九连环玩法__二进制之初探1--数学一哥趣味数学
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九连环玩法__二进制之初探1
wwwckq 发表于
九连环玩法??& （二进制之初探）
九连环的操作序列是一种开链单步无歧路全部状态遍历循环。共有三类六种操作：隔环上下、一环上下和双环上下；基本操作循环序为：一环、隔环、… ； 简化操作循环序为：上双 下一、隔环、上一 下双、隔环、…& 九连环解套游戏的玩法实际是从循环两个完全互补的域之间开始操作：从一环或从二环（隔环操作）开始，分别会通过正或副域走向循环链的两个不同开端。文章用图示讲解了各种操作和解法序列；附录里的两张表用二进制数列出了九连环全部状态和操作步骤；并用图显示九连环状态的循环分布和走向。&
&&&&&& 九连环流传于中国民间，是一种有意义的智力游戏。如果没有人指导，初学者不易上手。懂得它的基本技巧和原理后，你会乐此不疲。我把它用二进制数表示，列出两张表格，悟出了其中一些道理。下面是我的一些心得，与大家交流。
图 1 二进制表示九连环及其数位关系
具体九连环的玩具构造我就不多解释了，很多地方多可以买得到；有人自己制做，也是很不错的想法。九连环有一个长形环状中空剑身和九个可套在剑身上带有互锁连接杆的连环，每个环和剑身在一起只会有有两种状态：一种是套在剑身上；一种是从剑身上脱下。很适合用九位二进制数来表示。未解套时，九个环全部套在剑身上，二进制数为：，十进制值为：511；（见图1）当九个环全部解套后，剑身上无环，二进制数为：，十进制值为：0。
九连环解套的基本解法共341步（简化解法表示共256步）。见附表一。
为便于叙述，下面是一些基本约定（首先，假定你不是左撇子，用右手操作环。参见图1）：
1.你左手持剑柄，剑尖朝右，最右边靠剑尖的环为第一环：以九位二进制的右边第一位（个位）表示，其余环向左按顺序由低到高位表示2环（2位）、3环（4位）……最左边为9环（256位）；
2.二进制1代表相应的环套在九连环的剑身上；0则代表该环从剑身上卸下。
二进制表示九连环状态的具体例子见图2。图中3、5、6、8环在剑身上，相应位上的数字为1，而1、2、4、7和9环不在剑身上，相应的数字为0，整个二进制数为：，它代表的十进制值为180。（即附表一中第125步后的二进制数）另一例子图3的二进制数为：，它代表的十进制值为188。
按规定某环在剑上时，不仅环要套在剑身上，环的连接杆也应穿在中空的剑身中。上面图中只有图A的环真正套在剑上。（图E的环虽然套在剑上，但环的连接杆没有穿在剑身中。）
环的套上和卸下操作：
*“套环”需先将该环从剑身中穿上，然后把环从右套入剑尖。即先穿后套：见图D→C→B→A
*“卸环”需先将该环从右剑尖卸出，然后把环从剑身中穿下。即先卸后穿：见图A→B→C→D
应指明，（除了仅有一个最左面的环在剑上或无环在剑上时只有一环可操作外）九连环在其它任何状态下，任何时候，只有两个环可以进行操作：一个是头一个环，即一环操作；另一个是隔着第一个套在剑上环操作接下来的第二个环，我暂且称它为“隔环操作”。这里的操作就是改变被操作环的状态。被操作环在剑下时套上该环；被操作环在剑上时卸下该环！
图 2 二进制表示九连环例子及操作对象定义
图 3 与图2例子互为“隔环操作”后的结果
&&& 为方便界定隔环操作，做以下定义：
#从右剑尖向左数第一个套在剑上的环视为“前环”即隔环；
#前环的左面紧接着的下一个环定为“后环”即被操作环。
图2状态中一、二环都不在剑上，第一个在剑上的是三环，即为前环；接下来的四环就是后环，即是隔环操作中的被操作环。如果进行隔环操作就是要把第四环套上，在附表一中是向后解套九连环的操作。图中第一环也可以操作：如果把一环套上，在附表一中是向前复原九连环的操作。（图3为图2隔环上操作结果图；而图2为图3隔环下操作结果图，是反向复原九连环的操作）
图1状态中一环就在剑上，此时一环即为前环；接下来的二环就是后环，即是隔环操作中的被操作环。如果进行隔环操作就是要把第二环卸下，在附表二中是向后解套偶连环的操作（参见后面关于偶连环的讨论。这里“向前”或“向后”是指相对附表中的方向）。图中第一环也可以操作：如果把一环卸下，在附表一中是向后解套九连环的的第一步操作。
