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探索规律型问题，中考提分必备
探索规律型问题
一、选择题
1.（重庆４分）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，...则第⑥个图形中平行四边形的个数为
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】找出规律：∵图②平行四边形有5个=1+2+2，图③平行四边形有11个=1+2+3+2+3，图④平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4，∴图⑥的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41。故选C。
2.（重庆綦江4分）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中 所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为3﹣12...
【答案】A。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】首先由已知和表求出、、，再观察找出规律求出第2011个格子中的数．已知其中任意三个相邻格子中 所填整数之和都相等，则，3++=++，++c=+﹣1，解得=﹣1，=3，按要求排列顺序为，3，﹣1，，3，﹣1，，...，结合已知表得=2，所以每个小格子中都填入一个整数后排列是：3，﹣1，2，3，﹣1，2，...，其规律是每3个数一个循环。∵余1，∴第2011个格子中的数为3。故选A。
3.（重庆江津4分）如图，四边形ABCD中，AC=，BD=，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2...，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有
　　①四边形A2B2C2D2是矩形；
②四边形A4B4C4D4是菱形；
　　③四边形A5B5C5D5的周长是
④四边形AnBnCnDn的面积是．
　　 A、①②
D、①②③④
【答案】C。
【考点】分类归纳，三角形中位线定理，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质。
【分析】首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
① 连接A2 C2，B2 D2，可以证明，四边形A1B1C1D1是矩形，
A2 C2＝A1B1＝AC＝，B2 D2＝A1D1 ＝BD＝。
∴A2 C2≠B2 D2。即四边形A2B2C2D2的对角线不相等。
∴四边形A2B2C2D2不是矩形。故本选项错误。
② 连接A1C1，B1D1，
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC。
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1。
∴四边形ABCD是平行四边形。
　　∴B1D1=A1C1（平行四边形的两条对角线相等）。
　　∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位线定理）。
　　∴四边形A2B2C2D2是菱形。
　　∴同理，四边形A4B4C4D4是菱形。故本选项正确。
③ 根据中位线的性质易知，
A5B5=A3B3=×A1B1=××AC=，B5C5=B3C3=×B1C1=××BC=，
　　∴四边形A5B5C5D5的周长是。故本选项正确；
　　④∵四边形ABCD中，AC=，BD=，且AC丄BD，
　　∴S四边形ABCD=；
　　由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
　　四边形AnBnCnDn的面积是×=。故本选项正确。
　　综上所述，②③④正确。故选C。
4.（浙江舟山、嘉兴3分）一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是
　（A）2010
【答案】D。
【考点】分类归纳。
【分析】从图中知，该纸链是5的倍数，中间截去的是剩下3+5n，从选项中数减3为5的倍数者即为所求。∵整除，故选D。
5.（浙江省3分）如图，下面是按照一定规律画出的&数形图&，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个&树枝&， 图A3比图A2多出4个&树枝&， 图A4比图A3多出8个&树枝&，......，照此规律，图A6比图A2多出&树枝&
【答案】C。
【考点】分类归纳。
【分析】经观察可以发现：图A3比图A2多出4个&树枝&； 图A4比图A3多出8个&树枝&， 比图A2多出4+8=12个&树枝&； 图A5比图A4多出16个&树枝&， 比图A2多出4+8+16=28个&树枝&； 图A6比图A5多出32个&树枝&， 比图A2多出4+8+16+32=60个&树枝&。 故选C。
6.（广西桂林3分）如图，将边长为的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为
【答案】A。
【考点】正多边形的性质，旋转的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，弧长的计算。
【分析】连接A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，如图，
∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，
∴A1A4=2，∠A1A6A5=120°，
∴∠CA1A6=30°，∴A6C=，A1C=。
∴A1A5=A1A3=。
当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，以，，2，a，为半径，圆心角都为60°的五条弧，
　　　　∴顶点A1所经过的路径的长=。故选A。
7．（广西百色3分）相传古印度一座梵塔圣殿中，铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了三米高的宝石柱，其中一根宝石柱上插有中心有孔的64枚大小两两相异的一寸厚的金盘，小盘压着较大的盘子，如图，把这些金盘全部一个一个地从1柱移到3柱上去，移动过程不许以大盘压小盘，不得把盘子放到柱子之外。移动之日，喜马拉雅山将变成一座金山。
设h(n) 是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子知最少次数
n=1时，h(1)=1
n=2时，小盘　　　　2柱，大盘　　　　3柱，小盘从2柱　　　　3柱，完成。即h(2)=3。
n=3时，小盘　　　　3柱，中盘　　　　2柱，小盘从3柱　　　　2柱。 即用h(2)种方法把中、小两盘移到2柱，大盘移到3柱；再用h(2)种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成
我们没有时间去移64个盘子，但你可由以上移动过程的规律，计算n=6时， h(6)=
　　　　　　A.11
【答案】C。
【考点】分类归纳。
【分析】找出规律：n=1时，h(1)=1；n=2时，h(2)=3；n=3时，h(3)= 2h(2)＋1=7；n=4时，h(4)= 2h(3)＋1=15；n=5时，h(5)= 2h(4)＋1=31；n=6时，h(6)= 2h(5)＋1=63。故选C。
8.（广西玉林、防城港3分）一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，...按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是
【答案】D。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】根据题意，第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，
第4次倒出的水量是升的，...第10次倒出的水量是升的，倒了10次后容器内剩余的水量是：。　　　　　∵，
　　　　　∴。故选D。
9.（湖南永州3分）对点（x，y ）的一次操作变换记为P1（x，y ），定义其变换法则如下：P1（x，y ）=（，）；且规定（为大于1的整数）．如P1（1，2 ）=（3，），P2（1，2 ）= P1（P1（1，2 ））= P1（3，）=（2，4），P3（1，2 ）= P1（P2（1，2 ））= P1（2，4）=（6，）．则P2011（1，）=（
　A．（0,21005 ）
B．（0,-21005 ）
C．（0,-21006）
D．（0,21006）
【答案】D。
【考点】分类归纳，求函数值。
【分析】根据题目提供的变化规律，找到点的坐标的变化规律并按此规律求得P2011（1，－1）的值即可：
P1（1，－1）=（0，2），P2（1，－1）=（2，－2），P3（1，－1）=（0，4），P4（1，－1）=（4，－4），P5（1，－1）=（0，8），P6（1，－1）=（8，－8），......，当n为奇数时，Pn（1，－1）=（0，），∴P2011（1，－1）应该等于（0，21006）。故选D。
10.（湖南娄底3分）如图，自行车的链条每节长为2.5cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8cm
如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为
B、104.5cm
C、102.8cm
【答案】C。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】∵根据图形可得出：两节链条的长度为：2.5×2﹣0.8；3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2；4节链条的长度为：2.5×4﹣0.8×3。∴60节链条的长度为：2.5×60﹣0.8×59=102.8。故选C。
11.（江苏南京2分）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6......按此规律，后一位同学
报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为
【答案】4。
【考点】分类归纳。
【分析】列表如下：甲乙丙丁甲乙丙丁甲乙丙丁甲乙丙丁7484950
表中可见，只有9，21，33，45满足条件。
12.（江苏常州、镇江2分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A、B、C、D，轴上有一点P。作点P关于点A的对称点，作关于点B的对称点，作点关于点C的对称点，作关于点D的对称点，作点关于点A的对称点，作关于点B的对称点┅，按如此操作下去，则点的坐标为
【答案】D。
【考点】分类归纳，点对称。
【分析】找出规律，P1（2，0），P2（0，－2），P3（－2，0），P4（0，2}，......，P4n（0，2}，P4n+1（2，0），P4n+2（0，－2），P4n+3（－2，0）。而2011除以4余3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）。故选D。
13.（山东日照4分）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在
A、第502个正方形的左下角
B、第502个正方形的右下角
C、第503个正方形的左上角
D、第503个正方形的右下角
【答案】C。
【考点】分类归纳（数字的变化）。
【分析】观察发现：正方形的左下角是4的倍数，左上角是4的倍数余3，右下角是4的倍数余1，右上角是4的倍数余2。2011除以4等于余3，所以数2011应标在第503个正方形的左上角。故选C。
14.（山东济南3分）观察下列等式：
　　①1＝12；②2＋3＋4＝32；③3＋4＋5＋6＋7＝52；④4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72；...
