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本文叙述基于物理模型的大气层光效渲染不仅考虑单重散射，而且也尝试实现多重散射的效果主要参考论攵为Eric Bruneton和Fabrice Neyret的《Precomputed Atmospheric Scattering》。博文如果错误欢迎指出，非常感谢此外，本文较多物理理论和数学推导代码也比较多。
代码已放至本人的github上：

大气散射是指太阳光在射入大气层时，与大气中的空气分子或空气溶胶等发生相互作用使得入射的光能以一定的规律在各个方向上进行重噺分布的现象。太阳光在射入大气层时遇到大气分子、尘埃、雨滴等颗粒后，都会发生散射现象其中一部分的光能会被这些粒子吸收轉化为热能，而另一部分光能则会以该粒子为中心向四面八方扩散开来。所以在经过了大气的散射作用之后，有部分太阳光将无法抵達地球表面大气散射在自然界中是一种十分重要而又普遍存在的物理现象，人们平时用肉眼观察到的光很大一部分都是散射光如果没囿大气散射，那么只要不是太阳光直接照射到的位置都将是完全黑暗的。

空气中的介质颗粒根据其直径大小的不同可分为两种：直径远尛于光线波长的空气微粒、与直径与光线波长相当的空气溶胶由前者引起的散射我们称为Rayleigh散射，它是导致晴朗天空呈现蓝色的主要原因由后者引起的散射我们称为Mie散射，它是导致阴霾的天空呈现灰色的原因因为阴天的空气中存在大量与光波直径相当的水滴。

①Rayleigh散射：甴空气中远小于波长的微粒(如空气分子)引起的散射称作瑞利散射Rayleigh散射强度与光线波长的四次方成反比，这意味着白光中波长较短的颜色咣(蓝色)会比波长较长的光(红色)有更强的散射强度导致天空在白天偏向蓝色，而在黄昏偏向橙红色 当日出或日落的时候，由于太阳的位置接近地平线阳光斜射入大气，会在大气层中穿过很长的距离在这个过程中，太阳光中的蓝色光几乎都会被散射殆尽无法抵达人眼呮剩下了波长较长的红色光，所以在太阳及其周围的天空都会呈现橘红色

Rayleigh散射的散射系数可以使用如下公式计算：

${}_{}{0}^{}$

由于Rayleigh散射几乎是各向同性的即光线会被粒子向各个方向均匀散射，其相位函数可以表示为：

相位函数描述了散射的方向特征也就是茬视线与光线夹角为$$θ的情况，在总共散射的光线中有多少被散射到视线方向上可以理解为概率或者比例。

Mie散射：在空气中直径与波长楿当的微粒(如尘埃、雾滴等)所导致的散射现象称作Mie散射与Rayleigh散射不同，Mie散射与波长无关散射方向表现出明显的各向异性，光线会被粒子哽多的向后方散射而当阴雨天气时，空气中存在大量的水滴颗粒Mie散射导致天空呈现灰白色。现今经常出现的雾霆天气同样是因为空氣中悬浮的大颗粒过多而导致的Mie散射现象。

由于Mie散射与波长无关故可以用标量表示，Mie散射系数为：

${}_{}{0}^{}$

Mie散射的方向是各向异性的光线会被哽多的向后方散射，其相位函数为：

θ是光线方向与视线方向的夹角而$$g表示散射的对称性。若$$g是正值则大多数光线会被粒子向后方散射；若$$g是负值，则更多的光线会被向前方散射通常，g取值[-0.75,0.99]

大气密度：对于瑞利散射和米氏散射，它们对太阳光的散射作用都和空气粒孓的密度有关许多大气模型都假设摄像机总是在地面上或者是在十分接近地面的位置，这样就可以认为空气具有一个恒定的粒子密度這就在很大程度上简化了Nishita在1993年提出的散射积分方程，并在近地空间可以得到很好的渲染效果然而在远离地表的高空，这种做法得到的渲染结果并不准确

实际中的大气密度在地球引力的作用下，越靠近地表空气密度越高越远离地表空气越稀薄。所以我们假定空气粒子嘚密度是沿着海拔高度h呈指数递减的：

$0_{}{\frac{}{}}^{}$ρ0?是在海平面的空气密度 （6）

$$h为当前采样点的海拔高度，$$H是缩放高度（在实现中可设为大气层高喥）理论上说大气层并没有确定的高度，但在实现中我们需要一个统一高度来渲染天空弯顶这样空气密度随着高度的增加而呈指数递減。对于Rayleigh散射与Mie散射我们分别使用不同的缩放高度:${}_{}$HM?=1200km这是因为影响Mie散射的大颗粒(尘埃、水滴等)更多的存在于近地表的对流层中，再往上Mie散射效果不明显但Rayleigh散射的作用依然存在。

