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?数学概念??????????全部展开收起 收藏 查看&微积分[wēi jī fēn]
微积分是研究和的统称英文名称是Calculus意为计算这是因为早期微积分主要用于中的计算的问题后来人们也将微积分称为分析学或称无穷小分析专指运用或等过程分析处理计算问题的学问极限是整个微积分学的基础微分学包括和的运算是一套关于变化率的理论它使得和等均可用一套通用的符号进行讨论包括和的概念和应用为定义和计算等提供一套通用的方法生于1643年的牛顿为了创建动力学发明一种描述运动和变化的数学微积分外文名Calculus所属学科研究内容、、、、学科特点理论严密、应用广泛微分发明积分发明微、积分关系互为逆过程
从17世纪开始随着社会的进步和生产力的发展以及如航海天文矿山建设等许多课题要解决数学也开始研究变化着的量数学进入了变量数学时代整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究但使微积分成为数学的一个重要分支的还是和[1]
1运动中速度与距离的互求问题
已知物体移动的距离 表为以时间为的 求物体在任意时刻的和加速度反过来已知物体的加速度表为以时间为变量的函数公式求速度和距离这类问题是研究运动时直接出现的困难在于所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的比如计算物体在某时刻的就不能象计算那样用运动的时间去除移动的距离因为在给定的瞬间物体移动的距离和所用的时间是 而 是无意义的但是根据物理每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度这也是无疑的已知速度公式求移动距离的问题也遇到同样的困难因为速度每时每刻都在变化所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度来得到物体移动的距离
2求的切线问题
这个问题本身是纯几何的而且对于科学应用有巨大的重要性由于研究天文的需要光学是十七世纪的一门较重要的科学研究透镜的设计者要研究光线通过的通道必须知道光线入射透镜的角度以便应用这里重要的是光线与曲线的间的夹角而法线是垂直于的所以总是就在于求出法线或切线另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向即轨迹的切线方向
3求与问题等
这些问题包括求曲线的长度如在已知时期移动的距离围成的面积围成的体积物体的重心一个相当大的物体如行星作用于另一物体上的实际上关于计算的长度的问题就难住数学家们以致有一段时期数学家们对这个问题的进一步工作失败了直到下一世纪才得到新的结果又如求面积问题早古希腊时期人们就用求出了一些面积和体积如求在 上与 轴和直线 所围成的面积 他们就采用了穷竭法当分割的份数越来越多时所求得的结果就越来越接近所求的面积的精确值但是应用穷竭法必须添上许多技艺并且缺乏一般性常常得不到数字解当的工作在欧洲闻名时求长度面积体积和重心的兴趣复活了穷竭法先是逐渐地被修改后来由于微积分的创立而根本地修改了
4求和最小值问题二次函数属于微积分的一类
例如炮弹在炮筒里射出它运行的水平距离即射程依赖于炮筒对地面的倾斜角即发射角一个实际的问题是求能够射出最大射程的发射角十七世纪初期Galileo断定在真空中发射角是 时达到最大射程他还得出炮弹从各个不同角度发射后所达到的不同的最大高度研究行星的运动也涉及到最大值和最小值的问题从微积分成为一门学科来说是在17世纪但是的思想早在古代就已经产生了中国古代
微积分的产生一般分为三个阶段极限概念求积的无限小方法积分与微分的互逆关系
微积分思想在古代中国早有萌芽公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想
公元前4世纪墨经中就有了有穷无穷无限小最小无内最大无外等思想
时期的于公元263年首创的割圆术求圆面积和放椎体积求得圆周率约等于3.1416他的极限思想和无穷小方法是世界上古代极限思想的深刻体现[1]刘徽对圆锥圆台圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖暅求球体体积的方法中都使用到微积分的思想方法