　　请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是
　　A．＋1007＋...＋
B．＋1007＋...＋
　　C．＋1008＋...＋
D．＋1009＋...＋
【答案】C。
【考点】分类归纳。
【分析】观察所给等式，找出规律：等式右边幂的底数是左边首尾两个数之和的一半。而四个等式中只有＋1008＋...＋符合以上规律，故选C。
15.（山东淄博4分）根据右图中已填出的&√&和&×&的排列规律，把②、③、④
还原为&√&或&×&且符合右图的排列规律，下面&
&中还原正确的是
　　　　　　　
【答案】C。
【考点】分类归纳。
【分析】寻找规律，&√&相当于 &＋&号，&×&相当于&－&号。连续两个符号相乘，得它们下面的一个符号，依照同号得&√&，异号得&×&的规律形成，完整排列如右图。故选C。
16.（山东德州3分）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），...，则第n个图形的周长是
【答案】C。
【考点】分类归纳，等边三角形的性质，菱形的性质。
【分析】通过观察知，从图1到图3的周长分别为4=22，8=23，16=24，它的规律是：指数是图形的个数加1，故第n个图形的周长是2n+1。故选C。
17.（山东烟台4分） 如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7......叫做&正六边形的渐开线&，其中，，，，，，......的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，.......当AB＝1时，l2 011等于
【答案】B。
【考点】分类归纳，弧长计算
【分析】找出规律：每段弧的度数都等于60°，的半径为n，所以l2 011==。故选B。
18.（山东聊城3分）如图，用围棋子按下面的规律摆图
形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数为
　　C．6n－1
【答案】C。
【考点】分类归纳。
【分析】从所给的图形找出规律，所摆图形的特点：下面部分是一个用棋子围成的一个正方形，它需要围
棋子的枚数分别为4，8，12，...4 n；上面部分围棋子的枚数分别为1，3，5，...2 n－1。从而摆第n个图
形需要围棋子的枚数为4 n＋2 n－1＝6n－1。故选C。
19.（山东青岛3分）如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作
第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下
去，...，则所作的第n个正方形的面积Sn＝
【答案】。
【考点】分类归纳，勾股定理。
【分析】找出规律：第1个正方形的边长为1，面积S1＝1；第2个正方形的边长为，面积S2＝；第3个正方形的边长为，面积S3＝；第4个正方形的边长为，面积S4＝；...，则第n个正方形的面积Sn＝。
20.（广东台山3分）先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，...，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为
　　　A、（
【答案】B。
【考点】圆内接正方形，勾股定理，分类归纳。
【分析】根据已知知，第2个圆的内接正方形的边长为，第3个圆的内接正方形的边长为，故第7个圆的内接正方形的边长为。故选B
21. （湖北十堰3分）如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个。下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；④若净化材料损耗速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢一个三角形材料使用的时间约为更换一个三角形材料使用时间的8倍，其中正确的判断有
　　　　　A．1个
【答案】B。
【考点】分类归纳，可能性的大小。
【分析】根据出水量假设出第一次分流都为1，可以得出下一次分流的水量，依此类推得出最后得出每个出水管的出水量，从而得出答案：如图，①根据图示出水口之间存在不同，故此选项错误；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同：第二个出水口的出水量为：，第4个出水口的出水量为：，故此选项正确；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6：第一个出水口的出水量为：，第二个出水口的出水量为：，第三个出水口的出水量为：，∴1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6，故此选项正确。④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的6倍．∵1号与5号出水量为 ，3号最快为，故更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的6倍，故此选项错误。故正确的有2个。故选B。
22.（湖北荆门3分）图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2×2的近似正方形，
其中完整菱形共有5个；若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整
的菱形有13个；铺成4×4的近似正方形图案④，其中完整的菱形有
25个；如此下去，可铺成一个的近似正方形图案.当得到完整的
菱形共181个时，n的值为
　　　　　A.7
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类），一元二次方程的应用。
【分析】观察图形特点，从中找出数字规律：图①菱形数为1=12；图②菱形数为5=4+1=22+12；图③菱形数为13=9+4=32+22；图④菱形数为25=16+9=42+32；······图n菱形数为n2+（n－1）2=2n2-2n+1。
∴铺成一个的近似正方形图案.当得到完整的菱形共181个时，有2n2-2n+1=181，解得n=10
或n=－9（舍去）。故选D。
23.（湖北潜江仙桃天门江汉油田3分）如图，已知直线l：y=x，过点A
（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点
A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴
于点A2；...；按此作法继续下去，则点A4的坐标为
A．（0，64）
B．（0，128）
C．（0，256）
D．（0，512）
【答案】C。
【考点】分类归纳，一次函数的图象和k值的意义，三角函数定义，特殊角的三角函数值，含30度角的直角三角形的性质。
【分析】∵直线l：y=x，A1B⊥l，A2B1⊥l，···，∴可求出∠BOX=∠ABO=∠A1B1O=∠A2B2O=··· =300。
∴∠OA1B=∠O A2B1=∠O A3B2=··· =300。
∵点A的坐标是（1，0），∴OA=1。
∵点B在直线y= x上，∴OB=2。∴OA1=2 OB =4。
∴OB1=2OA1=8，OA2=2 OB1=16。
∴OB2=2OA2=32，OA3=2 OB2=64。
∴OB3=2OA3=128，OA4=2 OB3=256。
　∴A4的坐标是（0，256）。故选C。
24.（湖北黄石3分）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的
个点最多可确定21条直线，则的值为
【答案】C。
【考点】分类归纳，一元二次方程的应用（几何问题）。
【分析】找出规律：平面上不同的个点，每一个点最多可确定－1条直线，个点最多可确定
条直线（因为每一条直线都重复计算了两次）。因此，根据题意，得，解得n=7或n=－6（舍
去）。故选C。
25.（内蒙古乌兰察布3分）将正方体骰子（相对面上的点数分别为 1 和 6 、 2 和 5 、 3 和 4 ）放置于水平桌面上 ，如图 ① ．在图 ② 中，将骰子向右翻滚 90 ，然后在桌面上按逆时针方向旋转 90， 则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形变化类）。
【分析】寻找规律：
可知，按上述规则连续完成3次变换后，骰子回到初始位置，因此连续完成10次变换后，骰子与完成1次变换的状态相同。故选B。
26.(四川德阳3分)下面是一个按某种规律排列的数阵：
根据规律，自然数2 000应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是
【答案】B。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】根据规律，数阵的的右边的数是行数的平方，而大于2000的第一个平方数是45，所以m=45；第44行右边的数为442=1936，而=64，即n=64。所以m+n的值是109。故选B。
27.（四川自贡3分）李强同学用棱长为l的正方体在桌面上堆成如图所示的图形，然后把露出的表面都染成红色，则表面被他染成红色的面积为
【答案】B。
【考点】分类归纳，正方形的性质。
【分析】根据题意，知第一层染了5个面，第二层染了8＋4－1=11个面，第三层染了12＋9－4=17个面，共染了33个面，面积为33。故选B。
28.（辽宁鞍山3分）如图，从内到外，边长依次为2,4,6,8，...的所有正六边形的中心均在坐标原点，且一组对边与x轴平行，它们的顶点依次用A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10、A11、A12......表示，那么顶点A62的坐标是
【答案】（－11，－11）。
【考点】分类归纳（图形变化类），正六边形的性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】先根据正六边形的性质和勾股定理求出A1、A2、A3、A4、A5、A6的坐标A1（－2，0）、A2（－1，－）、A3（1，－）、A4（2，0）、A5（1，）、A6（－1，）。
再寻找规律，因为62÷6=10余2，所以A62与A2在同一方位，且OA62=（10+1）OA2=11 OA2。因此A62的横坐标和纵坐标也是A2的横坐标和纵坐标的11倍，即A62（－11，－11）。
29.（辽宁锦州3分）如图，在平面直角坐标系上有点A(1，0)，点A第一次跳动至点A1(－1,1)，第四次向右跳动5个单位至点A4(3，2)，...，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是
【答案】（51，50）。
【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标。
【分析】分析规律，从图形知，奇数次跳动时，它的纵坐标是前一次的纵坐标加1，横坐标是前一次的横坐标的相反数，第次跳动至点A的坐标为：奇数次跳动时，它的纵坐标与前一次的纵坐标相同，横坐标是前一次的横坐标的相反数加1，第次跳动至点A的坐标为。因此点A第100次跳动至点A100的坐标是（51，50）。
30.（辽宁盘锦3分）如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点. 若青蛙从5这点开始跳，则经2011次跳后它停在的点所对应的数为
【答案】C。
【考点】分类归纳（图形的变化）。
【分析】寻找规律：，可见除第一次外，跳三次一个循环2，1，3。∵（2011－1）÷3＝670除尽，∴青蛙从5这点开始跳，则经2011次跳后它停在的点所对应的数为3。故选C。
31.（贵州黔南4分）观察下列算式：，，，，...．根据上述算式中的规律，请你猜想的末尾数字是
　　　 A、2
【答案】B。
【考点】分类归纳，有理数的乘方。
【分析】根据已知条件，找出题中的规律，即可求出210的末位数字：∵，，，，...．
∴算式中的规律是末尾数字按2，4，8，6四个数循环。∴与的末尾数字相同，为4。故选B。
32.（贵州安顺3分）一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→...]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是
