，设摩托车以 50 千米 /小时行驶 x 小时，则以 40 千米 /小时的速度行驶了100 1 + +1-x 小时。 80 6可列方程： 50×x+40×(100 1 + +1-x)=100 80 6解得 x=1 。故选择 C 选项。 3【例题 6】 （ 2009 云南 13 题）在 400 米环形跑道上，A、B 两 点最近相距 100 米 (如图 )。甲、乙两位运动员分别从 A、 B 两点 同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑 9 米，乙每秒跑 7 米， 他们每人跑 100 米都停 5 秒，那么追上乙需要多少秒？ ( )A． 70B． 65C． 75D． 80【例题解析】甲每跑 100 米休息 5 秒，所以甲每跑 100 米共用时间为： 秒；乙每跑 100 米休息 5 秒，乙每跑 100 米共用时间为：1 100 +5=16 9 92 100 +5=19 秒。比较分析，结 7 7合选项，考虑出发后 75 秒时的情况，甲休息了四次，跑了 (75―4×5)×9=495 米；乙跑 了 420 米。甲比乙多跑了 75 米，甲没有追上乙。所以甲追上乙的时间应大于 75 秒，只 能选择 D。 答案为 D 【例题 7】一列火车从甲城开往乙城，每小时行 48 千米，中午 12 时到达；每小时 行 80 千米，上午 10 时到达。如果要上午 11 时到达，这列火车行驶速度应是每小时多少 千米 A. 50 千米 B.52 千米 C.55 千米 D. 60 千米 【例题解析】这道题的解题思路可以借鉴追及题的思路，以 80 千米 /小时的速度可 以提前两小时到，换言之，如果有一辆 80 千米 /小时的火车比 48 千米 /小时的火车晚发 车 2 小时，跑完全程正好追上，追及距离是 48×2=96 千米，追及速度是 80-48=32 千米， 追及时间是 96÷32=3 小时，全程是 3×80=240 千米， 11 点到达就需要 4 小时到达 240 ÷4=60 千米 /小时 答案为 D 【例题 8】樊政从家步行去某地，每分钟步行 50 米，上午 11 点到达。第二天樊政 还是同一时间出发，每分钟步行 70 米，上午 9 时到达。第三天樊政同一时间出发，以每 分钟 60 米的步行速度去该地，则樊政到达该地时的时刻为（ A.9 点 40 分 B.9 点 50 分 C.10 点整 ） D.10 点 10 分【例题解析】这道题的解题思路可以借鉴追及题的思路，以 70 米 /分钟即 4.2 千米 / 小时的速度可以提前两小时到，换言之，如果有一个 4.2 千米 /小时的人比 3 千米 /小时 的人晚出发 2 小时， 走完全程正好追上， 追及距离是 3×2=6 千米， 追及速度是 4.2-3=1.2 千米，追及时间是 6÷1.2=5 小时，则第一次路程所用时间为 5+2=7 小时，即出发时间为 凌晨 4 点，全程是 5×4.2=21 千米 .樊政第三天时速为 3.6 千米 /小时，所以走完全程所 用时间为21 5 = 5 ，即 4 点出发历时 5 小时 50 分种到达，在 9 点 50 到达。 3 .6 6答案选 B4.速度叠加无论是水流问题还是扶梯问题，解决此类问题的一个共同前提就是将水流、扶梯看作匀速，与运动物体的速度关系是相加或相减的关系。 （ 1）水流问题 解决水流问题的注意事项 一、水流问题中，船速和水流速度恒定匀速。 顺水速度 =船速 +水流速度 逆水速度 =船速 -水流速度 顺水速度 -逆水速度 =2×水流速度 二、在水流问题中，沿水流方向的相遇和追及问题同水流速度无关。 当 A、 B 两船在同一河流相向而行时， （ A 船顺水而行， B 船逆水而行） A 船顺水速度 +B 船逆水速度 =A 船船速 +B 船船速 当 A、 B 两船在同一河流同向行驶时， （ A 船船速B 船船速） 两船距离拉大 /缩小速度 =A 船船速 -B 船船速 三、无动力状态下，船（木筏、竹排）的航行速度=水流速度【例题 1】 (2005 年浙江一卷 22 题 )一艘游轮逆流而行，从 A 地到 B 地需 6 天；顺流 而行，从 B 地到 A 地需 4 天。问若不考虑其他因素，一块塑料漂浮物从 B 地漂流到 A 地 需要多少天 ? A． 12 天 B． 16 天 C． 18 天 D． 24 天 【例题解析】设水的速度为 x ，船的速度为 y ，路程为“整体 1” 。1 =4 x? y 1 =6 y?x答案为 D解得： x=1 ，所以需要 24 天。 24【思路点拨】考生应抓住“整体 1”思想，利用方程求出水流速度进而解答该题。无 动力状态下，物体的航行速度 =水流速度 【例题 2】 （ 2005 年国考一卷第 43 题）某船第一次顺流航行 21 千米又逆流航行 4 千 米，第二天在同河道中顺流航行 12 千米，逆流航行 7 千米，结果两次所用的时间相等。 假设船本身速度及水流速度保持不变，则顺水船速与逆水船速之比是： A.2.5： 1 B.3： 1 C.3.5： 1 D.4： 1 【例题解析】设顺水船速为 x，逆水船速为 y 则有21 4 12 7 ? ? ? x y x y解得 x： y=3:1 故应选择 B 选项。【例题 3】 （ 2010 年黑龙江省第 42 题）一船顺水而下，速度是每小时 6 千米，逆流而 上每小时 4 千米。求往返两地相距 24 千米的码头间平均速度是多少 ?( A． 5 B． 4.8 C． 4.5 D． 5.5 )顺流速度 6 千米/小时水流方向 度逆流速度 4 千米/小时两地相距 24 千米 【例题解析】顺流而行时，需行驶 24 千米÷6 千米/小时 =4 小时，逆流而行时，需行 驶 24 千米÷4 千米 /小时=6 小时，共用了 10 小时，平均速度为 24×2÷10=4.8 公里 /小 时，所以答案为 B 选项。 【思路点拨】考生在答题此题时，要注意平均速度并非速度的平均。 【例题 4】 （ 2010 年国考 54）某旅游部门规划一条从甲景点到乙景点的旅游线路，经 测试，旅游船从甲到乙顺水匀速行驶需 3 小时；从乙返回甲逆水匀速行驶需 4 小时。假 设水流速度恒定，甲乙之间的距离为 y 公里，旅游船在净水中匀速行驶 y 公里需要 x 小 时，则 x 满足的方程为：1 1 1 = + x 3 4?x 1 1 1 1 C. - = + 3 x 4 xA.1 1 1 = + 3? x 4 x 1 1 1 1 D. - = 3 x x 4 1 1 1 1 【例题解析】选择 D 中所列方程 - = - 有等量关系， 3 x x 4B. 即顺水速度 -静水速度 =静水速度 -逆水速度 相当于水速 =水速，有等量关系，故应选择 D 选项。 【重点提示】流水问题中，水速 =水速是一组重要的等量关系。 【例题 5】甲、乙两船分别在一条河的 A、B 两地同时相向而行。甲顺流而下，乙逆 流而行。相遇时，甲、乙两船行了相等的航程。相遇后继续前进，甲到达 B 地，乙到达 A 地后，都立即按原来路线返航。两船第二次相遇时，甲船比乙船少行 1 千米。如果从 第一次相遇到第二次相遇时间相隔 1 小时 20 分，则河水的流速为每小时（ ）千米。【例题解析】此题的关键是第一次相遇时，甲、乙二船行了相等的航程，由于两船是 同时出发，这样就有V 甲+ V 水= V 乙- V 水同时，由于第一次相遇时，甲、乙二船行相等的航程，那么，他们到达 A、 B 地就应 该是同时到达。 另外我们还应该知道，相遇时间是路程除以速度和。而速度和为（ V 甲 + V 水 ） +（ V 乙 - V 水 ） = V 甲 + V 乙甲航行距离 乙航行距离A 两船同时相向出发在中点相遇，航行距离 一样，所耗时间一样。 