（2009o卢湾区二模）如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足HPoPM=0，PM=-3/2MQ．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过定点F（1，0）作互相垂直的直线l与l'，l与（1）中的轨迹C交于A、B两点，l'与（1）中的轨迹C交于D、E两点，求四边形ADBE面积S的最小值；（3）（在下列两题中，任选一题，写出计算过程，并求出结果，若同时选做两题，则只批阅第②小题，第①题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：①将（1）中的曲线C推广为椭圆：x2/2+y2=1，并将（2）中的定点取为焦点F（1，0），求与（2）相类似的问题的解；②（解答本题，最多得9分）将（1）中的曲线C推广为椭圆：x2/a2+y2/b2=1，并将（2）中的定点取为原点，求与（2）相类似的问题的解．-乐乐课堂
& 直线与圆锥曲线的综合问题知识点 & “（2009o卢湾区二模）如图，已知点H（...”习题详情
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（2009o卢湾区二模）如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足HPoPM=0，PM=-32MQ．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过定点F（1，0）作互相垂直的直线l与l'，l与（1）中的轨迹C交于A、B两点，l'与（1）中的轨迹C交于D、E两点，求四边形ADBE面积S的最小值；（3）（在下列两题中，任选一题，写出计算过程，并求出结果，若同时选做两题，则只批阅第②小题，第①题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：①将（1）中的曲线C推广为椭圆：x22+y2=1，并将（2）中的定点取为焦点F（1，0），求与（2）相类似的问题的解；②（解答本题，最多得9分）将（1）中的曲线C推广为椭圆：x2a2+y2b2=1，并将（2）中的定点取为原点，求与（2）相类似的问题的解．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2009-卢湾区二模
分析与解答
习题“（2009o卢湾区二模）如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足HPoPM=0，PM=-3/2MQ．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）...”的分析与解答如下所示：
（1）设M（x，y），P（0，b），Q（a，0）（a≥0），&HP&=(3&，&b)，&PM&=(x&，&y-b)，&MQ&=(a-x&，&-y)，由&PM&=-32&MQ&，得{&x=-32(a-x)y-b=32y0，从而a=13x，b=-12y，由&HP&o&PM&=0，得HP⊥PM，由此能求出M的轨迹C．（2）设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），直线l'的方程为y=-1k(x-1)，（k≠0），设A（x1，y1）、B（x2，y2），由{y=k(x-1)y2=4x，得ky2-4y-4k=0，故|AB|=4(1+k2)k2，同理|DE|=4（1+k2）由此能求出四边形ADBE面积S的最小值．（3）①当k≠0时设直线l的方程为y=k（x-1），由{y=k(x-1)x22+y2=1，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，故|AB|=2√2(1+k2)1+2k2，|DE|=2√2(1+k2)k2+2，由此能求出四边形ADBE面积S的最小值．②由题设，设直线l的方程为y=kx，当k≠0时，由{y=kxx2a2+y2b2=1，得（b2+a2k2）x2-a2b2=0，所以|AB|=2ab√1+k2√b2+a2k2，同理|DE|=2ab√1+k2√b2k2+a2，由此能求出四边形ADBE面积S的最小值．
解：（1）设M（x，y），P（0，b），Q（a，0）（a≥0），易知&HP&=(3&，&b)，&PM&=(x&，&y-b)，&MQ&=(a-x&，&-y)，由题设&PM&=-32&MQ&，得{&x=-32(a-x)y-b=32y其中a≥0，从而a=13x，b=-12y，且x≥0，又由已知&HP&o&PM&=0，得HP⊥PM，当b≠0时，y≠0，此时kHP=b3，得kPM=-3b，又kPM=kPQ，故-ba=-3b，a=b23，即13x=13(-12y)2，y2=4x（x≠0），当b=0时，点P为原点，HP为x轴，PM为y轴，点Q也为原点，从而点M也为原点，因此点M的轨迹C的方程为y2=4x，它表示以原点为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（4分）（2）由题设，可设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），直线l'的方程为y=-1k(x-1)，（k≠0），又设A（x1，y1）、B（x2，y2），则由{y=k(x-1)y2=4x，消去x，整理得ky2-4y-4k=0，故|AB|=4(1+k2)k2，同理|DE|=4（1+k2），（7分）则S=12|AB|o|DE|=12o4(1+k2)k2o4(1+k2)=8(k2+1k2+2)≥32，当且仅当k=±1时等号成立，因此四边形ADBE面积S的最小值为32．（9分）（3）①当k≠0时可设直线l的方程为y=k（x-1），由{y=k(x-1)x22+y2=1，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，故|AB|=2√2(1+k2)1+2k2，|DE|=2√2(1+k2)k2+2，（12分）S=4(1+k2)2(1+2k2)(k2+2)=2-2k22k4+5k2+2=2-22k2+2k2+5≥169，当且仅当k2=1时等号成立．（14分）当k=0时，易知|AB|=2√2，|DE|=√2，得S=2＞169，故当且仅当k2=1时四边形ADBE面积S有最小值169．（15分）②由题设，可设直线l的方程为y=kx，当k≠0时，由{y=kxx2a2+y2b2=1，消去x，整理得（b2+a2k2）x2-a2b2=0，得|AB|=2ab√1+k2√b2+a2k2，同理|DE|=2ab√1+k2√b2k2+a2，（12分）则S=12|AB|o|DE|=2a2b2(1+k2)√(b2+a2k2)(b2k2+a2)，其中k2＞0，若令u=1+k2，则由v=(b2+a2k2)(b2k2+a2)(1+k2)2=(a2u-c2)(b2u+c2)u2=a2b2+c4u-c4u2=-c4(1u-12)2+(a2+b2)24，其中u＞1，即0＜1u＜1，故当且仅当u=2，即k2=1时，v有最大值(a2+b2)24，由S=2a2b2√v，得S有最小值4a2b2a2+b2，故当且仅当k=±1时，四边形ADBE面积S有最小值为4a2b2a2+b2．（17分）又当k=0时，|AB|=2a，|DE|=2b，此时S=2ab，由4a2b2a2+b2＜2ab，得当且仅当k=±1时，四边形ADBE面积S有最小值为4a2b2a2+b2．（18分）