A、（4，O）
B、（5，0）
C、（0，5）
D、（5，5）
【答案】B。
【考点】分类归纳，点的坐标。
【分析】由题目中所给的质点运动的特点找出规律：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依次类推，到（5，0）用35秒。故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）。故选B。
33.（福建宁德4分）已知：(x≠0且x≠－1)，，，...，
，则等于 ．
　　　　A.x
【答案】B。
【考点】分类归纳，代数式化简。
【分析】寻找规律，由已知：(x≠0且x≠－1)，则
，，...，由此可见，
按x＋1，，循环。因为余1，所以=。故选B。
34.（福建南平4分）观察下列各图形中小正方形的个数，依此规律，第11个图形中小正方形的个数为
A．78 B．66 C．55 D．50
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】由题意得：第一个图形中小正方形的个数为1，第二个为1+2=3，第三个为1+2+3=6，第四个为1+2+3+4=10， ...；第（11）个图形中小正方形的个数为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66。故选B。
二、填空题
1. （北京4分）在下表中，我们把第i行第j列的数记为i，j（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数i，j，规定如下：当i≥j时，i，j=1；当i＜j时，i，j=0．例如：当i=2，j=1时，i，j=2，1=1．按此规定，1，3=　 ▲ 　；表中的25个数中，共有　 ▲ 　个1；计算1，1?i，1+1，2?i，2+1，3?i，3+1，4?i，4+1，5?i，5的值为　 ▲ 　．1，11，21，31，41，52，12，22，32，42，53，13，23，33，43，54，14，24，34，44，55，15，25，35，45，51，1=11，2=01，3=01，4=01，5=02，1=12，2=12，3=02，4=02，5=03，1=13，2=13，3=13，4=03，5=04，1=14，2=14，3=14，4=14，5=05，1=15，2=15，3=15，4=15，5=1
【答案】0，15，1。=
【考点】分类归纳。
【分析】由题意，从i与j之间大小分析，很容易求出表中各数：
从而得出1，3=0。表中的25个数中，共有15个1。并计算：
1，1·i，1+1，2·i，2+1，3·i，3+1，4·i，4+1，5·i，5
=1·1+0·i，2+0·i，3+0·i，4+0·i，5 =1。
2.（浙江省3分）如图，图①中圆与正方形各边都相切，设这个圆的周长为C1;图②中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的周长为C2；图③中的九个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这九个圆的周长为C3；......，依次规律，当正方形边长为2时，则C1+ C2+ C3+...C99+ C100=
【答案】10100。
【考点】分类归纳，正方形的性质，圆与圆相切的性质。
【分析】找出规律，C1=2，C2=4·1·=4，C3=，C4=，...C100=200。
∴C1＋C2＋C3＋C4＋...＋C100=。
3.（辽宁沈阳4分）宁宁同学设计了一个计算程序，如下表
输入数据12345......
输出数据a......
根据表格中的数据的对应关系，可得的值是
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】分析输入、输出的数据可得：输出数据的分子是输入数据的2倍，分母是输入数据的2倍加1。
所以当输入数据为5时，输出数据的分子是2×5＝10，分母是2×5＋1＝11，即输出数据为。
4.（辽宁本溪3分）根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数字
【答案】738。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】观察图中的数字得出框中右下角的数字特点为：上方数字与左下角数字的乘积再加上上方数字的和。故最后一个空格中填上适当的数字为9×81＋9＝738。
5．（辽宁丹东3分）按一定规律排列的一列数，依次为l，4，7，...．则第n个数是
【答案】3n－2。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】观察依次为1，4，7，...，的一列数，分析找出规律，是首项为1，后项与前项之差为3，即1，1＋3×1，1＋3×2，...，据此求出第n个数．1＋（n－1）×3＝3n－2。
6.（辽宁抚顺3分）用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第99个图案需要的黑色五角星
个．　　【答案】150。
【考点】分类归纳。
【分析】从所给图案找出规律：当序号是奇数时，图案１中黑色五角星有３×1个，图案3中黑色五角星有３×2个，图案5中黑色五角星有３×3个，...，图案2 n－1中黑色五角星有３n个，而当2 n－1＝99时, n＝50，３n＝150。故第99个图案需要的黑色五角星150个。
7.（辽宁阜新3分）如图，⊙A与x轴相切于点O，点A的坐标为（0，1），点P
在⊙A上，且在第一象限，∠PAO＝60°，⊙A 沿x轴正方向滚动，当点P第n次
落在x轴上时，点P的横坐标为_
【答案】2nπ－π。
【考点】分类归纳，扇形弧长分式。
【分析】根据扇形弧长分式，，所以点P第1次落在x轴上时，点P的横坐标为，
点P第2次落在x轴上时，点P的横坐标为2π＋，第3次落在x轴上时，点P的横坐标为2×2π＋，
...，第n次落在x轴上时，点P的横坐标为（n－1）·2π＋＝2nπ－π。
8.（吉林省2分）用形状相同的两种菱形拼成如图所示的图案，用表示第n个图案中菱形的个数，则n=____ ▲_____（用含n的式子表示）
【答案】。
【考点】分类归纳。
【分析】寻找规律：是四个菱形；是形状相同的两种菱形，大的2×4个，小的2×（2－1）个，计
6×2－2个；是形状相同的两种菱形，大的3×4个，小的2×（3－1）个，计6×3－2个；...则有
个形状相同的两种菱形。
9.（吉林长春3分）边长为2的两种正方形卡片如图①所示，卡片中的扇形半径均为2．图②是交替摆放
A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片21张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为
（结果保留π）．
【答案】44－π。
【考点】分类归纳，扇形面积的计算。
【分析】首先求得A，B两种卡片阴影部分的面积，然后确定21张卡片中A，B各自的张数，即可求解：
A种的面积是：4－π×22＝4－π；B种的面积是： π×22＝π。两种卡片21张，则有A种11张，B种10张，因而面积的和是：11（4－π）+10π＝44－π。
10.（黑龙江哈尔滨3分）观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有
【答案】20。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】观察图形可知后面一个图形比前面一个图形多2枚五角星，所以可得规律为：第n个图形中共有4＋2（n－1）=2 n＋2枚五角星，从而第9个图形中共有2×9＋2=20个★。
11.（黑龙江大庆3分）已知下列等式：1＝12，1＋2＋1＝22，1＋2＋3＋2＋1＝32，...．
　　根据以上等式，猜想：
　　对于正整数n(n≥4)，1＋2＋...＋(n－1)＋n＋(n－1)＋...＋2＋1＝
【答案】n2。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】直接观察得出结果。
12.（黑龙江龙东五市3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边
中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边
中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，......，依此类推，
这样得到四边形AnBnCnDn,则四边形AnBnCnDn的面积为
【答案】。
【考点】分类归纳，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，菱形和矩形的判定和性质。
【分析】根据三角形的中位线定理，得A1B1∥AC，A1B1= AC，则△BA1B1∽△BAC，得△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即，同理，
因此四边形A1B1C1D1的面积是四边形ABCD的面积的。推而广之，四边形A2B2C2D2的面积是四边形A1B1C1D1面积的，即四边形A2B2C2D2的面积是四边形ABCD面积的；四边形A3B3C3D3的面积是四边形ABCD面积的；......四边形AnBnCnDn的面积是四边形ABCD面积的。而根据三角形的面积公式，可以求得四边形ABCD的面积是16，所以四边形AnBnCnDn的面积为。
13.（黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3分）如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2011=
【答案】·。
【考点】分类归纳，三角形中位线定理，等边三角形的性质，解直角三角形，相似多边形的性质。
【分析】先根据△ABC是等边三角形可求出△ABC的高，再根据三角形中位线定理可求出S1的值，从而可得出S2的值，找出规律即可得出S2011的值：
　　　∵△ABC是边长为1的等边三角形，
　　　∴△ABC的高＝AB?sin∠A＝1×＝ ，
　　　∵DF、EF是△ABC的中位线，∴AF＝，四边形EDAF的高＝×＝。
　　　∴S1＝ ×= 。
　　　根据相似多边形的性质可得，S2＝ ·S1＝·；S3＝·；...Sn＝·。
　　　∴S2011＝·。
14.（黑龙江牡丹江3分）用大小相同的实心圆摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆成的第n个图案中，共有实心圆的个数为
【答案】6n－1。
【考点】分类归纳。
【分析】观察图形可知，每个图形有6边，第1个图形共有实心圆的个数为6×1－1；第2个图形共有实心圆的个数为6×2－1；第3个图形共有实心圆的个数为6×3－1；...；则第n个图形共有实心圆的个数为6n－1。
15.（广西桂林3分）若，则2011的值为
．（用含m的代数式表示）
【答案】。
【考点】分类归纳，分式的混合运算。
【分析】根据已知条件，找出题中的规律：
　　　　，
　　　　，
　　　　。
可见，分别以，，循环。而2011除以3余1，从而2011的值与相同，为。
16.（广西贺州3分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到
点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，......，按这样的运动规律，经过第2011
次运动后，动点P的坐标是_
【答案】(2011，2)。
【考点】分类归纳，直角坐标系中点的坐标。
【分析】由已知找出规律：运动的点P的横坐标等于它运动的次数；它的纵坐标根据运动次数的奇偶性确定，奇数次时纵坐标为2，偶奇数次时纵坐标为0。按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是(2011，2)。
17.（广西崇左2分）我们把分子为1的分数叫理想分数，如，，，.任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如；.根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数如果理想分数 （是不少于2的正整数），那么 =
.（用含有的式子表示）.