当全部环都已卸下，无法定义前环，当然无后环和隔环操作；当仅有一个最左面的环在剑上时，找不到后环，没有了被操作环，也不可能进行隔环操作。
解套九连环需要轮流替换的两种基本操作：
1.操作第一环的上下，即一环操作；
2.隔着“前环”操作“后环”的上下，隔环操作。
整个九连环的连续操作顺序为：1，2，1，2，……
即：“一环操作”和“隔环操作”& 像两条腿走路一样间隔进行！
（特别指出：一环操作套上后：一环变为前环，二环为后环，接下来的隔环操作即是隔着一环操作二环的上下；下面紧接着的是卸下一环操作。指明这点是为理解后面的简化操作做准备。）
&&&&&& 一环操作比较简单，只要遵循：先穿上后套环，或 先卸环后穿下 即可。
&&&&&& 一般初学者比较困难的是‘后环透过前环’的隔环操作。它是九连环的特殊拓扑结构能够有解的关键所在。（这也是熟练者提高操作速度的关键点）可以说没有隔环操作，解套九连环就不可能递推进行。下面专门用图解叙述其操作过程。
&&&&&& 后环在下时的套上操作（图2）：首先，把被操作的后环在前环的左边从下边通过剑身的两根杆之间向上穿出（图F）；其次，在剑上平拉后环推着前环向右剑尖滑（剑移向左 图G）；当滑到剑尖时，将后环透过前环从剑尖右边向下套上（图H）；最后，整理时前后环都应在剑身上（图3）；
&&&&&& 后环在上时的卸下操作（图3）：首先，把被操作的后环和前环一起拉向右剑尖（剑移向左）；其次，把后环透过前环从剑尖的右边向上卸出（图H）；把前环从剑尖推回（图G），同时把后环从上边通过剑身的两根杆之间向下丢出（图F）；最后，前环仍在剑身上，后环已被卸下（图2）。
&&&&&& 本人体会，隔环卸下操作比隔环套上操作相对容易一些。
上面是揭示解连环的原理时有规律的基本操作，实际操作时，由于九连环中的一二环的特殊位置结构（右边没有其它环的连接杆阻挡），其中一二环作为前后环的隔环操作可以和前面或后面的同向一环操作合并简化：
1.当上一环后接着隔环操作上二环，可以合成一个动作完成，即把两个环拿在一起同时往剑上穿套；我把它简称“上双”，附表中操作注明“上12”。
2.当隔环操作下二环后接着下一环，也可以合成一个动作完成，把两个环拿在一起同时从剑上卸下。简称“下双”，附表中操作注明“下21”。
简化后，没有了单独的二环隔一环的操作。操作规律和顺序变为：
★&& 下一；隔环操作，上一 下双；隔环操作，上双 下一；隔环操作，上一 下双；……
这样加入了双环合并的简化操作可使九连环解法过程从371步，减少到256步（节省约1 / 4）。
有了上面的操作规律和顺序不用任何的表或口诀就可以从容地解脱九连环了。
九连环的玩法总起来讲只有间和隔两个要点：
~间隔顺序。掌握上面黑斜体的顺序规律。（“隔”和“一，双”两条腿走路）
~隔环操作。正确找对隔环操作对象；正确做对隔环操作。（该上则上，该下则下）
注意：“一、双”环的操作总是先上后下（简化操作中，此时的一环状态一定在下）。
作完隔环操作后，一、二环双双在下时作“上双 下一”；只有一环在下时作“上一 下双”。
讨论（奇妙的九连环数学意境）：
一、莫入“歧途”― 偶连环解套数列域
其实，除了我们上面讨论的九连环（奇连环）解套数列这样一个数字领域（正域，附表一）之外还存着另一个和它互补的数列范畴：当我们第一步不从“一环操作”开始，而从“隔环操作”开始，（注意下面的“下双”简化操作含有：先下二的隔环操作和后下一环的基本操作）简化解环顺序变为：
下双；隔环操作，上双下一；隔环操作，上一下双；隔环操作，上双下一；……
我们发现走在了另一个完全不同的道上：偶数连环解套数列（副域，附表二）。我们解下了右边的前两环；前四环；前六环；最后前八环。如果是十连环，还可以全部解下十个环……
这似乎走入了歧途，只因为我们拿的是九连环，解完八环之后，走不下去了。“自古华山一条路”。但是这里还有另一条路，当然不是上“西岳华山”（奇连环）的，而是上“东岳泰山”（偶连环）的路嘛。（又：如果是正好十连环，解完九连环之后，同样会走不下去的。）
