2013年中考数学四边形（矩形）试题汇编
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2013年中考数学四边形（矩形）试题汇编
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2013年中考数学四边形（矩形）试题汇编
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文 章来源莲山课件 w ww.5 y kj.Co m 32、（;咸宁）理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．&
考点：&相似形综合题．分析：&（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．解答：&解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°．∴∠ADE=∠BEC．（2分）∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC．∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．
（2）作图如下：&
（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE=∠BCD=30°，∴BE=CE=AB．在Rt△BCE中，tan∠BCE= =tan30°，∴ ，∴ ．点评：&本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念等，从而可得到结论．
33、（;眉山）在矩形ABCD中，DC=2 ，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．&
考点：&相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．分析：&（1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定；（2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC．解答：&解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，∴△DEC∽△FDC．
（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，∴FE：FC=1：3，∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC= ；设EF=x，则FC=3x，∵△DEC∽△FDC，∴ = ，即可得：6x2=12，解得：x= ，则CF=3 ，在Rt△CFD中，DF= = ，∴BC=2DF=2 ．点评：&本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例．
34、（;x疆）如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．&
考点：&平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．分析：&（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可；（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC是，四边形AECF是矩形，首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明．解答：&（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，AB∥CD．∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF．∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：由（1）可知△AOE≌△COF，∴OE=OF，∵AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF=AC，∴四边形AECF是矩形．&
点评：&本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及矩形的判定，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题
35、(2013年江西省)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 (x&0)的图象和矩形ABCD的第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为(2，6) ．&& （1）直接写出B、C、D三点的坐标；&& （2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．&【答案】（1）B（2，4），C（6，4），D（6，6）.（2）如图，矩形ABCD向下平移后得到矩形 ，&设平移距离为a，则A′（2，6－a），C′（6，4－a）∵点A′，点C′在y= 的图象上，∴2(6－a)=6(4－a)， 解得a=3，∴点A′（2，3），∴反比例函数的解析式为y= ．【考点解剖】& 本题以矩形为背景考查用待定系数法求反比例函数的解析式．【解题思路】& 先根据矩形的对边平行且相等的性质得到B、C、D三点的坐标，再从矩形的平移过程发现只有A、C两点能同时在双曲线上（这是种合情推理，不必证明），把A、C两点坐标代入y= 中，得到关于a、k的方程组从而求得k的值．【方法规律】 把线段的长转化为点的坐标，在求k的值的时候，由于k的值等于点的横坐标与纵坐标之积，所以直接可得方程2(6－a)=6(4－a)，求出a后再由坐标求k，实际上也可把A、C两点坐标代入y= 中，得到关于a、k的方程组从而直接求得k的值.【关键词】& 矩形&& 反比例函数&& 待定系数法
36、(2013年临沂)如图，矩形 中，∠ACB = ，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交，交点分别为E,F.(1)当PE⊥AB,PF⊥BC时，如图1，则 的值为　　　　　.(2)现将三角板绕点P逆时针旋转 （ ）角，如图2，求 的值；(3)在（2）的基础上继续旋转，当 ，且使AP:PC=1：2时，如图3， 的值是否变化？证明你的结论. 解析：（1）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& …………………………(2分)（2）过点P作PH⊥AB,PG⊥BC,垂足分别为H,G.…………………(3分)∵在矩形ABCD中, ，∴PH∥BC.又∵ ，∴ ∴ ,&&&&&&&&&&&&&&&& ………………(5分)由题意可知 ,∴Rt△PHE∽Rt△PGF.∴&&&&&&&&&&&&&& …………(7分)又∵点P在矩形ABCD对角线交点上，∴AP=PC.∴&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ………………(8分)&
（3）变化&&&&&&&&& ……………………………………………………(9分)证明：过点P作PH⊥AB,PG⊥BC,垂足分别为H,G.根据（2），同理可证&&&&&&&&&&&&&&&& ………(10分)&&&& 又∵& ∴&&&&& ………………………(11分) 文 章来源莲山课件 w ww.5 y kj.Co m
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在矩形ABCD中,DC=2√3,CF垂直于BD分别交BD,AD于点E,F,连接BF.（1）求证：▲DEC∽▲FDC（2）当F为AD的中点时,求sin角FBD的值及BC的长度
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很高兴为您解答 &分析 ：（1）根据题意可得∠DEC=∠FDC,利用两角法即可进行相似的判定；（2）根据F为AD的中点,可得FB=FC,根据AD∥BC,可得FE：EC=FD：BC=1：2,再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC,即可得出答案,设EF=x,则EC=2x,利用（1）的结论求出x,在Rt△CFD中求出FD,继而得出BC． &解答 &见图解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例． &是2013 眉山的数学中考题
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在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．
解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，∴△DEC∽△FDC．（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，∴FE：FC=1：3，∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=；设EF=x，则FC=3x，∵△DEC∽△FDC，∴=，即可得：6x2=12，解得：x=，则CF=3，在Rt△CFD中，DF==，∴BC=2DF=2．分析：（1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定；（2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例．
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请输入手机号在矩形ABCD中.CF⊥BD分别交BD.AD于点E.F.连接BF．(1)求证:△DEC∽△FDC,(2)若DE=23.F为AD的中点.求BD的长度． 题目和参考答案——精英家教网——
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