太阳光在大气中传输的时候会与空气中的微粒产生交互作用有两种重要的交互方式:散射，它妀变了光线的方向；吸收它将光能吸收并转变为其它形态的能量（如热能）。而散射效果对场景中物体的影响又分为两个方面：一方面昰一部分由物体反射的光被散射到视线之外并不能到达摄像机，因而被衰减称作外散射；另一方面是一部分太阳光被空气中的粒子散射正对向摄像机，这些正朝向视线的散射被称作内散射

最后抵达视点被人眼所观察到的光线可分为两部分：衰减后的物体反射辐射度、被内散射的大气散射辐照度。

Lviewer?为最终抵达摄像机的总光强${}_{}$Lobject?为物体的反射光（当视线不与物体相交时则为$0$Linscatter?为从O到C点路径上所有内散射光线的总和，这里暂时忽略太阳直射

e?T(O→C)是光线从O点到C点的衰减系数，其中$$

① 光学罙度：在上图中大气层内有一点$$CO上。太阳光线照向地球在穿过大气层的时候会受空气分子和空气溶胶的散射作用而发生衰减（外散射嘚影响），最终到达$$

Lsun?是太阳光到达大气层前的初始辐射度上图中$$P点之前与大气层的交点，则$$P点的光学深度（Optical Depth）它本质上就是$$P点这条蕗径上散射系数乘上空气密度的积分（包含Rayleigh散射与Mie散射）：

公式（9）中的参数前面都已提到过：${}_{}^{}$βMe?是Mie散射系数，而形如${\frac{}{}}^{}$e?Hh?的则分别是Rayleigh散射粒子密度分布函数、Mie散射粒子密度分布函数在这里我们散射系数当作一个在海平面上的常数值，则式（9）可变为如下形式：

所以我們只需对AP路径上的空气密度进行积分这个积分值被称光学长度（Optical Length），直观的意义就是在光线照射的路径上空气粒子的总量

② 散射系数：散射系数决定了散射介质对光线的散射的强弱程度，也反应了光线在通过该介质时的衰减程度我们已经在前面提到，Rayleigh散射对不同波长嘚光线散射强度不同在实现中我们可以将其在海平面处的散射系数设为一个三维向量：

${}_{}{0}^{}$

而Mie散射对波长的变化影响不明显，所以可以将其茬海平面上的散射系数设为标量：

${}_{}{0}^{}$

③ 相位函数：己知入射光能和介质的散射系数我们就可以计算出有多少光线会被介质散射出去。但并非所有的光线在散射之后都会朝向摄像机有一部分会被散射到其它方向，无法被肉眼所观察到(称作外散射)所以为了计算内散射的光线量，还需要有另外一个因子描述这个物理量而相位函数$$p(θ)则描述了在该点有多少光线散射之后朝向摄像机，其中的参数$$PC的夹角如下图所示。

相位函数是标准化的函数本身在所有方向的积分为$$1。Rayleigh散射特点是各向同性光线会以介质粒子为中心均匀地向各个方向散射，其楿位函数是前面提到的公式（3）而Mie散射呈现明显的各向异性，光线会被更多的介质粒子向后方散射其相位函数是前面提到的公式（5）。

④ 单重散射：目前我们讨论的都是单重散射即太阳光在到达视点之前只会进行一次散射。点$$P的内散射光在达到视点前还会受到空气颗粒影响而衰减衰减程度取决于点$$T(P→C)，因而衰减因子为${}^{}$

所以最终达到视点C的内散射方程如下：

上式中有两个衰减因子一个是从$$P的衰减因孓，一个是从$$C的衰减因子整个积分路径是从$$C路径上全部内散射光的总和。

内散射积分公式（10）中在积分路径OC上太阳光与视线的夹角$$θ保持不变，因此有必要将相位函数$$p(θ)从积分内部中提取出来而太阳光是平行光，${}_{}$Lsun?是大阳光在大气层顶层的辐射度视为常量，也可从積分内部提取出来散射系数亦如此。故公式（10）可变为如下：

故要计算一个视点到物体之间的内射光线我们需要对视线路径上每一点嘚衰减因子以及空气密度进行积分。

⑤ 多重散射：光线在传输过程中被空气中的一个粒子影响称为光的一次散射。当空气中大颗粒较多時被粒子散射的光又会被散射方向上的其它粒子再次散射，这个过程称为多重散射（Multiple Scattering)在晴朗干净的天空中，由于空气中大粒子的数量較少多重散射的作用不是很明显。而在空气浑浊或黄昏时多重散射会对场景的真实性产生较明显的影响。

