解几何题的钥匙
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/ 解几何题的钥匙　
1．求证：两条对角线相等的梯形是等腰梯形。提示：设此梯形为 ABCD，其中 AD∥BC，AD＜BC，且 AC=BD。辅助线可以作 DE∥AC 交 BC 的延长线于 E，这是基本作图与公法的应用，没有问题，如 果延长 BC 到 E，使 CE=AD，以一组对边平行且相等制造平行四边形是可以的；若是作 DEAC 就不好，因为 B，C、E 是否共线就出了问题，需要证明。2．已知：⊙O 的外切等腰梯形 ABCD，中 AB∥CD，AB=a，CD=b，且 a＞b、∠B=α。求：⊙O 的直径。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !6.bmp}提示：如图77，易证AD+BC=AB+CD=a+b，所以BC=1（a+b）。作2CE⊥AB于E，求得CE= 1 （a+b） sin ?。这时，你一定想说⊙O的直径等于2CE，不过，决不能想当然，要看有没有根据。设 AB 切⊙O 于 M，辅助线可以这样作：“连结 OM，延长 MO 交 CD 于 N”。这种作法保证了 M、O、N 共线。 由于 OM⊥AB，AB∥CD，所以 ON⊥DC，这就证明了 MN、CE 同是这一组平行线 间的距离，因而 MN=CE。再用“过圆心而直于切线的直线必过切点”，证明MN 是⊙O 的直径。若是忽略了上面讲的这一层，在明确了 M、N 是切点以后， 就连结 MN，说 MN 是⊙O 的直径，这是不可以的；若说“连结 MN，使 MN 经过O 点”，就更不对了，这样做仍是犯了前面提到的错误。3．已知：在△ABC 中，F、E 分别是 AB、AC 的中点，P、Q 分别是1BE、CF的中点。求证：PQ =BC。4　　提示：若取 BC 的中点 D，连结 DF，这时不要管过不过 P 点；连结 DE， 同样不要管过不过 Q 点；再连结 EF，用平行四边形 BDEF、CEFD 对角线互相 平分，证明 P 在 DF 上，且为 DF 中点，Q 在 DE 上，且为 DE 中点。4．已知：⊙O 和⊙O′外切于 A，过 A 点的直线和⊙O 相交于 B，和⊙O′相交于 C，过 B、C 分别作⊙O、⊙O′的切线 MN、PQ。求证：MN∥PQ。　　提示：若连结 OB、O′C，则必须明确 O、A、O′共线。这是定理，应该 先说一下。5．如图 78，已知：锐角△ABC，⊙O 是以 BC 为直径的圆，⊙ O 交 AB 于 D，交 AC 于 E，过 D、E 的⊙O 的两条切线相交于 F，若 BE、CD 相交于 H。求证： 直线 AF 经过 H 点。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !7.bmp}　　提 示：若是作出△ABC 的高 AG,则连同垂足 G 在内，A、F、H、G 共有四 点共线，所以辅助线不能这样作。由于 BC 是⊙O 的直径，易证∠BDC=∠BEC=90°，从而确定 BE、CD 都是△ABC 的高，它们的交点 H 是垂心，然后连结 AH，延长 AH 交 BC 于 G，AG 必是△ABC 的另一条高。设过 D 的⊙O 的切线交 AG 于 F′，∠F′DC 即∠1 为弦切角，∠1=∠ABC，又 D、B、G、H、四点共圆，∠2=∠ABC，所∠1=∠2。在 Rt△ADH 中，易证 F′是 AH 的中点。同理，设过 E点的切线交 AG 于 F″，F″也应是 AH 的中点，而 AH 有一个中点，即 F′与 F″重合为一个点。这个点是上述三线的公共点，当然也就是两切线的交点， 即原题中的 F 点，所以 A、F、H 共线。　　6．已知：⊙O 的半径的 r，它的外切等腰梯形 ABCD 的面积等于以⊙O 的 直径为一边的正方形面积的两倍，求梯形各边的长。提示：设梯形上底为 2x，下底为 2y，依前面说过的方法，说明梯形高为2r，所以梯形面积为 1 （2x + 2y）·2r。而正方形面积为（2r） 2 。这时2可以列出方程。另外若作出梯形的一条高以后，正好出现了直角三角形，则 可以设法用 x、y、r 表示这直角三角形的三条边，用勾股定理列出第二方程。最后，解这个方程组，得到梯形上底为2r（2-腰长为4r。3），下底为2r（2+3），困难是怎样克服的　　每个学习几何都会遇到不少困难。我们仅就多数人共同的主要困难问题 进行讲解。比如，注意“看题”和“看图”的问题，弄清“有什么”和“要 什么”的问题，知道做什么题和怎样做题的问题，学会做过题怎样小结的问 题。特别是对改头换面的几何证明题和各种各样的几何计算题进行了认真地 探讨。注意“看清题”和“看清图”　　有的有的时候，一道题证错了，或者证不出来，并非思路不对头，而是 根本没有看懂题：或是没看清题目，弄不清到底给了什么条件；或是没看清 图形，找不到图形之间的关系。　　随着对几何知识的研究不断加深，人们出题的形式也有所变化。有的几 何题，既没有字母，也没有图。例如，“证明：有两个角及其中一个角的平 分线相等的两个三角形全等。”有的几何题有字母，却没有图。例如，“已 知：在△ABC 中高 ha 与其外角平分线 AD 的夹角为 60°。求：∠B 与∠C 之差。” 还有的几何题虽然有图，但是线段和角多一些，看着比较乱。这就更要学会 怎样看题，怎样看图了。到底如何看题呢？我们不妨以上面的第二个题为例。　　首先，我们要从念概念入手，不放过题中的每个细节。比如，在△ABC 中，“高 ha”，是指 a 边上的高，也就是说，它是 BC 边上的高，是从 A 点向 BC 边所引的垂线段。“外角平分线 AD”，指的是从 A 点引出的射线，它不但是∠A 邻补角的平分线，而且必须与 ha 成 60°角。 其次，我们要依题意画图，力求作图准确、清。画完图后，要反复核实一下，看看是否体现了原题的意思。　　最后，我们要按照题意去思考，不要出“没看见”，“没注意”等丢失 条件的情况。特别是证不出来的时候，一定要重新看题。如图 79，在△ABC 中，AE 是高，AE 与 AD 的夹角是 60°。我们可以在∠EAD 的顶点附近，画一 段圆弧，作出一个记号，记住这个角是 60°。接着，得到∠D=30°。再说，AD 是∠BAF 的平分线，于是可用∠1、∠2 表示出两个代数式。我们不妨设∠
