集合理论是现代数学的基础。一．集合的概念1．集合是数学中最基本、最原始的概念之一，不可能用其他数学概念对其进行严格定义,只能用人们所熟悉的、容易理解的术语来加以描述。但这并不影响集合作为数学之基础的作用。所谓“集合”,是指：具有某种确定性质(或满足某个确定条件)的“事物”的全体。集合也可简称为“集”;并将构成集合的一个个“事物”称为该集合的“元素”,可简称为“元”。
比如：（1）中国所有的直辖市构成一个集合（北京、上海、天津、重庆是它的元素），（2）全体自然数是一个集合，（3）一份学生名单也是一个集合，（4）单位圆周是由平面上的点构成的集合，（5）中国的首都也是一个集合,它只有一个元素,等等。
集合存在于我们的工作、学习、日常生活、经济活动和社会交往的各个方面。为简单方便起见，通常用大写字母A,B,C,元素记成小写的字母a,b,c,来记一个集合，例如等。可将上述各个集合分别记为A,N,B,C,F；而将2．设x是某个“事物”，A是某个集合。若x是A的元素，则称x属于A,记为x∈A；否则记为x?A.
3．将集合清楚地表示出来的方法一般有两种:一是“列举法”——若一个集合的所有元素能列出来，则将它们写在一个花括号内，并用逗号隔开，此法称为列举法。例如上述的
4．有限集与无限集如果一个集合含有有限多个元素，则称其为有限集。如上述的A,B,F.其中将只含一个元素的集合叫做单元素集（或单点集），例如F={北京}.将
不含任何元素的集合称为空集,用专门记号?表示，例如“方程x2+1=0的实根”就是一个空集。本书将空集也算作有限集。不是有限的集合称为无限集。例如上述的C={(x,y)x2+y2=1}和={1,2,,n,}.
5．本课程常用的几个集合元素均为数的集合称为数集。下面的几个数集经常用到,并以专用记号记之,今后不再一一解释：
还有?——空集；n×n——全体n阶实的方阵的集合；n×n——全体n阶复的方阵的集合；也经常用到。6．几点注意在理解集合概念时，要注意（1）一个集合的元素所具有的性质（或满足的条件）必须是明确的。例如，“大于等于1的全体实数”是明确的，是一个集合，即{x∈Rx≥1};而“远大于1的全体实数”是不明确的，不是集合。
（2）集合中的各元素必须是彼此能够分辨的、互异的。因此在用列举法表示集合时，其中的元素不能重复出现。（3）集合中的元素没有先后次序之分。因此{a,b,c},{b,c,a},{c,b,a}等表示的是同一个集合。
（3）若A?B，但A≠B，则称A是B的真子集，记为A?B.≠显然是的真子集。由定义可知，空集?是任何集合A的子集，即总有A.注意:并不是任意两个集合都是可以比较的，即不是任意两个集合都存在包含关系，例如集合
2.集合的包含关系“?”具有如下性质:（1）A?A；（自反性）（2）若A?B,B?C，则A?C.（传递性）三.集合的交、并、差运算1．基本集合在研究某个问题时，所涉及的所有集合都是某个集合X的子集，于是我们将X称为基本集合。比如,在单元函数的微积分中，是基本集合;在概率论中，样本空间是基本集合；在空间解析几3何中，全空间是基本集合。
—DeMorgan公式。关于这个定理的证明，将在面授时解决。四．集合的直积1．两个集合的直积运算稍微复杂一些，不过通过下面的实例，直积概念还是很好理解的。
实例：设某工程须分前后两期完成。若完成前期工程有3种方案a1,a2,a3可供选择，完成后期工程
注意：集合是由集合和产生的，但不A×BAB是由的和的元素按某种法则取舍而得的；A×BABB的元素，是由的元素和的元素按照“先后”次序A构成的有序对。
n２．有序对（偶），有序元组?a∈A,?b∈BA,B设是任意集合。作有序对，写在前面的称为有序对(a,b)的第1坐(a,b)a标，写在后面的称为有序对(a,b)的第２坐标。b
2．对于两个集合的运算成立的性质和运算规律（交、并的交换律，结合律，分配律，以及DeMorgan公式等），对n个集合的相应的运算也是成立的。如
映射也是本课程的一个基本概念。一.映射概念1．映射是高等数学中的函数和线性代数中的变换概念的推广。2．定义1.4设X,Y是两个非空集合,若存在对应法则f，使得对于X中的每一个元素x，在Y中存在惟一的元素y与之对应,则称f是集合X到集合Y的映射，记为f:X→Y或f:xy；
当Y为数集时，称f是集合X上的泛函；当X,Y都是数集时，称f为函数；我们所熟悉的（高等数学中的）函数，就是（实）数集到（实）数集的映射。
（3）若f既是满射又是单射，则称f是双射。双射在集合X与Y的元素之间建立了一对一的对应关系。
由{an}确定的映射f:N→A（即f(n)=an），一般说来不是单射（序列的某两项可能相同），也不一定是满射（A中可能有未取到的元素）。
二.逆映射与复合映射1.定义1.6设f:X→Y是单射，则?y∈R(f),由关系式f(x)=y确定惟一的x∈X之对应,于是定义了一个集合R(f)到集合X(即D(f))的映射,f的逆映射,记为f?1:R(f)→X.称此映射为由定义可知：f:X→Y的逆映射存在，当且仅当f:X→Y是单射。当f:X→Y为双射时，其逆映射记为f?1:Y→X.易知恒等映射IX的逆?映射就是其自身:IX1=IX.