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】根据题意，通过观察分析可得，
　　　　由 ，有（2＋1）2＝3＋6；
　　　　由，有（3＋1）2＝4＋12；
　　　　由，有（4＋1）2＝5＋20；
　　　　∴理想分数 ，那么。
18.（广西贵港2分）若记y＝f(x)＝，其中f(1)表示当x＝1时y的值，即f(1)＝＝；f()表示当x＝时y的值，即f()＝＝；...；
则f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋...＋f(2011)＋f()＝_
【答案】2010。
【考点】分类归纳，求函数值，分式化简。
【分析】∵ ，∴。19.（广西南宁3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90o，∠A＝30o，BC＝1．过点C作CC1⊥AB
于C1，过点C1作C1C2⊥AC于C2，过点C2作C2C3⊥AB于C3，...，按此作法
进行下去，则ACn＝
【答案】。
【考点】分类归纳，解直角三角形，特殊角的三角函数。
【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90o，∠A＝30o，BC＝1，得AC＝。
　　　　从而AC1＝AC·cos∠A＝，AC2＝AC1·cos∠A＝，AC3＝AC2·cos∠A＝,...
　　　　ACn＝cann－1·cos∠A＝。
20.（广西梧州3分）如下图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称或中心对称变换，
若原来点A坐标是（，），则经过第2011次变换后所得的A点坐标是
【答案】（，－）。
【考点】分类归纳，轴对称和中心对称变换。
【分析】因为变换是循环往复的，补全一个循环；
因此一个循环要经过6次变换。而5......余1，从而△ABC经过第2011次变换与经过第1次
变换得到的位置相同，即在第四象限。因为原来点A坐标是（，），根据坐标关于x轴对称时，横坐
标不变纵坐标改变符号的特点，得到经过第2011次变换后所得的A点坐标是（，－）。
21.（湖南常德3分）先找规律，再填数：
······则
▲【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】通过观察得：每个算式第一个加数的分母依次是1，3，5，7，...，是首项为1，公差为2的等差数列；每个算式的减数的分母依次是1，2，3，4，...即是第几个算式。设要求的是第n个算式，则依题有：1+（n﹣1）×2=2011，解得：n=1006。
22.（湖南岳阳3分）将边长分别为，2，3，4...的正方形的面积记作S1，S2，S3，S4...，计算S2﹣S1，S3﹣S2，S4﹣S3...．若边长为n（n为正整数）的正方形面积记作Sn，根据你的计算结果，猜想Sn+1﹣Sn=　 ▲ 　．
【答案】4n+2。
【考点】分类归纳，正方形的性质。
【分析】∵S1=2，S2=8，S3=18，S4=32，···，
　　　　∴S2﹣S1=6=4×1＋2，S3﹣S2=10=4×2＋2，S4﹣S3=14=4×3＋2，···。
　　　　据上可得出Sn+1﹣Sn=4n+2。
23.（湖南株洲3分）如图，第（1）个图有1个黑球；第（2）个图为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；；则从第（）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是
【答案】 。
【考点】分类归纳，概率。
【分析】根据图示情况，得出黑球和白球出现的规律，求出第n个图中球的总数和黑球的个数，即可求出从第（n）个图中随机取出一个球是黑球的概率。根据图示规律，第个图中，黑球有个，球的总数有
1＋2＋3＋4＋5＋...＋=
，则从第（）个图中随机取出一个球是黑球的概率是 。
24.（江苏扬州3分）如图，立方体的六个面上标着连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这六个数的和为
【答案】39。
【考点】分类归纳。
【分析】因这是6个连续整数，故必有数6。若6在4的对面，6＋4=10，5对面必须是5，与题意不符；若6在5的对面, 6＋5=11，4对面必须是7，也与题意不符；若6在7的对面,
6＋7=13，4对面是9，5对面是8，与题意相符。则这六个数的和为4＋5＋6＋7＋8＋9＝39。
25.（江苏盐城3分）将1、、、按如下方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n
个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是
【答案】2。
【考点】分类归纳思想，二次根式计算。
【分析】（5，4）从右侧可见为。
下面求（15，7）是几：首先看（15，7）是整个排列的第几个数，从排列方式看第1排1个数，
第2排2个数，......第m排m个数，所以前14排一共的数目是
1＋2＋......＋14＝（1＋14）＋（2＋13）＋......＋（7＋8）＝7×15＝105，
因此（15，7）是第105＋7＝112个数。
第二看第112个数是哪个数，因为1、、、四个数循环，而112÷4商余0，所以（15，7）为。
则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是×＝2。
26.（江苏宿迁3分）一个边长为16m的正方形展厅，准备用边长分别为1m和0.5m的两种正方形地板砖铺设其地面．要求正中心一块是边长为1m的大地板砖，然后从内到外一圈小地板砖、一圈大地板砖相间镶嵌（如图所示），则铺好整个展厅地面共需要边长为1m的大地板砖
【答案】181。
【考点】分类归纳。
【分析】以铺设1m的正方形地板砖来分析：正中心1块，第三层1×3×4＝12块，第五层2×3×4＝24块，第七层3×3×4＝36块，第九层4×3×4＝48块，第十一层5×3×4＝60块（此时边长为16m），则铺好整个展厅地面共需要边长为1m的大地板砖为1＋12＋24＋36＋48＋60＝181块。
27.（江苏徐州3分）如图，每个图案都是由若干个棋子摆成，依照此规律，第个图案中棋子的总个数可用含的代数式表示为
【答案】。
【考点】分类归纳。
【分析】找出规律，每个图案行数按照1，2，3，...，增加，列数按照2，3，4，...，增加，所以第个图案中棋子的总个数为。
28.（江苏常州、镇江2分）把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为
【答案】24，
【考点】分类归纳，图形的拼接。
【分析】（思路1）棱长为4的体积为64，棱长为3的体积为27，棱长为2的体积为8，棱长为1的体积为1。
29个正方体从小到大的体积分别为1，1，1，.....1，(1＋7)......一共29个 ，总体积为64，去掉29个1，那么多出来的体积64－29＝35，要分别给棱长为2或者3的组合。
（1）若只有棱长2的，多出来的体积35＝7＋7＋7＋7＋7，即只能是5个棱长为2的和24个棱长为1的 。
（2）若有棱长为3的，至少有一个，多出来的体积35－26＝9，结果不能被26或7整除，无解。
所以只有一种可能，24个棱长为1的， 5个棱长为2的。
（思路2）情况1：设棱长为3的正方体的个数为，棱长为2的正方体的个数为，则棱长为1的正方体的个数为。依题意有 。所以不存在使为正整数。
情况2：设棱长为3的正方体的个数为0，棱长为1的正方体的个数为，则棱长为2的正方体的个数为。依题意有 。
情况3：设棱长为2的正方体的个数为0，棱长为1的正方体的个数为，则棱长为3的正方体的个数为。依题意有 无整数解。
29.（山东菏泽3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是　 ▲ 　．
　　　　　　
【答案】158。
【考点】分类归纳。
【分析】分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数的积减左上的数等于右下的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数．因此，图中阴影部分的两个数分别是左下是12，右上是14。则m=12×14﹣10=158。
30.（山东德州4分）长为1，宽为的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，的值为　 ▲ 　．
【答案】。
【考点】分类归纳，折叠，一元一次方程的应用。
【分析】根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽，所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽。当时，矩形的长为1，宽为，所以第一次操作时所得正方形的边长为，剩下的矩形相邻的两边分别为1﹣，。由1﹣＜可知，第二次操作时所得正方形的边长为1﹣，剩下的矩形相邻的两边分别为1﹣，﹣（1﹣）=2﹣1。由于（1﹣）﹣（2﹣1）=2﹣3，所以（1﹣）与（2﹣1）的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论．又因为可以进行三次操作，故分两种情况：①1﹣＞2﹣1；②1﹣＜2﹣1．对于每一种情况，分别求出操作后剩下的矩形的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出的值：
①如果1﹣＞2﹣1，即＜，那么第三次操作时正方形的边长为2﹣1，
　　则2﹣1=（1﹣）﹣（2﹣1），解得=；
②如果1﹣＜2﹣1，即＞，那么第三次操作时正方形的边长为1﹣，
则1﹣=（2﹣1）﹣（1﹣），解得=。故答案为。
31.（山东烟台4分）通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形.