1=∠2=α，则∠ABC 可以用α+30°表示，同理，∠FAD 等于∠C+∠D，所以∠ C=α-30°，所以∠B-∠C=（α+30°）-（α-30°）=60°。 到底如何看图呢？我们通过下面三个例子加以说明。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !1.bmp} 首先，我们要不会一部分、一部分地看图。就说前面说的第一例题吧。这道题是以命题形式出现的，我们需要把它们具体化。如图 80，“有两个角” 指的是∠B、∠C；“其中一个角的平分线”指的是 CD；既然是“相等三角形”， 必我还有一个三角，这个三角形同样具备上述条件，并与∠B、∠C、CD 对应 相等。依题意画出图来以后，先看△ABC 与△A′B′C′，在这两个三角形的 六个元素（三条边、三个角）中，只有∠B=∠B′，∠C=∠C′，不足以证全 等。再看△BCD 与△B′C′D′，有∠B=∠B′，又可证∠BCD=∠B′C′D′（根 据等式的性质），再加上 CD=C′D′，符合“角、角、边”能证△BCD≌△B′C′D′，得到 BC=B′C′，于是，用“角、边、角”证△ABC≌△△A′B′ C′就够条件了。　　以后遇到复杂图形，就应该采取“想看什么，就看什么，别的只当看不 见”的办法，这对看图能力的培养，是有用的。其次，我们要善于把可以用简称的地方，尽量用简称。如图 81，已知：∠FAC=∠ECB=∠DBA。求证：∠EDF=∠BAC，∠DEF=∠ABC，∠EFD=∠BCA。由 于这个题的角都用全称，所以审题的时候应该格外仔细，一不看错，二不写 错。然而我们最好还是把它们用简称表示。如图 81，可标出∠1∠2∠??这 样一来，各种关系就好表示多了。比如根据外角性质，得∠4=∠7+∠3，现根 据等式的性质，得∠4=∠7+∠1，所∠EDF=∠BAC。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !2.bmp} 最后，我们一定要认真研究图形结构。下面再举一个例子。如图 82。已知：在等腰直角△ABC 中，∠C=90°，AD 是 BC 边上的中线，CE⊥AD 于 E，CE 的延长线交 AB 于 F，连结 DF。求证：∠1=∠2。对这个题怎样研究它的图形 结构呢？比如，在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B 一定是锐角，AB 必是斜边， AC、BC 必是相等的两腰，还可以推出∠A=∠B=45°。此外，如果一部分、一 部分地看，还有许多图形如△BDF、△BDA、△ADC，围绕着 E 点还有 Rt△AEF、 Rt△AEC、Rt△FED、Rt△CED。这些三角形都有它自己的结构。 这时，我们 就要仔细看看它们是由带有什么特点、什么条件的边和角所组成的。现在要 证∠1=∠2，所以我们应该 先看包含∠1 的△BDF。其中，∠B=45°，∠1 是求证的角，BD= 1 BC。再看△ADC，它是一个直角三角形，其中 ∠DCA=90°，2∠2 求证的角，易知∠2 与∠3 互余，从而推出∠3=∠4，还知道DC =1BC =21 AC（BC、AC都是原等腰三角形的腰）。这里，BC = AC2格外重要。它既是概念，又是性质，还是思路。由此，我们很容易产生制造 全等三角形的几种设想。因为要证∠1=∠2 相等，先证三角形全等，这是常 用的方法。如果开始就想利用 BC=AC 制造全等形，似乎不大容易。这时，就要换一个角度认真考虑 CE⊥AD 这个条件。因而问题就变为用∠3=∠4 造全等三角形 的问题了。不难发现，包含∠4 的三形有△EDC 与△FBC 都不好用。怎么办呢？ 只有延长 CF 与过 B 点的长线相交于 G 才是办法，于是够条件了。用“角、边、角”证出 Rt△CGB≌Rt△ADC 以后，得到 GB=DC=BD 之后，不要忘记∠B 是 45°角，这样证△GBF≌△DBF 就不困难了，于是∠1=∠G=∠2 就成功了。 总之，只有会看题、会看图，才能从已知条件出发，根据图形性质进行推理判断。这种一环扣一环的联想，就是人们常说的思维能力，所以看题、 看图能力的培养，实在是思维训练不可缺少的重要内容。有了上述准备，我们再来看下面例题。例 1 证明：三角形的外心是连结三边中点所成的三角形的重心。 分析：如图 83，设 O 为△ABC 外接圆的圆心，D、E、F 分别是 BC、AC、AB 边中点。这时，AB、BC、AC 都⊙O 的弦。连结 OE、OF 则 OE⊥AC、OF⊥AB。 延长 FO 交 DE 于 N，延长 EO 交 FD 于 M。由三角形中位线性质，得 DE∥AB、 FD∥AC，于是 FN⊥DE、EM⊥FD，O 是△DEF 的垂心。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !4.bmp}例 2 已知：MN 是⊙O 的直径，P、C 为⊙O 上两点，引 CA⊥MN 于 A，直线 AC 交直线 PM 于 B、交真线 PN 于 D。