不是可数的无限集称为不可数集。本身是可数集，因为I是双射；全体正奇数的集合E是可数的，因为f:n
凡是与某个可数集之间存在双射的集合,都是可数集；稍后我们还会看到和也是可数集。2.充要条件例1.6集合A可数的充要条件是：A的所有元素可以排成一个各项互异的无穷序列，即
4．可数集的性质定理1.4（1）可数集的子集是可数集或有限集；（2）有限多个或可数多个可数集的并集，仍是可数集；（3）有限多个可数集的直积是可数集。证明见教材P9—10.
A为有限集，为可数集，则A∩B为B有限集，而A∪B为可数集；（2）若A为不可数集，B为可数集，则A∪B
于是R中的任何区间(a,b)都是不可数的；事实上，任何与某个不可数集之间存在双射的集合，都是不可数的。顺便指出：由全体无理数构成的集合P是不可数集，这是因为可数而不可数。
6.任意多个集合的交、并的运算任意多个（有限多个、可数多个或不可数多个）集合，要用“集族”来表示。设D是非空（有限、可Aα数或不可数)集合,X是基本集合。映射f:α的值域称为以为指标集?X(?α∈D){Aαα∈D}D的集族，简记为{Aα}α∈D.
{Aα}α∈D任意多个集合的交、并，就是某集族的（所有集合）的交、并：
任意多个集合的交、并的运算规律,与有限多个集合的情况相同。四．数域，实数集的确界1.定义1.9设数集中至少含有一个非零数，K若K对于数的四则运算是封闭的（即，?a,b∈KaKa±b∈K,ab∈K,b∈K(b≠0)有），则称是数域。
Q,R,C由定义立即可知：都是数域，并分别称为有理数域、实数域和复数域；而等都不是N,Z,R+数域。任何数域必定含有0和1这两个数。今后用K
表示实数域或复数域.2．有界实数集定义：设A?R.（1）若存在M0，使得?x∈A，有x≤M，则称A是界的；（2）若存在L∈R，使得?x∈A,有x≤L,则称A是有上界的，L称为A的一个上界；（3）若存在l∈R，使得?x∈A，有x≥l，则称A是有下界的，l称为A的一个下界。
显然,①实数集A有界，当且仅当A既有上界，又有下界；②若实数集A有上（下）界，则必有无穷多个上（下）界，且无最大（小）者。问题：若A有上（下）界，是否存在一个最小（大）的上（下）界？回答是肯定的！下面先对“最小（大）的上（下）界”给出精确定义（关键是如何表述“最小（大）”），然后再回答这个问题。
（2）若supAinfA）存在，则supAinfA）（（必定是惟一的；（见习题一№5）（3）要注意supA同maxAinfA同minA）的（区别与联系；（4）由定义可知，实数集的上确界必定是其一个上界，故无上界的实数集A自然无上确界，但为了方便起见，将无上界的实数集A的上确界说成是
5.确界存在原理公理：非空有上界（下界）的实数集必有上确界（下确界）。
注：与此原理等价的还有7个原理（或称准则）（比如高等数学中的“单调有界准则”，数学分析中的“Cauchy收敛准则”），它们都是关于的连续性或完备性的表述。以其中任何一个作为公理，都可以推出其余原理，本课程以确界原理作为公理建立理论体系。
通俗地讲，空间就是在其上建立了某种“结构”常用的是建立了“代数结构”的线性空间和建立了“拓扑结构”的拓扑空间，特别是在线性空间基础上再赋予“范数”的赋范空间和定义了“内积”的内积空间。这两种空间都是我们熟悉的三维欧氏空间R3的直接推广。本讲介绍线性空间的定义及有关概念。
（3）“?”满足:⑤λ(?a)=(λ?)a，⑥λ(a+b)=λa+λb，⑦(λ+?)a=λa+?a，⑧1?a=a.我们称（1）为封闭性公理；称（2）中的4条为加法公理；称（3）中的4条为数乘公理。将满足加法公理与数乘公理的“+”和“?”统称为线性运算，
R是一个线性空间。3333注意到，上的“+”实际上是R×R到R的映R3射，“?”是×R到R3的映射这一事实，我们就可以在一般集合上定义加法和数乘，使之成为线性空间。
则称X（按照“+”和“”）是数域K上的线性空间或向量空间(记为(X,K,+,?),简记为X)。当K=R时,称为实线性空间，当K=C时称为复线性空间。由定义可知：线性空间就是对线性运算封闭的非空集合。3．可以证明线性空间具有如下性质：（1）零元是惟一的；（2）任何元素的负元是惟一的；
R(C)上的加法由矩阵运算的规律可知，和数乘满足加法公理和数乘公理（其中Om×n是R
3）“?”满足数乘公理；故C[a,b]是一个（实）线性空间，通常称为连续函数空间。例1.13有界数列空间l∞.