乙航行距离 甲航行距离BAB 甲乙同时返航，到相遇时所耗时间仍一样由此可知，甲、乙船的速度和与水流流速无关。这样，我们就可以推导出，从出发到 第一次相遇所用的时间与从第一次相遇，到甲、乙行使到 B、 A 点，以及甲、乙从 B、 A 点驶到第二次相遇的时间都是一样的，都应该是 1 ÷2=1 32 小时 3这样就有从甲、乙到达 B、 A 开始，甲、乙分别行驶了2 2 （ V 乙 +V 水 ） = （ V 甲 -V 水 ） +1 3 3 2 4 则有： （ V 乙 -V 甲 ） =1- V 水 3 3 又由于 V 甲 +V 水 =V 乙 -V 水 ? V 乙 -V 甲 =2V 水 2 4 3 所以有： （ 2V 水 ） =1- V 水 ? V 水 = 千米 /小时 3 3 8答案为 A 【重点提示】在水流问题中，沿水流方向的相遇和追及问题，由于同时受到水流的影 响，故水流速度可以不计。 （ 2）扶梯问题一、扶梯问题与水流问题类似。 当人步行方向与扶梯运行方向相同时， 人在扶梯上运行的速度 =人步行速度 +扶梯的运行速度 当人步行方向与扶梯运行方向相反时， 人在扶梯上运行的速度 =人步行速度 -扶梯的运行速度 二、扶梯问题与相遇、追及问题的转化 扶梯问题相对于水流问题较复杂，较难理解，在此给大家推介一种较好理解 的方法。 由于当扶梯运行方向与人行走方向同向时，须将扶梯速度与人行走速度叠 加，故我们可以将扶梯看做与人相向而行的运动体，将扶梯问题看做相遇问题。 由于当扶梯运行方向与人行走方向逆向时，须将扶梯速度与人行走速度相 减，故我们可以将扶梯看做与人同向而行的运动体，将扶梯问题看做追及问题。【例题 1】商场内有一部向下运行的扶梯，一位顾客从上向下走，共走了 20 级台阶， 以同样的速度从下向上走，共走了 60 级台阶，问电梯停住时，能看到多少级台阶？ 级 级 级 级 【例题解析】顾客是匀速的，所以顾客走 60 级用的时间应该是走 20 级用的时间的 3 倍。设扶梯静止时为 x 级，当顾客每走 20 级台阶，扶梯运动 y 级，则有： x-y=20 x+3y=60 解得：x=30 故应选择 B 选项。顾客和电梯方向均 向下，走 20 级。顾客和电梯方向相 反，走了 60 级。【例题 2】 （ 2005 年国考一卷第 47 题）商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩 子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走 2 个梯级，女孩每 2 秒钟 向上走 3 个梯级。结果男孩用 40 秒钟到达，女孩用 50 秒钟到达。则当该扶梯静止时， 可看到的扶梯梯级有： 级 系。 级 级 级 【例题解析】设扶梯的速度是每秒 x 级，扶梯上升与男孩、女孩向上走是速度叠加关40 秒内男孩走的加上 40 秒内扶梯走的是静止时扶梯总级数。 50 秒内女孩走的加上 50 秒内扶梯走的是静止时扶梯总级数 40×（ 2+x） =50×(3 1 +x) 解得 x= 2 2代得：扶梯总级数为 100 级 答案为 B 选项 【思路点拨】这里再向大家推介一种更好理解的方法，辅助考生解答扶梯问题。 由于扶梯与两个孩子同向而行，速度需叠加在一起。故可将电梯看做甲，与男孩、女孩 同时出发，相向而行。题目就可看做，两孩子在 A 地，甲在 B 地，三者同时出发，男孩 与甲相遇需要 40 秒，女孩与甲相遇需要 50 秒，男孩每秒钟走 2 个梯级，女孩每秒钟走 1.5 个梯级，设甲的运动速度为 x， 则根据相遇路程相等列出等式方程为： 40(2+x)=50(1.5+x) 解得 x=0.5 扶梯梯级共有（ 0.5+2）×40=100 级 对应的，当扶梯与人逆向而行时，可看做追及问题求解。5.工程问题工程问题是国家及地方公务员考试中最常见的题型之一，而且近年来在考试中，此 类型题目难度有明显的加大趋势。其实，工程问题万变不离其宗，绝大多数情况都可以 采用所谓“整体 1”的方法。 解答工程问题时，要熟练掌握相关技巧，灵活作答。本种题型应注意事项： 1、工程问题中最常见的解题思路是将总量看作整体“ 1” 。若设整项工程的工作量 为“整体 1” ，那么，如果一个人用 n 个单位时间完成，则每单位时间的工作量就是 其它技巧往往是在此基础上的变化。 2、近几年的真题中，工程问题往往出现“交替工作”的情况。遇到此种情况，考 生可将 N 人的工作效率“打包”相加，看做 N 人合作 N 天的效率和，大大简化了题目的 复杂程度。 3、在工程问题中，常常会出现多人完成的整项工程，某人“停顿”N 天的情况。遇 到此类问题，考生可先对这一“停顿忽略不计” ，用几人合作的工作效率和×实际工作 时间得到一个超过“整体 1”的工作量。这一工作量与“整体 1”的差值就是某人单独 在 N 天的工作量。 甲完成某项工作需要 40 天，乙完成某项工作需要 30 天，两人合作，共同完成这一 工作，由于乙中途休息了一段时间，这项工作最终 20 天完成，问乙中途休息了多长时 间？1 ， n1 1 ，乙的工作效率为 ，两人的效 30 40 7 1 1 7 7 率和为 + = 。若两人一直合作，则能完成整项工作的 ×20= ，比工作量 6 40 30 120 120 7 1 1 1 1 多出 -1= 。 这多出的 就是多算的乙休息时间的工作量， 故乙休息了 ÷ =5 天。 6 6 6 6 30设整项工作为“整体 1” ，则甲的工作效率为 4、工程问题中，当出现“水池蓄、放水”问题时，要尤其注意认真审题，以避免 与隐含其中的“此消彼长”问题（蓄水的同时漏水、放水的同时注水）相混淆。【例题 1】 （ 2007 年河北省第 17 题）甲、乙两队从两端向中间修一条 330 米的公路， 甲队每天修 15 米，修 2 天后，乙队也来修，共同修了 10 天后，两队还相距 30 米，乙队 每天修多少米？ A． 16 B． 10 C． 15 D． 12 【例题解析】此题由三个阶段构成，先是甲独做的两天，再是两人同做的 10 天，最 后是尚未做的 30 米。要求乙队的工作效率，须从两人同做的 10 天入手。由条件“甲队 每天修 15 米，修 2 天” ，可知甲单独工作两天的工作总量为 15×2，两队合作的总工作 量为 330-30-30=270 米。 合作效率 =合作总量÷合作时间，即 270÷10=27 米 /天。 乙独做的效率为 27-15=12 米 /天。 故应选择 D 选项。 【思路点拨】作答此题，应先将工作总量分段，即分成甲独做、两人合作和尚未做 三部分，而后各个击破，轻松作答。【例题 2】 （ 2007 江西省第 38 题）甲、乙、丙共同编制一标书，前三天三人一起完1 1 ，第四天丙没参加，甲、乙完成了全部工作量的 ，第五天甲、丙 5 18 1 没参加，乙完成了全部工作量的 ，从第六天起三人一起工作直到结束，问这份标书的 90成了全部工作量的 编制一共用了多少天？ A． 13 B． 14 C． 15 D． 16【例题解析】设整项工程为“整体 1” ，由“前三天三人一起完成了全部工作量的 可知三人合作的工作效率为1 ” 51 1 ÷3= 。 5 15又可求三人合作状态下的工作总量为 1-1 1 14 14 = ，则三人合作的总时间为 ÷ 18 90 15 151 =14 天，再加上第四天和第五天，则完成整项工程共用了 14+1+1=16 天。故应选择 D 15选项。 此题的解题步骤，如下图所示：经整理，将题目所描述状态简化将相同的工作状态合并， 剩余 故共需 14+2=16 天。14 1 的工作全部在 的工作效率下完成。 共还需 14 天。 15 15【重点提示】要注意的是，在一些工程问题题目中往往存在多人多种工作状态，考 生要注意捋顺思路，将与所求相关的工作状态过滤出，将其余工作状态的影响刨除，从 而简化题意，顺利答题。 