求证：AC2=AB·AD。分析；看题时注 意到 AC、PM、PN 都说的是“直线”，这就包含着线段向两方延伸的意思。由 于原题没给图，又没具体地说明 P、C 两点的位置，所以需要考虑 P、C 两点在 MN 同旁、或分在 MN 两旁这两种情。第一种情又有两 可能：线段 AC 与弦PN 相交于 D，而线段 AC 的延长线与弦 PM 的反方向延长线相交于 （如图 84）； 线段 AC 与弦 PM 相交于 B，而张段 AC 的延长线与弦 PN 的反方向延长线相交于 D（如图 85）。第二种情也有两种可能，如图 86 图 87，无非是线段 CA 的 延长线与⊙O 有另一个交点 E，这时对原题所说“直线”，有了进一步的体会。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !5.bmp}由求证：AC 2 =AB·AD，希望先证出比例式 AB = AC ，因为A、B、AC ADC、D 四点在一条真线上，所以不是一套相似三角形能够解决的。这时，如果 看图能力强，由直径 MN 可以看出连结 CM、CN 会出现直角三形，用射影定理可以把 AC2 换成 MA·AN，再证 MA·AN=AB·AD，即证△MBS∽△DNA 就可以了。 这里所说的看图能力，是依条件看图、按条件选图、进一步研究图形性质的能力。练习十二1．证明：三角形的高，平分垂足三角形的内角。　　提示：这垂直关系很多，要考虑通过四点共圆证角相等；通过互余证角 相等。2．已知：如图 88 ， A、 B 、C 、 D 是一直上顺次四点。求证： AB·CD+AD·BC=AC·BD。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !6.bmp} 提示：这类题主要靠看图分析，尽量把等式左边的线段经过代换，全部换成 AC、BD，即 AB·CD+AD·BC=（AC-BC）（BD-BC）+AD·BC=AC·BD+BC2-AC · BC-BD · BC+AD · BC=AC · BD- （ AC+BD-BC ）· BC+AD · BC=AC · BD- AD·BC+AD·BC=AC·BD3．如图 89，在任意四边形 ABCD 中，∠D〉∠B，AF 平分∠A，BE 平分∠B，CG 平分∠C 交 AB 于 G，AF 交 CG 于 F，交 BE 于 E。求证：（1）∠AEB =1 1∠D +2 2∠C；（2）∠AFC = 1 ∠D - 1 ∠B。2 2{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !7.bmp}1提示：找到包含∠AEB的△ABE，有∠AEB=180°-∠2-∠3=180°-2?A ?1 1∠B=180°-2 2（∠A+∠B），把∠A+∠B换成360°-∠C-∠D；同样，∠AFG=180°-∠2-∠7=180°- 1 ∠A-（ 1 ∠C+∠B），把?A ? ?C换
2 2成 360°-∠B-∠D。　　4．已知：AD 是△AEF 的角平分线，交△AEF 的外接圆⊙O 于 D 点，过 D 点作⊙O 的切线交 AE 的延长线于 B、交 AF 的延长线于 C。求证：（1）EF∥BC；BD（2） DCAE= AF 。　　提示：看到角平分线这个条件，一方面要考虑圆财角与所对弧之间的关 系；另一方面要考虑角平分线与比例线段的关系。　　5．已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，BC=15cm,D 是 AB 上的一 点，并且 CD=AC。求：AD 的长。提示：看题后想到勾股定理，看图后想到△ADC 为等腰三角形，作出底边上的高CE，用射影定理求得AE = 64 cm，则AD = 128 cm．17 176．已知：⊙O 和⊙O′内切于 P，过 P 作直线 PAB，交⊙O′于 A 交⊙O于 B，过 B 作⊙O 的弦 BE，过 A 作⊙O′的弦 AC，AC 延长线交 BE 于 D 。 求证：P、C、D、E 四点共圆。　　提示：过 P 作两圆公切线，连结 PC、PE。只要证明∠ACP=∠E，问题就 解决了。这里要求我们一部分一部分地看图，先看⊙O′找到与∠ACP 有关的 弦切角；再看⊙O 找到与∠E 有关的弦切角。弄清“有什么”和“要什么”　　如果题目看懂了，图形也会看了，就可以按照自己的思路，进行推理论 证了。这一节，我们重点研究一下怎样想题，也就是如何培养自己分析问题、解决问题的能力。那么，从哪 里入手来培养这种能力呢？通俗地说，当我们 拿到一个题目的时候，重要的是要看看这个题目有什么条件，要什么结果。 下面，我们就从这里研究直。确切地说，看一道几何题给了什么已知条件，就是“有什么”；题目的求证，也就是命题的结果，就是“要什么”。每一道题都得这样研究。 先说“有什么”。若把范围扩大一点，“有什么”包括一个题目有什么已知条件，这个图形有什么性质，这类知识有什么训要求，证这类题目你有什么经验。总之，会说什么说什么，能想什么想什么。比如已知一个直角三 角形，条件中当然要有一个直角，写出来就是，已知 Rt△ABC 中，∠C=90°。 它有什么性质呢？两锐角互余就是一条，勾股定理也是一条。照这样，想一 想自己都学过什么性质。这类题有什么训练要求呢？象“见到图形，想到性 质”，就是最基本的训练要求，直角三角形的元素有边、有角。研究边有射 影定理、勾股定理、斜边中线等斜边一半；研究角有两锐角互余，通过余可 以证角相等；边、角之间的关系还有锐角三角函数可用。所有这些就是泛指 这一类题的知识，训练内容。具体到一个题，可能用到 些内容，又不是每一 条都有用；可能与其中一些内容有关，而与其余内容无关。