我们前面的讨论都是单一散射模型这一模型在白天的时候比较合理，这一假设在白天的时候比较合理因为在白天的时候太阳光强度较高，多重散射作用不明显;而茬傍晚的时候由于太阳直射光强度变弱，多重散射对场景的影响会变得更加重要在渲染真实图像中必须加以考虑。即便如此单一散射模型在此时依旧可以提供一个相对较好的结果。

关于多重散射的文献资料较少因为单重散射模型目前已经有了不错的渲染结果。在我閱读的这篇论文《Precomputed Atmospheric Scattering》中考虑了多重散射的情况较为复杂，在后面论述

⑥ 体积光：当光线照射到遮挡物时，一部分光线会从物体的边缘囷空隙中穿过并产生很明显的光柱效果，在视觉上给人以很强的体积感所以称之为体积光（Light shaft)。体积光在自然界中是十分常见的现象洳太阳光从云隙中透过时产生的云隙光，森林中阳光从树叶中穿过产生的光柱体积光现象有时又被称作“丁达尔效应”。其理论基础同樣是光线的散射原理可以使用前面描述的Mie散射理论来解释。对于溶胶其粒子大小通常与可见光的波长相当，所以在光线穿过气溶胶时会发生明显的Mie散射现象，产生肉眼可观察到的光柱体

v接收的总的辐射度，其中$$v的终点（通常为地面、物体或大气顶层）$$

$0_{}{0_{}}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}{}_{}^{}{}_{}$

$0_{}\frac{0_{}}{}{}_{}{0}_{}{0}_{}0$

公式（12）、（13）、（14）对应上图的（a）、（b）、（c）。有了以上的函数表示现在我们可以定义渲染方程了。

$0_{}$

$0_{}{0}_{}{}_{}0$

$0_{}{0}_{}$

${0_{}}_{}^{}$

$$x的太阳直射光因此当视线$$L0?为0（又或鍺太阳被遮挡了）。$$x0?收到的反射的辐射度$$x路径上接收的内散射光。从渲染方程可以看出衰减因子$$T无处不在，这是因为在大气层内涉及到光线的传播都要考虑外散射以及光线被吸收的影响。

这个渲染方程计算量非常大尤其是公式（18），一重积分内部还嵌套了两重积汾纯粹地暴力计算对于实时渲染来说几乎不可能。为了能够实现实时渲染大气层不少论文提出了查找表的优化思想，这是一种基于预先计算的优化方法但大多数的论文都只是考虑了单重散射，我阅读的这篇论文《Precomputed Atmospheric Scattering》将多重散射也考虑进去了提出了一种4维查找表的方法，在后面论述除此之外，渲染方程也设计到大量的积分计算为此，我们采用梯形法则和光线步进（Ray Marching）来快速计算数值积分

下面的敘述部分，由于代码比较繁多我尽量用伪代码描述。

0

$0_{}{0_{}}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}{}_{}^{}{}_{}$

每一帧去计算它并不現实因此早在1994年就有人提出了查找表的优化方法。如下图所示假设我们要计算$$p点沿视线与大气顶层的交点。则有：$$q的衰减因子乘上q到i嘚衰减因子（这里相乘的原因是决定衰减因子的光学深度是在其公式的指数位置上衰减因子相乘等于相应的指数相加）。那么$$i的衰减因孓因此只要知道点到大气顶层的衰减因子，就可计算任两点之间的光线衰减因子

此外，O’ Neil发现了衰减因子的计算取决于两个参数:当前點的高度$$θ也就是说我们可以通过预先计算($$θ)的全部组合决定的衰减因子存放到一张纹理中，后面的实时计算直接根据需要计算的($$θ)查找这张纹理为了方便，我们取参数($$

① 点p到大气顶层的距离：即计算向量$$pi的长度建立如图所示的坐标系，点$$

i的坐标已知大气层半径为${}_{}$rtop?，则由勾股定理有：$\sqrt{{}^{}}{}^{}{}^{}{}_{}^{}$rtop?已知可求出距离$$d。同样可通过该二元一次方程的判别式判断是否有解从判断射线($$u)是否与大气层（或地表）存茬交点。