【例题 3】 （ 09 吉林省第 7 题）甲、乙一起工作来完成一项工程，如果甲单独完成需 要 30 天，乙单独完成需要 24 天，现在甲乙一起合作来完成这项工程，但是乙中途被调 走若干天，去做另一项任务，最后完成这项工程用了 20 天，问乙中途被调走（ ）天 A.8 B.3 C. 10 D. 121 。甲、乙合作完 30 2 1 成整项工程共用 20 天，甲全程参与了整项工程，故甲完成了全部工程的 。剩余的 工 3 3 1 程是乙的工作总量，根据比例关系可知，乙完成这些工作只需 24× =8 天。故乙中途被 3【例题解析】设整项工程为“整体 1”，甲每天的工作效率则为 调走了 20-8=12 天。故应选择 D 选项。 【例题 4】 （ 2010 广州市第 6 题）一项工程交由甲、乙两人做，甲、乙两人一起做需 要 8 天，现在甲乙两人一起做，途中甲离开了 3 天，最后完成这项工程用了 10 天，问甲 单独做需要多少天完成？ A.10 B.11 C.12 D.13 【例题解析】甲、乙合作 10 天完成全部工程的过程中，甲在中途离开了 3 天。则 甲、乙实际合作了 7 天。设工程总量为“整体 1”，由于“若甲、乙全程合作需要 8 天7 。则乙独做的 10-7=3 天中，只 8 1 1 1 1 1 1 完成了工作总量的 。易求乙的工作效率为 ÷3= ，甲的工作效率则为 = 。 8 8 8 24 12 24完成”，可知甲、乙合作的 7 天中，完成了工作总量的 故甲单独做要 12 天才能完成。 故应选择 C 选项。 【重点提示】解答此类“中途被调走”类工程问题，可从全程参与工程者或共同工 程时间入手，将题目条件简化，达到巧解、速解的目的。 【例题 5】 （ 2011 国考第 77 题）同时打开游泳池的 A,B 两个进水管，加满水需 1 小 时 30 分钟，且 A 管比 B 管多进水 180 立方米，若单独打开 A 管，加满水需 2 小时 40 分 钟，则 B 管每分钟进水多少立方米？ A.6 B.7 C.8 D.9 【例题解析】 “ A、B 两管同时加水需 1 小时 30 分钟（ 90 分钟）加满，A 管比 B 管多 进水 180 立方米” 。根据比例关系，可知若 B 管单独加水 2 小时 40 分钟（ 160 分钟） ，还 差 320 立方米的水没有加满。 设 B 管每分钟进水 x 立方米 可有方程 2×90x+180=160x+320，解得 x=7。 故应选择 B 选项。 【重点提示】遇到水管加水（水池放水）问题，切忌盲目作答。一定要认真理解题 意，很多题目会有隐藏其中的“此消彼长”问题（边放水边加水或边加水边漏水），要 求考生引起足够重视。 【例题 6】 （ 2009 年国考第 110 题）一条隧道，甲用 20 天的时间可以挖完，乙用 10 天的时间可以挖完，现在按照甲挖一天，乙再接替甲挖一天，然后甲再接替乙挖一天? 如此循环，挖完整个隧道需要多少天 ?A.14B.16C.15D.13【例题解析】将工程总量设为“整体 1”，甲独做 1 天能完成工程总量的 做 1 天能完成工程总量的1 ，乙独 201 3 。每两天甲、乙可以完成工程总量的 ，工作到第 12 天结 10 20 3 18 束时，二人共完成了全部工程的 ×（ 12÷2）= 。接下来，第 13 天的工作需甲做， 20 20 1 18 1 1 甲工作一天，完成全部工程的 。整个工作还剩余 1= ，乙再工作一天， 20 20 20 20整个工程即可完成，故共需 14 天完成。故应选择 A 选项。 【例题 7】一项工程，甲队独做需要 20 天完成，乙队独做需要 40 天完成。现在先 由甲队施工一天，然后由乙队接替甲队施工 2 天，第 4 天再由甲队接替乙队施工一天， 然后再由乙队接替甲队施工 2 天??如此交替，最后乙队结束施工，多少天完成任务？ A． 25 天 B． 30 天 C． 32 天 D． 36 天 【例题解析】将工程总量视为“整体 1” ，甲队单独做需 20 天完成。那么，甲队每 天可完成总工程量的1 1 。 同理， 乙队独做需要 40 天完成， 乙队每天即可完成总量的 。 20 401 1 1 1 ? ? ? ，完成整项工程共 20 40 40 10先由甲队施工一天，再由乙队接替甲队施工两天，将这一过程“打包”合并（如下 图） ，于是在这三天中甲、乙两队将完成总工程的 要 30 天。故应选择 B 选项。【重点提示】例题 6 和例题 7 中出现的工程问题属于“交替工作”的工程问题。解 答此类问题需要采用“打包”的思想，将 N 个人的工作效率相加，求出 N 天能完成的工 作量，将 N 天工作量看做一个整体，即可轻松解题。 【例题 8】一项工程，现有甲、乙、丙、丁、戊五人。甲、戊同时做需 8 小时做完。 乙、丙同做需 10 小时完成。乙、丁同做需 15 小时完成。丙、丁同时做需 12 小时完成。 问五个人同时做，需几个小时做完？ A． 3 B． 8 C． 6 D． 4 【例题解析】工程问题正确做对不难。但是，大家知道，公务员考试是非常讲求作 题速度的考试。所以就要求我们深入掌握题型内在脉络，能够迅速准确作答出正确答案。 本题是我曾经编写的一道题目，旨在能够帮助大家深入理解。 我们发现在题目中乙、丙、丁的情况都分别出现了两次，即乙、丙合作需 10 小时， 乙、丁合作需 15 小时，丙、丁合作需 12 小时，设整项工程为“整体 1”1 10 1 乙、丁合作一小时可作总体的 15 1 丙、丁合作一小时可作总体的 12乙、丙合作一小时可作总体的 三者相加就是乙、丙、丁三人合作，两小时所完成的工作量 那么，乙、丙、丁三人合作一小时就能完成总体的1 1 1 1 ? ? ? 10 15 12 41 ，而甲、乙两人合作 1 小时也 8 1 1 1 1 能完成整体的 ，五人合作 1 小时完成的量应该是 ? ? 。 8 8 8 4故应选择 D 选项。 【例题 9】 （ 2011 国考第 67 题）甲、乙、丙三个工程队的效率比为 6：5：4，现将 A、 B 两项工作量相同的工程交给这三个工程队，甲队负责 A 工程，乙队负责 B 工程，丙队 参与 A 工程若干天后转而参与 B 工程。两项工程同时开工，耗时 16 天同时结束，问丙队 在 A 工程中参与施工多少天？ A.6 B.7 C.8 D.9 【例题解析】由于“甲、乙、丙三个工程队的效率比为 6：5：4” ，我们索性设三个 工程队的工作效率分别为 6、 5、 4。设丙队在 A 工程中参与了 x 天，则其在 B 工程中参 与了 16-x 天。根据 A、 B 工程量相等可列等式： 6×16+4x=5×16+4（ 16-x） 解得 x=6 故应选择 A 选项。【例题 10】樊政、朱雪麟、何维三个人一起校对一套公务员考试参考丛书，樊政单 独校对需要 20 工作日，朱雪麟单独校对需要 30 工作日，何维单独校对需要 40 工作日。 现在由樊政、朱雪麟、何维三人同时校对，在校对期间，朱雪麟停顿了整数工作日，而 樊政和何维一直校对至完成，最后也用了整数工作日完成。那么朱雪麟停顿了多少工作 日。 A.8 工作日 B.9 工作日 C.10 工作日 D.11 工作日 【例题解析】近年来的公务员考试数量关系部分的趋势难度再日趋加大。所以我选 择了一些难度较大的题目，编入了本书。同时，适当作一些难度较大的题目，对于大家 深入掌握理解题型也会有一定帮助。 我编写的这道题目有多种解法，以下是最为简便的解法，供大家参考。 设共用了 m 工作日，其中朱雪麟停顿了 n 工作日，m、 n 为整数，且 n＜ m。 