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第1.2章习题解答.doc50页
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第1.2章习题解答
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平几习题集解答
第一章习题
练习1（面积法）
1． 已知：点E、F分别在平行四边形ABCD的边DC和BC上，且AE AF，DG⊥AF，BH⊥AE，G、H是垂足。求证：DG BH。
证明：连DF、BE，那么
但AF AE，于是BH DG。
2. 设AD为ΔABC的中线，F为AD的中点，连结BF并延长交AC于E。
求证：EC 2AE。
证明：因为BD DC，AF FD，故
3．已知平行四边形ABCD中，E、F分别在CD、AD上，AE和CF相交于G，且AE CF。求证：GB平分∠AGC。
证明：连BE、BF，则
另一方面，
所以 sin∠BGC sin∠AGB，即∠BGC ∠AGB。所以BG平分∠AGC。
4．P是ΔABC中∠A的平分线上任意一点。过C引CE//PB，交AB的延长线于E，过B引BF//PC，交AC的延长线于F。求证：BE CF。 证明：如图，
所以BE CF。
5．E、F是任意四边形ABCD的对边AD、BC的中点，M为对角线BD延长线上任一点。若直线ME、MF分别与AB、CD相交于P、Q两点。求证：EF平分PQ。
证明：由P、E、M共线，得，故。
由F、Q、M共线，得，故。
因为AE ED，BF FC，所以PN NQ。
6．AD是ΔABC的中线，过B点的直线交AD于E，交AC于F。求证：。
证明：因为CD DB，所以
7．P是平行四边形ABCD对角线BD上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F。求证：PE ：PF
证明：因为ABCD是平行四边形，故
另一方面，由PE⊥AB，PF⊥BC，知
8．ΔABC中，∠ACB 900，AC BC，D为BC中点。作CE⊥AD，分别交AB、AD于E、F。求证：AE 2BE。
证明：因 为CD BD，故
另一方面，AC⊥CD，CF⊥AD，故ΔAFC∽ΔCFD。所以
故AE 2EB。
9．已知：在ΔABC中，AB AC，P为BC上任意一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF是AC边上的高。求证：PD+PE BF。
证明：连AP，那么由
得 AC?BF AB?PD+AC?PE。
又因为AB AC，所以PD+PE BF。
10．设O是ΔABC内任一点，AO、BO、CO的延长线
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学年北京156中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）1．已知3x=5y（xy≠0），则下列比例式成立的是（ ）A．B．C．D． 2．将抛物线y=2x2平移得到抛物线y=2（x2）2+3，下列平移正确的是（ ）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 3．在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ ）A．4.8米B．6.4米C．9.6米D．10米 4．如图，在4×4的正方形网格中，tanα的值等于（ ）A．B．C．D． 5．在Rt△ABC中，已知cosB=，则tanB的值为（ ）A．B．C．D． 6．抛物线y=（x+1）（x3）的对称轴是直线（ ）A．x=1B．x=1C．x=3D．x=3 7．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为（ ）A．6B．13C．D． 8．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=mx2+2x+（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）A．B．C．D． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是（ ）A．B．C．D． 10．如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．
二、填空题：（共6小题，每小题4分，共24分）11．函数y=x2+2x3（2≤x≤2）的最小值为 ，最大值为 ． 12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠BEC= 度． 13．在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为60°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y=x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是 ． 14．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是 ． 15．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是 ． 16．对于正整数n，定义F（n）=，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）=62=36，F（123）=f（123）=12+32=10．规定F1（n）=F（n），Fk+1（n）=F（Fk（n））．例如：F1（123）=F（123）=10，F2（123）=F（F1（123））=F（10）=1．（1）求：F2（4）= ，F2015（4）= ；（2）若F3m（4）=89，则正整数m的最小值是 ．
