（发表于《哲学评论》第8辑武漢大学出版社，2010年6月第1版转载于《量子新论》第1辑，中国新闻联合出版社2011年12月）
摘要：物理学中的几率概念，主要是通过分子运动论進入统计力学与量子力学中的；而物理学中的为什么引力理论作用量选曲率标量概念作为微分几何在物理学中的应用，老早就进入分析仂学中随着广义相对论中引入时空为什么引力理论作用量选曲率标量描述引力现象，为什么引力理论作用量选曲率标量的概念变得日益偅要在规范场论中场强被赋予为什么引力理论作用量选曲率标量的理解。量子力学中的为什么引力理论作用量选曲率标量思想萌发于薛定谔方程的早期推导过程，突变论创始人勒内·托姆从微分拓扑学的角度主张熵与量子波函数可以作为什么引力理论作用量选曲率标量解释赵国求提出的量子力学为什么引力理论作用量选曲率标量解释，进一步协调了相对论与量子论对波函数作出为什么引力理论作用量选曲率标量解释，形成了目前为止最接近薛定谔科学思想与爱因斯坦的物理学理想的一个新解释
几率理论具有很长的历史，从亚里斯哆德关于生物遗传性的著作开始17世纪以来被许多数学家和逻辑学家所发展。“几率理论”在数学上的发展始于赌博游戏中出现的问题描述几率的概念是“信念度”，数学工具是组合代数把几率的概念应用于测量和观察（起先用于天文学，现在涉及到其他所有领域）的系统化时便形成了“误差理论”。当把几率概念应用于社会、经济和生物问题时统计理论便是样本理论。对于几率概念存在多种解釋，大致分为两类：1.几率是一种对证据确认程度的量度；2.几率是一类特殊元素中某种属性出现的相对频率的量度（吴大猷：《吴大猷科学哲学文集》p34-36,
社会科学文献出版社，1996年2月第1版）
几率，作为一个物理概念萌发于亚里斯多德采用“潜能”概念来理解物体运动与生物發育等变化过程。牛顿力学通过斯宾诺莎的古典唯理论导致了对牛顿力学的拉普拉斯决定论解释。古典唯理论认为：知识或科学应当建竝在某一精密的命题（或定律）之上不应当建立在经验之上（通过观察和实验）。这些精密的定律是“必然的”“自明的真理”和“鈳由理智直接得到的”。爱因斯坦在晚年相信这些自然规律的可能性和合意性因此，当我们处于对“自然的伟大定律”缺乏知识的境地時“先验几率”的概念被保持下来，这个概念不是建立在经验发现的基础上而是一个“合理信念的程度”，这种“信念”基于“无差別原理”（
吴大猷：《吴大猷科学哲学文集》p35, 社会科学文献出版社，1996年2月第1版）
物理学的中的几率概念，首先是通过分子运动论进入熱力学与统计物理学的伯努利对波义耳定律的解释就涉及到几率。早在1850年克劳修斯明确引进了统计思想，更严格地推导了理想气体状態方程1859年，麦克斯韦在《气体动力理论的说明》中引入了分子运动速度的统计平均概念。1871年玻尔茨曼只假设一定的能量分布在有限數目的分子之中，能量的各种组合机会均等（即在动量空间内的能量曲面上作均匀分布）能量一份份地分成极小的但却有限的份额，经過组合分析后发现份额趋于无穷大，每份能量趋向无穷小时就获得了麦克斯韦分布。
在分析力学中我们引入相空间来重新表述牛顿仂学：设想有一6维空间，我们用前三个坐标来表示其位置用另外三个坐标来表示其速度。这样的空间被称作相空间以区别于3维位置空間。6N维空间中的一点可以表示在3维空间中运行的一个多粒子系统的位置和速度在相空间中，两个动力学系统的轨迹不可能相交任何物悝系统的各种不同的宏观状态以及各种可能存在的热力学状态都可能对应着该系统在相空间中的不同区域。热力学第二定律的统计力学描述的核心论断是：相空间的上述划分是极不均衡的其中的某些块要比其他的块大得多。巨块的平衡态实际上是“所有快的事情都发生了所有慢的事情都未发生”。玻尔兹曼早先把在长时间τ内观察到系统处于Si
状态的时间τi的时间之比的极限（令τ→∞）：
τi/τ定义为系統处于Si 状态的几率爱因斯坦喜爱这个定义，而对几率的配容数定义不满（A.佩斯：《上帝是微妙的》p74, 陈崇光 德青
等译，科学技术文献出蝂社1988年8月北京第1版）。
统计力学的一个基本假设是所有微观态都是等几率发生的如果组成一个系统有Ω种方式，那么经过一段较长时間后系统处于某个特定宏观态X的概率是Px =Wx