樊政、朱雪麟、何维三个人一起校对，每工作日进程为整体的1 1 1 13 + + = 20 30 40 120 13 1 m C n = 1 120 30 13 1 m = (30+n) 120 30 m 1 = (30+n) 4 13所以 n 的取值只能是 9。 m =12。 答案为 B。 【重点提示】对于多人合作工程问题中的停顿工作问题，我们可以用“逆向思维” 的方法解题。可以先假设全部工程都是多人合作完成的，用多人合作的总效率×实际的 工作时间得到的工作总量一定大于“整体 1” ，超出部分一定是停顿人的工作效率×停顿 时间。6.比例问题解决比例问题的核心思想是“份数思想” ，即根据题目中各数量间的比例关系，设定 各个量的份数，将复杂的比例问题简单化。解决比例问题的核心思想： “份数”思想 “份数”思想与我们解题时经常使用的“单位 1”思想类似。 “单位 1”思想是 将总量视为整体 1，而“份数”思想是将总量视为既定份，视作多少份依据具体题目 而定。所设份数的基本原则就是便于计算。 在具体应用的时候，我们可以把未知量设为既定份，亦可以把已知量设为既定 份。往往在无法确定已知量与未知量的具体比例关系的时候，将已知量也设为既定 份，通过份数寻找比例关系，在计算的时候转换即可。 比例问题往往涉及到份数计算，因此面对一些计算量大，通分、约分不方便的 题目时，灵活使用“份数”思想，能极大程度的简化比例计算的复杂程度，节省大 量宝贵时间。 “份数”思想的应用极其广泛，不仅在比例问题当中，在任何类型的题目当中， 只要涉及了比例关系都可以应用。在本节，我们将通过具体例题来讲解“份数”思 想的应用。希望大家灵活掌握，反复练习。 例如：一个袋子里装有红球与白球，红球与白球的数量之比是 19： 13。放入若 干只红球后，红球与白球数量之比变为 5： 3；再放入若干只白球后，红球与白球数 量之比变为 13：11。已知放入的红球比白球少 80 只。那么原来袋子里共有（ 只球。 A.390 B.570 C.960 D.1040 题目当中给出“袋子里红球与白球的数量之比是 19： 13。放入若干只红球后， 红球与白球数量之比变为 5： 3” 。这说明，在这个过程当中，白球的数量没有变化。 既然白球可以在两次中分别与红球构成 5：3；19：13 的比例关系，说明白球的数量 肯定可以被 39 整除。 根据这一点，我们设原有白球 39 份。 那么，根据题目当中给出的比例关系，初始应该有红球 57 份，白球 39 份。 放入一些红球后，白球不变。应该有红球 65 份，白球 39 份。 又放入一些白球后，红球不变。应该有红球 65 份，白球 55 份。 那么，在这一过程中新放入红球 8 份，白球 16 份，白球比红球多 8 份。题中给 出白球比红球多 80 个，那么，一份球为 10 个。 原有球 57+39=96 份，每份 10 个，则原有球 960 个。 这样一来，计算量大大降低，几秒钟即可解得答案。 解决比例问题时，除要掌握份数的思想外，还应注意比例关系间的传导性，将 各比例关系建立起联系，找到统一“参照物” ，进行比例关系的转化。 ）例题详讲： 【例题 1】 (2006 年北京考试，第 15 题 )水结成冰后体积增大 1/10，问：冰化成水 后体积减少几分之几？ A、 1/11 B、 41 C、 1/9 D、 1/8【例题解析】典型“份数”思想。 假设固定量的水，体积为 10 份，那么结冰后体积变为 11 份。 因此，这 11 份体积的冰化成水后，体积变为 10 份，减少 1 份，体积减少 1/11。 A 为正确答案。 【例题 2】 （ 2008 国家考试，第 52 题） 5 年前甲的年龄是乙的三倍， 10 年前甲的年 龄是丙的一半，若用 y 表示丙当前的年龄，下列哪一项能表示乙的当前年龄？（ A． ）y ＋5 6B.5y ＋ 10 3C.y ? 10 3D.3y－ 5【例题解析】这是比例题当中比较简单的一道，按照题目当中给出的比例描述直接 求解即可。 已知当前丙的年龄是 y，那么 10 年前丙的年龄为 y-10。10 年前甲的年龄为 5 年前甲的年龄为y ? 10 ， 2y ? 10 y ? 10 +5，那么 5 年前乙的年龄为（ +5）÷3，则当前乙的年 2 2 y y ? 10 龄为（ +5）÷3+5= ＋ 5 6 2A 选项为正确答案。 【例题 3】原有男、女同学 325 人，新学年男生增加 25 人；女生减少 5%，总人数增 加 16 人，那么现有男同学（ A、 145 B、 160 ）人。 C、 161 D、 175【例题解析】本题比较简单，大家应该在 30 秒内将此题准确解答。男生增加 25 人， 总人数增加 16 人，则女生减少 9 人， 9÷ 325-180=145， 145+25=160 人 答案为 B 【例题 4】 （ 2009 国考 114）某公司甲乙两个营业部共有 50 人，其中 32 人为男性， 已知甲营业部的男女比例为 5U 3，乙营业部的男女比例为 2U 1，问甲营业部有多少名女 职员？ A.18 B.16 C.12 D.9 【例题解析】设甲营业部有 5x 名男职员， 3x 名女职员，乙营业部有 32-5x 名男员 工，1 =180，女生原有 180 人，则男生原有 2032 ? 5 x 名女职员 2则：有方程 5x+3x+(32-5x)+ 解得 x=12 故应选择 C 选项。32 ? 5 x =50 2【例题 5】 （ 2006 年国考一卷第 40 题） 有甲、乙两个项目组。乙组任务临时加重时，从甲组抽调了甲组四分之一的组员。 此后甲组任务也有所加重，于是又从乙组调回了重组后乙组人数的十分之一。此时甲组 与乙组人数相等。由此可以得出结论（ A．甲组原有 16 人，乙组原有 11 人 B．甲、乙两组原组员人数之比为 16： 11 C．甲组原有 11 人，乙组原有 16 人 D．甲、乙两组原组员人数之比为 11： 16 【例题解析】方法一：答案选项验算法 答案 A、 C 显然排除，因为 A 组 11 人，不可能抽调 ） 。1 ；从 A 组 16 人中调 4 人至 B 4组， B 组则有 15 人，不能被 10 整除答案，不可能抽调 1/10； D 也显然不对，依题意， 显然 A 组比 B 组人多，所以只有选择 B。 方法二： 设 A 组 x 人， B 组 y 人 x-x 1 x x 9 + (y+ )= (y+ ) 4 10 4 10 4整理得： 答案为 Bx 16 = y 11【例题 6】 （ 2003 年国考 A 类，第 11 题）一种挥发性药水，原来有一整瓶，第二天 挥发后变为原来的 1/2；第三天变为第二天的 2/3；第四天变为第三天的 3/4，??，请 问第几天时药水还剩下 1/30 瓶 ? （ A. 5 天 B. 12 天 ） C. 30 天 D. 100 天【例题解析】实际上，第三天变为原有的1 2 1 1 2 × = ，第四天变为原有的 × × 2 3 3 2 33 1 1 = ,??，因此，第 30 天变为原有的 4 4 30C 选项为正确答案 【例题 7】樊政老师的暑期公务员备考辅导班有三个班共 220 人。其中甲班人数的 2/3 与乙班人数的 4/5 和丙班的 2/3 共有 156 人，问乙班有多少人？（ A． 70 人 则 x+y=220 B． 72 人 C． 75 人 D． 78 人 【例题解析】方法一：设甲、丙班共有 x 人，乙班有 y 人 ）2 4 x+ y=156 3 5解得： y=70答案为 A 计算量较大，应采用“份数”思想。 方法二： 这里我们要采用的“份数”思想，不是设既定份，而是按照份数关系计算。