超好玩硬币游戏，你都会玩吗？ | 科学人 | 果壳网 科技有意思
超好玩硬币游戏，你都会玩吗？
怎么样赢硬币正反面的游戏？注定获胜的赌博
出门在外，恰逢不巧，你和朋友被困住了，干点什么呢。来几局三国杀？是个不错的提议，但问题是你带牌了吗，没牌怎么打？死理性派想说的是，会玩的孩子怎么不能玩！凑几个硬币，随随便便就能玩一整天。不得不说，硬币是世界上最好的游戏机，哦，前提是你得懂点数学。
在所有二人游戏中，最古老最有魅力的就是这个尼姆游戏了（好吧，在所有二人数学游戏中）。据说它发源于中国，有时候孩子们用纸片玩，但通常人们出门可能很少带纸片，所以我们用硬币玩。
这个游戏最流行的版本是用 12 枚硬币摆成三行。
游戏规则很简单，游戏双方轮流取 1 枚或多枚硬币（只能在同一行），谁拿到最后一枚就算赢。留心的朋友玩几把就可以琢磨出，只要在自己的某一个回合里留下两行多于 1 枚且数量相同的硬币，就能确保获胜。一个优势策略是，先手的人一开始就拿掉最上面一行 2 枚硬币，这样的话，离胜利就不远了。
有趣的是，有人发现，当扩展到任意多行，每行有任意枚硬币时，利用二进制，可以把这个游戏玩得风生水起。哈佛大学的数学教授布顿在 1901 年首次发表了论文详述了这个问题，也正是他，正式将这个游戏命名为尼姆游戏。
把玩家每一步操作之后的游戏局面叫做“棋局”。在布顿的论文中，如果玩家每一步操作后的棋局能保证自己获胜，那就是“安全的”，否则就是“不安全的”。每个不安全棋局都可以一步正确的操作变成安全的，而如果没有正确地操作，一个安全的棋局就会变成不安全的。
如何判定一个棋局是安全的还是不安全的呢？这就用到了前面提到的二进制。将每一行的硬币数都用二进制表示，按矩阵元素的排列方式对齐，这时候如果每一列的数（ 0 或 1 ）相加都为偶数（包括 0 ），那么这个棋局就是安全的，只要有一列元素相加不为偶数，那这个棋局就是不安全的。
回到我们上面说的那个流行版本上，可以看到在初始状态，它的二进制表示如下图
可以看到，第 2 列之和为奇数，所以这个本版的初始状态是不安全的。拿掉最上面一行的 2 枚硬币，第 1 行就变成了 1 ，从而留下了一个安全棋局。通过用其他方法试验，可以看到，拿掉第 1 行的 2 枚硬币是留下安全棋局的唯一操作。
把棋局转化成上面这个二进制表格，根据表格决定怎么操作就不会出错了。但是在玩的时候，恐怕对手没那么宽容，让你不断画表格，在脑子中计算，一不小心就出错。那么记住下面这条就很有用了：在两行里留下同样多的硬币，总能赢。在此之后，让每行硬币数量保持相等就可以了。
尼姆游戏深受数学家喜爱并被广泛研究，它因此产生了很多变体。1910 年美国数学家穆尔就提出了一个，它规则与尼姆游戏相同，只不过玩家可以从不超过指定数 k 的任意多行里拿掉硬币。有趣的是，它同样可以通过二进制来分析，只要把安全棋局定义为：二进制表里的每列之和都可以被 k + 1 整除就可以了。
后选择一定赢的硬币游戏
对于粗心大意和无知的人来说，这个游戏就是一个十足的陷阱。让我们来看看这个它是怎么玩的。
抛三次硬币看最后哪一面朝上，结果无非只有这 8 种：
正正正 正正反 正反正 反正正 正反反 反正反 反反正 反反反
这个游戏的规则是，对手有优先选择权。首先对手在这 8 种组合中选一种作为他的组合，然后你选一组作为自己的组合。双方选定后，随便选一个人来连续抛硬币，直到他的或你的组合出现为止，谁的组合先出现谁就算赢。
这个游戏看上去没有什么问题，不管哪种组合，它们出现的概率都是一样的。但如果谁真这么想，那他可就输定了。事实上，先选的人一定会被针对。无论对手选择选择哪个组合，后选的人都可以选一个组合来针对他，使自己的获胜概率至少提高到 2／3 !