本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
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（2009o卢湾区二模）如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足HPoPM=0，PM=-3/2MQ．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹...
错误类型：
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经过分析，习题“（2009o卢湾区二模）如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足HPoPM=0，PM=-3/2MQ．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）...”主要考察你对“直线与圆锥曲线的综合问题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
直线与圆锥曲线的综合问题
直线与圆锥曲线的综合问题．
与“（2009o卢湾区二模）如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足HPoPM=0，PM=-3/2MQ．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）...”相似的题目：
已知斜率为-2的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点为．直线l2与y轴交于点M（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点P，Q，O为坐标原点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）求λ的值；（3）求m的取值范围．&&&&
已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．若动点M满足F1M=F1A+F1B+F1O（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；
已知椭圆方程为（a＞b＞0），长轴两端点A、B，短轴上端顶点为M，点O为坐标原点，F为椭圆的右焦点，且=1，|OF|=1．（1）求椭圆方程；（2）直线l交椭圆于P、Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．&&&&
“（2009o卢湾区二模）如图，已知点H（...”的最新评论
该知识点好题
1设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的半焦距为c，离心率为54．若直线y=kx与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于（　　）
2已知点P的坐标是（-1，3），F是椭圆x216+y212=1的右焦点，点Q在椭圆上移动，|QF|+12|PQ|的最小值是（　　）
3设椭圆x26+y22=1和双曲线x23-y2=1的公共焦点分别为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为（　　）
该知识点易错题
1设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的半焦距为c，离心率为54．若直线y=kx与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于（　　）
2已知点P的坐标是（-1，3），F是椭圆x216+y212=1的右焦点，点Q在椭圆上移动，|QF|+12|PQ|的最小值是（　　）
3设椭圆x26+y22=1和双曲线x23-y2=1的公共焦点分别为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“（2009o卢湾区二模）如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足HPoPM=0，PM=-3/2MQ．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过定点F（1，0）作互相垂直的直线l与l'，l与（1）中的轨迹C交于A、B两点，l'与（1）中的轨迹C交于D、E两点，求四边形ADBE面积S的最小值；（3）（在下列两题中，任选一题，写出计算过程，并求出结果，若同时选做两题，则只批阅第②小题，第①题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：①将（1）中的曲线C推广为椭圆：x2/2+y2=1，并将（2）中的定点取为焦点F（1，0），求与（2）相类似的问题的解；②（解答本题，最多得9分）将（1）中的曲线C推广为椭圆：x2/a2+y2/b2=1，并将（2）中的定点取为原点，求与（2）相类似的问题的解．”的答案、考点梳理，并查找与习题“（2009o卢湾区二模）如图，已知点H（-3，0），动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于零，点M在直线PQ上，且满足HPoPM=0，PM=-3/2MQ．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过定点F（1，0）作互相垂直的直线l与l'，l与（1）中的轨迹C交于A、B两点，l'与（1）中的轨迹C交于D、E两点，求四边形ADBE面积S的最小值；（3）（在下列两题中，任选一题，写出计算过程，并求出结果，若同时选做两题，则只批阅第②小题，第①题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：①将（1）中的曲线C推广为椭圆：x2/2+y2=1，并将（2）中的定点取为焦点F（1，0），求与（2）相类似的问题的解；②（解答本题，最多得9分）将（1）中的曲线C推广为椭圆：x2/a2+y2/b2=1，并将（2）中的定点取为原点，求与（2）相类似的问题的解．”相似的习题。如图，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8。（1）求此抛物线的解析式；（2）若P点为抛物线上不同于A的一点-数学试题及答案
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1、试题题目：如图，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上..