2 4 2 与乙班人数的 和丙班的 共有 156 人” 3 5 3 4 2 说明：乙班人数的 +甲、丙班人数的 =156 人 5 3 1 1 相当于：乙班人数的 +甲、丙班人数的 =64 人 5 3 2 2 那么将其视作 1 份， 2 份的它为乙班人数的 +甲、丙班人数的 =128 人 5 3 2 很明显：乙班人数的 =156-128=28 人，那么乙班人数为 70 人 5已知“甲班人数的 【例题 8】(2007 年国家考试，第 50 题 )小明和小强参加同一次考试，如果小明答对 的题目占题目总数的3 2 ，小强答对了 27 道题，他们两人都答对的题目占题目总数的 ， 4 3） C． 5 道 D． 6 道 B． 4 道那么两人都没有答对的题目共有： （ A． 3 道【例题解析】小明答对总数的 未对的占3 2 ，俩人都答对的占总数的 ，则有小明答对而小强 4 33 2 1 - = ，所以总数必须是 12 的倍数，且大于 27，又因为小强答对 27，两人 4 3 12 2 2 都对的占 ，所以俩人都对的也小于等于 27，总数小于等于 27÷ =40.5 3 3所以，总数是 12 的倍数，且大于 27，小于 40.5，总数为 36，这样小明就答对了 36 ×3 2 =27 都 对 的 为 36 × =24 。 有 24 题 两 人 都 对 ， 且 各 有 3 题 都 是 一 人 做 对 ， 4 336-24-3-3=6。故应选择 D 选项。【例题 9】 （ 2011 国考 78）某城市共有 A.B.C.D.E 五个区， A 区人口是全市人口的2 5 5 ， B 区人口是 A 区人口的 ， C 区人口是 D 区和 E 区人口总数的 ， A 区比 C 区多 3 5 8 17万人，全市共有多少万人？ A.20.4 B.30.6 C.34.5 D.44.2【例题解析】 A 区人口是全市人口的5 ； 17 2 2 5 2 则 B 区人口是 A 区人口的 ，是全市人口的 × = ； 5 5 17 17 5 2 C 区、 D 区和 E 区人口总数是全市人口的（ 1） 17 17C 区人口是全市人口的（ 1-5 2 5 50 ）×（ ）= 。 17 17 8?5 221 5 50 15 A 区人口 -C 区人口 = = ， 17 221 221 15 故全市人口为 3÷ =44.2 万人。 221故应选择 D 选项。【例题 10】 （ 2005 年国考一卷 ,第 50 题）在一次国际会议上，人们发现与会代表中 有 10 人是东欧人，有 6 人是亚太地区的，会说汉语的有 6 人。欧美地区的代表占了与会 代表总数的 2/3 以上，而东欧代表占了欧美代表的 2/3 以上。由此可见，与会代表人数 可能是： （ A.22 人 ） B.21 人 C.19 人 D.18 人1 2 以上， 这样， 总数就必须大于 6÷ =18 3 3 2 人， （不含 18 人） ，因为如 18 人或 18 人以下欧美地区的代表就占不到 以上了。东欧人 3 2 10 人，而且东欧人占欧美 以上，则欧美人必须在 15 人以下（不含 15 人） ，欧美人最 3【例题解析】 亚太地区的 6 人， 欧美地区的占 多 14 人，这样总数就必须在 21 人以下（不含 21 人） ，因为总数如果 21 人，则欧美就有 可能 15 人了。 故应选择 C 选项。 【例题 11】 （ 2007 国家考试，第 46 题）某高校 2006 年度毕业学生 7650 名，比上 年度增长 2%，其中本科毕业生比上年度减少 2%，而研究生毕业生数量比上年度增 10%， 那么，这所高校今年毕业的本科生有： （ A． 3920 人 B． 4410 人 【例题解析】方法一： 设今年该校毕业的本科生人数为 x 人 那么，根据题意可列出方程 ） C． 4900 人 D． 5490 人x 7650 ? x 7650 + = 1 ? 2% 1 ? 10% 1 ? 2%解得 x=4900 人 C 选项为正确答案。 这种方法比较容易思考，但是计算量过大。将大量的时间用来计算，在争分夺秒的 公考考场是非常得不偿失的。因此应该搞清题目当中各量之间的关系，活用“份数”思 想解决问题。 下面我们来看应用“份数”思想解题的方法。 方法二：根据题中所给信息， 我们无法得知 05、 06 两年， 本科生与研究生的比例关系为多少。 那么，我们先假设 05 年本科生与研究生的比例为 1： 1，其中本科生有 100 份，研究生 有 100 份。 根据题中信息 “本科毕业生比上年度减少 2%， 而研究生毕业生数量比上年度增 10%” ， 以我们刚才的假设为基础，得出 100×98%+100×110%=208 份，06 相对 05 增长了 4%，与 题中所给“增长 2%”不符。因此，根据 2%与 4%的差值关系，将 05 年本科生与研究生的 比例关系调整为 2： 1。 现在我们假设：05 年本科生与研究生的比例为 2：1，其中本科生有 200 份，研究生 有 100 份。 200×98%+100 ×110%=306 份， 06 相对 05 增长了 2%，假设成立。 依此假设，05 年本科生有 200 份，研究生有 100 份，总人数 300 份。那么，按照题 中所给增长、下降比重，06 年应该有本科生有 196 份，研究生有 110 份，总人数 306 份。 那么， 06 年本科生占总人数的比应为 196/306 因此， 06 年本科生人数为 6=4900 人 这样一来，计算量大大被化简，约分即可，几秒钟就应该可将此题计算完毕。7.百分比问题百分比问题与比例问题十分接近，几乎可以看作是将比例用百分数来表示的。 百分比问题只要不混淆所比较的对象仔细计算即可轻松解决。在 2011 年国家公务员 考试中，出现了两道百分比类题目，比重有所提高，广大考生应足够重视。 1.对于只给出百分比关系没有给出具体数量值的百分比问题， 考生应掌握设 “整 体 1”的方法，或者将这个量设为利于计算的数值，使题目难度简化，降低计算量。 2.遇到涉及“个数”的题目时，要牢记“人数、动物数、物品个数”等概念只 能为整数。 3.题目中出现“ A 比 B 多 M%” 、 “ A 是 B 的 M%”??等类似描述时，要分辨“比” 与“是”的区别，并牢记以“比” 、 “是”等连词后面的量为参照基准。 4.无论是一般百分比问题还是浓度问题，很多参考书或者培训机构都提倡使用 所谓的“十字交叉法”来解题。实际上，在近年的公务员考试中，百分比类题目难 度在日渐加大，对“十字交叉法”的生搬硬套往往会将简单的问题复杂化。实际上 “十字交叉法”是一种通过列等式很容易推导出的方法。 有质量分别为 M、 N 的溶液，浓度分别为 A、 B，混合后溶液浓度为 C 根据条件，易列等式： MA+NB=（ M+N） C，经整理， 易得到溶液质量的比例关系。M C?B ? N A?C【例题 1】 (2006 年广东第 12 题 ) 已知甲的 12%为 13, 乙的 13%为 14,丙的 14%为 15, 丁的 15%为 16,则甲 ,乙 ,丙 ,丁 4 个数最大的数是 :A甲B乙C丙D丁【例题解析】由题意可分别列式：13 1 ×100=100（ 1+ ） ； 12 12 14 1 乙 =14÷13%= ×100=100（ 1+ ） ； 13 13 15 1 丙 =15÷14%= ×100=100（ 1+ ） ； 14 14 16 1 丁 =16÷15%= ×100=100（ 1+ ） ； 15 15甲 =13÷12%= 显然甲最大 答案为 A 【思路点拨】本题是典型的一般百分比问题。按照相应关系既可求得答案。 【例题 2】某人去年买一种股票 ,当年下跌了 20%,今年应上涨百分之（ 保持原值。 A. 20％ B. 22.5％ C. 25％ D. 30％ 【例题解析】设去年股票值为 a，今年上涨 x%，当年下跌了 20%，则今年的市值为 80%a， 80%a×（ 1+x%） =a，解得： x=25 另外值得一提的是，我们也可以不设股票值为 a，将去年股票值视为“整体 1” 。 