如果你不相信的话，就让我们选一个简单的例子来分析看看。假设对手选择的是“正正正”的组合，这时候我们只要选择“反正正”，胜率就可以瞬间到达 7／8。这是为什么呢？
如果前三次就抛出了“正正正”的结果，那对手就获胜了，这种情况发生的概率为 1／8 。但除此之外，只要最开始的三次对手没有获胜，那么我可以说，他已经没有获胜的机会了。因为前三次没有获胜，就说明在他获胜之前一定出现了反面，那第一次出现“正正正”的情况必然包含在如下的结果中：
……反正正正……
可以看到，当出现“反正正”的时候，他已经没有办法再玩下去了，因为那正是我们选择的组合，到这里我们已经获胜了。对于其他组合，这里不再专门讨论了，下面附出一张表格，给出了后选择的人采用正确策略的获胜概率，可以看到，后选择的人获胜的最低概率也是 2／3 。
你是否觉得这个结果有些出乎意料？需要说明的是，在涉及到概率时，我们的直觉很多时候都是错误的。如果你不相信，来看看死理性派的
是如何颠覆你对世界的认识的吧。
硬币正反不一样
通常我们所说的硬币，都是理想硬币。但由于设计的原因，硬币正反面的花纹并不一样，这就导致了它的实际重心不在正中心上。由于重心有偏向，所以掷硬币时，正反面出现的概率也会有所偏差，想要知道这个偏差具体有多大，难度颇大。幸好花纹导致的概率偏差非常非常小，可以忽略不计。
尽管如此，但万一就遇到了一个死较真的和你玩抛硬币，我们能不能找到一个方法，让真实的硬币达到理想硬币的效果呢？
答案是能。我们可以用下面这种玩法“化腐朽为神奇”：连续掷两次硬币，如果两次结果是相同的（都是正面朝上或都是反面朝上），那就重新再连续掷两次硬币，直到结果不同为止（一次反面朝上，一次正面朝上）。这时， [正,反] 的结果就可以对应掷理想硬币结果为正的情形， [反,正] 的结果就可以对应理想硬币为反的情形（反过来也可以）。
这是为什么呢？假设硬币掷出正面的概率是 p ，那掷出 [正,反] 的概率为 p( 1 - p ) ； [反，正] 的概率为 （1 - p）p。二者相等，所以采取这种方法，即便是一枚非理想硬币，游戏结果也会变成完全公平的。
《明知其输而博赢的概率分析》
《科学美国人 趣味数学集锦之二》
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全部评论(124)
机械电子工程、消费产品设计专业
真烦正。。。。表格里的
有机会玩玩看。
最流行的版本明明是第一行一个第二行两个第三行三个第四行四个。
智能科学专业
不好玩啊这些游戏。。。。。。
正在学概率论的飘过~~
我喜欢以前玩过的一个在纸上随机布点然后画三角形的游戏~
这玩法比死理性派的文章都难……
听没意思的…尤其是第一个，没法玩…
我还是乖乖上当受骗吧...
头脑简单的只有--闪...
硬币中的概率分析啊哈哈0 0
炮姐说：老娘一个硬币崩死你！
見過這個硬幣遊戲很多次，但是總是不是很清楚。。。感覺這里也沒說清啊= =|至少我是沒看懂。。。結論是不是先手的人可以必勝啊？
好奇妙啊。明天糊弄别人去。
第一个不理解。害怕矩阵...
