逆酷逆袭的含义义

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-06-23 04:03 标签： 逆向物流的含义
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他们说这叫逆RYONA
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{description}线性代数: 它的几何意义是什么? - 推酷
线性代数: 它的几何意义是什么?
&&& 线性代数这门课学完了，问一下各位，到底什么是线性代数? 它到底有什么意义?
&&& ***********************************************************************
&&& 要明白线性代数的几何/物理意义，就要从我们常见的&影射几何&开始说起。
&&& 影射几何是欧洲中世纪的画家发展出来的，如图1中所示，一个人在学校里面的走廊中穿行，从一个门出来进另一个门。显然，门的大小都是一致的，也就是一样高，一样宽，但是从绘画者的角度看，门的高度并不是一样的，远的门高度小，近的门高度大。这是任何学习过绘画/摄影的人都具有的基本知识----可是在古代，这门知识并没有得到很好的描述，中国古代的绘画就严重缺少投影几何的造诣，因此在表现力上面受到严重制约。OK，那么我先提出一个总结性的陈述: 线性代数就是&投影几何&的代数化。
&&& 因为2投影几何可以概括为两个方面的代数变化: 角度和幅度。我们绘画/摄影就是把3维的点集影射到2维的点集里面。当然线性代数更加的一般化，研究的对象就是这种多维的映射本身。矩阵是什么? 矩阵就是一个映射。举个简单的例子，2元1次方程组:
&&& 2x+3y=5
&&& 3x+2y=5
&&& 这个方程组的几何意义是什么呢? 如图2所示，在x/y平面上有个点(x,y)，经过矩阵A=
&&& 映射到x'/y'平面上的点(5,5)。请问(x,y)是多少? 我们把(x,y)所在的平面看成&原像&，把(x',y')所在的平面看成&像&，那么方程组的求解就是求原像空间的哪个点经过A的映射变成(x',y')空间中的点(5,5)。求解的结果就是(1,1)。
&&& 那什么又是&线性&呢? 我们用相机给人拍照，可以角度不同，可以远近不同，但是不会有形变。这个就是线性变换。而如果是像哈哈镜那样，就是非线性变换了。写成代数的形式，线性变换就是N元1次多项式函数。经过这个函数的映射，连续的线条仍然是连续的线条，奇异点仍然是奇异点，点集之间的拓扑关系仍然保持不变----还是用刚才举例的矩阵A，这个矩阵把(x,y)平面上的点(1,1),(2,1),(3,1)映射到(x',y')平面上的(5,5),(7,8),(9,11)，在一条直线上的3个点经过映射仍然在一条直线上，看到了吧?
&&& ***********************************************************************
&&& 当然，上面的例子用的是方阵，也就是同一个维度空间之间的映射。那么更一般的情况有两种:
&&& (1)A是方阵，但是|A|=0。
&&& (2)A是一般的矩阵。
&&& 对于(1)，行列式的几何意义是，方阵代表同一个维度的映射，映射前后点集的对应关系是1对1的关系。如果上面的A=
&&& 那么显然，这个方程组有无解。而如果方程组变成齐次方程组2x+3y=0,4x+6y=0，那么有无穷组解x=-3y/2，也就是说平面(x,y)上的直线x=-3y/2上所有的点都映射到(x',y')上面的(0,0)点。而(x',y')平面上其他的所有点，都找不到(x,y)平面上的原像: 用代数的语言来说|A|=0则方针没有逆矩阵，也就是没有逆映射了。
&&& 矩阵的转置又是什么意思呢? 就是把映射的方向，x和y轴互换。T(A)=A和T(A)映射后的结果关于直线y=x对称。
&&& 对于(2)，如果我们有齐次方程组Ax=0，那么无论如何我们都有一个0解。这个也就是任何映射都有一个&不动点&。那么除了0解以外呢，有么有其他解? 这就涉及到矩阵的秩(Rank)的概念。我们让A是n*m的矩阵，不妨设n&=m。既然矩阵是个映射，那么映射本身可能存在冗余。例如我们的3维空间有3个轴，互相正交，那么3*3的矩阵A(|A|不为0)可以用来代表3维空间的映射，因此3*4的矩阵也可以。我们可以通过化简的方式，来看n个航向量等效于多少个正交向量
&&& |1,0,0......|
&&& |0,1,0......|
&&& |0,0,1......|
&&& 上面是某个3*n的矩阵A化简的结果A'，可以看到该矩阵A在不考虑&幅度&因素的情况下，对于3维空间的映射的结果等效于A'也就是3维到3维的映射，是个一一映射。A就是一个3维全息相机。
&&& 如果有个3*n的矩阵C化简得结果是C'~=
&&& |1,0,0......|
&&& |0,1,0......|
&&& |0,0,0......|
&&& 也就是非0正交向量只有两个，那么C'代表把3维空间的点集映射到2维空间，相当于普通平面照相机的功能。3维空间中的一条线可能在2维上只有一个点。
&&& 如果化简以后全0呢? 那么就只有0解，也就是方程Ax=0的解是任意的，3维空间上任意的点都映射为0维空间上唯一的0点。
&&& ***********************************************************************
&&& 上面的讨论集中于把矩阵A看成是线性方程组的表示，也就是求解映射和逆映射。这个映射本身的性质有几个: |A|是否存在代表了逆映射是否存在。非方阵代表矩阵等效于多少个单位正交向量形成的映射。
&&& 最后一个命题，什么是特征向量/特征矩阵/特征值? 还是求一个矩阵A所代表的映射，存在N个不动点En(其实是N个向量)，使得f(A,E)=A*E=E。E就是不动点，n个E的组合就是特征矩阵Me，使得A*Me=Me。特征值的绝对值代表了对应的特征向量的&幅度&信息。(完)
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阳光大学生网【新闻】 编辑：德南
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