• • 2.3 小学算法操作数量分析

  • 2.4 还能做的更好吗

• 6. 算法分析的指导原则

• 算法对计算机科学的所有分支都重要: 想要完成实质性工作，理解算法的基础知识并掌握算法密切相关的数据结构知识是必不可少的。
• 算法是技术革新的推动力: 一个例子是搜索引擎使用一系列算法高效的计算与特定搜索项相关联的各个web页面出现的频率。
• 算法会对其它学科产生影射。
• 学习算法有益于思维: 作者还是学生的时候，喜欢上那些具有挑战性的课程，如果他艰苦的征服这些课程，会感到自己智商比刚开始学的时候提高几个点 (我也有这样的感觉)。作者希望也能给读者带来类似的体验。
• 算法很有趣: 希望学完后给大家带来的感觉是简单而愉快的事情。

乘法问题的描述是，它输入是两个n位数字的整数，分别称为x和y。鼓励把n看作一个非常巨大的数据，几千甚至更大，输出是x和y的乘积。

我们通过测量它所执行的基本操作数量来评估这种算法的性能。基本操作看做下列的操作之一:

• 在一个数之前或之后添加一个0

x是5678，y是1234，其中n=4，这两个整数相乘详细过程如上图:

• 这种算法首先计算第一个数与第二个数最后一个数字的部分乘积:4*
• 计算这个部分乘积的过程中又可以细分为把第一个数字的每一位数字与4相乘，并在必要时产生进位
• 在计算下一部分乘积34时我们执行相同的操作，并把结果左移一位，相当于在末尾添了一个0
• 对于剩下的两个部分，乘积也是执行相同的操作
• 最后把所有四部分乘积相加

2.3 小学算法操作数量分析

我们把4依次与第一个数的5，6，7，8相乘，这样就产生了4个基本操作，由于进位的原因，我们还需要执行一些加法操作。

一般而言，计算一个部分乘积涉及n个乘法(每位数字1个)以及最多n个加法(每位数字最多1个)，总共最多就有2n个基本操作。

第一个部分乘积和其他部分乘积相比，并没有任何特别之处，每个部分乘积都最多需要2n个基本操作。

由于一共有n个部分乘积，第二个整数的每一位都会产生一个乘积，因此，所有部分乘积最多需要个基本操作。 我们还需要把所有的部分乘积相加得到最终答案，这个过程中仍需要相当数量的操作，于是该算法的基本操作数量总结如下:

可以想象，当输入的位数越多时，这种乘法所执行的基本操作数量是急剧增加的，如果输入数的位数增加一倍，需要的基本操作数量是原来的4倍，如果输入的位数是原来的4倍，那么基本操作数量是原来的16倍。

2.4 还能做的更好吗

或许成为优秀算法设计师的最重要原则就是 拒绝满足 ，每个算法设计师都应该坚守下面的信条， 我还能做得更好吗 ？

我们将执行一系列与之前小学算法与众不同的步骤，我们需要领悟一个关键的要点，就是我们可以通过许多眼花缭乱的方法来解决诸如整数乘法这样的计算问题。

首先，我们把x的前半部分和后半部分划分开来，并命名它们为a和b，因此，a=56，b=78，类似的c，d分别表示12和34。

这时候你就发现，除了小学所学习的整数相乘算法之外，还存在其他完全不同的算法，那么我们就会想，这个算法会不会比小学算法做得更好呢，除了这种算法，是不是有更加优秀的另一种算法呢？

我们先来看看另一个比较简单的整数乘法的递归算法。 一般而言，位数为偶数n的数x，可以表示为两个位的数，他的前半部分a和后半部分b，于是: 于是: 它表示用一种递归方法进行两个整数的相乘，为了计算xy这个乘积，我们对最后一个表达式进行计算，四个相关的乘积(ac,ad,bc,bd)所涉及的位数都是小于n的，所以我们可以用递归的方式计算，当这4个递归调用带着各自的答案返回时，我们就可以简单的计算表达式得值:ac后面加n个0，ad和bc相加，并得出的结果后面加上个零，最终把两个表达式与bd相加。伪代码如下:

