> 【答案带解析】如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC...
如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0&＜θ＜90&）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45&时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．
（1）△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF；
（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由对顶角相等，易证得△BMA∽△CMG，根据相似三角形的对应角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可证得BD⊥CF；
②首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN的...
考点分析：
考点1：全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
考点2：勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=c2-b2，b=c2-a2及c=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
考点3：等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R=1：2+1．
考点4：正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质&&&& ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；&&&& ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；&&&& ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．&&&& ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
考点5：旋转的性质
（1）旋转的性质：　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
考点6：相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
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题型：解答题
难度：中等
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满分5 学习网 . All Rights Reserved.解：（1）BD=CF成立。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
………………1分
理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF。&&&&&&&&&&&&&&
………………2分
∵当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°），
∴∠BAD=∠CAF=θ。&&&&&&&&&&&&
………………3分
在△BAD和△CAF中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）&&&&&&&
∴BD=CF。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
………………4分
（2）①证明：设BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABG=∠GCA。& ………………5分
又∵∠BMA=∠CMG，
∴∠BGC=∠BAC=90°。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
………………6分
∴BG⊥CF，即BD⊥CF。
②解法一：
如图，连接FD，交AC于点N
∵在正方形ADEF中，AD=DE=
∴AN=FN=AE=1，FD=2。
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC-AN=3，
∴在Rt△FCN中，。………7分
∵△BAD≌△CAF（已证），∴BD=CF=。
设FG=，在Rt△FGD中，∵FD=2，∴GD=。………………8分
∵CF=，∴CG=。
∵在等腰直角△ABC 中，AB=AC=4，，∴。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
………………9分
∵在Rt△BCG中，
…………11分
解之，得，（不合题意，故舍去）
∴FG=。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
………………14分
如图，连接FD，交AC于点N；连接CD。&&&&&
&………………7分
同解法一，可得：
DG=，CG=， ………………8分
易证△ACD≌△ABD（SAS），&&&&&&&&&&&&&&&&
………………9分
可得CD=BD=，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ………………10分
在Rt△CGD中，
即&& &&&&&&&
………………12分
解之，得&&& 故FG= &&&
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科目：初中数学
24、（1）如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，CF平分∠ACG，E是CF上一点，若∠ADE=60°求证：DA=DE（2）如图2，四边形ABCD是正方形，M为AB上的一点，BF平分∠CBG，E是BF上一点，若DM⊥ME，与（1）中类似的结论是什么？（不必证明）（3）在（2）若将DM⊥ME换为MD=ME，能不能证明DM⊥ME？说明理由．
科目：初中数学
23、已知△ABC，分别以AB、BC、CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF．（1）如图，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；（2）如图，当△ABC中只有∠ACB=60°时，请你证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和．
科目：初中数学
（2013?鞍山一模）尺规作图（保留作图痕迹）（1）如图1，△ABC是等边三角形，过点A作出BC边上的高；（2）如图2，△ABC为任意三角形，过点B作BD⊥AC于点D；（3）如图3，现在有一块直角三角形钢板，∠ABC=90°，AC=10，AB=6，工人师傅想用它裁出面积最大的△ABP，且∠APB=60°，请在图中画出符合要求的点P（尺规作图，保留作图痕迹）并求出的面积．
科目：初中数学
下列说法：①如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，则△ABC能被一条直线分成两个小等腰三角形．②如图2，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中等腰三角形有6个．③如图3，△ABC是等边三角形，CD⊥AD，且AD∥BC，则AD=AB．④如图4，△ABC中，点E是AC上一点，且AE=AB，连接BE并延长至点D，使AD=AC，∠DAC=∠CAB，则∠DBC=∠DAB其中，正确的有③④（请写序号，错选少选均不得分）
科目：初中数学
24．数学课上，张老师出示了问题：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC的中点．∠ADE=60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E，求证：AD=DE．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接MD，则△BMD是等边三角形，易证△AMD≌△DCE，所以AD=DE．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点D是边BC的中点”改为“点D是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AD=DE”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小亮提出：如图3，点D是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AD=DE”仍然成立．你认为小华的观点正确（填“正确”或“不正确”）．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝C
如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝C
如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立.（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0?＜O＜90?）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G.①求证：BD⊥CF；②当AB＝4，AD＝根号2时，求线段BG的长.
⑴BD=CF成立。理由：∵ΔABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∵ADEF是正方形，∴AD=AF，∠BAC=∠DAF，∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF。⑵①由⑴全等得：∠ABD=∠ACE，∴∠GBC+∠GCB=∠GBC+∠ACF+∠ACB=(∠ABG+∠GBC)+∠ACB=45°+45°=90°，∴∠BGC=90°，∴BG⊥CF。②过D作DH⊥AB于H，AH=DH=AD÷√2=1，∴BH=3，∴BD=√(BE&^2+DH^2)=√10，延长AD交BC于P，则BP=CP，(AD平分∠BAC，AB=AC，等腰三角形三线合一)由∠BCG=90°知：DP∥CG，∴BD/DG=BP/CP=1，∴BG=2BD=2√10。
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& &SOGOU - 京ICP证050897号4发现相似题如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=根号下2时，求线段BG的长．
解（1）BD=CF成立．理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，AB=AC∠BAD=∠CAFAD=AF∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD=CF．…（3分）（2）①证明：设BG交AC于点M．∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM．∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG．∴∠BGC=∠BAC=90°．∴BD⊥CF．…（6分）②过点F作FN⊥AC于点N．∵在正方形ADEF中，AD=DE=2，∴AE=AD2+DE2=2，∴AN=FN=12AE=1．∵在等腰直角△ABC中，AB=4，∴CN=AC-AN=3，BC=AB2+AC2=42．∴在Rt△FCN中，tan∠FCN=FNCN=13．∴在Rt△ABM中，tan∠ABM=AMAB=tan∠FCN=13．∴AM=13AB=43．∴CM=AC-AM=4-43=83，BM=AB2+AM2=4103．…（9分）∵△BMA∽△CMG，∴BMBA=CMCG．∴41034=83CG．∴CG=4105．…（11分）∴在Rt△BGC中，BG=BC2-CG2=8105．…（12分）
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