【考点】分类归纳，轴对称的性质。
【分析】观察图形，发现规律：（1）这几幅图是A、B、C、D、E、F六个字母的对称图形；（2）1、3、5是上下对称；2、4、6是左右对称．根据此规律即可得到图形。
32.（山东东营4分）如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中：共有1个小立方体．其中1个看得见，0个看不见；如图②中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不 见；如图③中：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；......，则第⑥个图中．看得见的小立方体有
【答案】91。
【考点】分类归纳（图形的变化类），几何体的三视图。
【分析】根据几何体的三视图知，三视图看得见的小立方体有6×6＋6×5＋5×5＝91。
33.（济宁3分）如图，观察每一个图中黑色正六边形的排列规律，则第10个图中黑色正六边形有
【答案】100。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】观察每一个图中黑色正六边形的排列规律，
第1个图中黑色正六边形有1=12个，第2个图中黑色正六边形有4=22个，第3个图中黑色正六边形有9=32个，...则第10个图中黑色正六边形有102=100个。
34.（山东临沂3分）如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形．则在第10个这样的图形中共有　 ▲ 　个等腰梯形．
　　　　　　
【答案】100。
【考点】分类归纳（图形变化类）。
【分析】观察图形可知第10个图形中有21个等边三角形，按照从左往右的顺序可得等腰梯形的个数为：10+9+9+8+8+7+7+6+6+5+5+4+4+3+3+2+2+1+1=100。
35.（山东莱芜4分）如图①为Rt△AOB，∠AOB＝900，其中OA＝3，OB＝4，将△AOB沿轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，......，求旋转到图⑩时直角顶点的坐标是
【答案】（36，0）。
【考点】分类归纳，勾股定理，旋转的性质，位似的性质。
【分析】从图分析，由勾股定理知AB＝5，且图⑩与图①位似，它前面有9个直角三角形，在轴上的边长计（3＋4＋5）×3＝36，故旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（36，0）。
36.（山东威海3分）如图，在直线l1⊥轴于点（1，0），直线l2⊥轴于点（2，0），直线l3⊥轴于点
（3，0）......直线ln⊥轴于点（n，0）．函数=的图象与直线l1，l2，l3，......ln
分别交于点B1，B2，B3，......Bn。如果△OA1B1的面积记为S1，四边形A1A2B2B1
的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，......四边形An－1AnBnBn－1的面
积记作Sn，那么S2011=
【答案】2010.5。
【考点】分类归纳，一次函数的图象。
【分析】由已知,
A＝2×＝2010,
A＝2×＝2011, 从而四边形
A11B2010的面积S＋2011) ×1÷2＝2010.5。
37.（广东湛江4分）若：A32=3×2=6，A53=5×4×3=60，A54=5×4×3×2=120，A64=6×5×4×3=360，...，观察前面计算过程，寻找计算规律计算A73=　▲　（直接写出计算结果），并比较A103　▲　A104（填&＞&或&＜&或&=&）
【答案】210，＜。
【考点】分类归纳，数字的变化类。
【分析】对于来讲，等于一个乘法算式，其中最大因数是，依次少1，最小因数是＋1。依此计算即可：①A73=7×6×5=210；②∵A103=10×9×8=720，A104=10×9×8×7=5040，∴A103＜A104。
38.（广东佛山3分）如图物体从点A出发，按照（第1步）（第2步）的顺序循环运动，则第2011步到达点
【答案】D。
【考点】分类归纳。
【分析】根据循环运动的规律，8步一个循环。而2011除以8余3，故第2011步到达点D处。
39.（广东河源4分）凸n边形的对角线的条数记作例如：，那么：①
（，用含的代数式表示）。　　　　　　　　
【答案】5，4，n－1。
【考点】分类归纳，凸n边形的对角线。
【分析】凸5边形每个点的对角线有5－3条，计条；凸6边形每个点的对角线有6－3条，计条；凸n边形每个点的对角线有n－3条，计条；凸n＋1边形每个点的对角线有n－2条，计条。因此5；9－5=4；。40.（广东深圳3分）如图，这是边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，第n个图形的周长为
【答案】。
【考点】分类归纳。
【分析】如图知，第1个图形的周长为2+1，第2个图形的周长为2+2，第3个图形的周长为2+3，第4个图形的周长为2+4，......，则第n个图形的周长为。
41.（广东省4分）如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；
取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和
△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去...，则正六角星形
A4F4B4D4C4E4的面积为______▲______．
【答案】。
【考点】相似形面积比是对应边的比的平方，类比归纳。
【分析】∵正六角星形A2F2B2D2C2E2边长是正六角星形A1F1B1D1C1E边长的，
∴正六角星形A2F2B2D2C2E2面积是正六角星形A1F1B1D1C1E面积的。
同理∵正六角星形A4F4B4D4C4E4边长是正六角星形A1F1B1D1C1E边长的，
∴正六角星形A4F4B4D4C4E4面积是正六角星形A1F1B1D1C1E面积的。
42.（广东珠海9分）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索：
设＋＝(m＋n)2（其中、、m、n均为整数），则有 ＋＝m2＋2n2＋2mn．
∴＝m2＋2n2，＝2mn．这样小明就找到了一种把部分＋的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1） 当、、m、n均为正整数时，若＋＝(m＋n)2，用含m、n的式子分别表示、，得 ＝_
（2）利用所探索的结论，找一组正整数、、m、n，填空：_ ▲ ＋_ ▲ ＝(_ ▲ ＋_ ▲ )2；
（3）若＋4＝(m＋n)2，且、m、n均为正整数，求 的值．
【答案】解：（1）＝m2＋3n2，＝2mn
（2）4，2，1，1（答案不唯一）
（3） 解：由题意，得 。
∵4＝2mn，且m、n为正整数，
　　　　　　
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2。 ∴＝22＋3×12＝7或＝12＋3×22＝13。
【考点】完全平方公式，不定方程组，分类归纳。
【分析】（1）∵(m＋n)2＝m2＋2mn＋3n2=（m2＋3n2）＋2mn，
∴＝m2+3n2，＝2mn。
（2）∵(1＋)2＝1＋2＋3=4＋，
∴＝1，b＝1，m＝4，n＝1。
（3）把(m＋n)2应用完全平方公式展开后，得到不定方程组进行分析求解。
42.（广东肇庆3分）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，
则第n (n是大干0的整数)个图形需要黑色棋子的个教是____▲_____．
【答案】n（n+2）。
【考点】分类归纳。
【分析】从图中观察，第1个图形需要3个黑色棋子，第2个图形需要8=2×（2+2）个黑色棋子，第3个图形需要15=3×（3+2）个黑色棋子，，第4个图形需要24=4×（4+2）个黑色棋子，......则第n (n是大干0的整数)个图形需要黑色棋子的个教是n（n+2）。
43．（河北省3分）如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次&移位&．
如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次&移位&，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次&移位&．
若小宇从编号为2的顶点开始，第10次&移位&后，则他所处顶点的编号是
【答案】3。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】根据&移位&的特点，寻找规律，得出结论：
∵小宇在编号为2的顶点上时，那么他应走2个边长，即从2→3→4为第1次&移位&，这时他到达编号为4的顶点；然后从4→5→1→2→3为第2次&移位&， 然后从3→4→5→1为第3次&移位&； 然后从1→2为第4次&移位&。
∴2→3→4→5→1→2四次移位为一个循环返回顶点2。
∴第10次&移位&后，他所处顶点的编号与第2次&移位&的编号3相同，即他所处顶点的编号是3。
44.（湖北恩施3分）2002年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的&赵爽弦图&．若这四个全等的直角三角形有一个角为30°，顶点B1、B2、B3、...、Bn和C1、C2、C3、...、Cn分别在直线和x轴上，则第n个阴影正方形的面积为　 ▲
【答案】。
【考点】分类归纳，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】∵由正方形的性质设B1点坐标为（t1，t1），∴，解得： 。
　　　　∵四个全等的直角三角形有一个角为30°，∴B1N1=，B1P1=，N1P1=。
　　　　∴第1个阴影正方形的面积为：。
　　　　又∵设B2点坐标为（t1＋t2，t2），∴，解得：。
　　　　∴B2N2=，B2P2=，N2P2=。
　　　　∴第2个阴影正方形的面积为：。
　　　　同理，可求得第3个阴影正方形的面积为：。
　　　　因此，第n个阴影正方形的面积为：。
45.（山西省3分）如图是用相同长度的小棒摆戍的一组有规律的图案，图案(1)需要4根小棒，图案(2)需要
10根小棒......，按此规律摆下去，第个图案需要小棒
根(用含有的代数式表示)。
【答案】6n－2。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】找出规律：如图可知，后一幅图总是比前一幅图多两个菱形，即多6根小棒，
图案（1）需要小棒：6×1－2=4（根）；图案（2）需要小棒：6×2－2=10（根）；
图案（3）需要小棒：6×3－2=16（根）；图案（4）需要小棒：6×4－2=22（根）；
则第n个图案需要小棒：6n－2根。
46.（内蒙古呼伦贝尔3分）用火柴棒按下列方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第n个图形需
根火柴棒。
【答案】6＋6n。
【考点】分类归纳（图形变化类）。
【分析】找出规律：观察可知，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒 。第二个图形需12＋6（2－1）根火柴棒，第三个图形需12＋6（3－1）根火柴棒，······因此第n个图形需12＋6（n－1）＝6＋6n根火柴棒。
47.（内蒙古乌兰察布4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有
个小圆 · （用含 n 的代数式表示）
第 2 个图形
第 4 个图形
【答案】。
【考点】分类归纳（图形变化类）。
【分析】寻找规律：第1个图形中间有2＝1×2个小圆，第2个图形中间有6＝2×3个小圆，第3个图形中间有12＝3×4个小圆，第4个图形中间有20＝4×5个小圆，······第n个图形中间有n（n＋1）个小圆。共有4＋n（n＋1）＝个小圆。
48.（四川资阳3分）甲、乙、丙三位同学组成乒乓球兴趣小组参加课外活动，约定活动规则如下：两人先打，输了的被另一人换下，赢了的继续打，下一次活动接着上一次进行．假设某段时间内甲打的场次为，乙打的场次为，丙打的场次为．若=b，显然有最大值=+；若≠，通过探究部分情况，得到的最大值如下表所示． 进一步探究可得，当=27，=20时，的最大值是
．......的最大值1不存在3不存在25不存在不存在47不存在不存在369不存在不存在不存在5811...　　　　　　　　