还能改进吗 上面的算法使用了4个递归调用，我们事实上并不真正的关心ad或bc的值，只是关注他们的和ad+bc，所以我们真正关心的只有三个值: ac, ad+bc,bd，那是不是只用三个递归调用就可以了呢？

• step5: 步骤1结果后面加n个0，步骤4后面加个0，然后与步骤2的结果相加就得到答案

MergeSort是个相对古老的算法了，为什么现在我们还要讨论这么古老的东西呢？有几个原因:

• 姜还是老的辣:它虽然年龄很大了，但是在实践中一直被沿用，仍然是很多程序库中的标准排序算法之一。

• 经典的分治算法: 分治算法设计范式是一种通用解决问题的方法，它的基本思路是把原始问题分解为多个更小的子问题，并以递归的方式解决子问题，最终通过组合子问题的解决方案得到原始问题的答案，MergeSort可以作为良好的起点帮助我们理解分治算法，它的优点以及面临的分析挑战。

• 校准预备条件: 本节对面的MergeSort的讨论，可以让读者明白自己当前的技术水平是否适合上这门课，假设读者已经具有一定的编程和数学背景，能够把MergeSort的高级思路转换为自己喜欢的编程语言，能够看懂我们对算法进行的是运行时间分析，如果读者能够适应本内容，那么对于本书的剩余部分也不会有什么问题。

• 推动算法分析的指导原则: 本节对MergeSort运行时间的分析展示了一些更加基本的指导原则。

• 为主方法热身: 我们将使用递归树方法对MergeSort进行分析，这是一种对递归算法所执行的操作进行累加的方法，后面将结合这些思路生成一个“主方法”，主方法是一种功能强大且容易使用的工具，用于界定许多不同的分治算法的运行时间。

输入一个数组，数组里面的每个数字是不重复的，输出是已经排序好的数组。

其它排序方法 可能之前我们有所知道一些排序算法:

• SelectionSort: 扫描全数组找到最小元素，把它放到输出数组的第一位，接着扫描复制次小的元素，以此类推；
• InsertionSort: 这是同一个思路的一种更灵巧的实现方法，它把输入数组中的每一个元素依次插入到有序的输出数组中的适当位置；
• BubbleSort: 对相邻无序的元素进行比较，执行反复的交换，直到最后数组完成排序。

等等,但这些算法的问题就是运行时间是平方级的。那我们来看看今天这个排序算法用更少的运行时间是怎么实现的。

想要理解MergeSort算法是如何运行的，一个最简单的方法就是看看具体的例子。

将上面的图换成伪代码就是这样的过程

伪代码省略了一些内容，但需要注意:

• 作为一种递归算法，它必须有一个或多个基本条件，如果不再有进一步的递归就直接返回答案，因此，如果输入数组a只包含0或1个元素就返回该数组。
• 这段伪代码并没有详细说明n是奇数时，前半部分和后半部分是怎么划分的，但是这种划分是显而易见的，比如说一半比另一半多一个元素，这种也是可行的。
• 最后这段伪代码忽略了怎么把两个子数组实际传递给它们各自递归调用的实现细节，这个细节取决于编程语言，高级伪代码的要点就是忽略这些细节，把注意力集中在超越特定编程语言的概念上。

由上面的图我们可以知道，Merge的时候，其实输入两个已经排序好的数组C, D，再把它们排序输出到B。

索引 k 操控的是输出数组，索引 i，j 操控的是已排序好的C和D子数组，都是从左向右扫描。每一次的for循环，其实就是找C和D中最小的数字，因为C和D是已排序好的数组，所以最小的数字就是i或j对应的元素。比较后把它放入输出数组B中，并将对应的索引+1，这样下次循环就跳过已复制的元素了。所以最后的数组B输出是按序方式生成的。

我们对算法进行运行时间分析，分析的是什么呢？“运行时间”表示算法的一个具体实现所执行的代码的行数，我们可以把它看成是在一个具体的实现中用调试器进行逐行追踪，每次追踪一个“基本操作”，我们所感兴趣的是程序结束之前调试器所执行的步数。

我们先来对Merge程序算算它的执行操作数量。 第1，2行有一次赋值操作。 第3行是一个for循环，每一个for循环里，有比较操作(C[i]和D(i)比较)，赋值操作(B[k]的赋值)，递增操作(i或j加1)，循环变量k还要加1，所以每一次循环一共有4次操作。 而for循环一共要循环n次。 一共就是4n+2次操作，为了后面的计算方便，当n>=1时，4n+2<6n(去掉常数项), 我们取6n次操作作为Merge程序操作上界。

