自动控制劳斯表稳定判据闭环特征方程是怎么求得的?&希望能把特征方程也给我解释一下,我搞不清什么是特征方程,还有劳斯判据某一行乘以一个数常数结果会变化不?第三行 后面的0怎么来的？我计算了 第二个数是个负数 怎么为0啊？
血刺过去銼
某一行乘以一个常数结果不会变化,稳定性只看第一列的正负号,这个没影响.其他的太简单,还是看看书吧,再不看书目测你不及格了
第三行的第二个0， 不是-1/10(9*2-10*1)=-0.8
为啥是0啊？
请解释一下
公式都记错了，很简单的东西，就是看看书记一下，再做两道题熟练一下就完事了。
（2*1-1*2）/2=0，用第一列的
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我们做一个简短的回顾，然后继续讨论克劳修斯-,克拉珀龙方程,然后看我们能把这个方程推广到什么地步。
Let's do a one minute review, -- and then move onto the Clausius- Clapeyron equation and see how far we can go on that.
克劳修斯是德国的物理学家，1856年，他提炼了自己的思考，把物质的运动与热量以及失序的关系用数学方程式写出来。
He was German physicist and in 1856 he refined the thinking on how matter behaves as relates to heat and disorder down to a mathematical formula.
我们以前都是通过测量才得到这些东西,一般我们,利用克劳修斯-克拉伯龙方程等等,来看会发生什么事情,当我们沿着相图里面的线。
You had to take that from measurement and then given that, you could use the Clausius-Clapeyron equation and so forth and look at the way things behaved if you moved along a line in a phase diagram.
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感谢您的反馈，我们会尽快进行适当修改！机械控制理论课程 第五章 控制系统的稳定性分析_机械行业_中国百科网
机械控制理论课程 第五章 控制系统的稳定性分析
    第五章控制系统的稳定性分析
稳定性是机械工程系统的重要性能指标之一。控制系统能否工作的首要条件是确保系统稳定。
5-1 稳定性
1、稳定性的概念
稳定性：设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，若系统对干扰的瞬态响应随着时间的推移而不断扩大或发生持续振荡，则系统为不稳定。
由此可知：线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。
2、判别系统稳定性的基本原则
对于一般的反馈系统，系统的传递函数为：
基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。
设输入信号为单位脉冲信号，则有：
通过前面的学习，我们知道，当输入为单位脉冲信号时，若
则系统稳定，若，则系统不稳定。
从式可看出，要想系统稳定，只有当系统的特征根s，全部具有负实部。
综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式，线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特
征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s。平面的左半平面
显然，稳定性与零点无关。当有一个根落在右半部，系统不稳定。当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
一般情况下，确定系统稳定性的方法有：
1）直接计算或间接得知系统特征方程式的根。
2）确定特征方程的根具有负实部的系统参数的区域。
应用第一种类型的两种方法是：1）直接对系统特征方程求解；2）根轨迹法
应用第二种类型的两种方法是：1）劳斯-胡尔维茨判据；2）奈氏判据
5-2 劳斯-胡尔维茨稳定性判据
该判据不直接对特征方程式求解，而由特征方程中的已知系数，间接地判别出方程的根是否具有负实部，再判稳定性&又称代数稳定性判据。
一、胡尔维茨稳定判据
将系统的特征方程式写成：
系统稳定的充要条件是：
1）系统的特征方程式的各项系数全部为正值，即ai=0
2）由系统特征方程各项系数组成的主行列式及其各顺序主子式全部大于零。
满足这两个条件的系统是稳定的，否则系统是不稳定的。
胡尔维茨行列式可列写为：
建立规律：主对角线上元素从a0开始依次递增为an-1，再写出各列元素，按自上而下角标递减，小于0时用0代替。
在实际中，为了计算简化，可计算半数的行列式。
例：系统的特征方程为：，试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。
解：由特征方程知：1）ai=0
所以，不满足胡尔维茨行列式，系统不稳定。
二、劳斯判据
当系统特征方程阶次越高，利用胡氏判据时，行列式计算工作量越大，所以高阶时，可用劳斯判据判别系统的稳定性。
劳斯稳定判据就是这种间接的方法（不用直接求根，因为求根很复杂），它是由劳斯 于1877年首先提出的。
有关劳斯判据自身的数学论证，从略。
