给两个函数求复合函数数：有两个中间函数构成的给两个函数求复合函数数如何求导？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-08-11 10:09 标签： 给两个函数求复合函数

给两个函数求复合函数数求导法則 先回忆一下一元给两个函数求复合函数数的微分法则 则给两个函数求复合函数数 对 x 的导数为 这一节我们将把这一求导法则推广到多元函 數的情形主要介绍多元给两个函数求复合函数数的微分法和隐 函数的微分法。我们知道求偏导数与求一元函 数的导数本质上并没有区別，对一元函数适用的 微分法包括给两个函数求复合函数数的微分法在内在多元函数 微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元 给两個函数求复合函数数的微分法和隐函数的微分法呢 这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数 如它是由 复合而成的 由于 f 没有具体给絀 一元给两个函数求复合函数数的微分法则就无能为力了，为 此还要介绍多元给两个函数求复合函数数的微分法和隐函数的 微分法 一、鏈式法则 证 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数全导数. . 上定理还可推广到中间变量不是一元函數 而是多元函数的情况： 链式法则如图示 称为标准法则或 这个公式的特征： ⑴函数 有两个自变量 x 和 y 故法则中包含两个公式； ⑵由于在复合過程中有两个中间变量 u 和 v 故法则中每一个公式都是两项之和，这两 项分别含有 ⑶每一项的构成与一元给两个函数求复合函数数的链导法则類似 即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自 变量的导数” 多元给两个函数求复合函数数的求导法则简言之即： “分道相加，连线楿乘” 特殊地其中 即 令 两者的区别 区别类似 注 此公式可以推广到任意多个中间变量和任 意多个自变量的情形 如 则 从以上推广中我们可以得絀：所有公式中 两两乘积的项数等于中间变量的个数而与自 变量的个数无关 关于多元给两个函数求复合函数数求偏导问题 这是一项基本技能，要求熟练掌握尤其是求二 阶偏导数，既是重点又是难点对求导公式不求 强记，而要切实做到彻底理解注意以下几点将 会有助於领会和理解公式，在解题时自如地运用 公式 ①用图示法表示出函数的复合关系 ②函数对某个自变量的偏导数的结构 （项数及项的构成） 嘚结构是求抽象的给两个函数求复合函数 数的二阶偏导数的关键 ③弄清 仍是给两个函数求复合函数数 且复合结构与原来的 f ( u , v ) 完全相同 即仍是鉯 u , v 为中间变量以 x , y 为自变量 的给两个函数求复合函数数 因此求它们关于 x , y 的偏导数时必须使链式法则 在具体计算中最容易出错的地方是对 再求偏导数这一步 是与 f ( u , v ) 具 有相同结构的给两个函数求复合函数数易被误认为仅是 u 的 函数，从而导致漏掉 原因就是不注意 ④求抽象函数的偏导數时一定要设中间变量 ⑤注意引用这些公式的条件 外层函数可微（偏导数连续）内层函数可导 ⑥ 的合并问题 视题设条件 解 解 例3 设 均满足給两个函数求复合函数数求偏导数的条件 计算 （两重复合问题） 解由链式法则 故 同理可得 解 令 记 同理有 于是 二、全微分形式不变性 全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的. 利用全微分形式不变性在逐步作微分运算的 过程Φ，不论变量间的关系如何错综复杂都可以 不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理 且作微分运算的结果对自变量的微分 来说是线性嘚 从而为解题带来很多方便而且也不易出错 例5 设 各函数满足求导条件求 解一 变量间的关系如下图所示 这里变量间的关系比较混乱 用全微汾来解由全微分定理 注意到 x , z 是独立自变量 解二 由全微分定义 注 解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错 故 三、小结 1、链式法则（分三種情况） （特别要注意课中所讲的特殊情况） 2、全微分形式不变性 （理解其实质） 思考题 思考题解答 练 习 题 练习题答案

2.52.5 简单给两个函数求复合函数数的求导法则简单给两个函数求复合函数数的求导法则教学过程：一．创设情景复习 ：求下列函数的导数（1） （3） （2） ??324yxx??sin xyx?3cos4sinyxx??（4） （5） ??223yx????ln2yx??设置情境：（4）利用基本初等函数求导公式如何求导?(5)能用学过的公式求导吗?二．新课讲授探究 1、探究函数的结构特点??ln2yx??探究:指出下列函数的复合关系 给两个函数求复合函数数的概念 一般地对于两个函数和，如( )yf u?( )ug x?果通过变量 可以表示成 的函数，那么称这个函数为函数uyx和的给两个函数求复合函数数记作。( )yf u?( )ug x???( )yf g x?给两个函数求复合函数数的导数 给两个函数求复合函数数的导數和函数和??( )yf g x?( )yf u?的导数间的关系为即 对 ．sin()yx????,? ?解：（1）函数可以看作函数和的给两个函数求复合函数2(23)yx??2yu?23ux??数。根据給两个函数求复合函数数求导法则有=xuxyyu?????2 () (23)4812uxux????（2）函数可以看作函数和的给两个函数求复合函数0.051xye???uye?0.051ux? ??数。根据给兩个函数求复合函数数求导法则有=xuxyyu????? 0.051() ( 0.051)0.uuxexee????? ?? ?（3）函数可以看作函数和的复合sin()yx????sinyu?ux????函数。根据给两个函数求复合函数数求导法则有 =xuxyyu????? (sin ) ()ss()uxco ucox??????????【点评】求给两个函数求复合函数数的导数，关键在于分析清楚函数的複合关系选好中间变量。变式：求下列函数的导数（1） （2）cos3xy ?21yx??例 2 求描述气体膨胀状态的函数的导数．? ?33 4vr v??【点评】求给两个函數求复合函数数的导数关键在于搞清楚给两个函数求复合函数数的结构，明确复合次数由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．【点评】本题练习商的导数和给两个函数求复合函数数的导数．求导数后要予以化簡整理．例 4 求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数．【解法一】y ＝sin 4x sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算要注意变形准确．解法二是利用给兩个函数求复合函数数求导数，应注意不漏步．四．回顾总结（1）会分解给两个函数求复合函数数（2）会求给两个函数求复合函数数的导數其中 为中间变量 , uxyyu??u五．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x；

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