递归算法运行时间分析的难点 我们怎样才能从Merge程序的简明分析转到MergeSort的分析呢？要知道递归算法会产生更多的自身调用，更为可怕的是递归调用数量快速增长，随着递归深度的加深，递归调用的数量以指数级的速度增长，我们必须记住一个事实，传递给每个递归调用的输入又要明显小于上一级递归调用的输入。 相互制衡的竞争因素 一方面是需要解决的子问题的数量呈爆炸性增长，另一方面是这些子问题的输入越来越小，协调好两个竞争因素，有助于我们对MergeSort进行分析。 运行时间计算 为了简单起见，假如输入数组的长度是n的2次方(如果没有这个假设只需要额外工作就能消除这个假设)，我们用递归树的方法来分析运行时间的上界，每一个节点就表示一次递归调用。

最外层是整个原始的输入数组，它在进行MergeSort的时候会有2个递归调用，所以这是一个二叉树(每个节点都有两个子节点)，第一层的2个节点就是原始数组的左半部分和右半部分，再次递归最后到达最底层，一个长度为1或0的数组。我们需要知道几个数量: 原始数组长度是n，递归树有多少层？ 由于每深入一层，数组长度就缩小一半，第0层是n，第1层是n/2(除了一次2)，第2层是n/4(除了2次2)，最后一层的数组长度是不大于1的，就是除以了log2(n)次2，所以最后一层是log2(n)层。 (也可以假定n/2^a = 1, 求解a)如果没有n是2的次方这个假设，就向上取整。一共就是log2(n) +1层。 递归树的第j层有多少个节点(子问题)？ 因为每一层的递归数量是前一层的两倍，所以第j层就有2^j个子问题。 每个节点的数组长度是多少？ 每个节点的长度，总长度是n，均分到每个节点就是n/(2^j)个长度。 所以每一层的工作量: 所以总的运行时间就是： 所以有以下结论:

MergSort算法和其他算法运行时间比较 对数表示的含义是: 在计算器中输入n，它将不断地除以2，直到结果小于等于1，于是我们就产生了一个直觉，就是的值要比n要小很多，尤其是当n非常大的时候，如下。

我们刚刚提到的简单排序算法，Selection，InsertSort和BubbleSort的运行时间，它们与输入长度n是平方及的关系，意味着他们所需要的操作数量是稳定的级，如上面的图所示，这意味着MergeSort的运行速度一般要比更简单的排序算法要快很多，尤其是当n非常大的时候。

6. 算法分析的指导原则

现在回过头来明确与运行时间的分析解析有关的三个假设，我们将这三个假设作为合法合理分析算法的指导原则。

如果我们想要进行准确的运行时间分析，只有那些最简单的算法才有可能，在更多情况下，算法都是很复杂的，所以我们需要进行妥协，找到正确的平衡点，可以为数十种基本算法提供良好的运行时间保证。这一保证可以让我们知道哪种算法更为快捷。

6.1 原则1: 最坏情况分析

我们上面的MergeSort算法里面的运行时间上就是，如果有一个充满恶念的人，他的生活目标就是编造一个恶意的数组，使目的是MergeSort运行尽可能的慢，但是这个上界仍然是被满足的，这种类型的分析称为最坏情况分析，因为它给出了运行时间的上界，即使遇到最坏的输入，上界仍然是有效的。

如果了解了问题领域知识，并理解哪些输入更具有代表性后，平均情况分析和基准实例分析都是非常实用的。最坏情况分析并不需要考虑输入，它更适用于通用目的的子程序设计，目标就是范围很广的应用程序。为了使算法的适用性更广，他们更专注于通用目的子程序，因此一般使用最坏情况来判断算法的性能。