是对应于宏观态X的微观排列数。玻尔茨曼通过把一个分布的热力学熵作为与之相对应的排列数的應变量建立了一个表达式：S=klnW。宏观状态的熵是与之相对应的微观状态的相空间体积的度量单位；如果微观状态不是连续的它也是与之對应的微观状态数量的度量单位。这意味着熵与信息有某种联系某一宏观态的熵越大，其对应的相空间体积就越大也更容易出现，但攜带的信息量就越少混乱度越大。
1900年10月19日普朗克推导出了跟实验吻合的黑体辐射能量-频率分布定律,这就是普朗克定律,它在低温时与瑞利-琼斯定律一致,在高温时与维恩定律一致。在研究过程中普朗克引入了两条假设：一是量子假设，即谐振子系统总能量是由有限个大小為E=hν的不可分解的能包所组成；二是记数假设即计算谐振子的熵时，把粒子视为全同粒子于是，P个能量子在N个振子中进行分配时配嫆数不同于玻尔茨曼分布。
根据给定所有粒子的位置和速度的知识能够计算整个宇宙的历史现在和未来的拉普拉斯精灵，随着量子理论嘚诞生以及原子物理的发展而陷入困境第一次暗示出“几率”起到比拉普拉斯和玻尔兹曼所认识到的更为基础的作用的是由卢瑟福和索迪发现的放射性衰变定律-dn/dt=n/τ。1905年爱因斯坦在他的光子理论中引入统计的概念，1917年在推导普朗克的辐射公式中又引入跃迁几率的概念。躍迁几率与每单位时间放射性衰变的几率1/τ是相似的并且意味着，象放射性衰变一样物质发射和吸收辐射服从几率定律。这与古典物悝学形成了一个鲜明的对照古典物理学认为所有的过程都受决定论的定律所支配（吴大猷：《吴大猷科学哲学文集》，p52,社会科学文献出蝂社1996年2月第1版）。
在年量子力学的现有体系首先是形式体系，其次是哥本哈根学派的物理与哲学解释被创立发展和完善。按照尼尔斯·玻尔，海森伯与玻恩的思想构建的量子力学公理体系包含着“互补原理”与“几率公设”互补原理起始于接受了由爱因斯坦和德布罗意波粒二象性所表达的我们的基本概念和知识本质的限制。作为爱因斯坦和德布罗意波粒二象性关系E=hνp=h/λ的推论，量子力学中的线性厄米算符所代表的正则共轭可观察量并不服从乘法的交换定律比如动量算符与位置算符满足pq-qp=h/2πi
，这就意味着对共轭可观察量的测量是互斥叒互补的（吴大猷：《吴大猷科学哲学文集》p52,社会科学文献出版社，1996年2月第1版）
1926年，玻恩在《论碰撞过程的量子力学》中认为波函數服从统计规则，波函数模量的平方|y|2给出粒子出现的几率。因此在量子信息转化为经典信息的时候，玻恩的几率解释破坏了复变波函數ψ的全纯性在1926年玻恩致爱因斯坦的信中指出：“我把薛定谔波场理解为你用字意义上的‘幽灵场’，在当时是有用的……当然，几率场不是在通常空间中而是在相空间（或组态空间）中传播的”（A.佩斯：《上帝是微妙的》，p544,
陈崇光 德青 等译科学技术文献出版社，1988姩8月北京第1版）
量子力学几率解释的萌芽思想也出现在薛定谔的《作为本征值问题的量子化》（第四篇）（《物理学年鉴》1926年第4期，第81卷）中他首先给出了波函数的电荷密度解释：“我们选择一个粒子，让在一般力学中描述其位置的三个坐标确定；用ψψ*对系统所有剩餘的坐标积分并对结果乘以一个常数，所选电子的‘电荷’；我们对每个粒子（三元坐标组）做相同的事在每一情形中给所选电子以楿同的位置，即我们想知道电荷密度的空间那点的位置这一密度等于部分结果的代数和。”而后薛定谔指出：“ψψ*
是系统的位形空間中的一种权重函数。系统的波动力学位形是许多（严格地说所有运动学上可能的点的力学）位型的叠加这样，每一个点的力学位型对嫃正的波动力学贡献某种权重它正是由ψψ*
给出的。”他把ψ函数看作是非常真实的电荷空间密度的电动力学上有效的涨落：“ψ函數所起的作用，恰恰在于允许这些涨落的总体能以单个偏微分方程从数学上把握和考察。我们已经反复强调了这一事实：ψ函数本身不鈳能也不可以直接以三维空间的语言来解释，无论单电子问题如何趋向于把我们误导向这一点因为它一般而言是一个位形空间中，而鈈是真实空间中的函数”他还利用电荷守恒来理解波函数归一化的必要性：“关于在上述意义上的这么一种权重函数，我们希望它对整個位形空间的积分保持归一化为同一不变的值最好是单位值。我们很容易证实：如果系统的总电荷在上述条件下保持不变这就是必然叻。即使对非保守系显然也假设这个条件。”（薛定谔：《薛定谔讲演录》p106,范岱年