列式为： 80%×（ 1+x%） =1， x=25 还有一种方法假设数值法，可以假设去年市值为 100 元，这样可以方便思考。 80%×100×（ 1+x%） =100， x=25， 答案为 C 【思路点拨】在百分比问题中，有的时候使用特值法可以更快速的解答问题。 【例题 3】 （ 2005 年国考一卷第 40 题）某市现有 70 万人口，如果 5 年后城镇人口增 加 4%，农村人口增加 5.4%则全市人口将增加 4.8%，那么这个市现有城镇人口： （ A.30 万 B.31.2 万 C.40 万 D.41.6 万 【例题解析】设现有城镇人口为 x 万。 x? （ 1+4%） +（ 70-x） （ 1+5.4%） =70? （ 1+4.8%） 解得： x=30 答案为 A 【思路点拨】按照相互关系列方程既可求解。 【例题 4】去年某校参加各种体育兴趣小组的同学中，女生占总数的 20% ，今年全 校的学生和去年一样，为迎接 2010 年亚运会，全校今年参加各种体育兴趣小组的学生增 加了 20%，其中女生占总数的 25%。那么，今年女生参加体育兴趣小组的的人数比去年增 加（ ）% A. 30％ B. 40％ C. 50％ D. 60％ ） ） ，才能【例题解析】这道题我们用一次假设数值法。假设去年参加兴趣小组的同学一共 100 人， 这样去年女生参加兴趣小组的就有 20 人， 今年全校参加兴趣的人数为 100× （ 1+20%） =120 人，女生为 120×25%=30 人， （ 30-20）÷20=50% 去年女生参加兴趣 小组占总数 20%今年女生占总数 25%今年总人数增加 20%，答案为 C 【例题 5】 （ 2007 年国考第 46 题）某学校 2010 年度毕业学生 7650 名，比上年度增 长 2%，其中本科毕业生比上年度减少 2% ，而研究生毕业数量比上年度增加 10%，那么， 这所高校今年毕业的本科生有： （ A． 3920 人 B． 4410 人 ） C． 4900 人 D． 5490 人【例题解析】这样的题目关键在于找准被比较对象，是比“谁”增加或减少。 设去年本科生有 x 人，则 x? （ 1-2%） +[7650÷（ 1+2%） -x]×（ 1+10%） =x+1.1×x=x=600 x=×（ 1-2%） =4900 答案为 C 【思路点拨】本题难度不大，但是关系复杂，只要耐心分析关系。不难正确回答。 【例题 6】 (08 黑龙江 )某人购房用了 10 万元，现出租。每月租金的 25%用作管理费 和维修金，年税为 3 800 元，到了年底，此人仍能用剩余租金收入恰好是购房款的 7%， 进行再投资，试问其月租为： A.800 元 B.1 000 元 C. 1 200 元 D.1 500 【例题解析】设月租为 a元，一年可收月租 12a元，支付管理费和维修金 12a×0.25=3a 元。年底可用在投资的租金为 9a-3800，该数值为购房款的 7%，即为 105×7%=7000元，故 9a-，求解 a=1200。 正确答案为 C。 【思路点拨】本题只需要将他所有花费和收入做等式，既可解出答案。 【例题 7】（ 2011国考 69）某公司去年有员工 830人，今年男员工人数比去年减少 6%， 女员工人数比去年增加 5%，员工总数比去年增加 3人，问今年男员工有多少人？A.329B.350C.371D.504【例题解析】今年男员工人数比去年减少 6%，故今年男员工数是去年的 94%，四个选 项中只有 A选项 329能被 94%，故应选择 A选项。 正确答案为 A 【思路点拨】本题可以利用人数为整数的性质，快速解答问题。 【例题 8】 （ 08天津）农民张三为专心种田，将自己养的猪交于李四合养，已知张三、 李四共养猪 260头，其中张三养的猪有 13%是黑毛猪，李四养的猪有 12.5%是黑毛猪，问李 四养了多少头非黑毛猪？ A.125头 B.130头 C.140头 D.150头 【例题解析】通过已知张三有 13%黑毛猪可得，张三只能有 100头、200头猪。否则将 不能得到整数。因为李四有 12.5%黑毛猪，得张三养猪总数只能为 100头。李四养的猪总 数是 160头，有 12.5%是黑毛猪，即 20头，非黑毛猪140头。 答案选 C。【思路点拨】有的考生在刚入手本题时，会感到题目中条件不够。这就涉及到了一 个我们在百分数题目中经常忽略的一个常识性概念：动物头数，人数，物品个数等均为 整数。【例题 9】（ 2011国考 70）受原材料涨价影响，某产品的总成本比之前上涨了1 ， 15而原材料成本在总成本中的比重提高了 2.5个百分点，问原材料的价格上涨了多少？ A．1 9B.1 10C.1 11D.1 121 后的成本为 16。设材料成本为 x，则 15 x ?1 x ? +2.5% 解得 x=9，故原材料价格上 原材料价格上涨引起成本上涨 1，可列等式 16 15【例题解析】设该产品原来成本为 15，上涨涨1 ，故应选择 A选项。 9正确答案为 A。8.利润问题解答利润问题时，只要掌握利润问题的基本公式，了解利润问题中各要素间的数量 关系，同时，灵活运用“整体 1”的思想，就能又快又好的解答利润问题。 解答利润问题相关注意事项： 1.掌握利润问题的基本公式 总利润 =总售价 -总进价 =单件商品利润×总销售量 总利润率= 总售价 ? 总进价 ×100% 总进价 总售价=单价×总销售量 2.利润问题中，所提到的利润率提高（降低）N%，并非是指去年利润率的（ 1+ N%）倍，而 是指去年的利润率 + N%。 如某企业 2010 年利润率为 20%， 2011 年该企业利润率提高了 10%， 2011 年该企业的利润率并非 20%×（ 1+10%） ，而是 20%+10=30%。 3.利润问题中，无论是采用先提价 N%再降价 N%的方式，还是采用先降价 N%再提价 N%的方 式，现价都比原价降低，且两种价格浮动方式所得到的现价相等。 如某产品原价 100 元， 先将产品价格提升 10%， 再降低 10%， 现价为 100× （ 1+10%） × （ 1-10%） =99 元，售价降低了 100-99=1 元。 若将该产品先降价 10%，再提价 10%，则产品现价为 100×（ 1-10%）×（ 1+10%） =99 元， 售价仍降低了 100-99=1 元。 4.与一般百分比问题相同，解答利润问题时，巧设“整体 1”往往是解决利润问题的突破 口，对于利润问题中，将某一不变量设为“整体 1” ，或其他利于计算的数字，往往使一 些题目的难度降低，解题步骤更简捷。【例题 1】 某种商品 ,如果进价降低 10%,售价不变， 那么毛利率 （毛利率 = ×100%）可增加 12％，则原来这种商品售出的毛利率是（ A. 8％ B. 10％ C.12％ ） 。售价 ? 进价 进价D. 50％【例题解析】设原利率是 x，则售价是进价的 1+x 倍，设原进价为 a， 则有(1 ? x)a ? 0.9a =x+12% 0 .9 ax=8%答案为 A 【思路点拨】本题的关键在于不是利润提高 12%，而是利率提高。 【例题 2】(2006 年广东第 15 题 ) 一批商品，按期望获得 50%的利润来定价，结果只 销售了 70%的商品，为了尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售，这样获得的全部利润是原来的期望利润的 82%，问打了多少折扣？（ A. 9 折 B.5 折 C.7 折）D. 8 折【例题解析】此类题型普遍难度不大，解题的关键之处是一定要对进价、售价、利 润率的关系了然于胸、自如运用。 