北宋大科学家沈括的梦溪笔谈独创的隙积术哈圆术和方法棋局都数术开创了对高阶等差别数求和的研究 南宋大数学家秦九韶于1247年撰写了划时代巨著数书九章十八卷创举世闻名的大衍求一术增乘开方法求任意次数高次方程的近似解比西方早500多年特别是13世纪40年代到14世纪初在主要领域都达到了中国古代数学的高峰出现了现通称贾宪三角形的开方作法本源图和增乘开方法正负开方术大衍求一术大衍总数术一次同余组解法垛积术高阶等差级数求和招差术高次内差法天元术数字高次方程一般解法四元术四元高次方程组解法勾股数学弧矢割圆术组合数学计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作其中许多都是微积分得以创立的关键中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件已经接近微积分的大门可惜中国元朝以后八股取士制造成了学术上的大倒退封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落在微积分创立的最关键的一步上落伍了
公元前3世纪的数学家力学家公元前287~前212的著作和中就已含有积分学的萌芽他在研究解决抛物线下的面积球和面积下的面积和旋转所得的体积的问题中就隐含着近代积分的思想[3]
16世纪下半叶开普勒卡瓦列利等求积中出现不可分量思想和方法基并在17世纪开始发展建立起近代的微积分使用概念和法则到了十七世纪有许多科学问题需要解决这些问题也就成了促使微积分产生的因素归结起来大约有四种主要类型的问题第一类是研究运动的时候直接出现的也就是求即时速度的问题第二类问题是求曲线的切线的问题第三类问题是求函数的最大值和最小值问题第四类问题是求曲线长曲线围成的面积曲面围成的体积物体的重心一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力数学首先从对运动如天文航海问题等的研究中引出了一个基本概念在那以后的二百年里这个概念在几乎所有的工作中占中心位置这就是或变量间关系的概念紧接着函数概念的采用产生了微积分它是继几何之后全部数学中的一个最大的创造围绕着解决上述四个核心的科学问题微积分问题至少被十七世纪十几个最大的数学家和几十个小一些的数学家探索过其创立者一般认为是和在此我们主要来介绍这两位大师的工作
实际上在牛顿和莱布尼茨作出他们的冲刺之前微积分的大量知识已经积累起来了十七世纪的许多著名的数学家天文学家物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作如法国的罗伯瓦英国的瓦里士德国的意大利的等人都提出许多很有建树的理论为微积分的创立做出了贡献
例如费马巴罗笛卡尔都对求曲线的切线以及曲线围成的面积问题有过深入的研究并且得到了一些结果但是他们都没有意识到它的重要性在十七世纪的前三分之二微积分的工作沉没在细节里作用不大的细微末节的推理使他们筋疲力尽了只有少数几个大学家意识到了这个问题如詹姆斯·格里高利说过数学的真正划分不是分成几何和算术而是分成普遍的和特殊的而这普遍的东西是由两个包罗万象的思想家和提供的十七世纪下半叶在前人工作的基础上英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作虽然这只是十分初步的工作他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起一个是切线问题微分学的中心问题一个是求积问题积分学的中心问题
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量因此这门学科早期也称为无穷小分析这正是现时数学中分析学这一大分支名称的来源牛顿研究微积分着重于从来考虑莱布尼茨却是侧重于来考虑的
牛顿在1671年写了术和这本书直到1736年才出版它在这本书里指出变量是由点线面的连续运动产生的否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合他把叫做流动量把这些流动量的叫做流数牛顿在流数术中所提出的中心问题是已知连续运动的路径求给定时刻的速度微分法已知运动的速度求给定时间内经过的路程积分法
德国的莱布尼茨又译莱布尼兹是一个博才多学的学者1684年他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献这篇文章有一个很长而且很古怪的名字一种求极大极小和切线的新方法它也适用于分式和无理量以及这种新方法的奇妙类型的计算就是这样一篇说理也颇含糊的文章却有划时代的意义它已含有现代的和基本微分法则1686年莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献他是历史上最伟大的符号学者之一他所创设的微积分符号远远优于的符号这对微积分的发展有极大的影响现今我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的微积分学的创立极大地推动了数学的发展过去很多用初等数学无法解决的问题运用微积分这些问题往往迎刃而解显示出微积分学的非凡威力
前面已经提到一门学科的创立决不是某一个人的业绩他必定是经过多少人的努力后在积累了大量成果的基础上最后由某个人或几个人总结完成的微积分也是这样
