如图 点d在直线cf上,点befc在同一个直线上,af⊥bc于点f，DE⊥BC于点E，AB=DC，BE=CF，你认

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-08-24 09:30 标签： 在直线ab上任取一点o
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，点E、F是线段AD上的三等分点，连接BE、CE、BF、CF，若，且BC=4a．（1）求四边形ABEC的面积；（2）写出与△CEF相似但不全等的三角形，并证明其中的一对．【考点】；；．【分析】（1）根据等腰三角形的性质三线合一证得BD=CD=，由点E、F是线段AD上的三等分点，得到DE=EF=AF=，由于，BC=4a，得到DE=EF=AF=2a，根据轴对称的性质得出结论．（2）根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似证得结论．【解答】解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=，∵点E、F是线段AD上的三等分点，∴DE=EF=AF=，∵，BC=4a，∴DE=EF=AF=2a，∴由轴对称性可知四边形ABEC=2S△ACE=8a2；（2）△CAE和△BAE．由（1）得DE=2a，∴，∴CE2=8a2，∵AEoEF=8a2，∴AEoEF=CE2，即，∵∠AEC=∠CEF，∴△CAE∽△CEF．【点评】本题考查了等腰三角形的性质三线合一，轴对称的性质，相似三角形的判定，能利用轴对称的性质是解题的关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：王学峰老师　难度：0.80真题：1组卷：2
解析质量好中差如图，E是矩形ABCD的边CD上的一点，BE交AC于点O，已知△OCE和△OBC的面积分别为2和8．（1）求△OAB和四边形AOED的面积；（2）若BE⊥AC，求BE的长．【考点】；；．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据等高的三角形的面积之比等于边之比，求出OE：OB=1：4，证△OCE∽△OAB，求出△AOB的面积，求出△ADC面积，得出平行四边形的面积，即可请求出答案；（2）设OE=x（x＞0），OB=4x，BE=5x，求出CD，根据△OCE的面积求出x即可．【解答】解：（1）∵△COE与△OBC中边EO，BO在同一直线上且此边上的高相等，∴根据等高的三角形的面积之比等于边之比得出△OCES△OBC=OEOB=28=14，在矩形ABCD中，∵DC∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴△OCES△OAB=(OEOB)2=(14)2=116，∴S△OAB=16S△OCB=16×2=32，∴S△ABC=S△OBC+S△OAB=8+32=40，∵AB=CD，BC=DA且∠ABC=∠ADC=90°，∴S△ADC=S△ABC∴S四边形AOED=S△ADC-S△OCE，=40-2=38，答：△OAB和四边形AOED的面积分别是：32，38．（2）设OE=x（x＞0），则OB=4x，BE=5x，在Rt△BCE中，∵∠BCE=90°，CA⊥BE∴△COE∽△BOC，∴∴CO2=OEoOB=xo4x=4x2，∴CO=2x，∵S△OCE=，∴，∴（负值舍去），∴．答：BE的长是5．【点评】本题主要考查对相似三角形的性质和判定，三角形的面积，矩形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：zjx111老师　难度：0.45真题：1组卷：3
解析质量好中差已知:如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BE=-CF.求证:AD是BC的中垂线_百度作业帮
已知:如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BE=-CF.求证:AD是BC的中垂线
已知:如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BE=-CF.求证:AD是BC的中垂线
∵AD为三角形ADC角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC∴DE=CF（角平分线上的点到角两边距离相等）在△EBD和△FCD中ED=FD∠BED=∠CFDEB=FC∴△EBD全等于△FCD（SAS）∴BD=CD（全等三角形对应边相等）∴AD为BC中垂线（到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上）（2008o上海模拟）已知：在正方形ABCD中，M是边BC的中点（如图所示），E是边AB上的一个动点，MF⊥ME，交射线CD于点F，AB=4，BE=x，CF=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．（2）_百度作业帮