发布人：繁体字网（） 发布时间： 07:30:00
如图，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8。（1）求此抛物线的解析式；（2）若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R。①求证：PB=PS；②判断△SBR的形状；③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由。
&&试题来源：期中题
&&试题题型：解答题
&&试题难度：偏难
&&适用学段：初中
&&考察重点：求二次函数的解析式及二次函数的应用
2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
解：（1）DE=8，∴F（2，2），∴；（2）①设P（2a，a2+1），则PS=a2+1，又，∴∴PB=PS；②同理，QB=QR，∴，同理，，∴∠QBR+∠PBS=90°，∴∠RBS=90°，△SBR是直角三角形；③设P（2a，a2+1），由B（0，2），又RS=，假设存在M，使对应三角形相似，则是RS中点，与原点O重合，∴存在点M，是对应三角形相似，此时，M是RS中点或M与点O重合。
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：
&&&&经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上..”的主要目的是检查您对于考点“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”。
4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50、51、52、如图：已知在△ABC中，E是BC边中点，AD平分∠BAC,且EF∥AD,求证:BO=CF（要详细过程，求各位哥哥姐姐帮忙啊_百度知道
提问者采纳
AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC∵EF//AD∴∠DAC=∠F; ∠BAD=∠FOA∴∠F=∠FOA∴AF=AO∵EF//ADBE/ED=BO/AO=BO/AF
(1)ED/CE=AF/CF (2)∵E是BC中点∴BE=EC∴BE/ED=EC/ED∴有（1）(2)得EC/ED=BO/AF=CF/AF∴BO=CF
提问者评价
按照你说的，真的成功了，好开心，谢谢你！
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出门在外也不愁当前位置：
＞＞＞如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线..
如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．①求证：PB=PS；②判断△SBR的形状；③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似？若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：偏难来源：福建省月考题
解：（1）∵B点坐标为（0，2），∴OB=2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4．∴C点坐标为（﹣2，2），F点坐标为（2，2）．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．其过三点A（0，1），C（﹣2，2），F（2，2）．得：，解这个方程组得：a=，b=0，c=1，∴此抛物线的解析式为y=x2+1；（2）①证明：如答图1，过点B作BN⊥PS，垂足为N．∵P点在抛物线y=x2+1上，可设P点坐标为（a，a2+1）．∴PS=a2+1，OB=NS=2，BN=﹣a．∴PN=PS﹣NS=a2﹣1，在Rt△PNB中，PB2=PN2+BN2=（a2﹣1）2+a2=（a2+1）2，∴PB=PS=a2+1；②根据①同理可知BQ=QR．∴∠1=∠2，又∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，同理∠SBP=∠5，∴2∠5+2∠3=180°，∴∠5+∠3=90°，∴∠SBR=90°．∴△SBR为直角三角形；③如答图2，作QN⊥PS，设PS=b，QR=c，∵由①知PS=PB=b，QR=QB=c，PQ=b+c，PN=b﹣c．∴QN2=SR2=（b+c）2﹣（b﹣c）2，∴SR=2．假设存在点M，且MS=x，MR=2﹣x．若使△PSM∽△MRQ，则有．即x2﹣2x+bc=0，∴x1=x2=．∴SR=2，∴M为SR的中点；若使△PSM∽△QRM，则有．∴．∴．∴M点即为原点O．综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；当点M为原点时，△PSM∽△MRQ．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线..”主要考查你对&&求二次函数的解析式及二次函数的应用，直角三角形的性质及判定，勾股定理，相似三角形的判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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求二次函数的解析式及二次函数的应用直角三角形的性质及判定勾股定理相似三角形的判定
求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。直角三角形定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。 直角三角形性质：直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD)2=BD·DC。（2）（AB)2=BD·BC。（3）（AC)2=CD·BC。性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则&&& BD:DC=AB:AC直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）勾股定理:直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。定理作用⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。勾股定理的应用：数学从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。生活勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。2、2005年珠峰高度复测行动。测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。通俗来说，就是分三步走：第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形。例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'相似三角形的判定：1.基本判定定理(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。2.直角三角形判定定理(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。3.一定相似：（1）.两个全等的三角形（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）（2）.两个等腰三角形（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。） （3）.两个等边三角形(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)　（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。相似三角形判定方法：证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。一、（预备定理）平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）二、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。三、如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。& 四、如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似五（定义）对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形六、两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。七、两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。八、由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc易失误比值是一个具体的数字如：AB/EF=2而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1
发现相似题
与“如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线..”考查相似的试题有：
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