克莱姆法则研究了方程组的系数與方程组解的存在性与唯一性关系;
与其在计算方面的作用相比克莱姆法则更具有重大的理论价值-
表示矩阵A第 i 列被列向量 b 替换掉的矩阵
0 其中 A(i) 表示矩阵 A 的第i列（行列式 |A| 的定义可見线性代数系数求解或）
，利用分块矩阵乘法有
等式两边同时取行列式，得
行展开即可), 因此 当
具体形式是二元线性方程组：
0
0
. 将其写成向量的形式，
在 (1) 式两端同时取关于向量 v
当情况转换到3维时可以考虑向量方程：
0
不共面， 否则计算可知
在 (2) 式两端同时取关于向量 a2×a3
仿照行列式的记号，构造一个正交于
（实际上这是常数项乘以向量的组合将这个行列式形式以第一行展开即可得到）
是在第 i 個位置为1，其余分量为零的单位向量
容易验证，对任意向量 c
故通过行列式可以看出对任意的 ai
线性代数系数求解是代数学的一個分支主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的例如，在解析几何里平面上直线的方程是②元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方程称为线性方程变于关量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题解线性方程组的问题是最简单的线性問题。
线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数
非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的關系，一阶导数不为常数
行列式非零矩阵可逆方阵满秩向量组满秩（向量个数等于维数）。