本节主要介绍该判据有关的结论及其在判别控制系统稳定性方面的应用。
劳斯判据步骤如下：
1）列出系统特征方程：
检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。
可见，ai>0 (i=0,1,2,&,n)，是满足系统稳定的必要条件。
2）按系统的特征方程式列写劳斯表
注意：在上述计算过程中，为了简化数学运算，可以用一个正整数去除或乘某一整行，这时并不改变系统稳定性的结论。
3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a0、a1、b1、c1、&&的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等
于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。
通常a0 > 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
例 已知一调速系统的特征方程式为
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：列劳斯表
由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。
例已知某调速系统的特征方程式为
求该系统稳定的K值范围。
解：列劳斯表
由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。
※※ 劳斯判据特殊情况
在应用劳斯判据时，有可能会碰到以下两种特殊情况。
&劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现使劳斯表无法继续往下排列。解决的办法是以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。
若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
例已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。
解：列劳斯表
由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。
&劳斯表中出现全零行
则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。例如，一个控制系统的特征方程为
由于这一行全为0，用上一行组成辅助多项式
由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根。令F(s)=0，
求得两对大小相等、符号相反的根，显然这个系统处于临界稳定状态。
5-3 奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion)
奈氏判据是用频率特性来判断系统稳定性的方法，即用开环奈氏图来判断闭环系统的稳定性。它是判别稳定性的图解法，是一种几何判据。
一、奈氏稳定判据
考虑上图所示的闭环系统，其闭环传递函数为
，要使系统稳定，闭环极点要全部位于复平面的左半部。奈氏判据正是将开环频率特性与系统的闭环极点联系起来的判据。
从稳定的充分必要条件出发，发现闭环传递函数的分母联系着开闭环之间的零点与极点。
设一辅助函数，
可看出，F(s)的极点即开环传递函数的极点，而F(s)的零点即闭环传递函数的极点。奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应与在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析。奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的。
3、奈奎斯特稳定判据的陈述
※ 绘制w从变化时的开环频率特性曲线，即开环奈氏图，并在曲线上标出w从增加的方向。
※ 根据曲线包围（-1，j0）点的次数和方向，求出N的大小和正负。
N&&w从时，曲线对（-1，j0）点包围的次数。
当N>0时，按逆时针方向包围的情况。
当N<0时，按顺时针方向包围的情况。
当N=0时，表示曲线不包围（-1，j0）点。
N求法：从（-1，j0）点向曲线上作一矢量，并计算这个矢量当w从变化时相应转过的‘净’角度，规定逆时针为正角度方向，并按转过
3600折算N=1，转过-3600折算-1。
※ 由给定的开环传递函数确定开环右极点数P，P为正整数或0。
※ 由Z=P-2N确定系统的稳定性。
Z为闭环右极点的个数，其为正整数或0
系统稳定时，Z=0，即P=2N
※ 若曲线刚好通过（-1，j0）点，表明闭环系统有极点位于虚轴上，系统处于临界稳定状态，归于不稳定。
例：已知系统开环传递函数
应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性
其奈氏曲线为：
由图可见，开环Nyquist曲线顺时针包围(-1，j0)点一圈，即N＝-1：
而开环特征根全部位于左半s平面，即P＝0，由Nyquist判据知，系统闭环不稳定。
※※补充：当系统含有积分环节时，其开环奈氏曲线不封闭，此时需作辅助线。即按常规方法作出&由0+& &变化时的Nyquist曲线后，从G(j0)开始，以&的半径顺时针补画v90 &的圆弧(辅助线)得到完整的Nyquist曲线。显然，对于最小相位系统，其辅助线的起始点始终在无穷远的正实轴上。
5-4 系统的相对稳定性
奈氏判据法通过研究开环传递函数的轨迹和（-1，j0）点的关系及开环极点数来判别系统的稳定性。但如何来判断系统稳定的程度，则可用相位裕量和幅值裕量来表示。