认识这一条路也很有意义：我们现在可以解任意一种类似结构的连环。无论偶数的二连环到十连环... 还是奇数的一连环到九连环… 我们都可以用同样的办法解开。只是跨第一步是迈“左脚”（隔环）还是迈“右脚”（一环）的区别。
二、有规律的解环步数
各种连环解套操作的步数是可以预先估算出的。
简化操作步数
基本操作步数
简化操作步数
基本操作步数
注：原意上讲，九连环中511这个数是奇连环和偶连环的共同起点，不属于解环步骤。为了完整性，按奇偶间隔顺序广义延伸应划属偶连环步骤，上面的统计把511统计在偶连环的步数里。
如果n为连环数简化操作步数为：2n-1
&& （奇偶分别看：步数是前一项步数的四倍；
奇偶统一看：一、二、三、四…...连环解简化步数呈倍数增长。）
如：&& 九连环简化步数是七连环简化步数的4倍：256 = 64 X 4；
&&& && 八连环简化步数是七连环简化步数的两倍。128 = 64 X 2。
有规律的递推关系：基本操作步数是前一项（基本步数）和上面一项（简化步数）的和
即： 九连环简化步数等于九连环基本步数减去七连环基本步数：256 = 341 C 85；
&&&& 八连环简化步数等于八连环基本步数减去六连环基本步数：128 = 171 C 43。
三、两个完全互补的域
解奇连环的二进制数数列正域和解偶连环所占用的副域完全不重叠并且不重复地充满整个数域。九连环所代表的所有数域：0 C 511 被正域的基本操作341个数和副域171个数填满；副域数目约是正域的一半；正副域有唯一的共通点：511。（参见附表后的分布图）
九连环上正副域分别占有的数列域如下：
正域占用：0 C 255（256个）、 384 C 447（64个）、 480 C 495（16个）、 504 C 507（4个）、 510（1个）；
副域占用：256 C 383（128个）、 448 C 479（32个）、 496 C 503（8个）、 508 C 509（2个）、 511（1个）。
可以预计十连环代表数域：0 C 1023 被解偶连环正域683个数和解奇连环副域341个数填满；而1023是正域和副域唯一一个共通点；十连环上正域占用只需添加0 C 511（512个），往下所有正副域换位，数列中数值后推512，数目不变如：如原正域的0 C 255（256个）变为副域512 C767（256个）；…… 原副域的511（1个）变为正域1023（1个）。
&&& 这种不重叠而不重复地占满全数域说明了正副数列域之间的完全互补性。这种互补性是基于两类（上下四种）基本操作的：即一环上下和隔环上下，（上面提到的两种简化操作只是基于这四种基本操作的延伸。）
这种完全互补性应理解成：如果没有另外新的操作方法被发现，上面提到的解套九连环的正解是唯一的。
&&& 九连环游戏很有意思：每一步的状态下有两个环（不只一个）可以上下操作，即有了“两条腿走路”才保证不是原地踏步；每一步的状态下只有两个环可以操作保证了不会有岔路，即无歧路。虽然一环操作没有变换对象；但隔环操作的对象是每次变换的。这种操作对象的变换保证了我们的前进（不是绕小四步舞圈）。数列域的数没有重复占用则说明了没有绕来绕去。正副域互不交叉不用担心解着正域的奇连环突然跑到副域的范围中去。九连环是单链的，单链的两个头并不相通，如果解成九连环副域的偶连环想回到正域解奇连环上只有老老实实回复到511这条独木桥上才能绕回去。
&&& 在九连环的正域 ― 奇连环的解套过程（附表一）中，我们其实也经历过了八连环、七连环、……、二连环、一连环操作全过程。我们在九连环解套过程四分之一的第86步卸下第九环之后，实际上我们摆弄的就是八连环了（因为第九环已不存在）：先是八连环的副域 ― 奇连环的复原。到171步（包括171步）开始解八连环正域―偶连环的解套；而在八连环的正域解套过程四分之一的第214步卸下第八环之后，开始嵌套着七连环的操作全过程；后面的第278步七连环又嵌套着六连环……