三、解答题：（第17-20题各5分，21--24题7分，25题8分共56分）17．计算：tan45°+sin245° 18．如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，1），C（3，4）．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC的位似比等于2：1． 19．已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED=∠C．（1）求证：△AED∽△ACB；（2）若AB=6，AD=4，AC=5，求AE的长． 20．已知二次函数y=x22x3．（1）用配方法将y=x22x3化成y=a（xh）2+k的形式；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当x取何值时，y随x的增大而减少？（4）当2＜x＜3时，观察图象直接写出函数y的取值范围． 21．如果关于x的函数y=ax2+（a+2）x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，求实数a的值． 22．如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：（1）AE=CG；（2）ANDN=CNMN． 23．如图，矩形ABCD中，AP平分∠DAB，且AP⊥DP于点P，联结CP，如果AB8，AD4，求sin∠DCP的值． 24．如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）． 25．如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点，点C是AB的中点，CD⊥AB且CD=AB．直线BE与y轴平行，点F是射线BE上的一个动点，连接AD、AF、DF．（1）若点F的坐标为（，1），AF=．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线上一个动点，点Q在此抛物线的对称轴上，以点A、F、P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；（2）若2b+c=2，b=2t，且AB的长为kt，其中t＞0．如图2，当∠DAF=45°时，求k的值和∠DFA的正切值．
学年北京156中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）1．已知3x=5y（xy≠0），则下列比例式成立的是（ ）A．B．C．D．【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，对各项分别应用，即可得出只有A选项符合题意．【解答】解：根据比例的基本性质：在所给选项中中，只有A满足要求，转换为等积式是3x=5y，和已知一致，故选A．【点评】能够根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换． 2．将抛物线y=2x2平移得到抛物线y=2（x2）2+3，下列平移正确的是（ ）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x2）2+3的顶点坐标为（2，3），而点（0，0）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得到点（2，3），所以抛物线y=2x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线y=2（x2）2+3．故选D．【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 3．在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ ）A．4.8米B．6.4米C．9.6米D．10米【考点】相似三角形的应用．【专题】方程思想．【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可．【解答】解：根据同一时刻，列方程即，解方程得，大树高=9.6米故选C．【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出树的高度，体现了方程的思想． 4．如图，在4×4的正方形网格中，tanα的值等于（ ）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】直接根据锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：∵AD⊥BC，AD=3，BD=2，∴tanα==．故选C．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 5．在Rt△ABC中，已知cosB=，则tanB的值为（ ）A．B．C．D．【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据题意画出图形，进而利用cosB=，表示出三角形各边长，进而得出答案．【解答】解：如图所示：∵cosB=，∴设BC=7x，则AB=25x，故AC=24x，则tanB==．故选D．【点评】此题主要考查了同角三角函数的关系，利用同一未知数表示出各边长是解题关键． 6．抛物线y=（x+1）（x3）的对称轴是直线（ ）A．x=1B．x=1C．x=3D．x=3【考点】二次函数的性质．【分析】利用交点式，得出与x轴交点坐标，利用对称性求得对称轴即可．【解答】解：∵抛物线y=（x+1）（x3）与x轴的交点坐标（1，0），（3，0），∴对称轴x==1．故选：B．【点评】此题考查二次函数的性质，利用交点式求得交点坐标是解决问题的关键． 7．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为（ ）A．6B．13C．D．【考点】垂径定理；垂线；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．【专题】计算题；压轴题．【分析】延长AO交BC于D，接OB，根据AB=AC，O是等腰Rt△ABC的内心，推出AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，求出∠BAD=∠ABD=45°，AD=BD=3，由勾股定理求出OB即可．【解答】解：过点A作等腰直角三角形BC边上的高AD，垂足为D，所以点D也为BC的中点．根据垂径定理可知OD垂直于BC．所以点A、O、D共线．∵⊙O过B、C，∴O在BC的垂直平分线上，∵AB=AC，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∴AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，∵∠BAC=90°，∴∠ADB=90°，∠BAD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=3，∴OD=31=2，由勾股定理得：OB==．故选C．【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，垂线，垂径定理等知识点的理解和掌握，求出OD、BD的长是解此题的关键． 