最坏情况分析还有一个额外的优点，相比其他分析，他通常更容易用数学方式实现。

• 便于数学处理:  进行全局分析的第一个理由是它比那些需要精确的常数因子和低阶项的方法更容易进行数学处理。

• 常数因子往往依赖于环境:  第二个理由，它是非常重要的，我们在描述算法的粒度层中很容易被误导，从而过于重视常数因子的准确性，我们的目的是常数因子不可避免的是依赖于具体所用的编程语言，特定实现以及编译器和处理器的细节，我们的目的是把注意力集中在那些与编程语言计算机体系结构细节无关的算法属性上，并且这些属性并不受运行时间上界中的较小常数因子的变化而影响。

• 预测能力的损失有限:  第三个理由，也是我们决定忽略常数因子的根本原因，可能很多人可能会担心忽略常数因子会导致我们错误判断，误以为自己的算法很快，但实际上使用中速度却慢很多。告诉大家一个愉快的消息，我们忽略了低阶项和常数因子，我们所进行的数学分析定性预测能力仍然是高精度的，当算法分析告诉我们一种算法运行较快的时候，它实际使用中也是比较快速的，反过来也是如此。

全局分析忽略了一些信息，但它保留了我们真正需要的东西，关于哪些算法较之其他算法运算速度更快的指导方针。

渐进性分析，是指把注意力集中在当输入长度n增长时算法的运行时间增长率上。

比如和，如果n<90的时候，是大，当n>90的时候，是大。

我们需要关注大量数据而不是小量数据，因为大量数据才是算法的用武之地。

6.4 什么是最快算法

所以快速算法就是指算法的最坏情况运行时间随着输入长度的增加而较慢增长。

对于第一个知道原则，我们想要保证运行时间并不需要任何领域知识为前提，这也是为什么我们把注意力集中在算法的最坏运行时间的原因。

第二和第三个指导原则表示常数因子往往依赖于编程语言和计算机，并且我们感兴趣的是大型的问题，这是我们把注意力集中在算法的运行时间增长率的原因。

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这是一个关于分数的数学故事，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

一个关于分数的数学故事第 1 篇

　　使学生初步学会计算简单的同分母分数加减法，加深对分母概念的理解，数学教案－简单的分数加减法。

　　加深对分母的理解，会计算简单的同分母分数加法。

　　1、教师制作多媒体课件。

　　2、学生准备两张同样的长方形纸。

　　1、用分数表示下面每个图里的涂色部分。

　　2、看图中的涂色部分，在（ ）里填上适当的`数。

　　2/3是（ ）个1/3 （）/（）是（）个1/（） （）/（）是（）个（）/（）

　　3、（1）出示两张同样大的长方形纸，要求对折再对折，问把它平均分成几份？

　　（2）要求一张纸的四分之一涂色，另一张纸的四分之二涂色（涂好后问这一张是四分之几，另一张有几个四分之一）

　　（3）一个四分之一拼到两个四分之一上能不能拼？这时就是几个四分之一？（3个）那么老师要问问看为什么能拼？（平均分的纸一样大，平均分的份数一样多）

　　（4）如果平均分的份数不一样，大小不一样能分吗？

　　3、导语：好，老师要问了，这个3/4怎么来的？（把1个1/4和2个1/4合起来）对，这就要用到加法，今天咱们就要学习同分母分数加法。

　　4、出示课题（课件显示）

　　一张长方形纸，做纸花用去2/5，做小旗用去1/5，一共用去这张纸的几分之几？（课件显示）

　　（1）学生齐读题，说出已知条件和问题。（课件根据学生回答一一显示）

　　教师提问：把一张长方形纸平均分成5份，2/5是什么意思？

　　1/5要用另外一张纸去表示吗？

　　一共用去这张纸的多少，只要把什么合起来？ （做纸花用去的2个1/5和做小旗用的1个1/5合起来）

　　（2）列算式1/5+2/5=3/5（课件显示）

　　提问：这道算式中的分数各表示什么？还剩下几分之几？

　　2、出示例2（课件显示例2图形）

　　（1）老师把第一只圆平均分成几份？（6份）取其中的几份？用分数怎么表示？

　　（2）老师把第二只圆平均分成几份？（6份）取其中的五份，用分数怎么表示？

　　（3）把1/6拼到5/6上，怎么拼？（学生讲解，课件显示）

　　（4）要把1/6和5/6合起来用什么方法？（课件显示）

　　（5）拼下来的1/6和5/6组成一个整圆，可以用一个什么数表示？（用整数1来表示）

　　3、教师总结：同学们看看例1两个分数的分母相同，例2的两个分数的分母也相同，这就是同分母分数，同分母分数的什么一样？（平均分的份数一样，平均分的一个整体一样，小学数学教案《数学教案－简单的分数加减法》。同分母分数的加法是把什么合起来？（是把几分之一的个数合起来，象例2中的1/6是一个1/6，5/6是把5个1/6合起来）在计算中，如果得数的分子和分母相同，就用整数1表示。