在九连环的副域 ― 偶连环的解套（附表二）中的操作步骤和过程，与上面提到的套在九连环正域中的八连环的正域 ― 解套操作的步骤和过程完全一样，不同的是附表二中第九环一直没有卸下，九位二进制的最高位全部为1；走向也应不一样。
附表后的分布图4十分清晰的反应了上面提到的九连环套八连环再套七连环……的过程；整个图横轴0 C 511（九连环）上的图形和横轴0 C 255（八连环）上的图形完全相似，大小为一倍，横轴0 C 127（七连环）上的图形也一样相似……;所有的各种连环操作都包含着正副两个走向不同、完全互补的域。
四、九连环和格雷码（Grey Code）
我们附录里有两张表，把第一张正域 ― 奇连环操作表的顺序倒过来（复原九连环的顺序）再和第二张副域 ― 偶连环操作表连成一个表（两张表原码值341合一），这时表中的二进制数正好是原码值（总操作序数）相应的完整九位格雷码。格雷码是由于技术应用的需要1880年由法国工程师发明，后来由美国人申请技术专利的一种二进制编码。广泛使用在码盘，模数转换等自控技术上。典型的格雷码具有单步性和循环特性。
循环特性：上面提到，九连环的逆九连环操作（正域）和八连环操作（副域）连在一起正好是九位格雷码的完整的一个循环。虽然解完八连环到之后，由于九连环结构的局限，不能一步完成跳回，
但两者之间正好是差一单步（最高一位），也就是九连环操作单链的两头一步不差地遥相呼应，满足单步性地虚接在一起。
附表一中的原码值0 C 255（八连环）相应的二进制数的后八位正好是原码值相应的八位格雷码的完整循环。同样0 C 127（七连环）相应的二进制数的后七位正好是原码值相应的七位格雷码的完整循环……
单步性：九连环的单步性是与生俱来的。因为每一次基本操作你只能改变一个环的状态。（这里说格雷码时不讨论简化操作）
上面提到的一环操作就是对一环的非（NOT）操作；隔环操作也是对（前环和后环中的）后环的非（NOT）操作。这些操作的有序组合产生了和格雷编码异曲同工的最终效果。
一个机械连接的解锁游戏―“九连环”―能和技术上需要的逻辑编码如此完整和巧妙地吻合。你难道不会惊叹中国人的聪明才智和世界的奇妙吗？
关于格雷码请参阅 和
五、回到九连环具体玩法
&&& 附件的数表1 是帮助理解九连环解法步骤的详尽表达。初学时要结合前面的讲解学学操作，按数表1步骤操作一段，体会其中顺序规律。在懂得解法原理后，实际的操作不需要看数表。操作过程需要不间断地一气连贯进行。中断后再继续时往往容易记不清方向而搞错，回头走冤枉路。（这时该数表可以帮助你判断下一步如何进行：在数表1中找到你九连环所处状态的相应二进制数，数表向后的步骤是解脱九连环，向前走的步骤是复原套上九连环）。
&&& 关于讨论部分只是我初浅的认识，供大家体味参考。因为我们玩九连环的目标是解九连环，所以我把数表一部分名为正域，数表二部分称成“副”域。
&&& 九连环的解法步骤是唯一的，但各人解套的时间和把玩的熟练灵巧程度有关，也和九连环本身的制作大小，材料，精细，操作难易程度有关。工欲精其技，必先利其器也。
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&&博客搜索讀國中時吧！某天，大哥帶回一個純手工打造的九連環，當時只看著大哥玩得不亦樂乎，
但並沒有引起我太大的興趣；
直到大學時再次接觸，才發現原來九連環是有遞迴性的，那時就想寫個程式來解它，
記得已動手寫程式了，但應該是當天有事外出吧，回來後就把這件事給忘了。
2007年到宜蘭國立傳統藝術中心時又發現它，這次總算把遞迴程式完成了，
當時叫小孩來看九連環的動作，看看後就跑去玩他的玩具了，當時的他應該看不懂吧！
純手工打造()
扭出來(Spin Out)
&九連環的玩法
九連環由九個相互連接的環及一個中空的長形柄所組成。
九連環的一般玩法有兩種，第一種是將這九個環從柄上取下來，第二種是反過來將九個環放入長柄中。
另外也可以由任意狀態解成九個環全取下或全放上的玩法。
九個相互連接的環及中空的長形柄
九個環全放入長柄的狀態
九個環的任意狀態
&九連環的規則
九連環的每個環是互相牽制的，除了第１環，要上下其他環是要在特定的狀態下才可以的，其規則有二：