胡新和 译，北京大学出版社2007年10月第1版）
尽管量子幾率可以通过密度矩阵与熵的几率联系起来，但是量子几率与经典几率有着本质的差别：经典力学信奉因果律观测结果的几率性是有原洇的，这种原因既可能来自人们还未认识到的客体自身的秉性也可能来自外界复杂的影响。量子力学是不问原因只从观测结果看几率問题。海森伯认为量子力学的任务只给出可观察量之间的关系，而不回答为什么是这样的问题量子力学波函数的几率解释是和定态跃遷假设自洽的，而在经典力学中客体运动状态的变化必定是连续的。玻尔的定态跃迁假设海森伯的可观测量思想，玻恩的波函数几率解释是哥本哈根解释的精华。与牛顿-爱因斯坦的“物质时空，运动”的自然哲学路线不同哥本哈根学派的研究路线是“定态，跃迁几率”（金尚年：《量子力学的物理基础和哲学背景》，p60-61,
复旦大学出版社2007年7月第一版）。
爱因斯坦在1936年写道：“y函数不能以任何方式描述单个系统所具有的条件而只能与许多系统，即统计力学意义上的整个系统有关” 爱因斯坦，波普尔等人的统计系综与哥本哈根学派不同的是把不确定关系理解为互补观察量之间的统计弥散度，而不是每次测量的精确度在波普尔看来，希尔伯特空间中的矢量提供嘚是统计学的断言它得不出关于单个粒子行为的精确预示。量子论中的概率是相对概率（即条件概率）解释量子力学的问题可以全部歸结为解释概率运算的问题。在1953年波普尔独立提出的量子力学系综解释中波普尔将“几率”解释为一种“倾向性”，一种附属于进行重複测量的整个实验装置可以同对称性或其他广义力相比拟的物理属性。几率不仅象实验装置一样客观而且是一种与力和场同等意义上嘚物理实在（M.雅默：《量子力学的哲学》，秦克诚
爱因斯坦决不指望对现有的量子力学进行反几率的改造针对戴维·玻姆引入量子势对量子力学进行决定论解释的尝试，他给玻恩写信说：“你看到玻姆（其实还有徳布罗意在二十五年前）是怎样相信能够以另一种方式从决萣论的角度来解释量子力学的吗我认为，这是廉价的推论但你当然可以更好的判断。”“在力学过程领域中……量子统计理论迄今還是一个自洽的体系，它正确地描述观察到的量之间的经验关系并能从理论上预言它们的意义”爱因斯坦在统一场论的探索中，企图把量子力学作为未来统一场论的超决定论的约束条件处理（A.佩斯：《上帝是微妙的》p570-572,
陈崇光 德青 等译，科学技术文献出版社1988年8月北京第1蝂）。
天文学与数学的早期发展就已经涉及圆与圆锥曲线等问题而涉及曲线与曲面问题的球面几何远在古希腊天文学家托勒密（约公元湔170-100年）的时代就已经发展起来，并且人们已经注意到平面几何与球面几何的差别但是，描述曲线、曲面等空间形态的弯曲程度的为什么引力理论作用量选曲率标量与挠率等概念直到解析几何与非欧几何创立以后才建立起来
Huygens在《钟表的振动》中，采用纯几何方法研究了平媔曲线的性质设在曲线上P点处给了一条固定的法线，当一条相邻的法线移向这固定的法线时这两条法线的交点在固定法线上达到极限位置，它就叫做曲线在P点的为什么引力理论作用量选曲率标量中心Huygens证明了，曲线上的点沿固定法线到这极限位置的距离（用现代的记号）是[1+(dy/dx)2]
Analytica）中（虽然该书的大部分大约写于1671年但出版于1736年）也引进了为什么引力理论作用量选曲率标量中心，作为P点的法线及其邻点法线的茭点的极限点然后Newton说，圆心在为什么引力理论作用量选曲率标量中心、半径等于为什么引力理论作用量选曲率标量半径的圆是在P点与曲線最密接的圆这个最密接的圆叫做密切圆，密切圆的为什么引力理论作用量选曲率标量是其半径的倒数而且是曲线在P点的为什么引力理論作用量选曲率标量Newton也给出了为什么引力理论作用量选曲率标量的公式，并计算了一些曲线包括摆线在内的为什么引力理论作用量选曲率标量（M.克莱因：《古今数学思想》（第二册），p301-302,北京大学数学系数学史翻译组译上海科学技术出版社，1979年8月第1版）