对手选择 反正反 的时候 我们是不是应该选择 反反正 啊
电脑游戏什么的在死理性派面前都弱爆了。。。
小狡猾阿，挺好玩的！
给水排水专业
我还是比较喜欢用硬币变小魔术哄女生的男生…而不是玩什么该死的数学游戏…（我要被追打了么）
很不错，可以骗妹纸啦~~~
引用chiefoforc的回应：对手选择 反正反 的时候 我们是不是应该选择 反反正 啊是的。谢谢。已更正。
有意思，哈哈……
正反0.....
我经常用硬币的铸造年份来演示排序。。。我这样学会了快速排序和归并排序铸造年份不知道？硬币正面最下方（指新式硬币）的4位数字
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权力的游戏好玩吗，游戏详细评测：冰与火之歌
11:27:26 来源： 作者：不详 （0）
这是一个权力的游戏好玩吗，游戏详细评测：冰与火之歌，由游侠攻略组制作并且分享的，从游戏的画面画质，音乐音效，剧情各方面详细的评价了这个游戏，有需要的玩家可以看看。作者：ferried游侠攻略组游戏名称:权力的游戏英文名称:Game of Thrones游戏类型:冒险游戏AVG制作公司:Telltale Games发行公司:Telltale Games游戏平台:PC XBOX360 PS3 XBOX One PS4语言版本:英文发售日期:【游戏介绍】 游戏讲述的是“五王之战”中的森林氏族（House Forrester）的故事，故事线始于电视剧第三季结束之后终于第五季开始之前。森林氏族是乔治R.R.马丁所创造的冰与火世界中的一个家族，出现在小说第五卷《魔龙的狂舞》中。 游戏中可以造访君临、绝境长城以及其他熟悉或不熟悉的地点。森林氏族的家堡Ironrath将会优先出现。 由Telltale Games基于著名作家乔治-马丁畅销小说《冰与火之歌》改编的游戏《权力的游戏》将分为六集与玩家见面。 《权力的游戏》（Game of Thrones）系列第一章“冰铸之铁”将会登陆本世代及次世代平台。【游戏最低配置】- 操作系统：Windows XP(SP3)- 处理器：Intel Core2 2.0GHz双核处理器- 内存：3GB- 显卡：ATI或NVIDIA显卡，显存512 MB，不推荐英特尔集成显卡。- 硬盘：3 GB的可用空间- 声卡：DirectX9.0c音效设备【评测导读】《权力的游戏》？《冰与火之歌》？神剧出游戏了！居然是AVG！！ 首先我发现这游戏居然是Telltale团队制作的！印象最深的应该就是最近的爆款《行尸走肉》吧！也是从电视剧、同名漫画系列改编过来的！凭借出色的剧情和人物情感来塑造了一个引人入胜的游戏世界！也浓浓的吸引了无数的粉丝！因此Telltale在冒险、解谜游戏中丰富的制作经验也可见一斑！ 因此当我看完了宣传片之后就觉得在游戏系统等方面肯定有着浓浓的《行尸走肉》影子！ 想起Telltale Games操刀的《行尸走肉》里满满的的美剧即视感！而一开始就设定了6章之长的章节，让我们也对《权力的游戏》的剧情充满了期待！ 《权力的游戏》中没有与僵尸的争斗，而是人与人之间的勾心斗角！应该更能凸显出角色的性情，人物性格的刻画肯定也必定会更加出色！ 【游戏画面】8/10 系列经典粗犷画风！ 刚打开游戏可能会略感画面的粗糙！贴图也不算很精细的那种！但是游戏的浓浓美风感觉！如果没有中途的一些选择，远观的话完全可以让你沉醉在这粗犷的画风之中，细腻风格有人喜欢，粗犷的也有其独到之处！这款游戏就能给你带来这样的感觉，体验粗线条的美！ 当然这款游戏本身没有精细的贴图，在近距离的画面就会显得有些不足！