不幸的是由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余在提出谁是这门学科的创立者的时候竟然引起了一场轩然大波造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立英国数学在一个时期里闭关锁国囿于民族偏见过于拘泥在牛顿的流数术中停步不前因而数学发展落后了整整一百年
其实牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究在大体上相近的时间里先后完成的比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右但是正式公开发表微积分这一理论莱布尼茨却要比牛顿发表早三年他们的研究各有长处也都各有短处那时候由于民族偏见关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年
应该指出这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的他们在无穷和这个问题上其说不一十分含糊牛顿的无穷小量有时候是零有时候不是零而是有限的小量莱布尼茨的也不能自圆其说这些基础方面的缺陷最终导致了的产生
直到19世纪初法国科学学院的科学家以为首对微积分的理论进行了认真研究建立了后来又经过德国数学家进一步的严格化使极限理论成为了微积分的坚定基础才使微积分进一步的发展开来十七世纪以来微积分的概念和技巧不断扩展并被广泛应用来解决天文学物理学中的各种实际问题取得了巨大的成就但直到十九世纪以前在微积分的发展过程中其数学分析的严密性问题一直没有得到解决十八世纪中包括牛顿和莱布尼兹面内的许多大数学家都觉察到这一问题并对这个问题作了努力但都没有成功地解决这个问题整个十八世纪微积分的基础是混乱和不清楚的许多英国数学家也许是由于基本下仍然为古希腊的几何所束缚因而怀疑微积分的全部工作这个问题一直到十九世纪实际下半叶才由法国数学家柯西得到了完整的解决使得微积分注入了严密性这就是的创立极限理论的创立使得微积分从此建立在一个严密的分析基础之上它也为20世纪数学的发展奠定了基础
注在中世纪1417世纪欧洲数学大发展的时期我国基本处于停滞状态明清时期所以我国的数学家与微积分无缘微积分诞生之后数学迎来了一次空前繁荣的时期.对18世纪的数学产生了重要而深远的影响.但是牛顿和莱布尼茨的微积分都缺乏清晰的严谨的逻辑基础这在初创时期是不可避免的科学上的巨大需要战胜了逻辑上的顾忌他们需要做的事情太多了他们急于去攫取新的成果基本问题只好先放一放.正如所说的向前进你就会产生信心的发展一再证明自由创造总是领先于形式化和逻辑基础.
于是在微积分的发展过程中出现了这样的局面一方面是微积分创立之后立即在科学技术上获得应用从而迅速地发展另一方面是微积分学的理论在当时是不严密的出现了越来越多的悖论和谬论数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机例如有时把看作不为零的有限量而从等式两端消去而有时却又令无穷小量为零而忽略不计由于这些矛盾引起了数学界的极大争论如当时爱尔兰主教哲学家嘲笑是已死的幽灵贝克莱对牛顿的定义进行了批判
当时牛顿对导数的定义为
当 增长为 时 的立方记为 成为 的立方记为 即 的立方结果为
与 的分别为 和的除以 的增量的结果为 然后代入h=0让增量消失则它们的最后结果为 我们知道这个结果是正确的但是推导过程确实存在着明显的偷换假设的错误在论证的前一部分假设 是不为0的而在论证的后一部分又被取为0那么 到底是不是0呢这就是著名的这种微积分的基础所引发的危机在数学史上称为而这次危机的引发与牛顿有直接关系历史要求给微积分以严格的基础
第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔他在1754年指出必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的但是他本人未能提供这样的理论最早使微积分严格化的是为了避免使用无穷小推理和当时还不明确的极限概念拉格朗日曾试图把整个微积分建立在的基础上但是这样一来考虑的函数范围太窄了而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的问题所以拉格朗日的以为工具的方法也未能解决微积分的奠基问题
到了19世纪出现了一批杰出的数学家他们积极为微积分的奠基工作而努力其中包括了捷克的哲学家他曾著有无穷的悖论明确地提出了级数收敛的概念并对极限和变量有了较深入的了解
的奠基人法国数学家柯西在18211823年间出版的分析教程和无穷小计算讲义是数学史上划时代的著作在那里他给出了一系列的基本概念和精确定义