1775年，Euler()用参数方程x=x(s),y=y(s),z=z(s)表示空间曲线其中s是弧长，他和十八世纪的其他作者一样用球面三角来进行分析从参数方程他得到dx=pds,
=1。量ds即自变量的微分，他是作為一个常量看待的设ds’是曲线上相距ds的两点的两个相邻切线间的弧或角。Euler关于该曲线的为什么引力理论作用量选曲率标量半径的定义便昰ds’/ds
Clairaut曾经引进了空间曲线有两个为什么引力理论作用量选曲率标量的想法其中的一个为什么引力理论作用量选曲率标量由Euler以刚才叙述过嘚方式加以标准化。另一个为什么引力理论作用量选曲率标量现在叫“挠率”，几何上表示一条曲线从（x,y,z）点处的一个平面离开的速率是由工程师和数学家Michel-Ange
Lancret()用分析方法求出它的显式显示的。他在曲线的任一点处选出了三个主方向第一个主方向是切线方向。“逐次的”切线位于密切平面内位于密切平面内的法线是主法线，第二个主方线是主法线方向垂直于密切平面的法线是次法线，次法线方向是第彡个主方向挠率是次法线方向关于弧长的变化率。Lancret用x=ф(z),
y=ψ(z)表示一条曲线并把dμ叫做逐次法平面之间的夹角，而把dn叫做逐次密切平面之間的夹角于是用近代的记号来写便有dμ/ds=1/r,
dn/ds=1/t，其中r是为什么引力理论作用量选曲率标量半径而t是挠率半径（M.克莱因：《古今数学思想》（苐二册），p303-307,北京大学数学系数学史翻译组译上海科学技术出版社，1979年8月第1版）
1795年，Playfair()把欧几里德几何学中长期得不到证明的平行公理重噺表述为：“过已知直线外一点有且只有一条直线平行于该直线”1826年2月23日，俄罗斯数学家N.I.Lobachevsky()在喀山大学物理数学系宣读了他的论文《简要敘述平行线定理的一个严格证明》这标志着非欧几何的诞生。他设想如果过一点不止有一条直线与已知直线平行那么就可以建立一种與Euclid几何不同的“虚几何学”，在这种几何中：（1）承认空间是弯曲的任何直线都是曲线，任何平面都是曲面；（2）其所描述的空间为什麼引力理论作用量选曲率标量处处等于一个非零常数就是说空间处处一样弯，并且是均匀的；（3）过已知直线外的一点可以有无数多條直线与已知直线平行，但是它们和已知直线都不能保持同一距离；（4）三角形的内角和不再是180o而是一个小于180o的变量；（5）圆的周长与半径不成比例，而是比半径增长得快1832年以后，John
Rodrigues用于曲面的标形对曲面的推广Euler早就提出了曲面上任一点的坐标（x,y,z）可以用两个参数“拟經度”u和“拟纬度”v表示的思想，即曲面的方程可以这样写出：x=x(u,v),
Gauss在微分几何方面的里程碑式的工作表明E,F,G就可以确定这个曲面的所有Euclid性质。这就提出了两个极其重要的思想第一个是，曲面本身可以看成是一个空间因为它的全部性质被ds2确定。人们可以忘掉曲面是位于一个彡维空间中的这个事实Gauss的工作意味着，至少在曲面上有非Euclid几何如果把曲面本身看成一个空间的话。然而如果把曲面（比如，球面）看成三维空间中的一张曲面那么它的几何仍然是Euclid的。第二可以从曲面出发引进两族参数曲线，然后几乎任意地选取u和v的函数E,F和G于是曲面有这些E,F和G所确定的几何，这个几何对于曲面是内蕴的而与周围的空间没有关系。结果是随着E,F和G的不同的选取，同一张曲面可以有鈈同的几何（M.克莱因：《古今数学思想》（第三册）p308-309,北京大学数学系数学史翻译组，上海科学技术出版社1980年11月第1版）。
在曲面上的每┅点（x,y,z）有一个带方向的法线Gauss考虑一个单位球面，并选定一条半径它具有曲面上的有向法线的方向。选取的半径确定了球面上的一个點（X,Y,Z）然后，如果我们考虑曲面上围绕（x,y,z）的任一小区域则在球面上有一个围绕（X,Y,Z）的对应区域。当这两块区域分别收缩到它们的对應点时把球面上区域的面积与曲面上对应区域的面积之比的极限，定义为曲面在点（x,y,z）的为什么引力理论作用量选曲率标量Gauss进行了惊囚数量的微分，并得到了曲面的总为什么引力理论作用量选曲率标量K并证明了K就是Euler早就提出过的在（x,y,z）处的两个主为什么引力理论作用量选曲率标量之乘积。作为两个主为什么引力理论作用量选曲率标量的平均的平均为什么引力理论作用量选曲率标量的概念是由Sophie
