超好玩硬币游戏，你都会玩吗？ | 科学人 | 果壳网 科技有意思
超好玩硬币游戏，你都会玩吗？
怎么样赢硬币正反面的游戏？注定获胜的赌博
本文作者:方弦
出门在外，恰逢不巧，你和朋友被困住了，干点什么呢。来几局三国杀？是个不错的提议，但问题是你带牌了吗，没牌怎么打？死理性派想说的是，会玩的孩子怎么不能玩！凑几个硬币，随随便便就能玩一整天。不得不说，硬币是世界上最好的游戏机，哦，前提是你得懂点数学。
在所有二人游戏中，最古老最有魅力的就是这个尼姆游戏了（好吧，在所有二人数学游戏中）。据说它发源于中国，有时候孩子们用纸片玩，但通常人们出门可能很少带纸片，所以我们用硬币玩。
这个游戏最流行的版本是用 12 枚硬币摆成三行。
游戏规则很简单，游戏双方轮流取 1 枚或多枚硬币（只能在同一行），谁拿到最后一枚就算赢。留心的朋友玩几把就可以琢磨出，只要在自己的某一个回合里留下两行多于 1 枚且数量相同的硬币，就能确保获胜。一个优势策略是，先手的人一开始就拿掉最上面一行 2 枚硬币，这样的话，离胜利就不远了。
有趣的是，有人发现，当扩展到任意多行，每行有任意枚硬币时，利用二进制，可以把这个游戏玩得风生水起。哈佛大学的数学教授布顿在 1901 年首次发表了论文详述了这个问题，也正是他，正式将这个游戏命名为尼姆游戏。
把玩家每一步操作之后的游戏局面叫做“棋局”。在布顿的论文中，如果玩家每一步操作后的棋局能保证自己获胜，那就是“安全的”，否则就是“不安全的”。每个不安全棋局都可以一步正确的操作变成安全的，而如果没有正确地操作，一个安全的棋局就会变成不安全的。
如何判定一个棋局是安全的还是不安全的呢？这就用到了前面提到的二进制。将每一行的硬币数都用二进制表示，按矩阵元素的排列方式对齐，这时候如果每一列的数（ 0 或 1 ）相加都为偶数（包括 0 ），那么这个棋局就是安全的，只要有一列元素相加不为偶数，那这个棋局就是不安全的。
回到我们上面说的那个流行版本上，可以看到在初始状态，它的二进制表示如下图
可以看到，第 2 列之和为奇数，所以这个本版的初始状态是不安全的。拿掉最上面一行的 2 枚硬币，第 1 行就变成了 1 ，从而留下了一个安全棋局。通过用其他方法试验，可以看到，拿掉第 1 行的 2 枚硬币是留下安全棋局的唯一操作。
把棋局转化成上面这个二进制表格，根据表格决定怎么操作就不会出错了。但是在玩的时候，恐怕对手没那么宽容，让你不断画表格，在脑子中计算，一不小心就出错。那么记住下面这条就很有用了：在两行里留下同样多的硬币，总能赢。在此之后，让每行硬币数量保持相等就可以了。
尼姆游戏深受数学家喜爱并被广泛研究，它因此产生了很多变体。1910 年美国数学家穆尔就提出了一个，它规则与尼姆游戏相同，只不过玩家可以从不超过指定数 k 的任意多行里拿掉硬币。有趣的是，它同样可以通过二进制来分析，只要把安全棋局定义为：二进制表里的每列之和都可以被 k + 1 整除就可以了。
后选择一定赢的硬币游戏
对于粗心大意和无知的人来说，这个游戏就是一个十足的陷阱。让我们来看看这个它是怎么玩的。
抛三次硬币看最后哪一面朝上，结果无非只有这 8 种：
正正正 正正反 正反正 反正正 正反反 反正反 反反正 反反反
这个游戏的规则是，对手有优先选择权。首先对手在这 8 种组合中选一种作为他的组合，然后你选一组作为自己的组合。双方选定后，随便选一个人来连续抛硬币，直到他的或你的组合出现为止，谁的组合先出现谁就算赢。
这个游戏看上去没有什么问题，不管哪种组合，它们出现的概率都是一样的。但如果谁真这么想，那他可就输定了。事实上，先选的人一定会被针对。无论对手选择选择哪个组合，后选的人都可以选一个组合来针对他，使自己的获胜概率至少提高到 2／3 !