8．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=mx2+2x+（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】首先确定m的正负，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=，进而分析得出答案．【解答】解：A．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=mx2+2x+开口方向朝上，对称轴为x==＜0，则对称轴应在y轴右侧，故A选项正确；B．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=mx2+2x+开口方向朝上，与图象不符，故B选项错误；C．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=mx2+2x+开口方向朝上，对称轴为x==＜0，则对称轴应在y轴右侧，与图象不符，故C选项错误；D．由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=mx2+2x+开口方向朝下，与图象不符，故D选项错误．故选：A．【点评】此题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是（ ）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【分析】首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再根据同角的余角相等得出∠A=∠BCD，进而利用锐角三角函数关系即可求出sin∠BCD的值．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴AB==13，．∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∠A+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，∴sin∠BCD=sinA==．故选B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系的定义，得出sin∠BCD=sinA是解题关键． 10．如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】需要分类讨论：①当0≤x≤3，即点P在线段AB上时，根据余弦定理知cosA=，所以将相关线段的长度代入该等式，即可求得y与x的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当3＜x≤6，即点P在线段BC上时，y与x的函数关系式是y=（6x）2=（x6）2（3＜x≤6），根据该函数关系式可以确定该函数的图象．【解答】解：∵正△ABC的边长为3cm，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3cm．①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP=xcm（0≤x≤3）；根据余弦定理知cosA=，即=，解得，y=x23x+9（0≤x≤3）；该函数图象是开口向上的抛物线；解法二：过C作CD⊥AB，则AD=1.5cm，CD=cm，点P在AB上时，AP=xcm，PD=|1.5x|cm，∴y=PC2=（）2+（1.5x）2=x23x+9（0≤x≤3）该函数图象是开口向上的抛物线；②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC=（6x）cm（3＜x≤6）；则y=（6x）2=（x6）2（3＜x≤6），∴该函数的图象是在3＜x≤6上的抛物线；故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点P的位置进行分类讨论，以防错选． 二、填空题：（共6小题，每小题4分，共24分）11．函数y=x2+2x3（2≤x≤2）的最小值为 4 ，最大值为 5 ．【考点】二次函数的最值．【专题】计算题．【分析】根据最值公式，直接求出最小值，再根据取值范围，求出最大值．【解答】解：由于函数的对称轴为x==1，而函数的取值范围为2≤x≤2，故函数的最小值为=4，由于x=2时，函数取得最大值，则y最大值=4+43=5．故答案为4，5．【点评】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质是解题的关键． 12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠BEC= 45 度．【考点】圆周角定理；正方形的性质；圆心角、弧、弦的关系．【分析】连接OB、OC，根据正方形的性质，易得出∠BOC=90°，根据圆周角定理，可求出∠BEC=45°．【解答】解：连接OB、OC，则∠E=∠BOC，∵O是正方形外接圆的圆心，∴∠BOC=90°，∴∠BEC=∠BOC=45°．【点评】正确理解圆心角与圆周角的关系是解决本题的关键． 13．在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为60°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y=x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是 （，3）或（，）或（，）或（2，2） ．【考点】二次函数综合题．