容易验证c(全体收敛数列的集合),c0(全体收敛∞于0的数列的集合）按l的加法和数乘也构成线性空间。还可验证
按l∞上的加法和数乘也构成线性空间。以上各例中的加法和数乘尽管各不相同，但在局部（每一坐标、每一点、每一项）都是我们所熟悉的数的加法和乘法。
然而并不是非如此不可，因为按定义，加法和数乘就是一个映射，只要它们满足加法公理和数乘公理,就是线性运算,若非空集合X对其封闭,则X就是线性空间。例1.14全体正实数的集合R+显然是非空的,
为V对加法（和数乘）不封闭。二．线性空间的子空间1.定义1.13设X是K上的线性空间，Y是X的非空子集。若Y对X上的线性运算是封闭的，即
3．线性空间X的任意多个子空间的交,仍是X的子空间；但两个子空间的并，却不一定是X的子空间。例如Ox轴R1={(x,0)x∈R}和Oy轴R2={(0,y)y∈R}都是R2的子空间，但R1∪R2不是R2的子空间，因为
为了更好地研究线性空间，需要掌握构成线性空间的“最基本的元素”——线性空间的基。线性空间中许多问题都可以化为对于“基”的相应问题来研究。根据“基”所含元素个数的情况，将线性空间分为“有限维”和“无限维”两类，有限维线性空间研究起来比较容易。一.线性空间中集合的线性相关性
设M是X的任意子集,若M的任一有限子集都是线性无关的,则称M是线性无关的;否则(即若M有一个非空子集线性相关)称M是线性相关的。
二.线性空间的基与维数1.定义1.18设X是K上的线性空间，?X.B若B线性无关，且spanB=X（即X中的任意元素都可由B的有限多个元素线性表出），则称B是X的一个基或基底。若基B是有限集合，则称B是有限基，否则称B是无限基。若线性空间X具有一个有限基，则称X是有限维的；若线性空间X具有一个无限基,则称X是无限维的。
性无关集，但却不是C[a,b]的基，因为并不是每一个连续函数都能表示为一个多项式，即
（2）若dimX=n，则X的任意由n个元素组成的线性无关集都是X的一个基；（3）若dimX=n，则X中任意多于素的集合，都线性相关。例1.23
因此，在给定基下，元素与其坐标是一一对应的，故在不至于引起混淆的情况下,可以将X中的T元素用其坐标表示为x=(a1,a2,,an).
3．值得注意的是，同一元素在不同基下的坐标，一般说来是不同的。例如，=(?1,2,3)T∈R3在自然基下坐标为x
是固定的常数)是线性算子。例1.27（请自学）2.设X,Y都是K上的线性空间,则T:X→Y是线性算子的充要条件是：
证首先解释一下有关的记法:因为f∈C[a,b],即f是[a,b]上的连续函数，故由变上限定积分x的性质可知?(x)=∫af(t)dt必定是[a,b]上的连续函数。不过，为了从记号上就能表明此函数与f的关系，将其记为(Tf)(x)罢了。由于Tf∈C[a,b]是[a,b]上的
5.线性算子的运算（1）线性算子的线性运算——加法与数乘设X,Y都是K上的线性空间，将X到Y的全体线性算子构成的集合记为L(X,Y).
二.线性算子的矩阵在一定条件下，可将线性算子用矩阵表示出来，以便进行线性算子的运算。设X,Y都是K上的有限维线性空间,且dimX=n,
在取定的基下，x∈X在T下的像与用A乘x的?结果是一样的。称A是T在基BX和BY下的矩阵。X和Y的取定基下，A=?aij?∈Cm×n,?反之，在由式（*）确定了惟一的X到Y的线性算子。
注(1)n维线性空间X上的线性变换的矩阵是n阶方阵;(2)?A=?aij?∈Cm×n总可以看作Cn到Cm的线性算子;(3)同一线性算子在不同基下的矩阵一般是不同的；但零算子的矩阵总是零矩阵；X上的恒等算子I在X的任何基下的矩阵都是单位矩阵E.(4)设T,S∈L(X,Y)在基BX和BY下的矩阵分别为A,B∈Cm×n,则T+S,λT在基BX和B下的矩阵YA+B和λA;
由此可知：A的对应于某个特征值λi的特征向量，就是齐次线性组
的非零解向量。因为齐次线性组的解的线性组合仍然是解，故A的对应于λi的各个特征向量的非零线性组合，还是A的对应于λi的特征向量。
与A一一对应，称为A的特征矩阵。由行列式的定义可知：特征矩阵的行列式
由于齐次线性组(λiE?A)x=0有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，所以A的特征值λi就是一元n次方程(也称为A的特征方程)
归纳以上分析可知，求A的特征值与A的（一组线性无关）特征向量可按以下步骤进行：(1)解一元n次方程det(λE?A)=0得A的n个特征值λ1,λ2,,λn;显然，三角形矩阵、对角形矩阵的特征值就是其主对角元a11,a22,,ann,单位矩阵的n个特征值都是1.(2)对每一个互异的特征值λi∈σ(A)(i=1,2,,s,
二．有关特征值与特征向量的重要结论1．n阶方阵必有n个特征值λ1,λ2,,λn∈C(k重的算k个),实矩阵的特征值也可能是复数，其特征向量可能是复向量；显然，三角形矩阵（包括对角矩阵）的特征值就是它的主对角元素；