如果你不相信的话，就让我们选一个简单的例子来分析看看。假设对手选择的是“正正正”的组合，这时候我们只要选择“反正正”，胜率就可以瞬间到达 7／8。这是为什么呢？
如果前三次就抛出了“正正正”的结果，那对手就获胜了，这种情况发生的概率为 1／8 。但除此之外，只要最开始的三次对手没有获胜，那么我可以说，他已经没有获胜的机会了。因为前三次没有获胜，就说明在他获胜之前一定出现了反面，那第一次出现“正正正”的情况必然包含在如下的结果中：
……反正正正……
可以看到，当出现“反正正”的时候，他已经没有办法再玩下去了，因为那正是我们选择的组合，到这里我们已经获胜了。对于其他组合，这里不再专门讨论了，下面附出一张表格，给出了后选择的人采用正确策略的获胜概率，可以看到，后选择的人获胜的最低概率也是 2／3 。
你是否觉得这个结果有些出乎意料？需要说明的是，在涉及到概率时，我们的直觉很多时候都是错误的。如果你不相信，来看看死理性派的
是如何颠覆你对世界的认识的吧。
硬币正反不一样
通常我们所说的硬币，都是理想硬币。但由于设计的原因，硬币正反面的花纹并不一样，这就导致了它的实际重心不在正中心上。由于重心有偏向，所以掷硬币时，正反面出现的概率也会有所偏差，想要知道这个偏差具体有多大，难度颇大。幸好花纹导致的概率偏差非常非常小，可以忽略不计。
尽管如此，但万一就遇到了一个死较真的和你玩抛硬币，我们能不能找到一个方法，让真实的硬币达到理想硬币的效果呢？
答案是能。我们可以用下面这种玩法“化腐朽为神奇”：连续掷两次硬币，如果两次结果是相同的（都是正面朝上或都是反面朝上），那就重新再连续掷两次硬币，直到结果不同为止（一次反面朝上，一次正面朝上）。这时， [正,反] 的结果就可以对应掷理想硬币结果为正的情形， [反,正] 的结果就可以对应理想硬币为反的情形（反过来也可以）。
这是为什么呢？假设硬币掷出正面的概率是 p ，那掷出 [正,反] 的概率为 p( 1 - p ) ； [反，正] 的概率为 （1 - p）p。二者相等，所以采取这种方法，即便是一枚非理想硬币，游戏结果也会变成完全公平的。
《明知其输而博赢的概率分析》
《科学美国人 趣味数学集锦之二》
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全部评论(125)
机械电子工程、消费产品设计专业
真烦正。。。。表格里的
有机会玩玩看。
最流行的版本明明是第一行一个第二行两个第三行三个第四行四个。
智能科学专业
不好玩啊这些游戏。。。。。。
正在学概率论的飘过~~
我喜欢以前玩过的一个在纸上随机布点然后画三角形的游戏~
这玩法比死理性派的文章都难……
听没意思的…尤其是第一个，没法玩…
我还是乖乖上当受骗吧...
头脑简单的只有--闪...
硬币中的概率分析啊哈哈0 0
炮姐说：老娘一个硬币崩死你！
見過這個硬幣遊戲很多次，但是總是不是很清楚。。。感覺這里也沒說清啊= =|至少我是沒看懂。。。結論是不是先手的人可以必勝啊？
好奇妙啊。明天糊弄别人去。
第一个不理解。害怕矩阵...
对手选择 反正反 的时候 我们是不是应该选择 反反正 啊
电脑游戏什么的在死理性派面前都弱爆了。。。
小狡猾阿，挺好玩的！
给水排水专业
我还是比较喜欢用硬币变小魔术哄女生的男生…而不是玩什么该死的数学游戏…（我要被追打了么）
很不错，可以骗妹纸啦~~~
引用chiefoforc的回应：对手选择 反正反 的时候 我们是不是应该选择 反反正 啊是的。谢谢。已更正。
有意思，哈哈……
正反0.....
