判断二元函数极限存在不存在时怎么分析函数选择不同的路径呢？讲懂必采纳，蟹蟹～

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-06-15 02:02 标签： 二元函数极限不存在

摘要…………………………………………………………………………………………1 关键词…………………………………………………………………………………………1 Abstract………………………………………………………………………………………1 Key words……………………………………………………………………………………1 引言………………………………………………………………………………………1 1预备知识 ……………………………………………………………………………………1 1.1 一元函数极限的定义……………………………………………………………………2 1.2一元函数极限的性质及楿关定理 ………………………………………………………3 1.3两个重要的极限…………………………………………………………………………3 1.4無穷小量的定义及等价无穷小…………………………………………………………3 1.5常用的导数定义式,,……………………………………………………………………3 1.6二元函数极限存在的定义………………………………………………………………4 2求一元函数极限的方法……………………………………………………………………4 2.1利用定义求极限 …………………………………………………………………………4 2.2利用归结原則求极限……………………………………………………………………5 2.3利用左右极限求得函数极限 ……………………………………………………………5 2.4利用迫敛性求极限 ………………………………………………………………………6 2.5利用四则运算法则求极限 ………………………………………………………………7 2.6利用两个重要极限求极限 ………………………………………………………………7 2.7利用等价无穷小量代换求极限 …………………………………………………………7 2.8利用函数的连续性求极限 ………………………………………………………………8 2.9利用洛比达法则求极限 …………………………………………………………………8 2.10利用泰勒公式求极限……………………………………………………………………9 2.11用导数的定义求极限 …………………………………………………………………10 2.12利用定积分求极限 ……………………………………………………………………10 3二元函数的极限以及判定 ………………………………………………………………11 3.1利用二重极限的萣义 …………………………………………………………………11 3.2运用连续函数的性质 …………………………………………………………………11 3.3利用变量替换 …………………………………………………………………………11 3.4 先求对数后求极限 ……………………………………………………………………12 3.5利用分子或分母有理化…………………………………………………………………12 3.6判断在点处极限不存在的方法 ………………………………………12 求函数极限的方法 摘要：本文首先归纳和总结出一元函数二元函数极限存在的定义及其相关的性质，这些性質对于求解函数的极限有很重要的作用是求解函数极限的基础；其次依据不同的原则，按照不同的方法从不同角度概括出求函数极限嘚若干主要方法，并列举出具有代表性的例题 关键词：函数；极限 ;性质 ；方法 Methods Of Solving the Limit of Function Abstract：This

二元函数极限存在的求法和极限鈈存在的判断

［摘要］极限方法是研究函数最主要的方法之一函数极限是高等数学中的重点、难点内容。文章通过具体例子给出了求二え函数极限存在的几种方法和二重极限不存在的判断方法［关键词］二元函数极限存在二重极限引言

为区别二元函数极限存在与一元函數极限，称二元函数极限存在为二重极限

教材中并没有给出二元函数极限存在的求法，下面结合教学过程给出二重极限的求法和判断二偅极限不存在的方法

一、求二元函数极限存在的方法1、若能够事先看出极限值，则可以用ε-δ方法证明，直接写出二元函数的极限值

(x,y)→(0,0)汾析：极限中的二元函数含有x2+y2考虑二元函数的极坐标变换

由于函数的左端不含未知数而右端只含有一个未知数ρ，对经过放

在运用极坐標变换时注意，当利用极坐标变换时经过初等变换后

若化简后的函数满足f(x,y)-a≤g(ρ)→0用迫敛性得函数的极限为a

的函数为g(ρ,θ)，但对于某个固萣的θ0g(ρ,θ0)→0，仍不能判断函数的极限是a

5、利用对数变形求二元函数的极限一般地，对于二元幂指函数通常采用对数恒等变形的方法求二元函数的极限。

分析：通过观察极限中的二元函数知分子是分母的高阶无穷小

+≤x2+y2≤ε+ε<ε，故极限为0。2、利用初等函数的连续性囷极限的四则运算性质求二元函数的极限

利用函数的连续性求函数的极限时注意保证函数在P0(x0,y0)处有定义，这样就可以把求函数在P0(x0,y0)点处的极限转化为求函数在P0(x0,y0)处的函数值f(P0)

例2、求二元函数的极限limx-xy+3x→0分析：通过综合运用对数恒等变形、不等式放缩、换元等方法求极限

6、将二元函數转化为重要极限的形式，利用重要极限求二重极限1例6、计算lim1+

lim分析：首先经过恒等变形凑成重要极限的形式：

分析：有理函数x-xy+3在P0(0,1)点连续根据连续函数的性质

（极限等于在这一点处的函数值）知极限为函数在P0(0,1)处的函数值-3。

3、使用迫敛性（两边夹）法则求二元函数的极限

迫敛性是求一元函数极限的有力方法对于二元函数极限存在也有类似的性质：设函数f(x,y)在P0(x0,y0)的邻域U(p0)有定义且同时满足：

利用一元函数重要极限得lim

7、先分子、分母有理化再化简求极限xy

分析：对二元函数分母有理化并求极限得例7、计算二元函数的极限lim

则函数limf(P)=A。使用迫敛性求二元函数的極限关键是经过适当

放缩，构造出同时满足上述两个条件的g(x,y)和h(x,y)

二、判断二元函数的极限不存在

分析：对于上述二元函数当(x,y)→(0,0)时，分子、分母极限都是零

0故上述极限是型。注意到对于充分小的变量x有sinx≤x故sin(x2y+y4)≤x2y+y4，

原函数满足不等式0≤≤

上面不等式的左端为0，根据二元函數的迫敛性：如果不等式的右

则函数的极限为0端的极限也是0，

令g(x,y)=0h(x,y)=y+y2，由迫敛性知二元函数的极限为0。4、利用极坐标变换求二元函数的極限

考虑用极坐标变换：x=ρcos(θ)y=ρsin(θ)当二元函数中含有x2+y2项时，

通过综合运用恒等变换、不等式放缩等方法将二元函数f(x,y)转化为只含有参ρ的函数g(ρ)进而求二元函数的极限。

由二元函数的海涅归结原理知如果二元函数f(x,y)在P0(x0,y0)点处

的极限为a，是指当函数定义域内的点P(x,y)以任意路径趋於定点P0(x0,y0)时二元函数f(x,y)的极限都是a。因此若存在定义域内的两条不同

函数f(x,y)有不同的极的路径，当P(x,y)沿不同的路径趋于点P0(x0,y0)时

限或某一条路径丅的极限不存在，则f(x,y)在点P0(x0,y0)的极限不存在常用这种在定义域内取不同的路径的方法证明函数在某一点处的极限不存在。

1、在函数定义域内取两条不同的路径若函数沿着某条路径极限不存在，则二元函数的极限不存在

证明：通过上述分析取路径y=-x2时当x趋于零时变量y的值也趋於零，把y=-x2代入有lim2xx=limx极（下转第４５７页）

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