　　三、作业辅导（课件显示）

　　（二）计算下面各题

　　（三）一根铁丝第一次用去他2/7，第二次用去他的4/7，两次共用去这根铁丝的几分之几？

　　（四）一块布用去5/9米，还剩下4/9米，这块布原来有多少米？

一个关于分数的数学故事第 2 篇

　　(一)通过教学，学生能比较正确地计算分数加、减混合运算的式题。

　　(二)在教学中，培养学生仔细、认真的良好学习习惯。

　　(三)培养学生对比、观察的能力。

　　分数加、减混合运算的计算方法;带有小括号的分数加、减混合运算。

　　教具：小黑板，投影片。

　　1.教师：整数加、减混合运算的运算顺序是什么?

　　2.计算下面各题：

　　教师：分数连加、连减为什么可以一次通分再计算?

　　通过订正找出简便的计算方法。

　　①分数加、减混合运算的顺序和整数加减混合运算的顺序相同吗?

　　②例1与准备题比较哪相同?哪不同?(讨论)

　　③怎样计算比较简便?

　　明确：分数加、减混合运算与整数加、减混合运算顺序相同，为了简便，几个分数可以一次通分，然后按照运算顺序依次进行加减计算。

　　说明：虚线框的部分，我们在计算带分数加减混合运算时，可以按照这样的方法去想，但在做题时这一过程可以省略不写，而直接写出计算结果。

　　教师：计算结果要注意什么问题?

　　教师：①先算什么，再算什么?

　　②分两步计算，是一次通分好，还是分步通分好呢?

　　学生尝试计算并订正。

　　教师：①怎样计算简便?

　　②为什么分步通分简便一些?

　　说明：虚线框的通分过程，以后计算熟练了可以不写，或写在草稿纸上，也可以直接写出结果，不断提高自己的计算能力。

　　教师：结果要注意什么?

　　2.判断正误并说明理由。

　　3.按照下图的计算步聚列出综合算式，并算出得数。

　　华和王英比，谁高一些?高多少米?

　　(四)课堂总结(学生总结)

　　分数加减混合运算的运算顺序，和整数加减混合运算顺序相同。为了简便，几个分数可以一次通分，然后按照运算顺序依次进行加减计算。如果有小括号，用分步通分的方法比较简便。

　　教师：计算分数加减混合运算应该注意什么问题?

　　最后结果要化为最简分数。

　　(五)布置作业课本140页练习三十一，1，2。

　　这部分内容是在学生掌握了分数加、减法计算方法的基础上教学的。一方面把整数加减混合运算的运算顺序推广到分数加减混合运算;另一方面，为学习小数、分数加减混合运算做好准备。通过学生亲身尝试，学生发现分数加减混合运算的计算方法，并且掌握灵活通分的方法。借助准备题与例1的对比，学生自己学会了新知，培养学生对比和分析问题的能力，同时也培养了学生认真计算、检查的良好学习习惯。

一个关于分数的数学故事第 3 篇

　　1.通过解决简单的实际问题，理解分数加、减法的意义，以及同分母分数加减法的算理。

　　2.在探索异分母分数加减法的计算方法的过程中，感受转化的数学思想。

　　3.利用已有的认知基础，提高估算意识和分析概括的能力。

　　4.在探究过程中体验成功的喜悦，激发积极参与数学学习活动的兴趣，。

　　探究异分母分数加减法的计算方法。

　　异分母分数加减法转化为同分母分数加减法的探索过程。

　　多媒体课件、练习题纸。

　　师：老师伸出一个手指头，可以用什么数表示？两个手指头呢？如果要把这两个数合并起来，算式怎么写？（板书：1+2=3）

　　师：接下来老师还是伸出一个手指头，除了1以外，你还可以用什么数表示？生：1/5。（师：谁明白他意思？他是怎么想的？）两个手指头呢？（板书：1/5 2/5）

　　师：大家能比较出这两个分数的相同点和不同点吗？

　　师：如果把这两个分数也合并起来，结果是多少？肯定吗？可我上二年级的女儿不这样认为？她认为是3/10（板书），而且她振振有词地找到了理由，你们和我一起做一做，左手用1个手指表示1/5,右手用两个手指头表示2/5,合起来3/10。