本题的解题方法很多，在此仅举最常见的一例。将进价看作“整体 1” ，则期望获利 值为 0.5，前 70%商品获利是 0.7×0.5=0.35，最终获得的利润值是 0.5×0.82=0.41，也 就是说后 30%的产品需获利 0.41-0.35=0.06 设打 x 折，则有 0.3（ 1.5x-1） =0.06，解 x=0.8,。 销售了整体的 70%，获得 50%的利润 最后 30% 产品折扣 销售最终获利为原来期望的 82%因打折销售，而 损失的部分利润故应选择 D 选项。 【例题 3】 （ 2003 年国考 A 类第 6 题）一件商品如果以八折出售，可以获得相当于进 价 20％的毛利，那么如果以原价出售，可以获得相当于进价百分之几的毛利? A. 20％ B. 30％ C. 40％ D. 50％ 【例题解析】本题如上题一样，可以将进价视为 1， （ 8 折后的售价 -1）÷1=20%， 8 折后售价 =1.2， 1.2÷0.8=1.5，原售价。 （ 1.5-1）÷1=50%。 答案为 D 【思路点拨】以整体 1 思想解答问题，是解答此类问题的重要思想。 【例题 4】 （ 2010 年广东省第 15 题）小张到文具店采购办公用品，买了红黑两种笔 共 66 支。红笔定价为 5 元，黑笔的定价为 9 元，由于买的数量较多，商店给与优惠，红 笔打八五折，黑笔打八折，最后支付的金额比核定价少 18%，那么他买了红笔（） A.36 支 B.34 支 C.32 支 D.30 支 【例题解析】设购买的红笔，黑笔支数分别为 x， y (5x+9y)×0.82=(5×0.85x+9×0.8y)； x+y=66； 解得 x=36 故应选择 A 选项。 【例题 5】一商店以每 3 盘 16 元的价格购进一批录音带，又从另一处以每 4 盘 21 元 的价格购进比前一批加倍的录音带。如果以每 3 盘 K 元的价格全部出售可得到所投资的 20%的收益，则 K 值是（ A. 18 元 B． 19 元 ） 。 C. 21 元 D． 22 元【例题解析】这样的题目可以将 3 盘 16 元的数量设为整体 1，还可以假设 3 盘 16 元 的数量为 100 盘。因为实际上具体数目的多少对获利的比率不影响，很多人习惯的办法 是： 设以 3 盘 16 元的价格购进的为 a 盘，以 4 盘 21 元的价格购进的为 2a 盘，则总共购 进了 3a 盘。 则有： ka=（16 21 a+ .2a）×（ 1+20%） 3 4解得： k=19故应选择 B 选项。 【例题 6】 （ 2010 年浙江省第 87 题）有一本畅销书，今年每册书的成本比去年增加 了 10％，因此每册书的利润下降了 20％，但是今年的销量比去年增加了 70％。则今年 销售该畅销书的总利润比去年增加了（ A． 36％ B． 25％ ） C． 20％ D． 15％【例题解析】利用整体“1”思想，每本书的利润下降了 20%，今年每册书的利润为 原来的 0.8 ，销量增加了 70% ，今年书的销量为去年的 1.7 ，则今年总利润为 1.7 × 0.8=1.36，总利润比去年增加了 1.36-1=0.36，即为 36%。 正确答案为 A。 【思路点拨】从整体上考虑，不需要列繁杂的方程。题干中提到的成本的降低，是 利润下降的原因。由于题目只涉及利润，故不必考虑利润变化的原因。 【例题 7】 （ 2011 国考第 71 题）某商店花 10000 元进了一批商品，按期望获得相当 于进价 25%的利润来定价，结果只销售了商品总量的 30%，为尽快完成资金周转，商店决 定打折销售，这样卖完全部商品后，亏本 1000 元，问商店是按定价打几折销售的？ A.九折 B.七五折 C.六折 D.四八折 【例题解析】设商店折扣为 x，由于卖完全部产品后亏本 1000 元，故全部商品共卖 出了 9000 元。 10000 元商品按利润 25%定价，应卖出 12500 元。按定价卖出 30%后剩下 的商品应卖 12500 ×（ 1-30% ） =8750 元，实际卖了 9000- （ 12500 × 30% ） =5250 元，5250 =60%，故商店是按六折销售的，故应选择 C 选项 8750【例题 8】(2004 年江苏第 17 题 )某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每 件都以 135 元出售，若按成本计算，其中一件盈利 25％，另一件亏本 25％，则他在这次 买卖中（ ） B．赚 9 元 C. 赔 18 元 D．赚 18 元 A. 不赔不赚【例题解析】 这道题很有意思， 盈利 25%， 则售价是进价的 125%， 进价是售价的 盈利为售价的100 % ， 125 %25 % ，为 135×0.2=27 元，而亏损 25%，则售价是进价的 75%，进价是售 125 % 1 100 % 25 % 价的 ，亏损为售价的 ，为 135× =45 元，所以总体上亏损 45-27=18 元 3 75 % 75 %答案为 C 【思路点拨】其实仔细审题，可发现两件毛衣虽然盈亏均为 25%，但是亏损毛衣的成 本比盈利毛衣的成本高， 亏损的 25%的钱数必然大于盈利的 25%的钱数。 所以必定为亏损， 对比选项直接选 C。 【例题 9】樊政去商店买某种商品，听说这种商品的进价降低了 20%。于是，樊政对 老板说：“我给你我上次购买时一样的钱数，你比上次购买时多给我 20 个。这样你每个 商品能赚的钱数是一样的，而利润率还能提高 2.5 个百分点。”问上次樊政购买了（ 例如利润率如果是 50％，提高 2.5 个百分点后是 52.5％） A. 80 B. 90 C.100 D. 110 ） 个？（这里说的“利润率还能提高 2.5 个百分点”是指利润率的百分比的数值增加 2.5，【例题解析】我编写的这道题目，实际难度并不大，大家只要对公式 用娴熟，即可迎刃而解。 第一次购买时，售价为 b，进价为 a， 每件商品获得一定利润。 两次购买时总 花费的钱数相 同售价 ? 进价 运 进价第一次购买时共买了 x 个，第二次购买时，售价（b-0.2a） ，进价为 0.8a，每件商品获得利润和第一次一样第二次购买时， 在总开 支一样的情况下， 多购 买了 20 个。设上次购买了 x 个，上次的进价是 a，售价是 b， 这种商品的进价降低了 20%，这次的进价是 a（ 1-20%） =0.8a 这次每个商品赚的钱与上次一样多，则这次的售价是（ b-a） +0.8a=b-0.2a 由于“每个商品能赚的钱数是一样的，而利润率还能提高 2.5 个百分点。 ” 则有： （ b-a）÷0.8a=（ b-a）÷a+2.5% 整理得 b:a=11:10 有由于多买 20 个而总售价一样则有（ b-0.2a） （ x+20） =xb， 20b-0.2ax-4a=0； 11a=10b； 解得： x=90。 答案为 B9.浓度问题浓度问题实际上是一类特殊的百分比问题，此类问题只要掌握固有的解题思路大多 可以轻松解出。 解答浓度问题应注意以下问题：溶液 ? 溶剂 溶质 1.应牢记浓度问题的基本公式：浓度= 溶质 = = 。 溶液 溶液 溶质 ? 溶剂2.浓度问题中的蒸发情况： “溶质”量是不会因为蒸发而增多或减少的， “蒸发” 时，浓度的变化只与溶剂的变化有关。 3.解答多种溶液混合的浓度问题时，可以采用将几种溶液的溶质和溶剂先分别 求出再整体考虑的方法，减小浓度问题的计算量。 4.解答溶液的多次混合问题时，要把握好混合的先后顺序： 设原溶液为 M 毫升，每次操作先倒出 N 毫升溶液，再倒入 N 毫升清水，反复操 作 n 次时， 新溶液浓度 =原溶液浓度×（M ?N n ）； M设原溶液为 M 毫升，每次操作先倒入 N 毫升清水，再倒出 N 毫升溶液，反复操 作 n 次时， 新溶液浓度 =原溶液浓度×（M n ）。 