如图 求∠a∠b ∠c:∠b:∠c=1:2:4,ad,be,cf为角平分线求证ef=fd

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& （2015o房山区一模）小明遇到这样一个问题：如图1，在锐角
本题难度：0.45&&题型：填空题
（2015o房山区一模）小明遇到这样一个问题：如图1，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：∠AFE=∠ACB．小明是这样思考问题的：如图2，以BC为直径作半⊙O，则点F、E在⊙O上，∠BFE+∠BCE=180°，所以∠AFE=∠ACB．请回答：若∠ABC=40°，则∠AEF的度数是&&&&．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：∠BDF=∠CDE．
来源：2015年北京市房山区中考数学一模试卷 | 【考点】圆周角定理．
（2014秋o门头沟区期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB度数．小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．请回答：图1中∠APB的度数等于&&&&，图2中∠PP′C的度数等于&&&&．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（-，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC．当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式．
阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上一点，且ED⊥DF，求证：BE+CF＞EF．小明发现，延长FD到点H，使DH=FD，连结BH、EH，构造△BDH和△EFH，通过证明△BDH与△CDF全等、△EFH为等腰三角形，利用△BEH使问题得以解决（如图2）．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在矩形ABCD中，O为对角线AC中点，将矩形ABCD翻折，使点B恰好与点O重合，EF为折痕，猜想EF、AE、FC之间的数量关系？并证明你的猜想．
（2016o郑州一模）（1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．小明发现，过点D作DF∥AC，交AC于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系：&&&&；（2）【类比探究】如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．（3）【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件不变）时，请直接写出△ABC与△ADE的面积之比．
（2014秋o德惠市期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．小明发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．（1）请回答：∠ACE的度数为&&&&，AC的长为&&&&．（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求AC的长．
（2015o海淀区一模）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：BC+DE的值为&&&&．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知?ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“（2015o房山区一模）小明遇到这样一个问题：如图1，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：∠AFE=∠ACB．小明是这样思考问题的：如图2，以BC为直径作半⊙O，则点F、E在⊙O上，∠BFE+∠BCE=180°，所以∠AFE=∠ACB．请回答：若∠ABC=40°，则∠AEF的度数是．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在锐角△A”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）利用圆的内接四边形的对角互补可得∠ABC+∠CEF=180°又由邻补角的定义可得∠CEF+∠AEF=180°继而求得∠AEF=∠ABC=40°．（2）首先由在锐角△ABC中AD、BE、CF分别为△ABC的高证得点A、E、D、B在以AB为直径的半圆上点A、F、D、C在以AC为直径的半圆上则可得∠CDE=∠BAE∠BDF=∠BAC继而证得结论．
【解答】（1）解：∵∠ABC+∠CEF=180°∠CEF+∠AEF=180°∴∠AEF=∠ABC=40°．故答案为：40°．（2）证明：∵在锐角△ABC中AD、BE、CF分别为△ABC的高∴∠AEB=∠ADB=90°∴点A、E、D、B在以AB为直径的半圆上∴∠BAE+∠BDE=180°又∵∠CDE+∠BDE=180°∴∠CDE=∠BAE同理：点A、F、D、C在以AC为直径的半圆上．∴∠BDF=∠BAC∴∠BDF=∠CDE．
【考点】圆周角定理．
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知识点讲解
经过分析，习题“（2015o房山区一模）小明遇到这样一个问题：如图1，在锐角”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
圆周角定理I
1.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。
2.圆周角定理推论：
（1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
3.拓展：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
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如图所示,在三角形ABC中,∠A：∠B：∠C=1：2：4 求证：1/AB+1/AC=1/BC
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证法一：延长BC至E,使得AE=AC；延长AB至D,使得BD=AC；连接DE.∠A:∠B:∠C＝1:2:4,则∠A=180/7,∠B=360/7,∠C=720/7,∠EAC=180－2×(180/7＋360/7)=180/7,∴∠EAD=180/7＋180/7=360/7=∠ABC；∴BE=AE=AC=BD,∠D=(360/7)÷2=180/7=∠BAC.三角形ABC与ADE相似,AD:AB=AE:BC,即：（AB＋AC）/AB=AC/BC,1/AB＋1/AC=1/BC.证法二：要证1/AB＋1/AC=1/BC,等式两边同乘三角形面积的2倍可知,即证AB、AC边上的高之和等于BC边上的高,即图中的AF=CD＋BE.（CD、BE、AF为三条高线）∠A:∠B:∠C＝1:2:4,则∠A=180/7,∠B=360/7,∠C=720/7,作角B和角C的平分线,分别交AC、AB于H、G,则∠CHB=360/7∠CBA,∠CGB=180－2×360/7=540/7,∠ECB=∠FCA=180/7＋360/7=540/7,所以,三角形CDG、BEC、AFC相似.在AC上取一点P,使得CP=CB.过P作BC的平行线,交AF于N；过N作AC的平行线,交CF于M.则三角形NFM与BEC全等,NF=BE.连接PG,三角形CPG与CBG全等,所以,PG=BG=GC.于是可知,三角形APG和PGC均为等腰三角形,则AP=PG=CG.所以,三角形ANP全等于三角形 CDG,AN=CD.所以,AF=AN＋NF=CD＋BE.即：1/AB＋1/AC=1/BC.
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用三角函数很容易证明。平面几何也能证明作∠EAC=∠BAC，交BC的延长线于E（不需要D）1) ∠EAB=∠EBA=(2/7)*180° => EB=EA2) ∠AEC=∠ACB-∠EAC=(4/7)*180°-(1/7)×180°=(3/7)*180°，∠ACE=180°-∠ACB=(3/7)*180° => ∠AEC=∠ACE => AE=AC3) 由∠...
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