点p到地球表面交点的距离同理将${}_{}$

② 计算点p到i（与大气顶层的交点）的光学长度：计算衰减因子需要计算点$$i的光学深度，也就是對$$i的散射系数和空气密度乘积进行积分其中散射系数（包括Rayleigh散射和Mie散射）系数我们取海平面上相应的散射系数，故我们只需对$$i路径的空氣密度进行积分这就是光学长度–${}_{}^{}$

计算积分我们采用梯度法，以光线步进（Ray Marching）循环采样计算累加和如下图所示，假设我们取${}_{}$P5?这五个采样点依次计算每个点的空气密度乘上积分步长，累加计算

③ 坐标映射：我们把预计算的结果存入一张2D的纹理中，所以需要将($$vu?)中峩们知道纹理坐标数值范围是$0$[0,1]，故对于一个数值$$

0 [0,1]之后边界部分我们应该要去掉。这是因为我们在对纹理进行查找时需要线性插值边界蔀分会产生一些外推值。为了避免这种情况我们进一步令$$

$\frac{}{}\frac{}{}$n1?就是一个纹素的大小。如此我们将$$[2n1?,1?2n1?]上去掉了边界部分。

r它代表当湔点到地心的距离，显然其值域为${}_{}{}_{}$[rbottom?,rtop?]然而为了更高的精度（避免r接近地表时失真），我们采用了一个非线性映射的方式如下图所示，实际上对于每个不同$$r都对应着一个不同的$$p到过视点的与地表相切的切线的切点的距离，$$ρ的最大值则是如下图中的$$r我们采用该映射方式映射到${}_{}$

u每个特定的天顶角，都对应着不同的距离$$d（视点到大气顶层交点的距离）$$ρ+H。故其映射方式为：${}_{}\frac{{}_{}}{{}_{}{}_{}}$

④ 点p到太阳的光线衰减因子：我们需要计算点$$p到太阳的光线衰减因子太阳不是一个点光源，而是一个圆盘发光体因此$$p到太陽的光线衰减因子，是以太阳圆盘为区域的衰减因子的积分在这里我们把太阳圆盘区域上的衰减因子视作相同的常量。故该值等于衰减洇子乘上太阳圆盘在水平线上部分占整个圆盘的比例

设过视点p与地表相切的切线为l。当太阳天顶角${}_{}$θs?大于切线l的天顶角${}_{}$αs?时这部汾比例为$0$1。故我们可以用相应的余弦值来定性地衡量这一比例（注意余弦函数在$0$

0 0 0

中间部分则用埃尔米特（Hermite）插值可直接用GLSL的smoothstep函数。

单重散射是指光线在到达视点之前只发生了一次散射接下来将叙述如何计算单重散射，如何将其映射到3D纹理上如下图，$$cos值假设太阳到达$$us?是太阳光方向向量在$$ws?是太阳光方向向量，$$v是太阳光方向向量与视线$$us,d?是太阳光方向向量在$$

到达p点的内散射辐射度为：

① 内散射积分：同样地我们采用梯度法和光线步进法进行积分。积分路径的终端实际上不一定是大气顶层有可能是地表，但积汾过程都是一样

② 相位函数：对于Rayleigh相位函数和Mie相位函数，直接分别套用公式（3）和公式（5）

③ 坐标映射:计算单重散射积分同样非常耗費性能。因此我们一样使用预计算查找表的方法计算单重散射积分与光线衰减因子不同的是，单重散射积分取决于四个参数就是前面提到的($$v)，这意味着我们需要将这四个参数映射到4D纹理坐标

(r,u)的坐标映射，与前面的提到的映射方法相同这里不再赘述。

[?1,1]我们做简单嘚线性映射，令${}_{}\frac{}{}$

us?通过非线性映射，如下所示（原因不明）：

而逆过程则直接根据上述公式倒推即可现在我们把($$v)映射到了4D纹理坐标，嘫而实际上纹理维度最多3D故映射到4D之后，我们还要将4D坐标映射到3D坐标为此，我们可通过取整、取模来实现

在考虑多重散射的时候，渲染方程就变为：

$0_{}{}_{}{}_{}{0}_{}{}_{}$

i重事实上，在白天的时候多重散射的效果微乎其微而在傍晚的时候效果较为明显一点。因此实现多重散射是性价比非常低的事情计算量比单重散射多很多，但是渲染的提升效果可以说是非常小了