这种取舍选择， 又与求证相关联，中间种种判断，很多时候要靠证这一类题的经验。　　再说“要什么”。从表面看来，“要什么”就是“求证”的要求。重要 的是从这项要求中，自己得到什么启发。比如求证两线段相等。你可以先看 这两线段的位置，若在同一个三角形里，就要证等腰三角形；若在两个三角 形里就要证全等三角形。而要证明上述内容，就先要证两个角相等；或找到 判断全等的三个条件。这样，一步一步地向前“要”，直到满足要求为止。　　　　对于一简单题来说，无论是从“有什么”向后推理，还是从“要什么” 向前提要求，往往只从一头儿下手就能证出来了。遇到较为复杂的题目，你 就应该考虑：前面有的，得是后面要的，才有用；后面要的，得是前面有的， 才可能。这样双管齐下。，中间江合，题目才能证出来。有的题目，即使这 样做了，仍然联系不起来，这就需要利用辅助线搭一搭桥了。　　值得一提的是，有些特殊类型的题目，往往不是普通方法所能概括了的。 这就要求见多广了。平时，你总会做过一些有特点的，心中有了典型，就能 触类旁通。即使如此，这一类题的分析过程也还要看“有什么”和“要什么”， 不过方法巧一些或特殊些，并非一进人人都能想得起来而已。对于一个中学 生来说，没有凡是几何题都得会做的要求，只是对于大纲、教材要求会做的 题会了就行。所以，不必为此增加不必要的精神负担。下面举两个例子，例题中的思路，读者可以当个参考。例 1 如图 90，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，CD 是∠ACB 的平分线，M 是AB 的中点，ME⊥AB 交 CD 的延长线于 E。求证：CD=ME 。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !1.bmp} 分析：从“有什么”入手，如前面说过的，直角三角形中有斜边中线等于斜边一半。于是，有 CM=MB，有∠1=∠2。GIP E∠1+∠3=45°，∠2+∠A=90°， 至此仍与 ME 无关。再看“要什么”，要 CM=ME，就是要∠3=∠E。既然 不能直接证明∠3 与∠E 相等，就要设法找等量来代换。想到 EM 是 AB 的垂线， 若是再作一条 AB 的垂线，必与 EM 平行，这样就会有内错角或同位角可以代 换，于是引 CF⊥AB 于 F，易证∠4=∠E。现在只要∠3 与∠4 相等就行了。已 经知道∠1+∠3=∠4+∠5=45°，要证∠3 与∠4 相等，只要先证∠1 与∠5 相 等就可以了。其实，作出斜高 CF 以后，对这个图形熟悉的同学，就已经发现 它是表示射影定理的那个图了，∠2、∠5 都是∠A 的余角，当然相等，于是 有∠1=∠2=∠5。? ?例2 如图91在⊙O中，AB = AD ，过B点的⊙O的切线交DA的延长线于C，引CE⊥AB于E。求证：BE = 1 DC。2{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !2.bmp}分析：由“求证”看，这个题属于倍分问题，所以我们想从这里入手：1延长BA到F，使BF = 2BE，也可以说使EF = BE，这样BE =BF，只要2BF = DC就好了。从思路上讲，如果把求证BE = 1 DC，改写为2BE = DC，2另找 BE 的二倍 BF，就将线段倍分问题转化为证线段相等问题了。　　看到 DC 与切线 BC 同在△DBC 中，想利用弦切角、圆周角证等角，通过 全等三角形证 DC 与 BF 相等。这样想法行不行呢？怎样制造全等三角形呢？? ?看看“有什么”。有 AB = AD ，于是∠1=∠2=∠3。既然有EF=BE，连结 CF，不难证明 CF=CB，有∠4=∠1。连结 DF，有 BCFD 共圆，有∠1=∠5， 有∠1+∠2=∠3∠5，有△DBC≌△BDF，得到 DC=BF。练习十三1．如图 92，M、N、分别是△ABC 的 AB、AC 边上的点，且 MN∥BC。D 是CA 的延长线上一点，NE∥DB 交 BA 的延长线于 E。求证：CE∥MD。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !3.bmp} 提示：这个题目已知有两组平行线，求证仍是平行线。回忆所学知识，由平行线带来的图形性质有两类：一类是有关的角，包括同位角相等，内错 角相等，同旁内角互补；另一类是比例线段，包括平行线分线段成比例定理 和相似三角形对应边成比例。这些都算是“有什么”，初步判断用比例线段 试一试。AM因为MN∥BC，有ABAN= ，也可以写成另一种形式，即经过更ACAM比后的ANAB= 。有了这种准备，再换比就方便了。又因为NE∥BD，有ACAN AE= 。观察这两组比例式，看到AN的位置，再看到AB的位置，这AD AB时容易想到：若把等式的两边分别相乘，AN、AB 都能约掉，会出现新的比AM例式 =ADAE，再加上一组对顶角相等，可以证明△DAM∽△CAE，从AC而得到∠MDA = ∠ECA，证出DM∥EC；也可以用更比得到 AM = AD ，AE AC用平行线分线段成比例定理的逆定理证明 DM∥EC。2．如图 93，已知：在△ ABC 中，∠ABC=90°，四边形 ABDE 和 ACFG 都是正方形，BA 的延长线交 FG于 H。求证：BC=2AH。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !4.bmp}　　提示：从“要什么”看，AH 与 BC 离得远，看不出有什么关系，恐怕还 得借助于第三条线段。倍分问题有直接倍、有间接倍。所谓间接倍就是应用 图形性质找出某个图形的二倍来，比如，这个题利用三角形中位线定理就可以 制造新的三角形，如果 AH 成为中们线，则第三边是它的二倍。　　