【答案】35。
【考点】分类归纳。
【分析】由观察可知，当=27，有下表：...27......26...的最大值...53...故当=27，=20时，的最大值是35。
49.（四川雅安3分）在一列数中，，，则
【答案】9。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】由已知通过观察得：，，，...， ，
　　　　∴，即。
50.（四川广元5分）已知一组数为：1，，，，，...，按此规律用代数式表示第n个数为
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】分析规律，分式的分母是项数的平方n2，分子是奇数排列2n－1，故第n个数为。
51.（四川绵阳4分）观察下面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第
个图形共有 120个★．　　　　　　【答案】15。
【考点】分类归纳（图形变化类）。
【分析】观察图形，找出规律：
∴（3－1）＋（6－3）＋（10－6）＋···＋（）=2＋3＋4＋···＋n
即=2＋3＋4＋···＋n，
∴当时，即，解得，（舍去）。
52.（四川成都4分）设,,,...,
设，则S=　 ▲
（用含的代数式表示，其中为正整数）．
【答案】。
【考点】分类归纳，二次根式的化简求值。
【分析】∵，∴。∴。
53.（四川巴中3分）已知数n按图所示程序输入计算，当第一次输入n为80时，那么第2 011次输出的结果应为
【答案】6。
【考点】分类归纳（数字变化类）。
【分析】根据图所示程序，当第一次输入n为80时，第1次输出的结果为40，第2次输出的结果为20，第3次输出的结果为10，第4次输出的结果为5，第5次输出的结果为12，第6次输出的结果为6，第7次输出的结果为3，第8次输出的结果为10，返回到第3次输出的结果。即当第一次输入n为80时，输出的结果为40，20，10，5，12，6，3，10，5，12，6，3，10，···，从第3次输出开始，5次一循环。因为（2011－2）÷5=2004余4，所以第2 011次输出的结果与第6次输出的结果相同，为6。
54.（四川达州3分）用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小圆
个（用含n的代数式表示）．
【答案】×n（n+1）。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】由题意知，第1个图形为1个小圆，即×1×（1+1）；
识纳定理第2个图形为3个小圆，即即×2×（2+1）；
第3个图形为6个小圆，即×3×（3+1）；
第4个图形为10个小圆，即×4×（4+1）；
从而发现规律：第n个图形的小圆的个数为即×n（n+1）。
55.（四川泸州2分）如图，是用三角形摆成的图案，摆第一层图需要1个三角形，摆第二层图需要3个三角形，摆第三层图需要7个三角形，摆第四层图需要13个三角形，摆第五层图需要　 ▲ 　个三角形，...，摆第n层图需要　 ▲ 　个三角形．
【答案】21；n2－n＋1。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】观察并分析如下：
∵（3－1）＋（7－3）＋（13－7）＋···＋（）=2＋4＋6＋···＋2（n－1）
∴－1=[2＋2（n－1）]（n－1）=n2－n，即= n2－n＋1。
∴当n=5时，需要52－5＋1=21个三角形，摆第n层图需要n2－n＋1个三角形。
56.（四川内江6分）在直角坐标系中，正方形、、...、按如图所示的方式放置，其中点...、均在一次函数的图象上，点...、均在x轴上．若点的坐标为（1，1），点的坐标为（3，2），则点的坐标为
【答案】（2n－1－1，2n－1）。
【考点】分类归纳，一次函数综合题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，正方形的性质。
【分析】首先求得直线的解析式，分别求得A1，A2，A3...的坐标，可以得到一定的规律，据此即可：
　　　　∵的坐标为（1，1），点的坐标为（3，2），、是正方形，
　　　　∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2）。
　　　　∵A1、A2在上，
　　　　∴，解得。∴线的解析式是。
　　　　∵点B2的坐标为（3，2），
　　　　∴在直线中，令=3，则A3纵坐标是：3+1=4=22；
　　　　则A4的横坐标是：1+2+4=7，则A4的纵坐标是：7+1=8=23；
　　　　据此可以得到An的纵坐标是：2n－1，横坐标是：2n－1－1。
　　　　故点An的坐标为 （2n－1－1，2n－1）。
57.（四川广安3分）如图所示，直线OP经过点P（4，），过轴上的点1、3、5、7、9、11...分别作轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为、...，则关于n的函数关系式是
【答案】。
【考点】分类归纳（图形变化类），正比例函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】由直线OP经过点P（4，），可根据直线上点的坐标与方程的关系用待定系数法求出直线OP的解析式：。
分析阴影部分梯形的规律，、...上底对应的横坐标为1，4，9，···4n－3，则上底长为，4，9，···（4n－3）；显然下底长为3，7，11，···（4n－1）；高为1。因此关于n的函数关系式是。
58.（四川乐山3分）如图，已知∠AOB=，在射线OA、OB上分别取点OA=OB，连结AB，在BA、BB上分别取点A、B，使B B= B A，连结A B...按此规律上去，记∠A B B=，∠，...，∠
【答案】（1），（2）。
【考点】分类归纳，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。
【分析】（1）设∠A1B1O=x，则α+2x=180°，x=180°－，∴= 。
（2）设∠A2B2B1=y，则+y=180°，+2y=180°，∴= 。
...∴=。58.（甘肃兰州4分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为
【答案】（）2n﹣2。
【考点】分类归纳（图形变化），矩形的性质，菱形的性质，三角形中位线的性质。
【分析】已知第一个矩形的面积为1；
　　　　第二个矩形的面积为原来的（）2×2﹣2=；
　　　　第三个矩形的面积是（）2×3﹣2=；
　　　　...
　　　　故第n个矩形的面积为：（）2n﹣2。
59.（青海省2分）用黑白两种正六边形地面瓷砖按如图所示规律拼成若干图案，则第n个图案中有白色地面瓷砖
【答案】4n＋2。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】根据第1个图形有6块白色地面瓷砖，第2个图形有10块白色瓷砖，每多1个黑色瓷砖则多4块白色瓷砖，根据此规律即可写出第n个图案中的白色瓷砖的块数
第1个图案白色瓷砖的块数是：6，
第2个图案白色瓷砖的块数是：10=6＋4，
第3个图案白色瓷砖的块数是：14=6＋4×2，...以此类推，第n个图案白色瓷砖的块数是：6＋4（n－1）=4n＋2。
60.（青海西宁2分）如图是三种化合物的结构式及分子式，则按其规律第4个化合物的分子式为_
【答案】C4H10。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】∵第4个化合物有4个C，2×5=10个H，∴第4个化合物的分子式为 C4H10。
61.（辽宁营口3分）观察下列数据：，，，，，...，它们是按一定规律排列的，依照此规律第n个数据是
_(用含n的式子表示)．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】观察可知，分母为2n＋1，分子x的指数为2n－1，故第n个数据是。
62.（辽宁朝阳3分） 观察下列图形：
　　它们是用●按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形中共有
【答案】30。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】观察图形，找出规律：图形中●的个数是序号的3倍，故第10个图形中共有30个●。
63.（云南大理、楚雄、文山、保山、丽江、怒江、迪庆、临沧3分）下面是按一定规律排列的一列数：，，，，那么第个数是
【答案】。
【考点】分类归纳。
【分析】由于，，
，那么第个数是。
64.（贵州六盘水4分）有一列数：，，，......，则它的第7个数是
▲第n个数是
【答案】；。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】∵，，，，
　　　　∴第七个数为，
第n个数为。
65.（云南曲靖3分）将一列整式按某种规律排成x,－2x2,4x3,－8x4,16x5...则排在第六个位置的整式为
【答案】－32 x6。
【考点】分类归纳。
【分析】找出单项式的构成规律：符号为正负相间，奇次个为正，偶次个为负；除符号外的系数为1，2，4，8，16，...2n-1，即2的&个数减1&次方；x的指数为1，2，3，4，...n，即个数。故排在第六个位置的整式为－26－1x6＝－32 x6。
66.（贵州遵义4分）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是5,可发现第一次输出的结果是8,第二次输出的结果是4,......，请你探索第2011次输出的结果是
【答案】1。
【考点】分类归纳，代数式求值。
【分析】由数值转换器，发现第二次输出的结果是4 为偶数，所以第三次输出的结果为2，第四次为1，第五次为4，第六次为2，...，可得出规律从第二次开始每三次一个循环，根据此规律求出第2011次输出的结果：∵（2011－1）÷3=670除尽，∴第2011次输出的结果是1。
67.（贵州铜仁4分）．观察一列单项式：，，，，...