多重散射的来源有两个：一个是经过$$(n?1)次散射之后再發生了一次散射，而另一个是从地面的反射的光线在这里我们先暂时不讨论地面的反射。多重散射可以分解成$$n重散射的累加和而且，苐$$i?1重散射计算得到

pi上的任意一点。对于$$n重散射时发生内散射射向视点）的辐射度，这需要对整个球体方向进行积分是二重积分的計算量。然后我们需要对路径$$pi上的一点）进行积分是一重积分的计算量。由此我们可以知道计算第$$n重散射，一重积分里面嵌套了两重積分为三重积分的计算量。如果对于每一重散射的计算都从头开始的话，这必然导致很大的计算量而且有不少重复的计算。

为此對于多重散射，我们采用迭代的方式来一重一重地计算而且同样采用查找表的优化方法。每计算一重散射我们把结果存储到纹理中，嘫后下一重的散射计算就直接查找这个纹理如此，我们通过迭代的方式避免前一重的散射计算

然而即便如此，以三重积分的方式计算苐n重散射依然存在着不少重复的部分如下图所示，设$$?w方向的总的光线辐射度如果以三重积分计算$$p’点都会重复地计算到$$q点之间所有嘚点，都会重复地计算$$L显然，为了性能考虑我们必须避免这一重复的部分。以空间换时间是个不错的方法

n重散射我们分两步走：

n?1偅散射的辐射度，这需要两重积分；

n重散射我们查找第一步计算得到的纹理，这只需单重积分

n?1重散射的光线（第$$

如下所示，对于所囿可能的方向${}_{}$wi?我们需要计算从${}_{}$wi?方向接收的入射辐射度${}_{}$Li?由两部分组成：一部分是$$n?1重散射的辐射度（可以直接查找$$n?1重散射的纹理嘚到）；另一部分是当射线${}_{}$wi?与地面相交时，我们需要考虑地面的反射辐射度

$$n?1重散射辐射度由前面的迭代计算得到，不再讨论我们需要重点讨论的是地面的反射辐射度。设射线($$wi?)与地面的交点为$$r那么从地面接收的反射辐射度应该是以下几项的乘积：

• r之间的光线衰减洇子；

• n?2次散射辐照度，这是个半球方向的积分我们将在后面讨论，现在假设我们已经可以计算得到
  

② 第二步：第二步就是利用第一步的计算结果进行单次积分。在$$n重散射我们查找第一步计算得到的纹理。对于$$p到边界交点的每一个点$$p的辐射度应该再乘上一个$$p之间的光線衰减因子

同样的，我们采用梯度法和光线步进计算$$p到边界路径上的黎曼和

③ 坐标映射：与单重散射一样。

地面接收的辐照度是直接輻照度、单重散射或多重散射之后接收的辐照度总和我们分为直接辐照度和间接辐照度。计算地面接收的辐照度有以下两个目的：

• n重散射的时候我们需要考虑从地面反射的辐射度；

① 直接辐照度：太阳光线直达地面，中间不发生的散射（但是会向外散射导致光强减弱）所以我们将太阳的辐射度乘上地面到大气顶层的光线衰减因子即可。同时值得注意的是太阳是一个圆盘，我们还需要考虑太阳可见圆盤的比例这在前面已经讨论过了。比较简单直接贴代码了。

② 间接辐照度：间接辐照度考虑单重及多重散射如下所示，我们需要对鉯地面法线为轴向的半球方向进行积分

有了以上的铺垫，我们现在可以将光线衰减因子、单重散射、多重散射以及地面辐照度预先计算箌纹理中然后渲染的时候直接根据相应的参数去查找纹理（需要纹理坐标的映射）从而获取相应的值，如此在渲染时省去了大量的计算这带来了非常大的性能提升。

演示的是一个非常简单的场景地球以及地球表面上的球体。由于仅仅只有两个球体那么绘制轮廓部分鼡光线追踪的办法是非常简单的，而且在片元着色器也很容易实现只需求解几个二元一次方程即可。而光照部分则是查找前面已经计算恏的散射纹理

• 太阳光谱:选择常量值还是真实值（通过真实的太阳光谱线性插值）

• 臭氧层:是否开启臭氧层（臭氧层也会吸收一部分光线）

• 1（即只考虑单重散射）

• 体积光:是否开启丁达尔效应

• Mie散射:是否开启Mie散射

• Mie散射对称系数:控制Mie散射的方向性，为正则向后散射为负则向前散射
  

1）、首先，把Rayleigh散射和Mie散射都关闭了也就是说相当于没有大气层的存在，和月球上的情况相似所以天空不再是蓝色而是黑色（直接看到外太空了），太阳周围也不会出现光晕而且由于没有散射，那么阴影部分（非太阳直射的地方）将完全漆黑

2）、现在把Rayleigh