一、相位裕量和幅值裕量
1、相位裕量
在奈氏图上，从原点到奈氏图与单位圆的交点连一直线，则该直线与负实轴的夹角，就称为相位裕量。用表示。
幅值穿越频率&c：开环Nyquist曲线与单位圆的交点对应的频率&c称为幅值穿越频率，也称剪切频率。
，其中称为奈氏图与单位圆交点频率&c上的相位角。
>0，系统稳定；，系统不稳定，越小，表示系统相对稳定性越差，一般取。其在图中的位置如图所示。
2、幅值裕量
在奈氏图上，奈氏曲线与负实轴交点处幅值的倒数，称为幅值裕量，用kg表示。
相位穿越频率&g：开环Nyquist曲线与负实轴的交点对应的频率&g称为相位穿越频率，也称相位交界频率。其在图中的位置如图所示。
当，则kg>1，kg(dB)>0dB，系统是稳定的。
当，则kg1，kg(dB)0dB，系统是不稳定的。
Kg一般取8～20dB为宜。
二、关于相位裕量和幅值裕量的几点说明
控制系统的相位裕量和幅值裕量是系统的极坐标图对-1+j0点靠近程度的度量。因此，这两个裕量可以用来作为涉及准则。
只用幅值裕量和相位裕量，都不足以说明系统的的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。
对于最小相位系统，只有当相位裕量和幅值裕量都是正值时，系统才是稳定的。负的裕量表示系统不稳定。适当的相位裕量和幅值裕量可以防止系统中元件变化造成的影响，并且指明了频率值。为了得到满意的性能，相位裕量应当在之间，幅值裕量应取8～20dB。
收录时间:日 01:41:40 来源:马棚网 作者:匿名
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重要公式及其推导
劳斯-赫尔维茨（Routh-Hurwitz）稳定判据
判别系统稳定性最基本的方法是根据特征方程式的根的性质来判定。但求解高于三阶的特征方程式相当复杂和困难。所以在实际应用中提出了各种工程方法，它们无需求特征根，但都说明了特征根在复平面上的分布情况，从而判别系统的稳定性。本节主要介绍代数判据。
（一） 系统稳定性的初步判别
设已知控制系统的特征方程
式中所有系数均为实数，且a0&0
系统稳定的必要条件是上述特征方程式所有系数均为正数。可简单证明如下：
将特征方程写成用特征根表达的形式
假如所有特征根均在S平面的左半部，即-σi&0，-αk&0，则式（3-1）中的σi&0，αk&0 （i=1，…，q；k=1，…，l；q&#43;2l=n），若把式（3-1）的乘积展开，s多项式的各项系数必然均大于零。
根据这一原则，在判别系统稳定性时，可事先检查一下系统特征方程式的系数是否均为正数。如果有任何一项系数为负数或等于零（即缺项），则系统是不稳定或临界稳定的。假如只是判别系统是否稳定，到此就不必作进一步的判别了。如果系数均为正数，对二阶系统来说肯定是稳定的（必要且充分），但对二阶以上的系统，还要作进一步的判别。
（二） 劳斯判据（Routh）
将系统的特征方程写成如下标准形式
并将各系数组成如下排列的劳斯表：
表中的有关系数为
………………………
系数bi的计算一直进行到其余的b&#20540;全部等于零为止。
………………………
这一计算过程一直进行到n行为止。为了简化数&#20540;运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的各项，这时并不改变稳定性的结论。
列出了劳斯表以后，可能出现以下几种情况。
1．第一列所有系数均不为零的情况，这时，劳斯判据指出，系统极点实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。系统极点全部在复平面的左半平面的充分必要条件是方程的各项系数全部为正&#20540;，并且劳斯表的第一列都具有正号。
2．某行第一列的系数等于零，而其余项中某些项不等于零的情况。在计算劳斯表中各元素的数&#20540;时，如果某行的第一列的数&#20540;等于零，而其余的项中某些项不等于零，那么可以用一有限小的数&#20540;ε来代替为零的那一项，然后按照通常方法计算阵列中其余各项。如果零（ε）上面的系数符号与零（ε）下面的系数符号相反，表明这里有一个符号变化。
3．某行所有各项系数均为零的情况，如果劳斯表中某一行的各项均为零，或只有等于零的一项，这表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实极点和（或）一些共轭虚数极点。为了写出下面各行，将不为零的最后一行的各项组成一个方程，这个方程叫作辅助方程，式中s均为偶次。由该方程对s求导数，用求导得到的各项系数来代替为零的各项，然后继续按照劳斯表的列写方法，写出以下的各行。至于这些根，可以通过解辅助方程得到。但是当一行中的第一列的系数为零，而且没有其它项时，可以像情况2所述那样，用ε代替为零的一项，然后按通常方法计算阵列中其余各项。
（三） 赫尔维茨判据（Hurwitz）
分析6阶以下系统的稳定性时，还可以应用赫尔维茨判据。 将系统的特征方程写成如下标准形式
现以它的各项系数写出如下之行列式：
行列式中，对角线上各元为特征方程中自第二项开始的各项系数。每行以对角线上各元为准，写对角线左方各元时，系数a的脚标递增；写对角线右方各元时，系数a的脚标递减。当写到在特征方程中不存在系数时，则以零来代替。
赫尔维茨判据描述如下：系统稳定的充分必要条件在a0&0的情况下是，上述各行列式的各阶主子或均大于零，即对稳定系统来说要求
赫尔维茨稳定判据虽然在形式上与劳斯判据不同，但实际结论是相同的。
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