根据你发现的规律，第7个单项式为
；第个单项式为
【答案】；。
【考点】分类归纳，单项式。
【分析】通过观察已知条件，找出这列单项式的规律即可求出结果：根据观察可得，单项式的系数的符号正负相间，奇数项为正，偶数项为负，系数的数值为2的项数减1次方，故系数为； 单项式的指数为项数。因此，第7个单项式为；第个单项式为。
68.（云南玉溪3分）如图，点A1、A2、A3、......、An在抛物线图象点
B1、B2、B3、......、Bn在轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、......、△AnBn－1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△的腰长=
【答案】。
【考点】分类归纳，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理。
【分析】先求△A1B0B1的腰长，设A1（），由等腰直角三角形的性质可知，解得，从而B1（0，2），则由勾股定理，△A1B0B1的腰长=。
同理求△A2B1B2的腰长，设A1（），由等腰直角三角形的性质可知，解得，从而B2（0，6），则由勾股定理，△A2B1B2的腰长=。
　　　　同理△A3B2B3的腰长=。······
　　　　则△的腰长=。论
69.（贵州贵阳4分）如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为l，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，...，依次类推到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为　 ▲ 　．
【答案】15。
【考点】分类归纳，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，勾股定理。
【分析】根据△ABC是直角边长为1的等腰直角三角形，利用勾股定理分别求出Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△ADE的斜边长，然后利用三角形面积公式分别求出其面积，找出规律，再按照这个规律得出第四个、第五个等腰直角三角形的面积，相加即可：
∵△ABC是边长为1的等腰直角三角形，∴S△ABC=×1×1=；
∵AC=，AD==2，···
∴S△ACD=；S△ADE=，···
∴第n个等腰直角三角形的面积是。
∴S△AEF==4，S△AFG==8。
∴由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为+1+2+4+8=15。
70.（福建漳州4分）用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第n个图形需要棋子_
枚．（用含n的代数式表示）
【答案】3n＋1。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】从简单图形入手，抓住随着&编号&或&序号&增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论：第一个图需棋子3+1=4枚；第二个图需棋子3×2+1=7枚；第三个图需棋子3×3+1=10枚；...第n个图需棋子3n+1枚。
71.（福建龙岩3分）如图，依次以三角形、四边形、...、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两不相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S3，四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4，...。n边形与各圆重叠部分面积之和记为Sn．则S90的值为
_．(结果保留π)
【答案】。
【考点】分类归纳（图形的变化类），多边形内角和定理，扇形面积的计算。
【分析】根据题意可得出，重叠的每一部分是半径为1的扇形，圆心角是多边形的内角和，根据扇形的面积公式：三角形与各圆重叠部分面积之和S3=；四边形与各圆重叠部分面积之和S4=；.......所以Sn=，则S90=。
72.（福建莆田4分）已知函数，其中表示当时对应的函数值，如，则=
【答案】。
【考点】分类归纳，求函数值。
【分析】根据函数得，=，=，=，...，，则
　　　　。
73.（福建厦门4分）如图，一系列&黑色梯形&是由x轴、直线y=x和过x轴上的正奇数1、3、5、7、9、...所对应的点且与y轴平行的直线围成的．从左到右，将其面积依次记为S1、S2、S3、...、Sn、...．则S1=　
【答案】4；4（2n﹣1）。
【考点】分类归纳，一次函数综合题。
【分析】由图可得，S1，S2，
S3，...，∴Sn=4（2n﹣1）。
74.（福建三明4分）如图，直线l上有2个圆点A，B．我们进行如下操作：第1次操作，在A，B两圆点间插入一个圆点C，这时直线l上有（2+1）个圆点；第2次操作，在A，C和C，B间再分别插入一个圆点，这时直线l上有（3+2）个圆点；第3次操作，在每相邻的两圆点间再插入一个圆点，这时直线l上有（5+4）个圆点；...第n次操作后，这时直线l上有
【答案】2n+1。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】根据题意，找出规律：第1次操作，在A，B两圆点间插入一个圆点C，这时直线l上有（2+1）=21+1个圆点；第2次操作，在A，C和C，B间再分别插入一个圆点，这时直线l上有（3+2）=22+1个圆点；第3次操作，在每相邻的两圆点间再插入一个圆点，这时直线l上有（5+4）=23+1个圆点；...；
n次操作后，这时直线l上有2n+1个圆点。
三、解答题
1.（浙江金华、丽水10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在轴和轴的正半轴上，设抛物线过矩形顶点B、C．
（1）当n=1时，如果=﹣1，试求的值；
（2）当n=2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；
（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O．
①试求当n=3时的值；
②直接写出关于n的关系式．
【答案】解：（1）由题意可知，当n=1时，点C的坐标为（0，1）
　　　　　　∴抛物线对称轴为直线=，=﹣1，∴，得=1。
　　　　　　答：的值是1。
　　　　　　（2）解：设所求抛物线解析式为
　　　　　　由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（，2），代入得
　　　　　　，解得。
　　　　　　∴所求抛物线解析式为。
　　　　　　（3）解：①当n=3时，OC=1，BC=3，
　　　　　　设所求抛物线解析式为，
　　　　　　过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD。∴。
　　　　　　设OD=t，则CD=3t，∵OD2+CD2=OC2，∴（3t）2+t2=12，∴。
　　　　　　∴C（，）。
　　　　　　又由勾股定理，得B（，0），
　　　　　　∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得，解得，。
　　　　　　答：的值是。
　　　　　　②答：关于n的关系式是。
【考点】二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，；勾股定理；正方形的性质，相似三角形的判定和性质，分类归纳。
【分析】（1）根据已知得到抛物线对称轴为直线=，代入即可求出。
（2）设所求抛物线为，由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（，2），把B、M的坐标代入得到方程组，求出、的值即可得到抛物线解析式；
（3）①当n=3时，OC=1，BC=3，设所求抛物线解析式为，过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD，得出，设OD=t，则CD=3t，根据勾股定理OD2+CD2=OC2，求出t，得出C的坐标，把B、C坐标代入抛物线解析式即可得到方程组，求出即可。
　　　　　　②根据（1）、（2）①总结得到答案。
2.（浙江衢州10分）△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，
（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由．
（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为s1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s2（如图2），则s2=
；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为s3，继续操作下去...，则第10次剪取时，s10=
（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．
【答案】解：（1）如图甲，由题意，得AE=DE=EC，即EC=1，S正方形CFDE=12=1。
　　　　　　如图乙，设MN=，则由题意，得AM=MQ=PN=NB=MN=，
　　　　　　由∠C=Rt∠，AC=BC=2，根据勾股定理，得AB=。
　　　　　　∴，解得。∴S正方形PNMQ=。
　　　　　　∵1＞，∴甲种剪法所得的正方形面积更大。
　　　　　　（2）S2=，S10=。
　　　　　　（3）探索规律可知：Sn=。则剩余三角形面积和为
　　　　　　2－（S1＋S2＋S2＋...＋Sn）=2－（）=。
【考点】分类归纳，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质。
【分析】（1）分别求出甲、乙两种剪法所得的正方形面积，进行比较即可。
（2）按图1中甲种剪法，可知后一个三角形的面积是前一个三角形的面积的，依此可知结果。
（3）探索规律可知：Sn=，依此规律可得第10次剪取后余下的所有小三角形的面积之和。
3.（湖南益阳8分）观察下列算式：
　　　　① 1 ×3 － 22 = 3 － 4 = －1
　　　　② 2 × 4 － 32 = 8 －9 = －1
　　　　③ 3 × 5 － 42 = 15 －16 = －1
　　　　④......（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
　　【答案】解：⑴。
　　⑵答案不唯一，如。
⑶一定成立，理由如下：
　　　　　　　　　　　　　　　。
【考点】分类归纳，整式的混合运算
【分析】（1）根据①②③的算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式。
（2）将（1）中，发现的规律，由特殊到一般，得出结论。
（3）利用整式的混合运算方法加以证明。
4.（湖南益阳10分）如图，已知抛物线经过定点A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，P点关于轴的对称点为P′，过P′ 作轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在轴右侧），直线BA交轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值：
（1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA
与CB的比值；
（2）若P点坐标为（0，）时（为任意正实数），线段CA与
CB的比值是否与⑴所求的比值相同？请说明理由．
【答案】解：⑴
设抛物线的解析式为 ，
抛物线经过A（1，0），∴。∴。　　　　　　　∵P′、P关于x轴对称，且P（0，1），∴P′点的坐标为（0，-1）。
　　　　　　　∵P′B∥x轴，∴B点的纵坐标为－1。
　　　　　　　由解得，。
　　　　　　　∴ B(，－1)，∴P'B=。
　　　　　　　∵OA∥P'B，∴△CP'B∽△COA，∴。
设抛物线的解析式为　　
∵抛物线经过A（0，1），∴。
∴。　　　　　
∵P′B∥x轴，∴B点的纵坐标为，当时，，∴。∵，∴，∴，∴。
∴∴P'B=。
∴为为任意正实数时，。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据抛物线经过A（1，0），应用待定系数法得出二次函数解析式，从而得出P'点的坐标， B点坐标，再利用△CP′B∽△COA，得出线段CA与CB的比值。
　　　（2）根据设抛物线的解析式为，得出，首先表示出B点的坐标，从而利用△CP′B∽△COA，得出线段CA与CB的比值。
5.（江苏苏州9分）如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕点B1按顺时针方向旋转120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即和
，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇
形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，
然后将正方形纸片绕着顶点^按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动
到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，......，
按上述方法经过若干次旋转后．她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC接上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运
动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OA BC按上述方法经过5次旋转，求顶
点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是?