从“有什么”看，这里面有直角三角形，有正方形，它们都有许多性质 可用。结合上述想法，延长 EA 到 D，使 AK=EA，则 A 为 EK 中点。这时，还要看 H 是否 EG 中点。在图形中，有直角，有互余，易证∠1=∠2，又有 AC=AG，AB=AE=AK，可证△ABC≌AKG。芋是，有∠K=90°。有 AH//KG，有 EH=HG。1根据是平行线等分线段定理的推论，于是有AH =GK。而GK与BC是全等2三角形的对应边，于是有GK = BC，得到AH = 1 BC。23．已知：在△ABC 或，BC 边上有 D、E 两点且 BD=DE=。求证：AB+AC＞AD+AE。　　提示：画出图 94，观察图中 AB、AC、AD、AE 四条线段所处的位置，用 学过的定理难于判断。这时容易想到，制造全等三角形，通过等量代换，达 到移动线段位置的目的。　　取 BC 中点 M，连结 AM，延长 AM 到 F，使 MF=AM，易证△BFM≌△ACM，有 BF=AC；连结 DF，易证△DMF≌△EMA，有 DF=AE。这里充分发挥了公用中线的 长处。至于要证 AB+BF＞AD+DF，可以延长 FD 交 AB 于 N，用三角形两边和大　　于第三边去推导。　　4．如图 95，已知在⊙O 中弦 AD∥BC，弦 BE∥AC，过⊙O 上 C 点的直线 FC∥DE。求证：FC⊙O 的切线。提示：已知圆的切线的题目较多，一般比较 熟悉；求证圆的切线的题目量少，一般比较生疏。普通的证法是看这条直线 是否是满足“过半径外端，并且和这条半径垂直的直线”；另外，切割线定 理的逆命题经证明正确，也可以作为定理用。? ?先看“有什么”，由于平行弦截等弧，所以 BD = AC ，有∠1=∠2=∠E；又 BE//AC，连结 CD，有∠ACB=∠EBC=∠EDC；而 FC//DE，∠EDC=∠DCF。 这就是说∠2+∠3=∠3+∠4，于是有∠2=∠4。换成∠1=∠4。这时 FC 是不是⊙O 的切线呢？如果说是，就等于承认了切割线定理的逆命题是正确的。 下面，我们反这个逆命题证明一下，在图 96 中，若∠ACF=∠B，CF 是不是⊙O 的切线呢？作⊙O 的直径 CM，连结 BM，有∠2=∠3，已证∠1=∠4，而⊙∠3∠4=90°，所以∠1+∠2=90°。这时，满足切线判定定理，所以 CF 是⊙O 的切线。5．如图 97，已知：AC 是⊙O 的直径，AD 交⊙O 于 G，CD 交⊙O 于 F，AF、CG 相交于 B，E 是 BD 的中点。求证：EF 是⊙O 的切线。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !6.bmp}　　提示：先看“有什么”，有直径，就有直角，就有三角形的高，就有三 角形的垂心，延长 DB 交 AC 于 H，必是另一条高；还有在 Rt△BFD 中，斜边 中线等于斜边一半，有∠1=∠2，又∠2=∠3，∠4=∠5，因为∠3+∠4=90°所 以∠1+∠5=90°。EF 是⊙O 的切线。6．如图 98，已知：PD 切⊙O 于 C，PAV 交⊙P 于 A、B。BD 过 O 点。BD 2 PB求证： = 。CD 2PA{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !7.bmp}　　提示：由于求证很特别，先从“要什么”考虑，一般的作法是设法把繁 杂的变为简单的，所以应从等式的左边入手。回顾所学知识，涉及线段平方 的有切割线定理、射影定下、勾股定理、余弦定理，这样思考就有了范围。 未经选定用哪个定理之前，可结合其他条件，试探、摸索，看哪方面希望大，就向哪方面前进。比如，有 CD2=DE·DB（原题没有 E 点，BD 过 O 点，直径的 另一端点写作 E，当然可以）。连结 AE，有∠EAB=90°，有 AE//PD，有DB PB=DE PA，于是有BD2CD 2
=BD 2DE·DB =BD PB= 。DE PA　　这里选的题目，多数比较难，层次多，步骤多，目的是想说明分析题目 中的“有什么”和“要什么”，是一种重要的数学思想。掌握了这种数学思 想对提高你的分析问题、解决问题的能力是十分有益的。　　　　　　　　　　　练习十四请读者自己选十个题，照这样分析一下。知道做什么题，怎样做题　　平面几何课本里的题目已经不少了，其中练习题有 267 题，习题有 405 题，复习参考题有 165 题，共计 837 题。　　从教师的角度来说，或者感到一个题作过了，学生该学到的东西并没有 完全学到；或者认为某种 9 类型的早上，还没涉及，需要补充几个；或者觉 得根据训练的要求还得加些垫加些补充练习。　　从学生的角度来说，总觉得心里没底，有的题会，有的题不会，总想找 点题练练。这就提出了一个问题：做什么题，怎样做题。 首先，我们认为最重要的还是先用好课本里的题。课本里的题大体可分为以下两种： 第一是简单实践题和模仿题。学习了新的知识以后，练习中先安排一些题，让学生看一看、想一想、画一画、算一算，简单实践一下，或者按照例 题样式做模仿题。如果做起来不困难，这就说明你对于所学的知识弄懂了， 初步会用了。比如，讲了切线判定定理以后，安排了这样一个练习：已知： 在△ABC 中，且∠A=45°，以 BC 为直径作⊙O。求证：AC 是⊙O 切线。这就 为了实践一下，满足“过半径外，端，并且和这条半径垂直”的直线的圆的 切线。别人证的题，你看过了；自己证的题，你写过了。以后再遇到类似的 情况，你的把握就大了。第二是从不同角度、不同用法编制的题。定理讲过以后，虽然有例题，但是数量有限。特别是，从不同侧面、不同角度同的题，定理的用法就不一 样。