一.相似矩阵及其性质（见教材P31-32）由第5讲我们知道：n维线性空间X上的线性变换T:X→X在不同基下的矩阵（n阶方阵）是不同的。但它们既然都是T的矩阵，就必然有某种关系，这种“关系”就是下面要介绍的“相似”。
3．注意：按照定义判断两个同阶方阵是否相似，一般是很困难的。这个问题在本科的线性代数中解决不了，但本课程能较好地解决。(见后)4．相似矩阵的性质定理设A,B∈Cn×n,若A~B，则
二.方阵的相似对角形1．方阵的相似标准形n用Cn×上的“~”关系,将Cn×n的全部元素(n阶方阵）分成若干个“等价类”，各个等价类互不相交，同一等价类中的各方阵彼此相似，从而有许多共同的性质（见上文中的定理）,因此在研究这些共同性质时,只需对其中的一个进行讨论即可。当然我们应选择形式最为简单的那个方阵作为“代表”，这样的“代表”就称为标准形。由于是按相似关系划分的等价类，故将其称为“相似标准形”。
2.方阵的相似对角形及可对角化的条件对角形矩阵是形式最简单的方阵，若某个等价类能找到对角形矩阵作为代表，则称此对角形矩阵为其相似对角形。值得注意的是，不是每个相似等价类都有相似对角形。定义若A∈Cn×n能与一个对角形矩阵
关于矩阵的相似，至少有两个重要问题还没解决：①给定A,B∈Cn×n，如何判定它们是否相似？②?A∈C
此外还有，是否存在判定可对角化的比较简单的法等问题。上述问题可借助多项式矩阵的有关理论加以决。
若a0≠0，则称p(x)是n次的，记为degp(x)=n；一个非零的常数c≠0叫做零次多项式；数0称为零多项式，对零多项式不言次数。
(4)p1(x),p2(x),,pt(x)的全部公因式中次数最高的公因式称为最高公因式；显然最高公因式是不惟一的，但首1的最高公因式是惟一的。
（1）n次多项式必定有n个零点（重零点按重数计）；（2）多项式的零点可能是实数，也可能是复数；（3）实系数多项式的复零点是成对出现的（若a+bi是其零点,则a?bi也必为其零点），因此奇数次实系数多项式至少有一个实零点。4.若λ1,λ2,,λs分别是首1的n次多项式f(λ)的m1,m2,
二．多项式矩阵1.定义以λ的多项式（包括零多项式）为元素的矩阵，称为多项式矩阵或λ?矩阵,通常记为A(λ),B(λ),.相应地，以前遇到的以常数为元素的矩阵叫做数字矩阵。数字矩阵也可看作多项式矩阵。R[λ]m×n—全体元素为实系数多项式的m×n多项式矩阵的集合；[λ]m×n—全体元素为复系数多项式的m×n多项式矩阵的集合；
2．多项式矩阵的运算运算定义及所遵从的规律，均同数字矩阵。3.
是λ的多项式(包括零次多项式和零多项式)。4.多项式矩阵的子式多项式矩阵的各阶子式、元素的余子式和代数余子式的定义也与数字矩阵相同,它们都是λ的多项式(包括零次多项式和零多项式)。5.n阶多项式矩阵的伴随矩阵方阵
由定理2.6知，?A∈Cn×n，E?A不可逆。λ推论若A(λ)∈K[λ]n×n可逆,则A(λ)必然非奇异（满秩）；反之不真。这表明对数字矩阵成立的结论：“A可逆，当且仅当A非奇异（满秩）”,对一般多项式矩阵不再成立。
8.分块多项式矩阵同数字矩阵一样，当列数n较大时，为便于运算，也常常将其进行“分块”。分块多项式矩阵的运算及注意事项均与数字矩阵相同。也有分块对角形及准对角形矩阵的概念:?A1(λ)?A2(λ)?A(λ)=?
若A(λ)是n阶方阵，且其中每个子块Ai(λ)也都是方阵，则称A(λ)是准对角形矩阵。三．多项式矩阵的初等变换
初等变换是研究数字矩阵的重要手段和方法，比如可以用初等变换求矩阵的简化（行）阶梯形及秩、方阵的逆矩阵等等。初等变换对于一般多项式矩阵的研究显得更为重要。1.定义2.5下列三种变换称为多项式矩阵的初等行（列）变换：
2.初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵共有3类：
4.初等变换的矩阵表示同数字矩阵的情形一样，对多项式矩阵施行一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘一个相应的初等矩阵。例如
由于可逆多项式矩阵的乘积仍是可逆的多项A(λ)∈K[λ]m×n施行有限次式矩阵，故对多项式矩阵初等变换得到B(λ)，相当于将A(λ)左乘可逆矩阵P(λ)∈K[λ]m×m,右乘可逆矩阵Q(λ)∈K[λ]n×n而得到B(λ)，即A(λ)→→B(λ),相当于P(λ)A(λ)Q(λ)=B(λ).同数字矩阵一样，一个多项式矩乘以可逆的多项式矩阵后，其秩不变！因此，初等变换不改变多项式矩阵的秩。
3.多项式矩阵的等价标准形容易验证多项式矩阵之间的等价关系“?”具有(1)自反性:A(λ)?A(λ);(2)对称性:A(λ)?B(λ)?B(λ)?A(λ);(3)传递性:A(λ)?B(λ),B(λ)?C(λ)?A(λ)?C(λ).因此,“?”是集合K[λ]m×n上的一种等价关系.按等价关系“?”,将K[λ]m×n的全部元素(m×n多项式矩阵)分成若干个等价类.同一类中各矩阵彼此等价,等价的多项式矩阵有许多共同的性质,比如它们的秩相同等等.在研究这些共同性质时,只需对其中的一个矩阵进行研究即可.我们将每一类中形式最为简单的代表元称为等价标准形.