请你解答上述两个问题．
【答案】解：问题①：如图，正方形纸片经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆弧，
所以顶点O在此运动过程中经过的路程为。
顶点 O在此运动过程中所形成的图形与直线围成图形的面积为。
　　 正方形纸片经过5次旋转，顶点O运动经过的路程为：。
问题②：∵ 正方形纸片每经过4次旋转，顶点O运动经过的路程均为：。
又，而是正方形纸片第4+1次旋转，顶点O运动经过的路程。
∴正方形纸片OABC按上述方法经过81次旋转，顶点O经过的路程是
【考点】分类归纳，图形的翻转，扇形弧长和面积.
【分析】求出正方形OABC翻转时点O的轨迹弧长, 再求面积即可。要理解的是第4次旋转，顶点O没有移动。
6.（广东省9分）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．
　　　　　　　　　　　　　　　　　1
　　　　　　　　　　　　5
　　　　　　　　　10
　　　　26
..............................
（1）表中第8行的最后一个数是______________，它是自然数_____________的平方，第8行共有____________个数；
（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是___________________，最后一个数是________________，第n行共有_______________个数；
（3）求第n行各数之和．
【答案】解：(1)64，8，15。
（2）n2-2n+2，n2，2n-1。
（3）第n行各数之和：。
【考点】分类归纳。
【分析】（1）（2）由表的构成可以看出：①每一行的最后一个数是：行数的平方。所以第8行的最后一个数是82=64；第n行的最后一个数是n2。②每一行的第一个数是：前一行最后一个数加1。所以第n行的第一个数是（n-1）2+1=n2-2n+2。③每一行的个数是：最后一个数减去的第一个数加1。所以第n行个数是n2-（n2-2n+2）=2n-1。
（3）每一行各数之和是：这一行的第一个数与最后一个数的平均数剩以这一行的个数。所以第n行各数之和为。
7.（广东茂名3分）给出下列命题：
命题1．点（1，1）是双曲线与抛物线=2的一个交点．
命题2．点（1，2）是双曲线与抛物线=22的一个交点．
命题3．点（1，3）是双曲线与抛物线=32的一个交点．...请你观察上面的命题，猜想出命题n（n是正整数）：　 ▲ 　．
【答案】点（1，n）是双曲线与抛物线=n2的一个交点。
【考点】二次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征。
【分析】根据已知得到点的横坐标都是1，纵坐标与反比例函数的k相同，与二次函数的相同，即可得到答案。
8.（广东珠海6分）如图，在正方形ABC1D1中，AB＝1．连接AC1，以AC1为边作第二个正方形AC1C2D2；连接AC2，以AC2为边作第三个正方形AC2C3D3．
（1） 求第二个正方形AC1C2D2和第三个正方形的边长AC2C3D3；
（2）请直接写出按此规律所作的第7个正方形的边长．
【答案】解：（1）∵四边形ABC1D1是正方形，
∴∠B＝90°，BC1＝AB＝1；∴AC1＝。
又∵四边形AC1C2D2是正方形，
∴∠AC1C2＝90°，AC1＝C1C2＝；∴AC1＝。
∴第二个正方形AC1C2D2和第三个正方形AC2C3D3的边长分别为和2。
（2）请按此规律所作的第7个正方形的边长为8。
【考点】正方形的性质，勾股定理，分类归纳。
【分析】（1）根据正方形四条边相等，四个角都是直角的性质，应用勾股定理即可求得第二个正方形AC1C2D2和第三个正方形AC2C3D3的边长。
（2）找出规律知，第二个正方形边长是，第三个正方形边长是，第七个正方形边长是。
9. （四川内江12分）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道
时，我们可以这样做：
（1）观察并猜想：
=（1+0）×1+（1+1）×2=l+0×1+2+1×2=（1+2）+（0×1+1×2）
=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3
=1+0×1+2+1×2+3+2×3
=（1+2+3）+（0×1+1×2+2×3）
=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3+ ___________
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+ ___________
=（1+2+3+4）+（___________）...（2）归纳结论：
=（1+0）×1+（1+1）×2+（1+2）×3+...[1+（n-l）]n
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+...+n+（n-1）×n
=（___________）+[ ___________]
= ___________+ ___________
=×___________
（3 ）实践应用：
通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是_________。
【答案】解：（1）观察并猜想：（1+3）×4；4+3×4；0×1+1×2+2×3+3×4。
（2）归纳结论：1+2+3+...+n；0×1+1×2+2×3+...+（n-1）n； n（n+1）；n（n+1）（n-1）；n（n+1）（2n+1）。
　　　　　（3）实践应用：338350。
【考点】整式的混合运算。
【分析】根据（1）所得的结论，即可写出（1）（2）的结论；（3）直接代入（2）的结论，计算即可。
10.（四川凉山6分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中&杨辉三角&就是一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等。　　　　（1）根据上面的规律，写出的展开式。
　　（2）利用上面的规律计算：
【答案】解：（1）。
（2）原式== =1 。【考点】分类归纳。
【分析】（1）根据上面的规律，展开式中的系数为1，4，6，4，1，从而的展开式中的系数为1，5，10，10，5，1。
（2）在中，令，即可。
11.（四川遂宁8分）在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点。
　　当n=1时，如图⑴，一条直线将一个平面分成两个部分；
　　当n=2时，如图⑵，两条直线将一个平面分成四个部分；　　　　　　　　　　　　则：当n=3时，三条直线将一个平面分成
　　　　当n=4时，四条直线将一个平面分成
　　　　若n条直线将一个平面分成个部分，n+1条直线将一个平面分成个部分。
　　　　试探索、、n之间的关系。
【答案】解：当n=3时，三条直线将一个平面分成
当n=4时，四条直线将一个平面分成
寻找规律，当n=1时，分成2部分；当n=2时，分成4部分；当n=3时，分成7部分；当n=4时，分成11部分；···据此画图如下：
∴、、n之间的关系是－＝n＋1，即＝＋n＋1。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】如图，当n=3，n=4时，可见直线将平面分成的部分。
根据n=1，n=2， n=3，n=4的情况，画图寻找规律求解。
12.（安徽省8分）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示．
(1)填写下列各点的坐标：A4(
(2)写出点A4n的坐标(n是正整数)；
(3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．
【答案】解：⑴ 0，1；1，0；6，0。
⑵A4n(2n,0)。
【考点】分类归纳。
【分析】⑴根据已知直接写出答案。
⑵观察规律，点A4、A8、A12、...A4n都在X轴上，它们的横坐标是它们的下标除以2：2、4、6、...2n，故点A4n的坐标为(2n,0)。
(3)由⑵可知，蚂蚁移动的规律是4n一个周期，因此蚂蚁从点A100到点A101的移动方向是向上。
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