AVG游戏的话，也是在接受范围之内吧。人物表情森林氏族的城堡近距离手部细节很差 总体画面跟Telltale Games制作其他游戏相似，主要凸显出来的是人物的面容，很多就是冰火电视中的刻画。缺点是人物的眼神让人感觉有些呆板！ 但是游戏继承了其他AVG的许多优点，其中优良的镜头控制就是其一，关键时候放大拉近的画面完全能凸显当时的情结！ 但是画面这一块在过场CG里面跟其他游戏对比就会特别明显，序章之后那一段像素粗糙的动画，虽然展示了地图和章节，但是也让人看到了游戏CG的不足之处！杂兵呆板的眼神过程动画远观还是不错的画面！【配音&音效】9/10 原汁原味的美剧配音 音乐在一款游戏中一般情况都是充当的是一个画龙点睛的要素，当然除外！音乐音效对于一款游戏来说，都像眼睛对于画出的龙一样，可以让其更加传神，更有吸引力。 但是在《权力的游戏》中，Telltale Games用了跟美剧中一样的配音，丰富的语气，原汁原味的感觉，让人感觉着已经超越了画龙点睛，而是成为了龙之逆鳞，失之不可！ 同时因为是AVG游戏，大部分战斗场景等都依靠QTE来决定，因此游戏战斗音效就略显一般了。 并且在冰与火之歌中音乐这块地方感觉在游戏中还是有些缺失的！不过有配音的支持，总体上觉得非常良心。【游戏系统&剧情】8/10 典型AVG系统、剧情内容值得期待一、史诗级剧情世界 剧情方面却相当于一个美剧中的外传！主角是森林氏族， 一个独立于七国各大家族之外的家族，他们的城堡Ironrath坐落于维斯特洛的铁树林之中，森林氏族控制着“狼林中的铁树林的大部分地区”。 森林氏族忠实的效忠于史塔克家族，但是现在与对立家族之间的战争让北境四分五裂，很多人都想占有铁树林！占有那些稀有的铁树！森林氏族的命运悬而未决，故事由此展开！ 而第一章剧情的角色是Gared，首先的一场叛乱发生在了军队忠告，叙述了主角在被战争波及的命运中挣扎的故事，让我们逐渐了解这整个剧情。城堡介绍地图场景二、你的选择决定本游戏剧情的走向 继承Telltale Games AVG游戏的传统，选项非常简单，但是都会影响之后的剧情对话和角色动作！并且在每次选择选项的时间都一如既往的少啊！这时候有强迫症的孩子还想留意上方选择选项时额外发生的对话！留给玩家的时间可谓是非常少，这样的目的难道就是让那些有强迫症的玩家，进行第二次，第三次甚至第四次游戏来完成更好的完美选择? 当然你的选择会给其他后面的一些角色造成影响，影响他们对你的态度感官！不过不会影响最终剧情的走向！就像在军营中，你救或者不救那家伙，他最终都会死去！生命抉择人物介绍三、战斗系统有所不足 作为一款AVG游戏，战斗不是必须的，解谜在这款游戏中也并不是很突出！这些毕竟都是剧情的画龙点睛之物，但是在有些地方，比方说最早序章中需要用盾牌挡剑的时候，我们就能发现，向上的标志其实只要按动键盘W就行了！个人当时在这里卡了好一会！一直用鼠标然后各种死！（不要用中文输入法进行游戏）这点的提示上面有所不足！ 之后还有一些场景的感觉让人发至内心的震撼！比方说用虫子填入伤口来吃掉腐肉。。令人发指同时也有一种新鲜感！用盾牌挡住箭矢独特疗伤方式【评测总结】8.3/10& TellTale在刚发出了《无主之地：传说》马上又搞出了个大新闻：《权力的游戏》并且该作设定的章节足足有6章！想再掀起一番热潮的节奏！ 从第一章的感觉，从剧情到战斗到生死抉择，都能给人非常强烈的代入感！强烈建议冰火粉一试！ 没看过《冰与火之歌》的朋友，建议先去看看电视剧，然后再玩游戏，会有更强的感觉！
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