显然,?A∈Cn×n的特征矩阵λE?A的n阶行列式因子Dn(λ)=det(λE?A),即为特征多项式。λE?A的行列式因子也简称为A的行列式因子。2．定理2.9初等变换不改变多项式矩阵的行列式因子，即等价的多项式矩阵有相同的各阶行列式因子。（由初等变换定义及行列式的性质可以证明此定理，此处从略。）作适当的初等变换变成B(λ),使B(λ)的(即A(λ)的)行列式因子容易求出。特别地,由A(λ)的Smith标准形
为A的）不变因子有n个:d1(λ),d2(λ),,dn(λ).不变因子在后面的讨论中起着关键作用,因此必须会求多项式矩阵的不变因子，特别是要能熟练地求出A∈Cn×n的特征矩阵λE?A的不变因子。3．不变因子的求法(1)依定义(求出Smith标准形即可得不变因子
2．注:(1)初等因子组中可能有相同的初等因子,这是因为它们由不同的不变因子分解而得;在计算A(λ)的初等因子的个数时，重复出现的要按出现的次数计算；
底λ?λj相当的初等因子；在所有相当的初等因子中，次数最高的一个必然是由dr(λ)分解而得的，依次类推；(3)?A∈Cn×n的特征矩阵λE?A的初等因子由A惟一确定,故也将其简称为A的初等因子组。上例的A(λ)有4个初等因子；λ,λ与λ相当，有一个λ2由d3(λ)分解而来，?2i,(λ?2i)2与λ?2i相λ当，λ?2i)2由d3(λ)分解而来。(
3．由初等因子组求各个不变因子举例由不变因子的性质以及不变因子与初等因子的关系可知，应从最后一个求起。例2.8已知A∈求A的不变因子。解求λ,λ,λ+1的最小公倍式得d4(λ)=λ2(λ+1),
的Smith标准形。解关键在于求出不变因子，而不变因子又很容易由初等因子得到。
注：本题当然可以用其他方法解，但都不如此法简单；要将一个对角形矩阵化为Smith标准形,有时也是很困难的。3.按下面的结论2结论2若
借助多项式矩阵的理论，很容易判定两个同方阵是否相似。一.多项式矩阵等价的充要条件
（由多项式矩阵等价的定义、性质及行列式因子、不变因子、初等因子、Smith标准形之间的关系，不难知道定理的正确性，其严格证明从略。)注意：条件（3）中“相同的秩”不能去掉。例如
由于同阶数字矩阵的特征矩阵的秩必定相同，故有下面的推论。
利用多项式矩阵的理论，可以完全解决数字矩阵的相似标准形问题。本讲先介绍矩阵的用途广泛的一种相似标准形—Jordan标准形，它是相似对角形的推广。我们将证明任何方阵都存在Jordan标准形。下一讲再介绍其他相似标准形。
在上一讲中我们看到，任何方阵都存在Jordan标准形,但其Jordan标准形可能是复的，即使是实方阵也是如此。这在许多领域使用起来不方便，故需要讨论方阵的其他类型的相似标准形。本课程只介绍“有理标准形”，或称“自然法式”.
分解所得的一次式的方幂就是A的初等因子组，故只需证明C的初等因子组也是由各个
再证惟一性.由于每个Ci与A的非常数的不变因子是一一对应的，故在不计C中各个Ci的排列次序时,C是由A惟一确定的。2.求A∈
g2．若?(λ)是A的一个零化多项式，(λ)是任意的非零多项式，则g(λ)?(λ)仍然A是的零化多项式。这表明若A∈n×n存在零化多项式，则其零化多项式不惟一，且有无穷多个。n×n下面的定理不仅表明任意的A∈且A≠O都存在零化多项式，而且给出了A的一个我们已经很熟悉的零化多项式。3．定理2.18(Hamilton-Cayley定理)对任意
的次数高于或等于n的任意多项式，都化为次数低于n的多项式，从而简化了求A的多项式的运算。例2.17设A∈且A≠O,f(λ)是A的特征多项式。对任意k(k≥n)次多项式g(λ),若
二．方阵的最小多项式A的零化多项式还有许多用途，但其不惟一性却给使用带来不方便。为此，我们对于A的零化多项式进行一些限制，使其具有惟一性，这就是下面要介绍的最小多项式。
2.最小多项式的性质设A∈(A≠O)的特征多项式为f(λ)，最小多项式为m(λ),第n个不变因子为dn(λ),而?(λ)是A的任意一个零化多项式，则（1）m(λ)?(λ)，即最小多项式能整除任一零化多项式；
即λ0也是f(λ)的零点。反之，若λ0是f(λ)的任一零点，即λ0是A的任一特征值，设x∈是相应的特征向量，则m(λ0)是m(A)的特征值，且x是相应的特征向量，即
因为x≠0,所以m(λ0)=0,即λ0也是m(λ)的零点。（3）（因证明过繁，故从略。）3.最小多项式的求法（1）“分解-检验”法：先求A的特征多项式f(λ)并将其分解因式，然后根据性质2检验得出最小多项式m(λ).此法对阶数不超过3的方阵尤为有效。例2.18
其中deg[r(λ)]deg[m(λ)]≤deg[f(λ)].例2.21（见教材P69-70）2.A∈可对角化的充要条件A∈n×n可对角化的充要条件是A的定理2.19最小多项式无重零点。证由定理2.16及性质3即可得证。推论A∈可对角化的充要条件是A有一个无重零点的零化多项式。
一．赋范空间定义及常见的赋范空间1．实际背景为了研究线性空间中序列的收敛性和映射的连续性，需要“距离”的概念。在中两点x与y之间的距离就等于x?y,即通过实数的绝对值,可以3定义距离;同样在R中,可以用向量OA=a与OB=b之差的模a?b表示两点A与B之间的距离。
当然在一般线性空间中没有绝对值或模的概念,但我们可以将绝对值（或模）的基本性质作为“公理”来定义线性空间中元素的模,今后称为范数。2．定义3.1若映射?:X→设X是数域K上的线性空间,（即?x∈X，?1x∈与之对应）
非负实数x称为元素x的范数。当K=时称X为实赋范空间,当K=C时称X为复赋范空间。(,?),(2,?),(3,?)是实赋范空间，由定义知，而(,?)是复赋范空间。3.常见的赋范空间例3.1n维欧氏空间
注:上式中下画横线的部分称为柯西不等式，就是教材P12的p=2时的闵可夫斯基不等式。
)上的范数不过，今后如无特别申明，在总是指2-范数,即欧几里德范数；在C[a,b]上的范数总是指∞-范数,即最大值范数。(
三．等价范数下面介绍同一线性空间上不同范数之间，可能存在的一种关系——等价,在后面的学习中经常要用到它。1.定义3.6设?α,?β是线性空间X上的两种范数，若存在常数a,b0，使得，x∈X，有?