对分析基础做更深一步的理解的要求发生在1874年那时的德国数学家维尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数即构造了一条没有切线的连续曲线这与直观概念是矛盾的它使人们认识到极限概念性和收敛性对系的依赖比人们想象的要深奥得多发现柯西没有必要把他的限制于黎曼证明了被积函数不连续其定积分也可能存在也就是将柯西积分改进为
这些事实使我们明白在为分析建立一个完善的基础方面还需要再深挖一步理解实数系更深刻的性质这项工作最终由维尔斯特拉斯完成使得数学分析完全由系导出脱离了知觉理解和直观这样一来数学分析所有的基本概念都可以通过和它们的基本运算表述出来微积分严格化的工作终于接近封顶只有关于无限的概念没有完全弄清楚在这个领域德国数学家做出了杰出的贡献
总之第二次数学危机和核心是微积分的基础不稳固柯西的贡献在于将微积分建立在极限理论的基础上维尔斯特拉斯的贡献在于逻辑地构造了论为此建立分析基础的是
18世纪的分析学
驱动18世纪的微积分学不断向前发展的动力是物理学的需要物理问题的表达一般都是用微分方程的形式18世纪被称为数学史上的英雄世纪他们把微积分应用于等各个领域并获得了丰硕的成果在本身又发展出了多元微分学多重积分学无穷级数的理论大大地扩展了数学研究的范围
其中最著名的要数即最快下降的曲线的问题这个曾经的难题用变分法的理论可以轻而易举的解决微分符号
等系由莱布尼茨首先使用其中的& &源自拉丁语中差Differentia的第一个字母积分符号 亦由莱布尼茨所创它是拉丁语总和Summa的第一个字母s的伸长和 有相同的意义
为围道积分微积分是现代数学的第一个成就而且怎样评价它的重要性都不为过我认为微积分比其他任何事物都更清楚地表明了现代数学的发端而且作为其逻辑发展的数学分析体系仍然构成了精密思维中最伟大的技术进展
人们要求降低微积分学在科学教育中的地位而代之以与计算机研究关系更密切的的呼声日渐高涨...许多离散现象的重要结果还是通过使用微积分才得到了最好的证明直到现在分析无穷性的微积分学的中心地位仍然是无可争议的微积分是能应用于许多类函数的一种新的普遍的方法这一发现必须归功于牛顿和莱布尼茨两人经过他们的工作微积分不再是古希腊几何的附庸和延展而是一门独立的学科
历史上关于微积分的成果归属和优先权问题曾在数学界引起了一场长时间的大争论1687年以前牛顿没有发表过微积分方面的任何工作虽然他从1665年到1687年把结果通知了他的朋友特别地1669年他把他的短文分析学术给了他的老师巴罗后者把它送给了John Collins莱布尼茨于1672年访问巴黎1673年访问伦敦并和一些与牛顿工作的人通信然而他直到1684年才发表微积分的著作于是就发生莱布尼茨是否知道牛顿工作详情的问题他被指责为剽窃者但是在这两个人死了很久以后调查证明虽然牛顿工作的大部分是在莱布尼兹之前做的但是莱布尼兹是微积分主要思想的独立发明人这场争吵的重要性不在于谁胜谁负的问题而是使数学家分成两派一派是英国数学家捍卫牛顿另一派是欧洲大陆数学家尤其是兄弟支持莱布尼茨两派相互对立甚至敌对其结果是使得英国和欧洲大陆的数学家停止了思想交换因为牛顿在关于微积分的主要工作和第一部出版物即中使用了几何方法所以在牛顿死后的一百多年里英国人继续以几何为主要工具而大陆的数学家继续莱布尼兹的分析法使它发展并得到改善这些事情的影响非常巨大它不仅使英国的数学家落后在后面而且使数学损失了一些最有才能的人应用可作出的贡献深化
人类对自然的认识永远不会止步微积分这门学科在现代也一直在发展着以下列举了几个例子足以说明人类认识微积分的水平在不断深化
在黎曼将柯西的积分含义扩展之后又引进了测度的概念进一步将黎曼积分的含义扩展例如著名的在黎曼积分下不可积而在下便可积
前苏联著名数学大师为了确定解的存在性和唯一性建立了和的概念这一概念的引入不仅赋予的解以新的含义更重要的是它使得等数学工具得以应用到理论中从而开辟了微分方程理论的新天地
中国的数学泰斗先生所研究的领域便是利用微积分的理论来研究几何这门学科对人类认识时间和空间的性质发挥着巨大的作用并且这门学科至今仍然很活跃前不久由俄罗斯数学家完成的便属于这一领域
在多元微积分学中的对照物是以及经典的无论在观念上或者在技术层次上他们都是牛顿-莱布尼茨公式的推广随着本身发展的需要和解决问题的需要仅仅考虑中的微积分是不够的有必要把微积分的演出舞台从欧式空间进一步拓展到一般的在微分流形上式扮演着重要的角色于是式的积分和微分流形上的斯托克斯公式产生了而经典的德雷克公式散度定理以及经典的斯托克斯公式也得到了统一
微积分的发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始进而达到抽象思维也就是从感性认识到理性认识的过程人类对客观世界的规律性的认识具有相对性受到时代的局限随着人类认识的深入认识将一步一步地由低级到高级由不全面到比较全面地发展人类对自然的探索永远不会有终点
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