（2013o鹰潭模拟）某校九年级（1）班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小明将一块直角三角板的直角顶点放在斜边BC边的中点O上，从BC边开始绕点A顺时针旋转，其中三角板两条直角边所在的直线分别交AB、AC于点E、F．
（1）小明在旋转中发现：在图1中，线段AE与CF相等．请你证明小明发现的结论；
（2）小明将一块三角板中含45°角的顶点放在点A上，从BC边开始绕点A顺时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．当0°＜α≤45°时，小明在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：
BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：
小颖的方法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；
小亮的方法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）．
请你从中任选一种方法进行证明；
（3）小明继续旋转三角板，在探究中得出：当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立．现请你继续探究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
（1）连接OA，证△AEO≌△CFO，推出AE=CF即可；
（2）成立．小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DFE中应用勾股定理而证明；小亮的方法是将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，根据旋转的性质用SAS得到△ACE≌△ACG，从而在Rt△CEG中应用勾股定理而证明．
（3）当135°＜α＜180°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立．可以根据小颖和小亮的方法进行证明即可．
（1）证明：如图1，连接OA．
∵在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°．
又∵点O是BC的中点，
∴OA=OC，∠EAO=∠C=45°．
∵∠EOF=90°，
∴∠AEO=∠B+∠BOE，∠CFO=180°-∠C-（180°-∠BOE-90°）=45°+∠BOE=∠B+∠BOE，
∴∠AEO=CFO，
在△AEO与△CFO中，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
（2）选择小颖的方法．
证明：如图2，连接EF．
由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，
∵∠BAD=∠FAD，
∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．
在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，
∴BD2+CE2=DE2．&&&&&&&
（3）解：当135°＜α＜180°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立．证明如下：
&如图4，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G．
∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，
∴AF=AB，∠AFD=∠ABD=135°，∠BAD=∠FAD．
又∵AC=AB，∴AF=AC．
又∵∠CAE=90°-∠BAE=90°-（45°-∠BAD）=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE．
∴∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=∠135°-∠C=135°-45°=90°．
∴∠DFE=90°．
在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2．（1）如图，BE是∠ABD的平分线．CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小．（2）在△ABC中，∠A=50°，高BE、CF交于O，且O不与B、C重合，求∠BOC的度数．_百度作业帮
（1）如图，BE是∠ABD的平分线．CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小．（2）在△ABC中，∠A=50°，高BE、CF交于O，且O不与B、C重合，求∠BOC的度数．
（1）如图，BE是∠ABD的平分线．CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小．（2）在△ABC中，∠A=50°，高BE、CF交于O，且O不与B、C重合，求∠BOC的度数．
（1）连接AD、AG并延长．∵∠BGM=∠ABG+∠BAG，∠CGM=∠CAG+∠ACG，∴∠BGC=∠BAC+∠ABE+∠ACF．∵∠BDN=∠ABD+∠DAB，∠CDN=∠ACD+∠DAC，∴∠ABD+∠ACD=∠BDC-∠BAC．∵BE是∠ABD的平分线．CF是∠ACD的平分线，∴∠ABE+∠ACF=12（∠ABD+∠ACD），∴∠BAC=∠BGC-12（∠ABD+∠ACD）=∠BGC-12（∠BDC-∠BAC），即∠BAC=2∠BGC-∠BDC=80°．（2）当点O在三角形的内部时，则∠BOC=∠EOF=360°-∠A-∠AFO-∠AEO=130°；当点O在三角形的外部时，则∠BOC=90°-（90°-50°）=50°．故∠BOC=130°或50°．
本题考点：
三角形内角和定理．
问题解析：
（1）连接AD、AG并延长．根据三角形的内角和定理的推论进行计算；（2）由O不与B、C重合知，∠B、∠C均非直角，这样，△ABC既可能是锐角三角形，又可能是钝角三角形，应分两种情况讨论．解：（1）证明：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°。
∴∠CAD+∠ADC=90°。
又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，
∴∠PAC=∠ADC。∴∠CAD+∠PAC=90°。
∴PA⊥OA。
又∵AD是⊙O的直径，∴PA是⊙O的切线。
（2）由（1）知，PA⊥AD，
又∵CF⊥AD，∴CF∥PA。∴∠GCA=∠PAC。
又∵∠PAC=∠PBA，∴∠GCA=∠PBA。
又∵∠CAG=∠BAC，∴△CAG∽△BAC。
∴，即AC2=AG•AB。
∵AG•AB=12，∴AC2=12。∴AC=。
（3）设AF=x，
∵AF：FD=1：2，∴FD=2x。∴AD=AF+FD=3x。
在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AF•AD，即3x2=12。
解得；x=2。
∴AF=2，AD=6。∴⊙O半径为3。
在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，
∴根据勾股定理得：。