为了体现范数“等价”的含义，我们给出下面的补充例题：例设?α与?β是线性空间X上的两种等价范数，?X，则A在(X,?α)中有界，当且仅当A在A(X,?β)中有界。
以上证明了必要性,类似可证明充分性。2．定理3.2数都是等价的。（证明从略）有限维线性空间上，任何两种范
四．赋范空间的子空间1.定义3.7设有(X,?),Y是X的线性子空间。若?x∈Y，令xY=x，则(Y,?Y)也是赋范空间，并将其称为赋范空间X的子空间，简称为X的赋范子空间。2．按定义3.7的方式，赋范空间的任何线性子空间都自然地成为其赋范子空间，因此，要验证赋范空间X的某个集合M是X的赋范子空间，只需验证M是非空的,且对X的线性运算是封闭的。(2,?1)是(3,?1)的一个子空间；n[a,b],P例如，
一．序列的收敛性{或中的序列（即数列）xk}收敛于数a（记为limxk=a）的充要条件是limxk?a=0;k→∞k→∞用“ε?N语言”可叙述为：ε0,?N∈,s.t.kN?时，恒有xk?aε.只要将绝对值改为一般的范数，就得到赋范空间中序列收敛的定义。
３．收敛序列的性质若{xk}在X中收敛，则(1){xk}是(X,?)中的有界序列（即{xk}是有界数列），反之不真；(2){xk}的极限是惟一的。（证明见学习指导书之习题解答。）４．范数的等价性在序列收敛性方面的体现定理３.３设
值得注意的是：在一般赋范空间中，绝对收敛的级数不一定是收敛的。
只有当赋范空间是完备（见第20讲）的时候，每个绝对收敛的级数才是收敛的。
一．映射的连续性在高等数学中，函数f(x)在点x0连续是指：用“ε?δ语言”可叙述为：
续，则称T是连续映射。显然，赋范空间X上的恒等映射IX,赋范空间X到赋范空间Y的常值映射f:x
由收敛序列的定义可知，若limxn=x0,则只要n→∞{项数充分大，xn}的任意两项（比如第m项与第n项）之间的距离就可以任意小；可描述为xm?xn→0(m,n→∞).具有这种特征的序列称为柯西序列，也就是说收序列必定是柯西序列。那么柯西序列是否就是收序列呢？
当{xn}是实数列或复数列时，回答是肯定的；这说明或包含了它的所有序列的极限点。而当{xn}是有理数列时,回答是否定的（例如，（1,1.4,1.41,1.414,）显然是柯西序列，但它在中不收敛）；这表明没有包含其所有序列的极限点。这是(或)与的重要的区别之一，据此（柯西序列是否收敛）,人们通常说(或)是完备的，而是不完备的。我们也是用“柯西序列是否收敛”来定义一般赋范空间的完备性。
2.范数的等价性在柯西序列上的体现由定义3.12，{xn}是否是柯西序列，与所用的范数有关；不过，对于等价范数而言，则是没有区别的。
二．巴拿赫空间1.定义3.13如果赋范空间X中的任意一个柯西序列都收敛，则称X是完备的，完备的赋范空间又叫做巴拿赫（Banach）空间。由前面的分析可知，(,
证（1）可以证明：任何实数列必有单调的子数列。（证明过程比较复杂，此处从略，参见教材P85）(2)证明：中任一柯西序列{xn}都是收敛的。设{xnk}是{xn}的单调子数列，因为柯西数列是有界的，于是{xn}是单调有界的实数列，故收敛，从而柯西数列{xn}也是收敛的。所以是完备的。
2．范数的等价性在空间的完备性方面的体现定理3.7范数,则(X,设?与?是线性空间X上的等价?α)完备,当且仅当(X,?)完备。β
1.有限维空间的完备性定理3.8有限维赋范空间都是完备的；任何赋范空间的有限维子空间都是巴那赫空间。（证明从略）2.子空间的完备性巴那赫空间的子空间不一定是巴那赫空间。例如(C[a,b],?∞)是巴那赫空间，但其子空间
是固定的常数)是有界线性算子。为简单起见,今后对于不同线性空间上的范数,在记号上不加区别。2.线性算子“有界”的含义线性算子的“有界性”,与高等数学中函数f(x)的“有界性”含义(?x∈X，f(x)≤c,即值域,{f(x)x∈X}是有界实数集）不同，它是指:
例如，当k≠0时，f:xkxx∈）,作为函（数是无界的，但作为线性算子却是有界的。此处的“有界”是指：T将有界集映成有界集。定理4.1线性算子T:(X,?)→(Y,?)是有界的,当且仅当X中的任何有界集A在T下的像T(A)是
由上面充分性的证明，可将定理的结果改进为下面的推论：
3．定理4.2定义在有限维赋范空间上的线性算子都是有界的,即:线性算子T:(X,?)→(Y,?)当X是有限维空间时，必定是有界的。(证明从略)
因为可看作映射T在点x∈X处的“伸缩率”，而其上确界?与x无关，故?就表示映射本身的“伸缩率”,通常称?为T的范数。