&& & && 規則一：第１環可以在任何時候放上或取下。
&& & && 規則二：想放上或取下第Ｎ環 (N & 1)，就必須：
　&&& &&&&
將第 N-1 環放在柄上，而第 1 到 N-2 環全部取下，如此才能放上或取下第 N 環。
&&& &&& 例：取下第9環
環全部在柄下，第8環在柄上，此時第9環可以放上或取下。
&九連環與遞迴
九連環的拆解過程是一種遞迴式，關於遞迴程式可參考 這篇文章，其內文所介紹的範例均為直接遞迴，
而九連環會用到直接遞迴與間接遞迴，感覺好像很複雜，其實遞迴是相當直覺的，由例子直接說明。
以5連環全解來說明，目的是要將5個環全部取下:
同遞迴的思考方式由外而內推導:
即由最後一環往前推導，思考如何把第5環取下，
要把第5環取下，依規則先要取下1到3環，才能取下第5環
而要下第3環必須第1環在下，第2環在上，所以要先下第1環
(目的：第5環要下）
此時可下第3環
(目的：第5環要下）
下第2環必須第1環在上，所以要上第1 環
&(目的：第5環要下）
此時可下第2環
(目的：第5環要下）
(目的：第5環要下）
終於可以下第5環了
步驟01到05可以看成是3個環全下的方式
即要下第N個環，要先下1到(N-2)個環
這時要下第4環，必須第3環在上，第3環要上則必須第2環在 上，
第2環要上則必須第1環在上，所以先上第1環&
(目的：第4環要下）
&(目的：第4環要下）
第3環要上，必須第1環下
(目的：第4環要下）
此時可上第3環
&(目的：第4環要下）
第2環要下，所以第1環要上
(目的：第4環要下）
(目的：第4環要下）
有沒有發現，步驟07到11，相當於把1到3個環全上的方式
而目前狀態可看成4個環全下的狀態
這是一個遞迴的狀態，相當於下完第5環後，
再把1到3環全上，然後變成4個環全下的遞迴
&(目的：第4環要下）
可以下第4環了
要下第3環必須第2環上，第2環要上，必須第1環上
(目的：第3環要下）
(目的：第3環要下）
第1環下& (目的：第3環要下）
3環全下的遞迴狀態
可以下第3環了
第2環要下，必須第1環要上&
(目的：第2環要下）
(目的：第2環要下）
2環全下的遞迴狀態
&(目的：第1環要下）
&& 由上面的例子可看出:
&& & (1)&步驟01到05，相當於3個環全下的方式 。
&&& (2) 步 驟06為，放下第5環。
&&&& (3) 步驟07到11，相當於3個環全上的方式。
&&& &&& (4)步驟12開始，變成 4個環全下的遞迴。
推廣到 N 連環全下，其遞迴步驟為:
1至N-2個環全下
1至N-2個環全上，
此時為 N-1連環全下的遞迴狀態
1至N-1個環全下
推廣到 N 連環全上，其遞迴步驟為:
1至N-1個環全上
1至N-2個環全下
放 上第N環，
此時為 N-2連環全上的遞迴狀態
1至N-2個環全上
&&& 遞迴式:
&&& allRingDown(N) =
allRingDown(N-2) + showRingDown(N) +
allRingUp(N-2) + allRingDown(N-1)
&&& allRingUp(N) =
allRingUp(N-1) + allRingDown(N-2) +
showRingUp(N) + allRingUp(N-2)
&& &&&& allRingDown(N)
: 第 1 ~ N 環全下，allRingUp(N)
~ N 環全上
showRingDown(N) : 顯示第N環下的動作，showRingUp(N)
: 顯示第N環上的動作
&&& &&& 其中
allRingDown(N)為遞迴函式 :
&&& &&& (1) 直接遞迴 : 呼叫
allRingDown(N-2) 及 allRingDown(N-1)
&&& &&& (2) 間接遞迴 : 呼叫
allRingUp(N-2)
&&& &&& 其中
allRingUp(N) 為遞迴函式:　
&&& &&& (1) 直接遞迴 : 呼叫
allRingUp(N-1) 及 allRingUp(N-2)
&&& &&& (2) 間接遞迴 : 呼叫
allRingDown(N-2)