由（2）知，AG•AB=12，∴。
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°。
在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=，AD=6，∴sin∠ADB=。
∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，∴sin∠ACE=。
试题分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案。
（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG•AB，求出AC即可；
（3）先求出AF的长，根据勾股定理得即可得出sin∠ADB=，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可。　
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
（2013?包头）如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG?AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．
科目：初中数学
如图，已知在等边三角形ABC的边AC、BC上各取一点P、Q，且AP=CQ，AQ、BP相交于点O，（1）求证：△ABP≌△ACQ；（2）求∠BOQ的度数．
科目：初中数学
来源：2013年内蒙古包头市高级中等学校招生考试数学
如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC＝∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG·AB＝12，求AC的长；
(3)在满足(2)的条件下，若AF：FD＝1：2，GF＝1，求⊙O的半径，及sin∠ACE的值．
科目：初中数学
来源：2013年内蒙古包头市中考数学试卷（解析版）
题型：解答题
如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG?AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．如图,在三角形abc中,角平分线be与cf相交于点o.求证,角boc等于90度加1/2角a.如图,在三角形abc中,角平分线be与cf相交于点o.求证,角boc等于90度加1/2角a._百度作业帮
如图,在三角形abc中,角平分线be与cf相交于点o.求证,角boc等于90度加1/2角a.如图,在三角形abc中,角平分线be与cf相交于点o.求证,角boc等于90度加1/2角a.
如图,在三角形abc中,角平分线be与cf相交于点o.求证,角boc等于90度加1/2角a.如图,在三角形abc中,角平分线be与cf相交于点o.求证,角boc等于90度加1/2角a.
很好算的,因为角BOC＝角BEC+角ACF又因为角BEC＝角A加角ABE所以就有角BOC=角A+角ABE+角ACF又因为BE平分角B,FC平分角C所以有180°－角A＝2(角ABE+角ACF)将上等式左边的2移相得90°－1/2角A＝角ABE+角ACF又因为角BOC=角A+角ABE+角ACF因为角ABE+角ACF＝90°+1/2角A所以有角BOC=角A+(90°-1/2角A)打开括号得角BOC=90°+1/2角A不会可以继续追问
????????????BOC????BEC+??ACF???????BEC????A???ABE??????н?BOC=??A+??ABE+??ACF?????BE????B,FC????C??????180????A??2(??ABE+??ACF)??????????2?????90??1/2??A????ABE+??ACF???????BOC=??A+??ABE+??ACF?????ABE+??ACF??90??+1/2??A?????н?BOC=??A+(90??-1/2??A)????????BOC=90??+1/2??A ?????????????
?????????????????????????????【答案】分析：由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得①∠BOC=90&+∠A正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn正确；又由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，可判定△BEO与△CFO是等腰三角形，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，即可求得④正确．解答：解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180&，∴∠OBC+∠OCB=90&-∠A，∴∠BOC=180&-（∠OBC+∠OCB）=90&+∠A；故①正确；假设EF是△ABC的中位线，则EA=EB，FA=FC，∴EO=EA，FO=FA，∴EA+FA=EO+FO=EF，推出在△AEF中两边之和等于第三边，不成立，∴EF不可能是△ABC的中位线，故②结论正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE?OM+AF?OD=OD?（AE+AF）=mn；故③正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠EAB=∠OBC，∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴EB=EO，FO=FC，∴EF=EO+FO=BE+CF，∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故④正确．∴其中正确的结论是①②③④．故选D．点评：此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质，以及圆与圆的位置关系．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
如图，点F是△ABC外接圆的中点，点D、E在边AC上，使得AD=AB，BE=EC．证明：B、E、D、F四点共圆．
科目：初中数学
27、如图，点P是△ABC内的一点，有下列结论：①∠BPC＞∠A；②∠BPC一定是钝角；③∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP．其中正确的结论共有（　　）A、0个B、1个C、2个D、3个
科目：初中数学
如图，点O是△ABC内任意一点，G、D、E分别为AC、OA、OB的中点，F为BC上一动点，问四边形GDEF能否为平行四边形？若可以，指出F点位置，并给予证明．
科目：初中数学
（2013?攀枝花模拟）如图，点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D，GA=5，GC=4，GB=3，将△ADG绕点D顺时针方向旋转180°得到△BDE，则△EBC的面积=12．
科目：初中数学
（1997?天津）如图，点I是△ABC的内心，AI交BC边于D，交△ABC的外接圆于点E．求证：（1）IE=BE；&&&&& （2）IE是AE和DE的比例中项．