单位球面S(0;1)上能达到最大值；(2)由向量的不同范数导出的方阵的算子范数也不同,但单位矩阵的任何一种算子范数都等于1(E
一.线性算子的有界性与连续性的关系1.定理4.4设T:(X,?)→(Y,?)是线性算子，则T是有界的，当且仅当T是连续的。即线性算的有界性与连续性是等价的。
注意到在充分性的证明中,实际上只用到了T在一点处的连续性,因此有下面的推论。推论若线性算子T:(X,?)→(Y,?)在X的某点x0处连续，则T就是连续的(或有界的)。
在许多领域中,需要估计两个方阵乘积AB的“大小”AB、方阵与向量的乘积的“大小”Axα.由第21讲可知，方阵算子范数的两个性质：①次乘性，②与某个向量范数的相容性能满足这两个要求。稍后我们将证明由性质①可以推出性质②。因此，我们把“次乘性”作为对“方阵范数”的基本要求。值得注意的是,不是方阵的所有范数都能满足次乘性(如A（m）=1maxnaij就不满足,见例4.8),但也≤i,j≤不是只有方阵的算子范数才满足次乘性(详见例4.9),因此要重新定义方阵范数。
2．定义4.3设?是线性空间n×n上的一种范n数,若?满足次乘性,即?A,B∈n×,有AB≤AB,则称?是n×n上的一种方阵范数或矩阵范数,A称为A的方阵范数。3.由定义可知，?是上的方阵范数,意味着?满足（N1）、（N2）、（N3）和次乘性。4．方阵A的算子范数,必定是范数；A∞,A1都A是的方阵范数。5.方阵A的F-范数例4.9A=[aij]∈
是A的一种方阵范数，且与向量的2-范数是相容的，但它不是A的算子范数。证（1）容易验证满足(N1)、(N2)、(N3),此处只验证F-范数也满足次乘性：
6.方阵范数与向量范数的相容性定理4.8对于上的任一种方阵范数?,n必存在上的一种向量范数?β,使得?与?β相容；反之亦然。证(1)利用方阵范数任取Tn,有xβ∈?x∈
关于方阵A的“大小”，除了用范数来度量外，还可以用它的特征值的模来度量，这就是下面要介绍的谱半径。1.定义4.4设A∈
3.方阵的谱半径与方阵范数之间的关系尽管方阵谱半径的定义与方阵范数的定义不同,但它们都是度量方阵“大小”的,因此应该有内在联系,事实上,谱半径可以由方阵范数表示。定理4.9
三.方阵的三种算子范数1．由向量的∞-范数、1-范数、2-范数导出的方阵的算子范数
分别称为A的∞-范数、1-范数、2-范数。它们是A的最常用的范数，但按此定义却很难求出一般方阵A的∞-范数、1-范数、2-范数。下面的结论提供了求A的∞-范数、1-范数、2-范数的较好方法。
4.一般说来,验证A的某种范数满足“次乘性”、“与向量的某种范数的相容性”是比较困难的，但如果能证明它是由向量的某种范数导出的算子范数，则自然满足这两个性质。例题4.11,4.12,4.13就是这样去证明A的行范数、列范数、谱范数满足：?A,B∈n×n,?x∈n，有
前面介绍的多项式矩阵A(λ)是特殊的函数矩阵，当然数字矩阵也可看作函数矩阵。函数矩阵的加法、数乘、乘法、转置、方阵的可逆性定义、逆矩阵等,都与数字矩阵相同。2．定义5.1设A(t)=?aij(t)?m×n（t∈）,若?i=1,2,
由定义可知,任何数字矩阵的导数均为零矩阵。3．单元函数矩阵求导运算的性质假设下面所涉及的运算都能进行，则如下性质成立：(1)线性性
应当注意，性质中出现的两个不同矩阵相乘，一般是不能交换次序的！例如,当A(t)是可导的方阵时，
2．单元函数矩阵的积分运算的性质假设下面所涉及的运算都能进行，则由定义5.2及积分的相应性质可直接验证如下性质成立（以不定积分为例列出）：(1)∫A(t)dt=
3．单元向量值函数的微分与积分作为单元函数矩阵的特殊情况，单元向量值函数
2．方阵序列收敛的充要条件由于每个n阶方阵Ak和A都是由n2个元素按次序排列而成的，故与n中“序列收敛等价于按坐标收敛”（即序列的收敛性可以用其各个坐标构成的数列的收敛性表示）类似,n×n中“序列收敛等2价于按元素收敛”（即序列的收敛性可以用其n个位置的元素构成的数列收敛性表示）。定理5.1设Ak=[a]∈
二．方阵级数收敛的充要条件及性质1．方阵级数收敛概念方阵级数,即
3．收敛、绝对收敛的方阵级数的性质（1）绝对收敛级数必收敛，反之不真；（2）若∑A收敛（绝对收敛）,则?P,Q∈
证（1）因为n×n完备，故绝对收敛级数必收敛。反之不真，例如，设
注意：方阵幂级数的和函数f(X)，是一个依f赖于n阶方阵X的n阶方阵,也就是说，(X)是方f阵的方阵值函数，简称为方阵函数。(A)是和函数