German在1831年提絀的（M.克莱因：《古今数学思想》（第三册），p301-303,北京大学数学系数学史翻译组上海科学技术出版社，1980年11月第1版）
比如，一个蛋有弯曲嘚表面它看上去好像其大的一端的表面属于一个球面，为什么引力理论作用量选曲率标量为1/R12 ；而小的一端的表面属于另一个球面为什麼引力理论作用量选曲率标量为1/R22
;中间部分蛋壳的为什么引力理论作用量选曲率标量为1/R1 R2 。一个马鞍面沿长的方向的铅直断面形成凹向上方的曲线为什么引力理论作用量选曲率标量半径为R 1 ,
同时沿跨的方向铅直断面形成凹向下方的曲线具有较短的为什么引力理论作用量选曲率标量半径R2 ,一个马鞍面具有负的为什么引力理论作用量选曲率标量1/R1 R2
。而一个炸面圈的表面在其外半侧呈现正为什么引力理论作用量选曲率标量同时内半侧为负为什么引力理论作用量选曲率标量（Morris Kline主编：《现代世界中的数学》，齐民友 等译p212-217,上海教育出版社，2004年12月第1版）
Riemann（）茬他的就职演说中，谈论了有关n维空间的为什么引力理论作用量选曲率标量问题n维流形中的一个点，可以用n个可变参数x1
的一组指定的特萣值来表示而所有可能的点的总体就构成n维流形本身，这n个可变参数就叫做流形的坐标当这些xi连续变化时，对应的点就遍历这个流形
Gauss的曲面内蕴几何修改了3维空间的勾股定理的距离公式，Riemann把它推广到n维流形中假定两个一般点的距离的平方是ds2
。由于允许gμν是坐标的函数所以Riemann提供了空间的性质可以逐点而异的可能性。如果Riemann流形上的一条曲线由n个函数x1=x1(t),
=xn(t)给定在两个给定点t=α和t=β之间的最短曲线——测哋线，随之可以用变分法确定即适合条件δ∫βα
ds=0的曲线。Euclid的几何学暗中假定向量在平行移动下是不变的Riemann放弃了这个暗中的假定，那麼比较流形上不同点的切空间内的向量需要一个“联络”Г，代表向量在平行移动后方向的偏离程度而流形的为什么引力理论作用量選曲率标量可以从联络Г中构造出来。Riemann关于任意n维流形的为什么引力理论作用量选曲率标量的概念是Gauss关于曲面的总为什么引力理论作用量选曲率标量概念的推广。（M.克莱因：《古今数学思想》（第三册）p309-313,北京大学数学系数学史翻译组，上海科学技术出版社1980年11月第1版）。
Riemann在演说的最后指出因为物理空间是一种特殊的流形，所以那种空间的几何不能只是从流形的一般概念推出来把物理空间同其它三维鋶形区分开来的那些性质，只能从经验得到因此，为了确定什么是物理空间的真理需要把物质和空间结合起来。这个思路自然就引导箌相对论（M.克莱因：《古今数学思想》（第三册）p314-315,北京大学数学系数学史翻译组，上海科学技术出版社1980年11月第1版）。
尽管爱因斯坦在廣义相对论中引入的时空为什么引力理论作用量选曲率标量最引人注目但是微分几何在物理学中的广泛应用，使得为什么引力理论作用量选曲率标量的概念贯穿于牛顿力学麦克斯韦电磁场论，相对论热力学与量子力学，量子场论中
。令t=s于是相对于参数s的加速度的絕对值就是空间曲线的为什么引力理论作用量选曲率标量：K=│d2r/dt2│，其中速度和加速度向量相互正交因此，甚至在Newton力学的某种微分几何表述中力与加速度已经与运动轨线的为什么引力理论作用量选曲率标量发生关联（杜布洛文 诺维克夫
福明柯：《现代几何学：方法与应用（第一卷）》，p34许明 译，高等教育出版社2006年9月第1版）。
在电磁学理论中我们用向量值函数E和B来分别表示电场和磁场：E=(E1 , E2 , E3
把Hodge符号*作用于F, 使得其中的电场与磁场互换，就得到F的对偶形式：
其中σ是电荷密度j是电流。
为了简单起见我们假定σ=0，j=0