（2008o上海模拟）已知：在正方形ABCD中，M是边BC的中点（如图所示），E是边AB上的一个动点，MF⊥ME，交射线CD于点F，AB=4，BE=x，CF=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．（2）
（2008o上海模拟）已知：在正方形ABCD中，M是边BC的中点（如图所示），E是边AB上的一个动点，MF⊥ME，交射线CD于点F，AB=4，BE=x，CF=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．（2）当点F在边CD上时，四边形AEFD的周长是否随点E的运动而发生变化？请说明理由．（3）当DF=1时，求点A到直线EF的距离．
（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∵EM⊥FM，∴∠EMF=90°，∴∠BEM+∠BME=90°，∠BME+∠CMF=90°，∴∠BEM=∠FMC，∴△BEM∽△CMF，∴=，∵BM=CM=BC=×4=2，BE=e，CF=y，∴xy=4x的取值范围是0＜x≤4；（2）不变，理由是：∵根据勾股定理得：EM2=BE2+BM2=x2+22=x2+4，FM2=y2+4，∴EF2=EM2+FM2=x2+4+y2+4=x2+y2+8，∵xy=4，∴EF2=（x+y）2，∴EF=x+y，∴四边形AEFD的周长是AE+EF+DF+AD=4-x+x+y+4-y+4=12．（3）分为两种情况：①F在线段CD上时，如图备用图，∵DC=AB=AD=4，DF=1，∴y=4-1=3，x==，EF=x+y=3+=，过A作AN⊥EF于N，则S△AEF=S梯形AEFD-S△ADF=（3+4-）×4-×4×1=EF×AN，∴AN=；②当F在CD的延长线上时，如图，∵DC=AB=AD=4，DF=1，∴y=4+1=5，x=，EF=x+y=，过A作AN⊥EF于N，则S△AEF=S正方形ABCD+S△ADF-S梯形BEFC=4×4+×4×1-×（+5）×4=EF×AN，∴AN=．
本题考点：
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
问题解析：
（1）证△BEM∽△CMF，推出=，代入求出xy=4即可；（2）根据勾股定理求出x+y=EF，代入即可求出答案；（3）分为两种情况：①F在线段CD上时，求出y=3，x=，EF=x+y═，过A作AN⊥EF于N，根据面积公式求出即可；①当F在CD的延长线上时，求出y=5，x=，EF=x+y=，过A作AN⊥EF于N，根据面积公式求出即可．△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上（端点B除外），∠EDB=∠C，BE⊥DE于点E，DE与AB相交于点F．（1）当AB=AC时（如图1）①∠EBF=22.5°；②小明在探究过程中发现，线段FD与BE始终保持一种特殊的数量关系，请你猜想这个关系，并利用所学知识证明猜想的正确性；（2）探究：当AB=kAC时（k＞0，如图2），用含k的式子表示线段FD与BE之间的数量关系，请直接写出结果．【考点】；；．【分析】（1）①根据题意可判断△ABC为等腰直角三角形，据此即可推断∠C=45°，进而可知∠EDB=22.5°．然后求出∠EBF的度数．②根据题意证明△BEF∽△DEB，然后利用相似三角形的性质，得到BE与FD的数量关系．（2）首先证明△GBN∽△FDN，利用三角形相似的性质得到BE与FD的数量关系．【解答】解：（1）①∵AB=AC∠A=90°∴∠ABC=∠C=45°∵∠EDB=∠C∴∠EDB=22.5°∵BE⊥DE∴∠EBD=67.5°∴∠EBF=67.5°-45°=22.5°，故答案为：22.5；②在△BEF和△DEB中∵∠E=∠E=90°∠EBF=∠EDB=22.5°∴△BEF∽△DEB如图：作BG平分∠ABC，交DE于G点，∴BG=GD△BEG是等腰直角三角形设EF=x，BE=y，则：BG=GD=y，FD=y+y-x，∵△BEF∽△DEB∴，得：x=（-1）y，∴FD=2BE；（2）过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，与BA交于点N，∵DG∥AC，∴∠GDB=∠C，∵∠EDB=∠C，∴∠EDB=∠GDE，∵BE⊥DE，∴∠BED=∠DEG，DE=DE，∴△DEG≌△DEB，∴BE=GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF，∴△GBN∽△FDN，∴，即，又∵DG∥AC，∴△BND∽△BAC，∴，即=k，∴=，∴FD=BE．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）利用等腰直角三角形的性质进行判定和计算．（2）结合图形利用三角函数和相似三角形进行计算求出线段间的关系．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：yangwy老师　难度：0.61真题：4组卷：16
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