我经常用硬币的铸造年份来演示排序。。。我这样学会了快速排序和归并排序铸造年份不知道？硬币正面最下方（指新式硬币）的4位数字
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萧小如透明人似的，心中的那点波浪，只要稍懂她的人都会明白。大哥从小与她是一个鼻孔出气的，更不在话下了。虽然大哥有了一片自己的天空，活动活动，应酬成了最正常的日程，不可能再像小时候一起，下下跳棋，贫贫嘴了，甚至是堵堵气。大哥虽然有时也为长大烦着呢，盘根错节的事常让人想得不周全，倒是古人想得全，心胸开阔。可也会劝着之个小丫头长大，也知道这丫头不大长也挺可爱的，却更希望她能早一日成熟，好有一个幸福的生活。这两日客人多，也得走访，虽然忙得不可开交，却对萧小的心情清楚得很。
“丫头，过不了河，就架座桥吧，现在科技这么发达。建桥比皱眉头简单。”大哥看到萧小独自在房间玩着硬币，似乎有打不开的结，带着几分酒意调侃道。
“还好叫我丫头，要不然晋见一次比登天还难呀！”萧小习惯了与大哥的交流方式，碰上再烦心的事，一跟大哥聊天，便不用分东西南北，啥事都成了嘴之物，随意张口就来。
“哥，你说，我未来的白马王子现在在做什么呀？”
“我想他在喝酒，不会像你一样独自发呆。不然以后两个发呆的人喝西北风去呀。”大哥一脸沉静，似乎这话不是从他嘴里出来的。
“喝酒？我又没在，有什么好喝的！……我想他正和一大帮人野游呢！说不定在他老家拿着锄头下地呢？说不定，他正沉浸在一本小说里独自微笑呢……”萧小在那儿喃喃自语着。
“现在几点，好像天还没暗，怎么有人都睡着了！”大哥话中有话，萧小也不理，“哎，都怪我，那时爸爸要打你，我拦着，不然那时便把梦打醒，也至于梦都长成参天大树了。”
“哥，别喝一点酒就在我面前当长辈哦。俺爸都有自知之明，俺哥咋这么来劲呀，不会是见了不该见的面孔，长了威信；喝了梦幻酒，空见自己长个，不见别人长高呀……哦，对啦！未来的大嫂还没出现吧？别心急，俺帮你留下心。说不定现在正想着俺大哥呢！”萧小明知大哥的酒话很真，却也不当回事，反而如扳动手枪般地不停乱扣。
“丫头，舒服了吧？那俺也该走了。别闷坏了，到处走走。不然跟我去给人装电脑？”大哥看了一下手表，邀萧小一块儿去。萧小知道是给姑妈家小慧装电脑，便欣然应往。
小慧表姐，中等身材，一副眼镜长了她不少斯文。圆圆的小脸蛋，稍一运动，白里透红的。偶尔也长一两个小豆豆，常把她急得拿着小镜子挤个不停，羞于见人。当教师的父亲没有教孩子多读几个字，却让她养成抱书本的习惯。萧小总把她当宝钗，父亲在她读六年级时便病逝了，一个哥哥在异地成家，只有她跟姑妈一起生活。她读的书也跟宝钗一样杂，文静乖巧，为人处事特别有分寸。事事都会让着别人，特别博得长辈了欢心。萧小常常觉得跟她在一起，自己显得幼稚了，并不敢多来往。
“光子，快快快！进来！”姑妈早已候在门前，等着大哥了。又是请吃糖，又是让座。
“妖婆！快来，大表哥来了，小表妹也来了。”姑妈对着屋门喊道。萧小一愣，“妖婆”？只见小慧在进门前，嘟着小嘴半斜着眼低声说：“咋这样叫呀？”“怕什么，他们又不是外人。不是说不介意的吗？”姑妈大声地应道。小慧一进门，便笑着问候大哥，两眼一眯，红粉的脸蛋，咧着小嘴，洁白的牙儿特别齐整，很是亲切。萧小觉得小慧很动人，又觉得自己生硬了，便不觉得多注意她了。
“我妈，也真是的，叫她别让大表哥来，偏要，说是自己了外甥不怕叫不动，其实电脑也好好的，只是运行慢了点。”小慧一面嗔怪姑妈，一面泡茶。
大哥知道了姑妈的，便笑着解释道：“今天没来，明天就过来的。姑妈不会白疼的，光子记得。”
“光子呀，真的一点也生份呀，瞧你这身份，也说这样的话，真的让姑妈感动呀。”姑妈说得很是深情，好像受了委屈的孩子碰上了娘，一阵心酸，萧小倒担心她落些泪来。其实姑妈十六岁就出门，当时也算是一个名声很响的人，嫁给姑丈，一个文化人，很值得骄傲。回娘家的次数并不多了，彼此走得并不近。但姑妈很会做人，人情方面做得相当好。后来姑丈走了，她又好强，依旧不回娘家多走几趟，礼也和往年一样。
大哥三下五除二便把小慧了电脑给整好了，萧小不禁有些得意，心里更是对大哥说一不二的。大哥还细心地交待小慧在用电脑里，要注意什么，碰上问题要如何处理。直到姑妈叫喝点汤时，小慧才从点头称是，若有所思的样子，改说：“没事！我也可以从网上得到一些。你放心！”便带着萧小和大哥一起下楼。
姑妈备了温水洗手，递了毛巾。之后又拉开椅子不由大哥分说便让他坐定，萧小也在旁边坐下，小慧坐在正对面，姑妈解了围裙，下了袖套，急匆匆地在大哥的左侧边坐下。给大哥打了一个蛋，说了一些好运、步步高升的好话，还时不时说家里没有好东西招待，说只有香芋、小薯和一些蔬菜是自己一锄一锄种出来的，可以多尝一尝。