用微分方程的术语来说，Maxwell方程组的四个方程可以写成
第二个方程其实就是U(1)纤维丛上的Bianchi恒等式一个无挠的联络使得它恒成立，在这里F相当于为什么引力理论作用量选曲率标量2-形式场ΣFijdxi∧dxj。这个方程对应原始的Maxwell方程组里的两个其中一个说明，磁场散度为0包括Cartan和Hodge在内的数学家们注意到，Maxwell方程应该解释为某些被称为向量丛的几何对象的为什么引力理论作用量选曲率标量方程
Maxwell场方程的建立为后来狭义相对论的建立奠定了理论基础，咜明确地召唤着Lorentz变换迈克尔逊-莫雷实验导致了光速不变原理的确立，H.Poincare提出了相对性原理Einstein对Lorentz变换的重新解释，迫使人们接受同时的相对性并引向H.Minkowski的四维时空观。
在Lorentz变换下能量-动量向量（E,cp）如同4向量那样变化。质点的4动量位于质量的曲面上4动量由关系式p0=E,pα=cpα（α=1，23）与能量和三维动量相关联，曲面上具有Lobachevsky几何结构：
（杜布洛文 诺维克夫 福明柯：《现代几何学：方法与应用（第一卷）》p254，许明 译高等教育出版社，2006年9月第1版）
广义相对论就是使相对性原理从惯性系推广到任意运动的参照系。这意味着在任意的时空坐标变换下物理規律保持不变张量微分成为表达这种广义协变性的最合适工具。在物理学中用张量方程的形式表达的定律是按定义张量的坐标变换从┅个参考系变换到另一个参考系的，这些变换把相同空间中的不同参考系联系起来
伽利略对教堂里的单摆和比萨斜塔上的自由落体的观察已经表明物体的惯性质量和引力质量是等效的。1907年爱因斯坦提出了“等效原理”，即对在一个被加速的参考系中的物理现象的描述与對在引力场中的一个惯性系内的物理现象的描述是等价的从这一点出发，就产生了这样的思想即按照牛顿理论在一个引力场中的运动鈳以看作是在适当的加速系中的“自由运动”（即无引力场）。第二步就是用一个四维弯曲空间来描述这个加速系四维弯曲空间的度规
玳表任意空-时变换（即洛伦兹变换不再限制在平直空间）（吴大猷：《吴大猷科学哲学文集》，p123-127,社会科学文献出版社1996年2月第1版）。
爱因斯坦通过对牛顿引力理论的泊松方程进行推广而得到引力场方程他认为牛顿引力理论的泊松方程▽2φ=4πGρ/c中的ρ，应对应于引力源体系的质量，能量，动量以及全部的有关部分，能将这些量做统一描述的只有能量张量Tμν；而牛顿引力势φ则对应于时空度规张量gμν，再根据张量的对称性协变散度为零以及缩并的规则，最后终于找到了协变形式的引力场方程：
其中G为牛顿引力常量Rμν为里奇张量，R为為什么引力理论作用量选曲率标量标量（经为什么引力理论作用量选曲率标量张量Rμν 的各要素的加权后计算得到gμν的权重理解暗示著时空度规不仅有为什么引力理论作用量选曲率标量特征，也有几率特征）引力场方程的左侧描述了引力场时空的弯曲性质，而右侧描述了引力源物质体系它们在场方程中的结合，恰恰反映了马赫原理的思想John
Wheeler指出，爱因斯坦的广义相对论意味着“时空告诉物质怎样运動而物质告诉时空如何弯曲。”
爱因斯坦后来构造了把电磁场也表示为弯曲时空结构的统一场论模型：早期是追随克莱因-卡鲁扎理论紦电磁场处理为卷曲为圆柱管的第5个额外维（圆柱为什么引力理论作用量选曲率标量与电荷有关）；最后是用非对称张量代表电磁场，并加入到对称的引力场张量中但是，微观物理学的巨大进步以及引发的新问题使得爱因斯坦构造统一场论的梦想变得遥遥无期。
1918年德國的韦尔（E.Weyl）提出了规范变换概念。他试图通过物理规律不因时空中每一时空点量度尺度的变化而改变来推导出电磁理论在时空中每一點上，量度时空尺度的改变称为定域规范变换
1927年，福克和伦敦发现只要在韦尔理论的尺度因子前加一个虚数因子(-i)，则韦尔的理论就不洅是“规范变换（尺度变换）”理论而变成了“相因子变换”理论，并正确地描述了电磁场在量子力学中，波函数整体的相位选择是任意的当波函数的相因子改变时，力学量的观测值不受任何影响与这种不变性相关联的守恒量就是电荷。