M ?N【例题 1】浓度为 3％的盐溶液，加一定量水后浓度变为 2％，再加同样量的水后浓 度是多少？ （ A. 1.15 % ） B. 1.5% C.1.8% D.0.5%【例题解析】这样的题，可以用“数值代入法” ，设原有溶液 100 克，则溶液中有盐 3 克，欲使之浓度成为 2%，则需加水 50 克，之后再加水 50 克，则浓度为 3÷（ 100+50+50） =1.5%。 答案为 B 【思路点拨】由于浓度问题中，浓度大多用百分数表示，故将溶液质量设为 100 可 以大大降低题目的计算量。 【例题 2】 （ 08 北京应届生考试第 14 题）甲杯中有浓度 17%的溶液 400 克，乙杯中有 浓度为 23%的同种溶液 600 克，现在从甲、乙取出相同质量的溶液，把甲杯取出的倒入 乙杯中，把乙杯取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同，问现在两杯溶液浓 度是多少？ ( ) A.20% B.20.6% C.21.2% D.21.4%两溶液混合前， 甲溶液浓度 17%， 溶液 400 克。 乙溶液浓度 23%， 溶液 600 克。两溶液混合后，浓度相同，所以用混 合前两种溶液溶质和除以溶液和。【例题解析】由题意可知：最后两杯溶液的浓度相同，那么可以得出浓度为两杯溶 液中溶质的和除以两杯溶液的质量 (400×17%+600×23%)÷(400+600)=20.6% 正确答案 B。 【思路点拨】两种溶液无论如何勾兑，溶液中的溶质总量和溶剂总量均保持不变。 要使两溶液的浓度相等，需使两溶液浓度 =两溶液的溶质总量 两溶液的总质量【例题 3】 (2005 年浙江一卷 19 题 )甲容器中有浓度为 4％的盐水 250 克，乙容器中 有某种浓度的盐水若干克。现从乙中取出 750 克盐水，放人甲容器中混合成浓度为 8％ 的盐水。问乙容器中的盐水浓度约是多少 ? （ A． 9.78％ B． 10.14％ C． 9.33％ ） D． 11.27％【例题解析】混合后，甲容器的溶液为 250+750=1000 克，混合后浓度为 8%，则有溶 质 80 克，减去之前溶液中溶质 80-250×4%=70，得出从乙容器取出的溶液溶质为 70 克， 70÷750=9.33%。 答案为 C 【思路点拨】本题通过混合前后甲溶液浓度变化，求出单位乙溶液中溶质量，进而 求乙溶液浓度。 【例题 4】(2006 年广东一卷第 11 题 )两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒 精与水的体积比是 3：1，另一个瓶子中酒精与水的体积比是 4：1，若把两瓶酒精溶液混 合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少 ? A． 31： 9 B． 7： 2 C． 31： 40 D． 20： 11 【例题解析】由于两个瓶子相同，故设瓶子的容积均为 100。则一个瓶子中有酒精 75，水 25，另一个瓶子中有酒精 80，水 20，混合后酒精与水的体积之比则为（ 75+80） ： （ 25+20） =31:9，故选择 A 选项。 【例题 5】 （ 2007 年山东第 46 题）取甲种硫酸 300 克和乙种硫酸 250 克，再加水 200 克，可混合成浓度为 50%的硫酸；而取甲种硫酸 200 克和乙种硫酸 150 克，再加上纯硫酸 200 克，可混合成浓度为 80%的硫酸。那么，甲、乙两种硫酸的浓度各是多少 ?（ A.75%， 60% B.68%， 63% C.71%， 73% D.59%， 65% 【例题解析】设浓度分别为 x， y，由溶液公式得： 300x+250y=（ 300+250+200）×50%； 200x+150y+200=（ 200+150+200）×80%； 得： x=75%， y=60%。 正确答案 A。）【例题 6】 （ 2010 年江西省第 50 题）从一瓶浓度为 20%的消毒液中倒出 水，再倒出 A.7.2%2 后，加满清 52 ，又加满清水，此时消毒液的浓度为： 5B.3.2% C.5.0% D.4.8%【例题解析】此时消毒液的浓度为 20%×（ 1正确答案为 A。2 2 ）×（ 1- ） =7.2%。 5 5 2 3 = 。 5 5【思路点拨】每次操作，溶液的浓度都为操作前溶液浓度的 1-【例题 7】 （ 2007 年江苏省第 14 题）杯中原有浓度为 18%的盐水溶液 100ml,重复以下 操作 2 次 ,加入 100ml 水 ,充分混合后 ,倒出 100ml 溶液。 问杯中盐水溶液的浓度变成了多 少? A.9% C.4.5% 【例题解析】 第一次操作后盐水浓度变为 18% ? × B.7.5% D.3.6%1 = 9% ， 第二次操作后浓度变为 9 % 21 =4.5%，故应选择 C 2【例题 8】 （ 2007 年广东第 10 题）有浓度为 4％的盐水若干克，蒸发了一些水分后浓度变成 l0％，再加入 300 克 4％的盐水后，变为浓度 6． 4％的盐水，则最初的盐水是 ( )。 B． 300 克 C． 400 克 D． 500 克 【例题解析】设原溶液有 x 克，蒸发了 y 克水，由溶质公式得： （ 4%x+4%?300）÷（ x-y+300） =6.4%； 4%x÷（ x-y） =10%； 得： x=500； y=300； 答案为 D。 【例题 9】 (2004 年上海一卷 29 题 )A、 B、 C 三个试管中各盛有 10 克、 20 克、 30 克 A． 200 克水，把某种浓度的盐水 10 克倒入试管 A 中，混合后取出 10 克倒入试管 B 中，再混合后 又从试管 B 中取出 10 克倒入试管 C 中，现在试管 C 中的盐水浓度是 0.5%。最早倒入试 管 A 中的盐水浓度是（ A． 12％ B． 15％ ） 。 C． 18％ D． 20％【例题解析】 C 管中最后的浓度是 0.5%，则有溶质 0.2 克，这说明从 B 管中倒入的 10 克溶液的溶质是 0.2 克， 浓度是 2%， 也就是说当 B 管有 30 克溶液时， 溶质是 30×2%=0.6 克，而这 0.6 克都是从 A 管中倒入的 10 克溶液中来的， A 管倒入 B 管的 10 克溶液的浓 度为 6%， A 管被倒入 10 克溶液后是 20 克， 20 克×6%=1.2 克， 1.2 克÷10 克 =12%。 答案为 A 【思路点拨】实际上，此题还可看做对某一浓度盐水的稀释，设初始盐水的浓度为 x， 将初始盐水 10 克倒入试管 A 相当于向盐水倒入 10 克清水稀释， 溶液浓度即为 后面步骤也相当于将盐水加水稀释，可列方程 x（ 解得 x=12%。 【例题 10】 (2010 年浙江省第 89 题 )已知盐水若干千克，第一次加入一定量的水后， 盐水浓度变为 6％，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为 4％，第三次再加入同样多 的水后盐水浓度是多少（ A． 3％ ） C． 2％ D． 1.8％ B． 2.5％10 x。 10 ? 1010 10 10 × × ）=0.5%， 10 ? 10 10 ? 20 10 ? 30【例题解析】本题条件看上去不是很完全。我们完全可以使用特殊值法带入题目。第 一次加入水后溶液为 100 克，溶质 6 克。再次加水浓度变为 4%，由溶质一定可知，溶液 为 150 克。 150-100=50，每次加水 50 克。第三次浓度 =溶质 6 克÷（ 150+50） =3%。 故应选择 A 选项。