【分析】由于两三角形的对应边不能确定，故应分四种情况进行讨论：①∠POQ=∠OAH=30°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；②∠POQ=∠AOH=60°，此时∠POH=30°，即直线OP：y=x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°时，此时△QOP≌△AOH，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此时△OQP≌△AOH，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：①如图1，当∠POQ=∠OAH=30°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；∵∠AOH=60°，∴直线OA：y=x，联立抛物线的解析式得：，解得：或，故A（，3）；②当∠POQ=∠AOH=60°，此时△POQ≌△AOH，易知∠POH=30°，则直线y=x，联立抛物线的解析式，得：，解得：或，故P（，），那么A（，）；③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°时，此时△QOP≌△AOH；易知∠POH=30°，则直线y=x，联立抛物线的解析式，得：，解得：或，故P（，），∴OP==，QP=，∴OH=OP=，AH=QP=，故A（，）；④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此时△OQP≌△AOH；此时直线y=x，联立抛物线的解析式，得：，解得：或，∴P（，3），∴QP=2，OP=2，∴OH=QP=2，AH=OP=2，故A（2，2）．综上可知：符合条件的点A有四个，分别为：（，3）或（，）或（，）或（2，2）．故答案为：（，3）或（，）或（，）或（2，2）．【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法，解答此题时一定要注意进行分类讨论． 14．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是 y=x21 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可．【解答】解：根据题意，y=（x）2+1，得到y=x21．故旋转后的抛物线解析式是y=x21．【点评】考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式． 15．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是 ②④ ．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x=＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；②当x=1时，函数值为2，∴a+b+c=2；故本选项正确；③∵对称轴x=＞1，解得：＜a，∵b＞1，∴a＞，故本选项错误；④当x=1时，函数值＜0，即ab+c＜0，（1）又∵a+b+c=2，将a+c=2b代入（1），22b＜0，∴b＞1故本选项正确；综上所述，其中正确的结论是②④；故答案为②④．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形性质，会代入一些特殊值进行计算（如：x=±1，x=±2时，函数的值）． 16．对于正整数n，定义F（n）=，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）=62=36，F（123）=f（123）=12+32=10．规定F1（n）=F（n），Fk+1（n）=F（Fk（n））．例如：F1（123）=F（123）=10，F2（123）=F（F1（123））=F（10）=1．（1）求：F2（4）= 37 ，F2015（4）= 26 ；（2）若F3m（4）=89，则正整数m的最小值是 6 ．【考点】规律型：数字的变化类．【专题】新定义．【分析】通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可．【解答】解：（1）F2（4）=F（F1（4））=F（16）=12+62=37；F1（4）=F（4）=16，F2（4）=37，F3（4）=58，F4（4）=89，F5（4）=145，F6（4）=26，F7（4）=40，F8（4）=16，通过观察发现，这些数字7个一个循环，7倍余6，因此F2015（4）=26；（2）由（1）知，这些数字7个一个循环，F4（4）=89=F18（4），因此3m=18，所以m=6．故答案为：（1）37，26；（2）6．【点评】本题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键． 三、解答题：（第17-20题各5分，21--24题7分，25题8分共56分）17．计算：tan45°+sin245°【考点】特殊角的三角函数值．【分析】分别把cos60°=sin30°=，tan45°=1，sin45°=代入原式计算即可．【解答】解：tan45°+sin245°==．【点评】此题比较简单，解答此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 18．如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，1），C（3，4）．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC的位似比等于2：1．【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换．【分析】（1）由题意得，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．则AB1⊥AB，AC1⊥AC，画出图形写出坐标．（2）根据以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，可以得出A1，B1，C1的坐标扩大2倍，且横纵坐标改变符号，得出即可．【解答】解：（1）如图：正确画出△AB1C1，B1（1，2），（2）如图：正确画出△A2B2C2，【点评】此题主要考查了图形的旋转与位似，利用位似图形的性质得出A1，B1，C1的坐标是解决问题的关键． 19．已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED=∠C．（1）求证：△AED∽△ACB；（2）若AB=6，AD=4，AC=5，求AE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据有两对角相等的两个三角形相似证明即可．（2）由（1）中的相似三角形可得关于AE的比例式，代入已知数据计算即可求出AE的长．【解答】（1）证明：∵∠AED=∠ABC，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC；（2）∵△AED∽△ABC，∴，∵AB=6，AD=4，AC=5，∴，∴AE=．【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法． 20．已知二次函数y=x22x3．