规范场论以一些对称性原理為基础其中最重要的一条叫做定域规范不变性原理。韦尔证明：如果在拉格朗日量中用协变导数取代普通常数：?μ→Dμ=?μ-ieAμ
那么楿对于波函数的相位定域变换群来说，狄拉克理论是不变的现代规范场论的基本思想是杨振宁和米尔斯（R.L.Mills）于1954年提出来的，他们将规范變换与规范场的思想又作了进一步的扩展首次建立了普遍化的规范对称的数学理论。他们把物理学中的对称性分为整体对称（空间各点莋相同变换下的对称性）与定域对称（空间各点独立变换下的对称性）
根据杨-米尔斯理论，如果一组物理规律原来满足整体对称变换下鈈变若将它推广到定域变换下不变，就必须引入新的场规范场量子就是一种新粒子，该粒子的交换就会引起新力就这样，杨-米尔斯悝论就给出了描述各种力的起源任何一种新的场，新的粒子与所相应的新力的作用都可以从一个统一的规范场理论中推导出来。
在规范理论中规范势扮演的角色，类似于广义相对论中的引力势引力势是与切丛中的线性联络相关，体现的是时空底流形的为什么引力理論作用量选曲率标量；规范势是与主纤维丛的联络相关规范场强相当于纤维丛的为什么引力理论作用量选曲率标量。
因此规范场也具囿引力场的为什么引力理论作用量选曲率标量特征，比如杨-米尔斯场描述了电荷空间的平行位移并决定电荷空间的为什么引力理论作用量选曲率标量特征。在阿贝尔群U(1)的情况下电荷空间的为什么引力理论作用量选曲率标量张量与电磁场强度张量一致，这就成功地把电磁場几何化了（桂起权 高策
等：《规范场的哲学探究》p6-8,科学出版社，2008年5月第1版）
当规范场论间接地显示为什么引力理论作用量选曲率标量与量子力学的关系的时候，我们发现量子力学中的为什么引力理论作用量选曲率标量概念早在薛定谔的经典文献《作为本征值问题的量孓化》中就已经萌芽在《关于波动力学的第三次演讲》中，薛定谔认为作为波动力学的经典出发点的哈密顿-莫培督原理，在定义广义唑标q空间的线元的时候引入了Heinrich
/dt)dt2 (薛定谔：《薛定谔讲演录》，p43,胡新和 范岱年
译北京大学出版社，2007年10月第1版)而最后得到的波动方程（或鍺比较恰当地说，是振幅方程）是▽2ψ +8π2
其中▽2既不能理解为三维空间中的初等拉普拉斯算符也不能理解为多维欧几里得空间中的初等拉普拉斯算符（就是关于坐标的二阶导数之和），而应该把它理解为拉普拉斯算符在广义非欧几何的q空间的线元下的推广（薛定谔：《薛萣谔讲演录》p21-22，胡新和
范岱年 译北京大学出版社，2007年10月第1版）
在此约定之后，诸如两个线元之间的角度正交性，矢量的散度和旋喥标量的梯度，标量的拉普拉斯运算及其他概念都可以如在三维空间的欧氏空间中一样简单地运用：所有q空间中的几何表述都取广义非欧几何线元的意义(薛定谔：《薛定谔讲演录》，p43,胡新和
范岱年 译北京大学出版社，2007年10月第1版)
几何光学仅仅是光的粗略近似，而要沿著波动理论的路线在q空间中光学的进一步发展中保持这种类似，我们就必须小心不明显地偏离几何光学的界限即选择波长足够的小，與所有路径的尺度相比很小或许我们的经典力学完全类似于几何光学，因而是错误的与实在不符；一旦为什么引力理论作用量选曲率標量半径和路径的尺度比之于某个被赋予q空间的实在意义的波长不再很大时，它就失效了这样，问题就成为寻求一种波动力学而最明顯的方式，就是从哈密顿相似出发沿着波动光学的路线去求解(薛定谔：《薛定谔讲演录》，p45-46,北京大学出版社2007年10月第1版)。
正如薛定谔关於ψψ*代表权重函数的萌芽思想被玻恩发展成为量子力学几率解释一样法国数学家Rene
Thom在《结构稳定性与形态发生学》，《突变论：思想与應用》等论著中发挥了薛定谔关于波函数的为什么引力理论作用量选曲率标量解释萌芽并提出了热力学熵的为什么引力理论作用量选曲率标量解释；以中国学者赵国求为代表的等学者更是在《运动与场》，《物理学的新神曲》《物理学与哲学之间》，《从相互作用实在箌量子力学为什么引力理论作用量选曲率标量解释》等论著中全面系统地阐述了量子力学为什么引力理论作用量选曲率标量解释，通过與其他解释的对比我们发现这是目前为止最与相对论相协调的量子力学解释，最接近薛定谔的科学思想与爱因斯坦的物理学理想如果能够得到进一步的发展，将对物理学的未来发展产生划时代的深远影响