　　师：究竟谁的对？请说明理由。

　　师：谁来解释一下我女儿的问题出在哪儿？

　　师：对，在学习分数的时候，我们一定要关注单位1。实际上我们得到的不是3个1/10,而是3个1/5,所以结果等于3/5。（板书）

　　师：这个例子说明在做这类题目的时候，我们应该注意什么？

　　引导学生明白它们的分数单位没有发生变化，相加的只是分数单位的个数。

　　师：1+2=3与1/5+2/5=3/5有联系吗？想一想它们的算理一样吗？

　　师：对，它们的算理是一样的，只是计数单位发生了变化而已。

　　师：有了这种认识，这两个题目一定不成问题，谁能迅速说出答案？

　　师：说说你是怎么想的？在计算8/9-5/9时，你想到了哪个算式？你能用8-5=3解释这个算式吗？

　　师：观察一下我们做过的几个题目，有什么显着的特点？（板书：同分母）

　　师：你能总结出计算这类分数加减法的方法吗？（课件）

　　师：这节课，我们就一起来深入研究分数加减法的计算方法。（板书课题）我们一起把这句话读一遍。

　　师：我们再来看看这两个得数：3/6和3/9,我们还应该对它们作进一步的处理，谁能明白老师的意图？对在计算分数加减法时，不是最简分数的.要化成最简分数。

　　师：约分后得到两个最简分数1/2和1/3,（板书）如果只让大家找它们的不同之处，你能找到哪些？

　　引导学生找出它们的意义、大小、分数单位、分母不相同（板书：异分母）等。

　　师：如果老师要把这两个意义不同、大小不同，分数单位也不相同的异分母分数也合并起来，我想除少数同学以外，绝大多数同学一定感到为难，实话实说，有没有这样的感觉？

　　师：如果老师允许你们改写这个算式，而且想怎么改就怎么改，直到你会做为止，你想怎么改？

　　师：从我们听取这些想法中，我发现一个共同的倾向，把它改成分母一样的算式就简单了，我们从这些同学的想法中能得到什么启示呢？

　　师：是呀！我们可不可以在不改变这两个分数大小的情况下，把它们的分母统一起来吗？请大家在草稿纸上试一试。

　　（1）学生尝试，教师巡视。

　　师：我们也可以这样来理解，用同样大小的两个圆分别表示出1/2和1/3,为什么这两个分数的分子不能直接相加呢？

　　师：即使我们简单的把这两份合在一起，我们也不能准确的说出它究竟占了这个圆的几分之几，因此，只有通过通分的方法，把这两个分数细化为3/6和2/6,从而得出它们的结果是5/6。

　　师：如果让你用一句话高度概括出异分母分数加减法的计算方法，你准备怎么归纳？

　　（三）总结方法并介绍数学文化

　　师：我们一起来总结一下我们的学习过程，我们在学习异分母分数加减法时，是以什么作为基础的？我们又是用什么方法转化成同分母分数的呢？那同分母分数加减法又是以什么作为基础的呢？

　　师：实际上，我们是用层层转化的思想，把新知识转化成已知的旧知识来学习的，转化是学习数学学习一种重要的方法，可以使新知识更为简单易懂，你们现在觉得分数加减法简单吗？

　　师：让你们不可思议的是，这个简单的知识曾令欧洲人十分头痛，德语有句古老的谚语：掉进分数里去了。就是指说一个人遇到困难时束手无策的尴尬处境。这句话是怎样产生的呢？（课件）

　　师：今天，我们走进了分数的世界，却并没有掉进分数里去，轻而易举的学会了分数加减法的计算方法。这是因为我们勤于思考、善于总结，掌握了科学的学习方法，老师的观点是：只要愿意思考，办法总会有的。还是那句广告言没有做不到，只有想不到。如果老师让你们自己去解决分数问题，你们会掉进分数里去吗？