比如，讲了切线的判定与性质，有定理还有推论，然后安排了这样一道 练习题：已知：OC 平分∠AOB，D 是 OC 上任意一点，⊙D 与 OA 相切于点 E。 求证：OB 与⊙D 相切。这个题的特点是求证直线和圆相切，并没有现成的半 径。但是，仍要用切线判定定理，于是证法就与上述的例子不同了。既然角 的一边 OA 与⊙D 相切于 A 那么连结 DA，则 DA⊥OA。而角的另一边 OB 是束与⊙D 相切，还无从说起。这时，需要“作 DF⊥OB 于 F”，于是可知 OB 赤 DF的外端并且和 DF 垂直。不过，这里只差 DF 是⊙D 的半径这一条了，这样问 题就解决了。又如，课本上还安排了这样一道题：圆的两条切线互相平行， 则连结两个切点的线段是直径。这也是一个很好的题，它的特点是要解决三 点共线这个问题。设⊙O 的两条切线 AB//CD，切点分别是 E、F，仍可以连结 OE，得 OE⊥AB，然后延长 EO 交 CD 于 F’，用“推论”证明 EOF’必过 F 点。 共线问题解决了，此题便得证了。　　其次，我们觉得按照训练的要求或者某一学习阶段的要求，将一些题目 分类集中，或者适当作一些补充题，对提高学习水平，包括思维训练的水平 也是必要的。下面谈谈，在做书上的练习或习题，复习题的时候，应当选作 哪些补充题？　　第一，把垫脚题与综合题分集中。如图 99，已知：⊙O△ABC 的外接圆， 且 AB=AC。求证：AB·AC=AD·AE。不难证明△ABD∽△AEB，有 AB = AD ，改写成为AB2 =AD·AE，AE AB这个问题就解决了；同是这个图还可以变更为另一个题；由于 AB=AC，有? ?AB = AB ，得∠1 = ∠2 ，不难证明△BED∽△AEC有BE·EC=AE·ED。BE ED=AE EC，改写成　　如果另出一个题，已知条件如上不变。 求证：AE2=AB2+BE·EC，或者求 证：ED2=BE·EC-BD·DC，甚至将圆去掉，只给已知；在△BEC 职，ED 是角平 分线。求证：ED2=BE·EC-BD·DC。对于这些题来说，前面的题就可以看伯垫 脚的题。有了这些准备工伯，再伯后面的题就简便多了。比如，有了 BE·EC=AE·ED，可换 成 BE·EC=AE（AE-AD）=AE2-AE·AD，前面已经证过 AB2=AD·AE， 代入后移项得 AE2=AB2+BE·EC。　　再如图 100，已在：⊙O 的弦 AB⊥CD，垂足为 F，过 F 引直线分别与 AD、 BC、相交于 E、G。求证：（1）若 G 是 BC 中点，则 GFE⊥AD；（2）若 EFG⊥ AD，则 CG=GB。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !1.bmp} 证过这两个小题以后，再证综合题，它们将起垫脚的作用。 仍是上图，已知：⊙O 的弦 AB⊥CD 于 F，G 是 BC 的中点，OH⊥AD 于 H。求证：四边形 FHOG 是平行四边形。 所谓综合题，常常是几个基本题（或者说小题，有些就是所谓垫脚题）的综合，把这些小题（局部）弄清楚了，综合题（全部）的思路也就清楚了。　　第二，把代表一个类型的题相对集中。这类题目很值得下功夫研究。比 如，有关角平分线的三角形全等问题，由于角平分线位置居中，两侧有相等 的角，制造全等三角形很容易。把这一类型题目集中研究一下，在以后用到 的时候，就感到极 方便了。再如，直线形中的比 例线段问题，圆中的比例 线段问题等，都属于这一类。具体内容前面忆经谈过，这里就不再重复了。 有关四边形中点问题，也有一串题：顺次连结任意四边形、平行四边形、 矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边中点，将得到一个什么图形？我们不妨 把图形都画出来，一一分析思路，找到它们的区别、联系，得出结论。通过 观察，可以看出：它们的边都是通过三角形中位线定理与原四形对角线建立 联系的，原四边形对角线的位置、大小如何，会直接影响到新四边形对边、 邻边的关系，从而确定新四边形是一个什么图形。这么一做，这 一类题就能掌握了。　　第三，不排除做一些特殊类型的题目，这样可以增长见识，把它记住， 以后证题，可能受到启发。比如图 101 中，已知：⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B， 两圆的公切线分别切两圆于 C、D。求证：过 A、C、D 的圆的直径是⊙O1 和⊙O2 的直径的比例中项。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !2.bmp} 我们所学的定理中涉及圆的直径的，除直接画出直径、半径以外，90°的圆周角可以带来直径，但是，都与本题无直接关联。这时，我们应当想到 正弦定理。正弦定理与直径有关，讲的是一边与所对角的正弦的比。由于∠DCA、∠CDA 都是弦切角，在⊙O1 上取一点 M，连结 CM、AM，得到∠CMA=∠DCA，并且设它们等于α；在⊙O2 粘取一眯 N，连结 DN、AN，又得到∠DNA=∠CDA，设它们 等于β。再设⊙CAD 的直径为2R；⊙O
的直径为2R，⊙O的直径为2R，于是有 CACA= 2R
, =1 1 2 2AD ADsin α1
sinβ2R,sinα= 2R,sinβ= 2R．由此可以证明（2R）2