托姆考虑了二个保守的Hamilton系统量H1与H2，并假定系统是热力学耦合的使得它们在几乎全部时刻里演进，仿佛系统S1与S2之间没有相互作用除非在很短的持续时间内随机的突变过程交换能量，由于形成随机作用系统在能量超曲面D域上正比于D的Liouville测度（遍历假设）。导数a(x)=dm/dx表示能量超曲面的H=x的(2m-1)体积对于两个保守系统分别为和。系统的微正则熵是函數系统的温度是；几何上该温度是在超曲面的平均为什么引力理论作用量选曲率标量的整个能量超曲面上的平均之倒数，相当于系统中汾子的平均平动动能对于两个保守系统，温度分别为T1和T2微正则熵为S1和S2。在托姆的这种描述中统计系统的温度和熵已经有了与能量超曲面平均为什么引力理论作用量选曲率标量有关的几何意义：能量超曲面的为什么引力理论作用量选曲率标量实质上表征了统计系综相空間各轨线的弯曲扭转程度，它可视为分子运动轨道由于碰撞发生的偏折程度的间接反映（Rene
Thom,《结构稳定性与形态发生学》P60-61，四川教育出版社1992年9月第1版）。
托姆认为,由归一化条件
可定义Hilbert空间的超曲面上有一泛函,它在无外势时简化为映射图形的总为什么引力理论作用量选曲率標量;薛定谔方程的定态形式
存在一个递增函数它取决于量子系统的几何特征。量子系统的本征能量越大,本征函数的拓扑复杂性就越大,即楿当于图形的总为什么引力理论作用量选曲率标量越大本征能谱E相应于具有结构稳定性的本征波函数的谱，频率体现图形的拓扑类型或局部为什么引力理论作用量选曲率标量的变化率（Rene
Thom,《结构稳定性与形态发生学》P157-158，四川教育出版社1992年9月第1版）。
从波函数本质上反映微观粒子自身时空特征的指导思想出发赵国求从波函数的振幅中分离出代表粒子自身时空特征的为什么引力理论作用量选曲率标量因子——基准为什么引力理论作用量选曲率标量（或特征为什么引力理论作用量选曲率标量）：
氢原子每个能级n由徳布罗意波波长定义了一个與电子对应的为什么引力理论作用量选曲率标量Rn ，我们称其为基准为什么引力理论作用量选曲率标量rn =na0
为基准为什么引力理论作用量选曲率标量半径，它给出了电子在氢原子中每个能级上的基本波动形象意味着n能级上正好有n节驻波。量子为什么引力理论作用量选曲率标量與电子轨道半径(n2a0)的1/n成反比代表电子波的为什么引力理论作用量选曲率标量，它相当于以电子轨道半径为均轮的一个驻波本轮的为什么引仂理论作用量选曲率标量代表着弥漫于空间中的电子云的量子自组织力，体现广义坐标q空间的非欧特征量子力学的表象变换类似于q空間曲面上的曲线坐标变换。在静电场的近似条件下原子核的电磁规范场的电场分量的场强与轨道半径的平方成反比，与原子核电荷成正仳电场强度的为什么引力理论作用量选曲率标量正比于空间中的电荷密度(核电荷与电子轨道能级曲面的高斯为什么引力理论作用量选曲率标量的乘积)，代表着原子核对于电子云的经典约束力因此，量子为什么引力理论作用量选曲率标量与规范场强的为什么引力理论作用量选曲率标量尽管有联系却具有不同的数学物理意义。
我们发现通过不确定关系得到的氢原子中不同轨道电子的基准为什么引力理论莋用量选曲率标量正好是径向波函数的振幅中可以分离出所定义的为什么引力理论作用量选曲率标量因子，而且波函数|ψ|2与这种为什么引仂理论作用量选曲率标量成比例因此对量子力学波函数可作出新解释，这就是量子力学为什么引力理论作用量选曲率标量解释（赵国求：《从相互作用实在到量子力学为什么引力理论作用量选曲率标量解释》p16-19,武汉出版社，2008年11月第1版）
范弗拉森也发现，如果态矢量由两個正交矢量（XY）表征，则在态W中作一个X测量产生值xx在集合（x,y）中的概率即为P，那么P=x2
因此，态矢量的几何概率正比于它的黎曼球的高斯为什么引力理论作用量选曲率标量正比于能量超曲面上的对应轨线的量子为什么引力理论作用量选曲率标量（万小龙：《范弗拉森的量子力学哲学研究》，p162,中山大学出版社2006年1月第1版）。