　　师：课前交流时，我们谈到了一个古老的数学问题，我们回过头再来看一看。想一想，有没有办法让三个儿子在不破坏规定的前提下继承到父亲的遗产呢？这办法还真有。（课件）

　　师：现在能明白其中的道理吗？其实，这位农夫在设计遗嘱时，是把18作为单位1，而他只留下了17头牛，是18头牛的17/18,而三兄弟的分牛的份额17/18刚才一样，只不过在分年是我们要以18作为单位1，没不是用17作为单位1。

一个关于分数的数学故事第 4 篇

本单元属于“数与代数”领域，旨在让学生理解分数混合运算的运算顺序,能正确进行分数混合运算;理解整数的运算律在分数混合运算中同样适用;能应用分数混合运算解决实际问题;能结合具体情境,运用方程解决有关的分数混合运算问题。在解决问题的过程中,教材注重分析问题的过程,引导学生分析数学信息和数量关系,学会解决问题。

1.通过分析、比较，使学生理解掌握分数四则混合运算的运算顺序，能熟练地进行计算。

2.理解整数四则混合运算的运算定律在分数四则运算中同样适用，并能应用运算定律及有关性质进行简便运算。

3.通过练习，培养学生类推的思维能力和灵活计算的能力。

1.掌握分数混合运算的运算顺序，能正确、熟练地进行分数混合运算。

2.如何利用线段图来增强学生分析、理解、解决问题的能力。

3.培养学生独立思考的习惯。

能正确地进行计算和解决相关的实际问题。

1.经历分析数量关系，画示意图、说等量关系等数学活动过程，学会建立解决问题模式。

2.借助已有的知识与经验，学会提出问题、理解问题和解决问题，发展应用意识。

3.在探索、分析过程中，体验解决问题策略的多样性。

一、 复习铺垫，引入新知

1、 找出下列问题中的数量关系(用等式表示)

（1） 小明的体重是爸爸体重的2/3

（2） 六一班戴眼镜的同学占1/4

2、 说出下列各式的运算顺序

整数四则混合运算的运算法则是什么？

3、刚才我们复习了有关分数乘法和整数混合运算的知识，今天这节课我们一起来学习分数混合运算。

一、创设情景，引入新知。

师：同学们，节日期间如五一假期、十一长假期间，有的会展中心都举行车展活动。森林王国里的小动物正在举行第十届动物车展，我们一起来看看！请同学们用数学的眼光看一看，图中有哪些数学信息？（课件展示情境图）

（第十届动物车展第一天成交量为50辆，第二天成交量比第一天增加了）

你会提出什么数学问题？

二、设置悬念，引发探究

1．出示本课的情境图：

2．分析应用题的数量关系：

（1）观察课件，分析图上的数学信息和问题，说一说其中的数量关系。

（2）尝试用自己的办法分析题意，可画线段图。

（3）生汇报自己画图过程，同学评议。

3．在教师的有效引导下学生反馈解答情况

（1）根据问题分析数学信息：我们要解决的问题是什么？（求航模小组有多少人？）

请同学们找到跟求航模小组人数有密切联系的数学信息，把它读出来。

师：下面我们就来根据问题分析已知的数学信息。

请将求摄影小组人数有密切联系的数学信息读出来。

师：也就是说要求航模小组有多少人，得先求到什么？（要先求到摄影小组的人数)