二．方阵函数1．我们主要讨论由方阵幂级数确定的方阵函数——方阵幂级数的和函数，即
3．常见方阵函数的性质下面罗列常见方阵函数的性质,略去证明。性质1（欧拉公式）(记i=?1)
例5.8（阅读教材P123-124）1P及P?,9.由于这种方法必须求相似变换矩阵故计算量一般都很大（见例5.6，5.8）。稍后我?1们将介绍避免求P及P的计算方法，会使计算量减小。然而,当A本身就是约当标准形(或约当标准形的转置)时,无需求P及P?1,于是差不多可以直接写出结果,如例5.7.下面再举一例。
以利用A的最小多项式,将其表示为A的次数不超过m?1次的多项式呢？回答是肯定的。下面先介绍有关概念，再给出相关结论。
一．内积空间概念1．几何向量的点积对于几何向量a,b（即二维或三维向量）,其点积（数量积，内积）的定义是a?b=abcosa,b；
可以用点积表示向量的模、二向量的夹角(特别是二向量垂直的充要条件)：
在一般向量空间（即线性空间）中讨论向量的垂直（也称为正交）是非常有意义的，例如连续函数空间C[a,b]中两个函数f,g的正交性。对于f和g无法像几何向量那样规定他们的正交性，但几何向量正交的充要条件(即a⊥b?a?b=0)启发我们:可借助内积来定义正交！2．内积与内积空间概念线性空间中二个元素的内积如何定义呢？可如前面定义范数一样，采用公理化方法——将几何向量内积的三个基本性质作为公理，定义线性空间中二个元素的内积。当然，为了对复线性空间的情况也适用，必须对基本性质做某些扩展。
实内积空间中二元素的内积是实数，共轭对称性成为对称性,即x,y=y,x；当K=时，(X,?,?)称为复内积空间，在复内积空间中二元素的内积是可能为复数。今后，若不特别指明，都是就复内积空间进行讨论。
所以，C[a,b]按此内积成为实内积空间。二．内积的性质内积除了满足内积公理外，还具有以下性质：（1）若x=0或y=0，则x,y=0，即零元素与任何元素的内积均为零；（2）?x,y,z∈X及?λ,?∈K,有
上的内积（见学习指导书）,由内积导出的范数就是n×n上的F-范数，即12?nn2?AF=A,A=?∑∑aij?.?i=1j=1?3.注意今后,凡说到内积空间中的范数，均指由内积导出的范数！在内积空间中,集合的有界性、序列的收敛性、映射的连续性、线性算子的有界性、完备性等，都是用由内积导出的范数来定义的！
此定理表明：平行四边形公式是判定一种范数能否由内积导出的必要条件，亦即赋范空间能否成为内积空间的必要条件。n例6.8上的∞-范数?∞不能由内积导出，(n,?∞)不能成为内积空间。即
5.内积空间与赋范空间的关系(1)任何内积空间按由内积导出的范数都是一个赋范空间；（定理6.2）（2）不是每一个赋范空间都能成为内积空间；（例6.8）（3）平行四边形公式也是判定一种范数能否由内积导出的充分条件。（证明从略）总之，内积空间是一类特殊的赋范空间，因此它具有更好的性质。
6．希尔伯特(Hilbert)空间定义6.3若内积空间按照由内积导出的范数是完备的，则称此内积空间是完备的。完备的内积空间通常称为希尔伯特空间。有限维内积空间都是完备的，内积空间l2是完备的，而内积空间C[a,b（内积定义见例6.3）]是不完备的。二．内积空间的子空间1.定义6.4设W是内积空间(X,?,?)的线性子空间，若?x,y∈W,定义x,yW=x,y,
2．按定义6.4，内积空间X的任何线性子空间W都能成为X的内积子空间。于是，要证明内积空间X的某个集合Y是X的内积子空间,只需验证Y非空且对X的线性运算是封闭的即可。3．内积子空间的完备性同赋范子空间的完备性一样，希尔伯特空间的子空间不一定是希尔伯特空间，但任何内积空间的有限维子空间必定是希尔伯特空间。
二．正交系、标准正交系及其性质1.定义6.7合，且0?M.（1）若?x,y∈M,有x⊥y，即M中的元素两两正交，则称M是X的一个正交系；设M是(X,?,?)中的非空集
3.正交化问题尽管内积空间的一个线性无关集不一定是正交的，但是，可以利用施密特正交化方法使之成为一个正交系和标准正交系。对于有限维内积空间X,可任取其一个线性无关集,将其扩充为X的一个基,再用施密特正交化方法将其化为X的一个正交基或标准正交基。
又不是埃尔米特矩阵，也不是反埃尔米特矩阵。2．酉算子在
的线性算子称为酉算子。类似地,由埃尔米特矩阵确定的线性算子称为埃尔米特算子或自伴算子。一般地，由正规矩阵确定的线性算子称为正规算子。