。　　事实说明，对于常见类型有一定经验，对某些特殊类型又有一些积累， 证丐题来会顺利得多。　　第四，应当研究一些多解的题、灵活的题。有些题可能有几种解法，或 添加不同的辅助线，或用不同的定理，解题的思路也就不同。这种题对于熟 悉图形性质，锻炼思维能力有好处。但是，不必一味求多，多几种、少几种 关系不大。只要定理用得灵活。想问题的方法灵活就很好了。除一题多解以 外，还有一题多变。所谓一题多变就是稍微改变一下原题的条件，这个 题就 会成为另一个题。这样做了以后，再看能不能解，结论如何。这也是很有益 处的。例如，已知：在 Rt△AOB 中，∠O=90°，以 O 为圆心，OA 为半径作? ?一个圆，交AB于C，交OB于D，若∠B = 31°。求： AC 和 CD 的度数。请你看看这个题能有多少种解法。　　又如，已知：AB 是⊙O 的直径，C 是半圆上的一点，过 C 点作 ⊙O 的切 线，从 A、B 两点分别作这条切线的垂线，垂足为 E、F，从 C 点再作 AB 的垂线，垂足为 D。求证：AE·BF=AD·DB=CD2 。请你想想能有几种证法。另外， 若把 AB 是⊙O 的直径这个条件变为 AB 是⊙O 的弦（即除直径以外的任意一条 弦）结论将有什么变化，证法又有什么不同？再如，等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和为定值。可是，对于等边 三角形来说，条件就不必限为底边上任意一点，可以是形内任意一点到 三边距离为定值。有了这个思路，在学习立体几何的时候， 证明正四面体内 任意一点到四个面的距离之和为定值，就很方便了。最后，做题还要考虑知识的覆盖面。不要只作自己会做的题，自己爱做的题。只环绕“重点知识”做题也是不够的。应该考虑学过的知识到底会多 少，不能置一些知识于不顾。近年来，各种考试中常有些“小题”，如填空、选择答案，判断正误等，这类题的知识覆盖面大是它们的一大优点。这就要求平日练习认真细致，不 草率从事。比如，正三角形边长为 a，中心为 O。从第一次接触它，就应该认 真推导、计算，得出结论。诸如，正三角莆的高是多少，而 O 到边的中点距 离是多少，O 到顶点的距离是多少、正三角形面积是多少。作过以后，记准 结论，随时可用。另外，正式答卷的时候，决不因小题而稍稍一想立即作答， 而应 当记住，几何题条件，认真计算，最后，作出判断，写清答案，否则极 易发生错误。　　总之，任何时候都要记住：决不应该抛开课本上的题，仅仅按照上述题 目类别去另找补充题，而应该先以课本题为主，看看各章习题中，那些题目 安排意图是什么，做过以后自己体会是什么，它们属于哪一类题，应该怎样 对待，今后怎样使用。然后从中选一些题，作为自己研究、掌握的具体内容。 最后，再看这样做了以后，还缺什么，需要补充一些什么内容。练习十四从做过的练习，习题或考试题中，找到某一简单题为另一综合题“垫脚”的例子；再选一个有关比例线段的题，说明它在思路上有什么代表性。学会做过题后作小结　　所谓小结就是总结、积累经验的过程，这也是避免盲目地无休止的做题 的好办法。那么，怎样做小结呢？一般地说，有教训、有经验都要小结。比如，前面讲到的图 98 第 6 题。BD2 PB一个同学见到求证 = ，就只记得射影定理的图形中有两条直角CD 2 PA边的平方比等于两射影之比，觉得其他情况下还没有这种形式。因此，只得避开这种想法。那么 BD2、CD2 是怎么得来的呢？由直径得直角、由直角证平行、由平行得比例，于是有 BD =BEBP
，求出BD =BABE·BP BA，有 CD =DPOD ，求出CD =DBDP·OD DBBD2，而 怎么化简呢？另一个同学从勾股定理CD 2入手，有 BD2=PB2+DP2；CD2=DO2-OC2，同样不好化简。有时候，有的同学把问 题想得太难了，实际上是自己为难自己，其实没那么复杂；有时候，有的同 学把道路走岔了，实际上不该往那边去，可他偏往那边去。这个题用切割线 定理，化简后再用平行截割定理很简单。走了这样一段弯路之后，想一想， 应记住点什么，这就是很好的小结。再如，做课本上一个练习，已知等腰三角形边长为 5cm、6cm,没说哪 是底哪 是腰，问周长多少厘米。你只答周长是 16cm,忽略还有 17cm 或 22cm， 这又错了，因为你忘记了三角形两边和必须大于第三边，三边长为 4、4、9 不能组成三角形 ，只答 22cm 才对。出了错，有了都训，记住它，这也是很 好的小结。其实，也不一定只对缺点、错误进行小结，证一类题目的体会、经验也可以小结。比如，在直线形中，证比例线段就可以小结一下：这部分内容常 用哪些定理，常添什么样辅助线，什么时候用平行截割定理，什么时候用平 行线截得的相似三角形；在图中，证比例线段情况怎样，再小结一下。下面 结合两个例题，谈谈怎样结合一个例题进行小结。例 1 如图 102，已知：PA、PB 分别切⊙O 于 A、B、AB、PO 相交于C，BD是⊙O的直径。求证： 1 PA·AD = BO·AC。2{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !7.bmp} 分析：证过此题以后，回过头来，再看一看这个题目的解题思路有什么1值得研究的地方。假如你曾为求证中的“ ”踌躇了一阵儿，就该记住这21不是抽象的数字，而是一条线段的一半，如果把这条线段看成是PA，那2么 1 PA就是PA的半；如果把这条线段年成是AD，那么 1 AD就是AD的一2 2半。这时，倘若你能灵活点，还会把“求证”变为 PA·AD=2BO·AC。如果把2BO 放在一起，就是 BD；如果把 2AC 放在一起，就是 AB。以上四种情况，除1PA没有直观的相应线段外，其他三种情况都有直2观的相应线段 。因此，本题有三种思路：将 1 AD换成CO，希望证出PA2·CO=BO·AC，证△PAC∽△AOC 可以解决；将等式两边同乘以 2，希望证PA·AD=BO·2AC，而 2AC 是 AB，再将 PA 换成 PB，可证△POB∽△BDA。