师：通过读题我们已经知道了气象小组有12人。那么也就是说摄影小组的人数是多少人数的几分之几呢？

师：摄影小组的人数是气象小组的，这里表示什么？（表示把气象小组人数平均分成3份，取其中1份）

师：在这里是把什么做为分的对象？（气象小组的人数）

师：这里的单位“1”是谁？ （气象小组的人数）

（2）用线段图表示数量之间的关系（生独立画图）

师：可以怎样画线段图来表示这样的数量关系。谁来说说数量关系？那么可以求出摄影小组的人数吗？

师：是把什么做为分的对象。（摄影小组的人数）这里的单位“1”是谁？（摄影小组的人数）

师：你能画线段图来表示这样的数量关系吗？

（3）分数混合运算的顺序与整数混合运算顺序的探讨。（下面谁来说说自己怎样列式的。）

分数混合运算的顺序与整数混合运算顺序一样。师结合例题，说明分数连乘时，可以同时进行约分。

4、这两种做法有什么相同点和不同点？（体会运算定律在分数中的应用）

相同点：都是以第一天的成交量为单位1，都是求第二天的成交量。

这两条综合算式你有什么发现？

总结：整数乘法运算律在分数乘法中同样适用。

三、巩固提升，课堂总结：

1、有了这惊奇伟大的发现，我们赶快试一试吧！

①学生独立完成，如有困难可以求助老师或同组同学。

②全班交流（说一说运算顺序）

（设计意图：画线段图对于学生分析、理解题意很在帮助，是学生应该掌握的一项数学技能，但画线段图对于学生来说是一个难点。此处需要加以详细说明，以帮助学生理解题意，使他们豁然开朗。）

2、登山游戏中巩固新知

五一时节，春光明媚，正是游玩的好时候。今天就让我们一起去登上吧！以小组为单位进行登山比赛，看哪个组最先登上顶峰摘得红旗（课件）在山的不同位置设有不同的计算题，学生答对方可前进。学生可根据自己情况自由选择登山线路。到达山顶后，红旗处设有一题（解决实际问题的）答对者摘得红旗。

3、请同学们说一说这节课的收获与体会。

同学们做几张分数、整数卡片，和一些加减乘除符号。同学们之间互相玩卡片做计算。

本次举办的车展会取得了很大成功，前往参观的动物络绎不绝，成交量自然创新高。就像我们去年的

1、十一黄金周，游乐园第一天的门票收入就达960元，第二天比第一天增加了。

（1）画图表示第二天的门票收入。

（2）算一算第二天的门票收入多少元。

组内交流，请一个小组展示。

2、看图列式计算。（先请学生说出题意，再汇报列式计算方法）

1．谈谈今天这节课你有什么收获？

学生畅所欲言后，并鼓励学生把今天的收获写下来。

2．看来同学们今天的收获真不少。因此，我们在生活中要做一个有心人，多观察，多动脑，多思考，多操作，一定会收获到更多的数学知识。最后老师送给你们两句话。

生活中有丰富的数学知识，希望同学们能做一个观察者、思考者。

数学中有无穷无尽的奥秘，希望同学们能做一个探索者、发现者。

1．分数混合运算2道，练一练1题

2．基本练习3道，说清楚思路。自主完成，其中一道可要求画图。

3．思维拓展练习2道，其中一道可以是书上的数学故事，另一道练习设计设想。

（1）选条件，解决问题。

（2）自填条件回答问题。

《分数混合运算(一)》的学习是在学生已经有了分数加、减法混合运算和分数乘法、除法计算的知识经验上。本节课的重点，一是利用画图的方法直观呈现数量关系，解决“求一个数的几分之几的几分之几是多少”的具体问题。二是掌握分数混合运算的顺序(明白分数混合运算的顺序与整数混合运算顺序相同)，能正确进行分数混合运算。

在探究过程中，呈现出了两种解答方法。学生能够根据线段图，基本说清楚每一种解答方法的算理。一是数量法:先求出中间量(摄影小组的人数)，再求航模小组人数。二是关系法:先航模小组人数与气象小组人数的关系(即航模小组人数是气象小组人数1/3的3/4)，再求航模小组人数。有五下的基础，数量法学生都能掌握。关系法的理解才是是本课的重中之重，大部分学生都能通过线段图理解数量间的关系。这里部分学生用分步计算，我们将分步计算改为综合算式。

掌握解题思路和方法后，还要会分数连乘的计算方法，这里可以按照整数连乘的运算顺序，从左往右依次计算，有括号的先算括号里的，能约分的先约分再计算。不同的是分数连乘可以多个分数同步约分。图片

在课堂上，由于探索解题方法和计算细节环节花费的时间过多，造成了分数混合运算顺序环节没有完成。细想下来，觉得主要存在以下两个问题：教师语言还欠精炼，学生的识图、画图能力有待进一步的提高。当然，这都要靠我们在平时的教学中注意磨练自己，牢记自己的缺点，关注孩子们的学习困难，让孩子们掌握科学的学习方法，真正体会到学习数学的乐趣!

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