（1）用配方法将y=x22x3化成y=a（xh）2+k的形式；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当x取何值时，y随x的增大而减少？（4）当2＜x＜3时，观察图象直接写出函数y的取值范围．【考点】二次函数的三种形式；二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）由于二次项系数是1，利用配方法直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）根据二次函数的性质画出图象即可；（3）根据二次函数的增减性即可求解；（4）观察图象即可求解．【解答】解：（1）y=x22x3=x22x+14=（x1）24，即y=（x1）24；（2）∵二次函数y=x22x3的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，4），与x轴的交点为（3，0），（1，0），与y轴的交点为（0，3），∴其图象为：（3）∵二次函数y=x22x3的开口向上，对称轴为直线x=1，∴当x≤1时，y随x的增大而减少；（4）观察图象可得，当2＜x＜3时，函数y的取值范围是4≤y＜5．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的图象与性质及用描点法画二次函数的图象，利用数形结合是解此题的关键． 21．如果关于x的函数y=ax2+（a+2）x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，求实数a的值．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】计算题．【分析】分类讨论：当a=0时，原函数化为一次函数，而已次函数与x轴只有一个公共点；当a≠0时，函数y=ax2+（a+2）x+a+1为二次函数，根据抛物线与x轴的交点问题，当△=（a+2）24a（a+1）=0时，它的图象与x轴只有一个公共点，然后解关于a的一元二次方程得到a的值，最后综合两种情况即可得到实数a的值．【解答】解：当a=0时，函数解析式化为y=2x+1，此一次函数与x轴只有一个公共点；当a≠0时，函数y=ax2+（a+2）x+a+1为二次函数，当△=（a+2）24a（a+1）=0时，它的图象与x轴只有一个公共点，整理得3a24=0，解得a=±，综上所述，实数a的值为0或±．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b24ac决定抛物线与x轴的交点个数：当△=b24ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当△=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；当△=b24ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 22．如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：（1）AE=CG；（2）ANDN=CNMN．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）要证明AE=CG，只要证得三角形ADE和三角形CDG全等即可，根据题中的已知条件我们不难得出，AD=CD，GC=AE，∠ADE和∠GDC，又同为90°+∠ADC，那么就构成了全等三角形的判定中SAS的条件．（2）本题可通过证明三角形AMN和三角形CDN相似来证得．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，∵∠ADE=90°+∠ADG，∠CDG=90°+∠ADG，∴∠ADE=∠CDG，在△ADE和△CDG中∵，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE=CG．（2）由（1）得△ADE≌△CDG，则∠DAE=∠DCG，又∵∠ANM=∠CND，∴△AMN∽△CDN，∴，即ANDN=CNMN．【点评】求某两条线段相等，可通过证明它们所在的三角形全等来实现．要证明某些线段成比例，可通过证明这些相关联的线段所在的三角形相似来得出所求的条件． 23．如图，矩形ABCD中，AP平分∠DAB，且AP⊥DP于点P，联结CP，如果AB8，AD4，求sin∠DCP的值．【考点】解直角三角形．【分析】过点P作PE⊥CD于点E，根据已知得出∠DAP=∠ADP=∠CDP=45°，在Rt△APD中通过正弦函数值求得DP，然后在Rt△DEP中根据正弦函数值求得PE、DE，进而求得CE，在Rt△DEP中，根据勾股定理求得PC，进而即可求得sin∠DCP的值．【解答】解：过点P作PE⊥CD于点E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=8，∠DAB=∠ADC=90°．∵AP是∠DAB的角平分线，∴∠DAP=∠DAB=45°．∵DP⊥AP，∴∠APD=90°．∴∠ADP=45°．∴∠CDP=45°．在Rt△APD中，AD=4，∴DP=ADsin∠DAP=2，在Rt△DEP中，∠DEP=90°，∴PE=DPsin∠CDP=2，DE=DPcos∠CDP=2．∴CE=CDDE=6，在Rt△CEP中，∠CEP=90°，PC==2，∴sin∠DCP==．【点评】本题考查了直角三角形函数以及勾股定理，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键． 24．如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】几何图形问题．【分析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．【解答】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，在Rt△ACH中，tan∠CAH=，∴CH=AHtan∠CAH，∴CH=AHtan∠CAH=6tan30°=6×（米），∵DH=1.5，∴CD=2+1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，sin∠CED=，∴CE==4+≈5.7（米），答：拉线CE的长约为5.7米．【点评】此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形...
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