&&& 九連環遞迴程式碼:
&JavaScript:
function allRingDown(n)
&&&&&&&&&&
allRingDown(n-2);
&&&&&&&&&&
printRing(n, "DOWN");
&&&&&&&&&&
allRingUp(n-2);
&&&&&&&&&&
allRingDown(n-1);
function allRingUp(n)
&&&&&&&&&&
allRingUp(n-1);
&&&&&&&&&&
allRingDown(n-2);
&&&&&&&&&&
printRing(n, "UP");
&&&&&&&&&&
allRingUp(n-2);
var stepCounter = 0;
function printRing(n,
&document.write("&p&"
+ stepCounter + ": " + n + "
" + action );&&
allRingDown(5);
另外為 C 語言所寫的 Windows console program:
& 九連環與格雷碼
由於遞迴式不太適合用來寫九連環遊戲，一般若無適當的疊代法(iteration)就只能用推疊(stack)
取代遞迴呼叫，
經網路搜尋後找到了格雷碼 。
另人驚訝的是格雷碼的順序居然完全和九連環解法的順
先看看什麼是格雷碼：
&&& &&& 格雷碼
(Gray Code)是由貝爾實驗室的Frank
Gray在1940年代提出的，用來在使用PCM（Pusle Code Modulation）
方法傳送訊號時避免出錯。格雷碼是一個數列集合，相鄰兩數間只有一個位元改變，為無權數碼。()&&&&&&&&
數字0～7的編碼比較如下：
&&& 格雷碼的鏡射排列:
n位元的格雷碼可以從n-1位元的格雷碼以上下鏡射後加上新位元的方式快速的得到，如下圖所示。()
&&& 九連環與格雷碼的關係:
5連環全部放上的順序
由上圖可以看出，解九連環的順序就是格雷碼的順序，不禁讓人懷疑，法蘭克．格雷(Frank
Gray)是不是有玩過九連環？&
&&& 格雷碼與二
進制的 轉換：
由於格雷碼為無權數碼，無法直接拿來運算，但可以經由與二進制的互換，得到格雷碼的值與順序的關係。
&&& &&& 轉換方法如下或參考
中非常清楚的動態說明。
二進制碼轉換成格雷碼:(,
g(1) = b(1)
&&& g(2) = b(1)
&&& g(3) = b(2)
&&& g(4) = b(3)
&&& g(5) = b(4)
JavaScript:
function binaryToGray(num)
return (num && 1) ^
&&& && 格雷碼轉換成二進制:(,
b(1) = g(1)
b(2) = b(1) xor g(2)
b(3) = b(2) xor g(3)
b(4) = b(3) xor g(4)
b(5) = b(4) xor g(5)
JavaScript:
function grayToBinary(num,
for(shift = 1; shift &
numB shift=2*shift) {
num = num ^ (num &&
& 九連環遊戲
&&& &&& 九連環的遊戲是用
JavaScript 寫成，其中連環的動態動作是以
&&& &&& 在 Chrome下最順暢
FireFox , IE9 都不太流暢但還是可執行。
由於九連環的狀態與順序的關係即為格雷碼與順序的關係，程式中剩餘步數的計算(左下)，提示，自動，
均是由九連環的狀態對應到格雷碼，然後由格雷碼轉成二進制，並作加減法運算，再轉回格雷碼而來的。
& 參考資料
(1) 純手工打造-迷你九連環:
(2) 九連環拆裝攻略:
(3) 直立式九連環:
(4) 成人益智玩具:
(5) Spin Out 線上遊戲:
(6) 格雷碼 wiki:
&&& (7) Gray
Code from/to binary and
&&& (8) Gray
code wiki:
<font color="#/15/2013
如有版權問題，請告知。