是不是所有单射都是逆映射定理

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-10-17 12:13 标签： 可逆映射
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离散数学教案
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3秒自动关闭窗口关于逆映射定义和单射的理解1.单射可不可以理解成：像的原像小于等于1个?2.如果1的理解是对的,那么逆映射定义的前提：f是X到Y的单射,就不对了吧?烦请分条回答
1.应该是“像的原像等于1个”.像的定义就是被映到的元素,或者说至少有一个原像的元素,不然就不叫像了.如果f:X->Y是单射,则说明Y中元素的原像小于等于1个,但Y的子集“f的像”中元素的原像一定恰好等于一个.2.这个前提是对的.如果f:X->Y是单射,则由上面的分析,必然存在从集合"f的像"到X的逆映射.当然,除非f也是满射,则"f的像"未必等于Y,所以f的逆映射未必可以定义在整个Y上,但这并不影响逆映射本身的存在性,它一定可以定义在Y的子集“f的像”上
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【反函数】
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一函数f若要是一明确的反函数，它必须是一双射函数，即：
（单射）陪域上的每一元素都必须只被f映射到一次：不然其反函数将必须将元素映射到超到一个的值上去。
（满射）陪域上的每一元素都必须被f映射到：不然将没有办法对某些元素定义f的反函数。
若f为一实变函数，则若f有一明确反函数，它必通过水平线测试，即一放在f图上的水平线
必对所有实数k，通过且只通过一次。
（1）函数f（x）与它的反函数f-1（x）图象关于直线y=x对称；
函数及其反函数的图形关于直线y=x对称
（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}, 值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））。
（11）反函数的导数关系：如果x=f(y）在区间I上单调，可导，且f'（y)≠0，那么它的反函数y=f'（x)在区间S={x|x=f(y),y属于I }内也可导，且[f'（x)]'=1\[f'（y）]'。
（12）y=x的反函数是它本身。
⑴在函数x=f -1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f -1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f -1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。
⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f -1(x)，那么函数y=f -1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f -1(x)互为反函数。
⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数一定有反函数，如二次函数在R内不是反函数，但在其单调增（减）的定义域内，可以求反函数；另外，f（x）=1/x等函数不单调，也可求反函数。
⑷ 从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f -1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f -1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f -1(x)的定义域（如下表）：
函数：y=f(x)；
反函数：y=f -1(x)；
定义域： A C；
值域： C A；
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：
若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f -1所确定的函数y=f -1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数y=f -1(x)的定义域、值域分别对应原函数y=f(x)的值域、定义域.。开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f -1(s)=s/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f -1(x)=x/2-3.
有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=x+1/x，需将x进行分类讨论：在x大于0时的情况，x小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
反函数的符号
反函数的符号记为f -1(x)，在中国的教材里，反三角函数记为arcsin，arccos等等，但是在欧美一些国家，sinx的反函数记为sin-1(x)。咋看咋感觉这记号大有来头，怎么就觉得和x这种记号有些关系呢？
事实上，这种想法是对的，数学里没有无缘无故的规定。x^-1表示1/x，那么f^-1(x)与这是否有些关系呢？下面举几个例子来说明这点。当然，f^-1(x)肯定和1/f(x)不等，但是确实有与之很相近的性质。
1：反函数的反函数
为了好看以及对比，我有时会把f(x)写成f.对比，我把我想各位应该很好理解，反函数的反函数当然就是原函数，写成数学语言就是(f)=f,看看，这是不是有点像指数的运算法则：(x)=x呢？
2：反函数的导函数
这个应该就很像了。这也是高等数学的内容，中学同学就看不懂了，所以有些东西必须等到后面才能懂的。
(f(x))’=1/f'(y)
用自然语言来说就是，反函数的导数，等于原函数导数的倒数。这话有点绕，不过应该能读懂，这个似乎就进一步揭示了反函数符号的意义。
在这里要说明的是，y=x的反函数应该是x=y。只不过在通常的情况下，我们将x写作y，y写作x，以符合习惯。所以，虽然反函数和原函数不互为倒数，但是其导函数求出后，x与y进行交换，与原函数却是互为倒数。
3：反函数的复合函数
话说这个内容属于高等数学的内容了。大伙想想函数里面最简单最基本的函数是什么函数？不用说，肯定就是我们的恒等函数y=x，这就和我们数字里面的1一般地位，所以，我们记恒等函数为“1x”。
数字的基本运算就是加减乘除，而函数也有运算，虽然也有加减乘除，但是属于函数自己的，就是复合与反函数。我们知道在实数里，x与x的乘积等于1，在函数的复合运算里，也有类似的性质，函数f和g的复合记为f○g，那么下面的性质成立
1x○f=f○1x=f
这第一个式子已经说明很多问题。实际上，这些都是属于高等代数的内容，在每一个封闭的系统里，都有一个“单位1”，都有自己的运算法则，函数里的就是1x，实数里的就是数字1等等。要深刻理解这些，也只有大家接触群论以后才会深入理解。这里也只是做点皮毛而已。我将在后面另起一文，介绍函数的“幂”的概念，就如同数的幂一样。[1]
求y=(x-2)/(2x-1)的反函数
去分母得 2xy-y=x-2
移项合并含有x项得 x(2y-1)=y-2
x=(y-2)/(2y-1)
即 f -1(x)=(x-2)/(2x-1)
当指数函数和对数函数相切时，交点为(e,e)，底数a=e^(
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