热气腾腾的火锅，慢慢地饮上一杯乡下自酿的米酒，加上大哥的几个生活故事，寓意挺深刻的，大家便自娱自乐自说自唱的，一点也不拘束。萧小透过热气，看到剪着齐耳短发，头上用黑色夹子夹起一绺头发，往左斜，微黄的脸上没有明显的皱纹，只有笑时眼角皱纹如两朵小花。萧小虽然对姑妈没有什么感情，此时才发现，她一直还守着这个家真不容易，不管其间的故事有多少，但萧小还是无法想像这日子是由几个黑夜和白天组成的。萧小不再抗拒姑妈那高亮的声音，反而写入了记忆。
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[龙的心]我想知道老大没读多少书，他是怎么会那么多国家语言的收藏
[龙的心]我想知道老大没读多少书，他是怎么会那么多国家语言的
大哥无敌！学什么想什么
电影中有些语言大哥都是即拍即学的啊，顶顶顶顶顶！ＬＺ回复十五字
不用再说他没读过书，这么多年他学的东西是相当可观的，而且多是实用的，他是个好学的人.而且听说过大哥似乎对语言很有天赋
没读书不代表学习能力差 再说大哥所见识到的更加适用。 课本那些东西只能应付考试
大哥本来就是天资过人，再加上后天努力，有什么可以难倒大哥的！
第一次去好莱坞失败 英语不好是原因之一 后来就很认真学了
大哥去好莱坞当然得学英语咯
你没听过大哥讲他在美国学英语的故事么，而且大哥去过那么多地方，在一个不同的环境就会自然而然去学习人家的东西，就像中国的方言，你去其他地方听人家说，也会不由自主的会跟人家学，环境是会改变人的，包括语言
可能吧！佩服啊！
大哥是神仙啊所以什麽都会，就连玩硬币都是好棒滴
他学到的很多东西，书本上永远学不来
这么多年拍电影知识的涉猎应该都很广的
不会的东西都喜欢去研究
我喜欢他聪明好学
你到他那个地步，很多东西不想学也得学。而且很多东西，环境潜移默化的影响着学着也很快
后天恶补啊
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　　最大的优点吃环境，基本吊打牧师、青玉德，至于王子贼王子术，经常能苟活，不顺的变异萨也能打，祈祷别碰到任务法。
　　能够体现血统，充满激情，看着自己残血，就是能苟活。经常看大表哥出场效果炫酷，不要放弃，哪怕起手三大哥，也可能后面每次一张跳费。
　　缺点么，没错，就是贵，八张橙卡，对新手很不友好，所以天梯也少，很多人不知道怎么应对。
　　卡组详情
代码 AAECAZICCMUEwgaoqwKfsAKhtwLguwLCzgKZ0wILQF/+AcQG5Ai+rgLLvAL5wALJxwKgzQKHzgIA
　　单牌理解
　　1.激活。虽然激活变成硬币了，但是还是很能提高前期跳费节奏，另外配合十费大哥加大地之鳞。
　　我刚开始觉得激活辣么弱为啥要带，用过才知道，真的是好用。
　　2.大地之鳞。苟活的资本，有大哥就用，牧师很多带646的，被爆就亏了 。
　　3.8张跳费不解释。我是经常10费打6费的，啥你说卡手?嗯是会有，总体没想象中辣么卡手。另外 没点欧洲血统玩啥炉石。
　　4.传播瘟疫。抗住王子系列的关键。
　　5.王下七五海。刚开始觉得辣么多大哥卡手死，实际用下来很好用。
　　大哥1：麦迪文，八费麦迪文，十费赖皮节奏飞起，我们欧洲人就是这么讲牌序。
　　大哥2：巫妖王，我看中的是嘲讽，呀杀鸡拉出来也不亏。被任务法吊打时祈祷出偷牌，另外我一次都么有偷到过牧师的58，嗨偷渡欧洲的。
　　大哥3：红龙，无论是救命还是削血还是有场面配合斩杀都超级好用。
　　大哥4：呀杀鸡，大哥拉大哥，完美。
　　大哥5：王酷恩，免费送的干嘛不用。不过感觉他和呀杀鸡有基情，每次被拉的都是他。
　　大哥6：黑龙，牧师七费拍上他，没沉默就爆炸，你解也不是不解也不是。
　　大哥7：大表哥，我的命都是表哥给的，不解释。
　　看门狗2：848，前期跳费，后期清场，专克王子系列。
　　五张大屁股龙，牧师真要解疯了。
　　打法思路
　　一句话，往死里跳费。
　　打快攻看情况用瘟疫和解场，别无脑跳。大部分情况瘟疫比单大哥嘲讽好，贼有刺杀花 。
　　打牧师，基本宇宙牧，大哥一个一个上，不要赌运气，高分段牧师哪个不是欧洲血统。
　　打青玉德，放心，只要你跳费别比他慢，吊打。
　　打任务法，说实话，除了祈祷大法师沉底，真的很难。
　　打变异萨，首先你要胡，其次他要卡手。
　　同门斗争，抱歉，我没遇到过第二个大哥德。
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