这时， 索性把这些相似三角形好好研究一下，这里 Rt△AOC 算是最小的一种，Rt△ BOC 与它全等，对就应元素可以代换;Rt△PAC 算是另一种， Rt△POB 与它全 等，对应元素可以代换；再就是 Rt△BDA。它们两两相似可以组成六组相似三角形、勾、股、弦各自相比，可以写出下面六组相等的比：= =AC PCAD AB；PA OABD AD= = ；PA PO OAAB BD= = ； = = ；PA PO AD AB BD= = ；= = 。有了这么深刻，这么广泛的认识，再见到这个图形或和它类似的题目，自然就会胸有成竹。这就是研究一个题，学会一类题的意思。例2 已知：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且s= 1 （a+b+c）。2求证：△ABC的面积 = s(s - a)(s - b)(s - c)。　　分析：海伦公式的推导过程分解一下，写出每一个步骤的内容，也可以 算作自己的一种小结。在图 103 中，作出 BC 边上的高 AD，用 ha 表示。AB在 BD 用 m 表示。步骤如下：{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !9.bmp}1．先用余弦定理有 b2=a2+c2-2ac·cosB；2．由 m=cosB,上式可改写成 b2=a2+c2-2am；a 2
- b23．求射影，m =；2a2 2 24．用勾股定理求ha, 有ha= c
- b25．把m的值代入，ha= c
- （ ） ；2a(a 2
- b2 ) 26．分子分母 都平方，ha= c
-；(2a) 27．通分，h2
- b2 ) 2；4a 28．用公式，h2
=(2ac + a 2
- b2 )(2ac - a 2
+ b2 )；4a2[(a + c) 2
- b 2 ][b 2
- (a - c) 2 ]9．再用公式，h2
=；4a 210．还用公式h2
=11．将 s 换进去，(a + c + b)(a + c - b)(b + a - c)(b - a + c) 。4a 2h2
==2s(2s - 2b)(2s - 22c)(2s - 2a)4a 24s(s - a)(s - b)(s - c)
；a 2212．开方ha = ·as(s ? a)(s ? b)(s ? c) ；113．求面积，S △ABC
=·a·ha2= s(s - a)(s - b)(s - c)。　　　　　　　　　　　　练习十五这里我们不加提示，请读者自己小结。　　1．如图 104，已知：E、G 分别是平行四边形 AB、DC 边上的点，且 EG//AC， BF⊥AD 于 F，BM⊥DC 于 M 。求证：AE·BF=CG·BM。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !0.bmp}2．已知：H 是 ABC 的垂心。求证：H 把每一条高分为两部分乘积为常数（在图 105 中，AH·HD、BH·HE、CH·HF 应为常数）。　　3．如图 106，已知：在△ABC 中，D 是 AB 上一点，F 是 A 长 一上一点， 连结 DF，∠ADF 的平分线与∠B 的平分线相交于 N，∠AFD 的平分线与∠ACB 的平分线相交于 M。求证∠BND=∠CMF。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !1_1.bmp}4．如图 107，已知：直线 MN 和⊙O 相离，自 O 点引 MN 的垂线 OA，垂足为 A，割线 ABC 交⊙O 于 B、C 割线 ADE 交⊙O 于 D、E，CE 延长线交 MN 于 F，DB 的延长线交⊙O 于 G。求证：AF=AG。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !1_2.bmp}　　5．已知：在 Rt△ABC 中，∠B=90°，A 百∠A 的平分线，BE⊥AD 于 E， BE 的延长线交 AC 于 F，引 EC∥BC 交 AC 于 G。2求证： AB =
。AD 22CD6．已知：在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AC、BD 相交于 E，若 S△EAB=P2，S△ECD=q2。求证：S 梯形 ABCD=（p+q）2。初步了解改头换面的几何证明题　　几何这一门学科，年代相当久远了，题目自然很多。为了考试编一道新 题，并不是很容易的，所以，人们经常把题目改头换面，稍加变化作为考题。 比如，把一个几何命题换成它的逆命题，证明过程自然就不同了；把圆 的直径换成一般的弦，结论也可能会随之而变；一点在某一段上，换成上这 线的延长线上，结果有时大不一样；把图形转换方向，或换成从纸的背面去 看的图形，甚至只是把锐角三角形改为钝角三角形??从表面看来，好象仅仅图形不一样了，其实会带来一系列的变化。下面，举三个例题。如图 108，已知：BC 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于 A、BE⊥线 EF 于 E，CF⊥直线 EF 于 F，AD⊥BD 于 D。求证 AD2=BE·CF。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !3.bmp} 这道题能这射影定理与三角形等，便可得出结论。若把“BC 是⊙O 的直径”这一条去掉，成为图 109 的样子，靠△ADC∽△BEA，△ABD∽△CAF，也 可以得出结论。这就是说条件变了，结论没变。我们甚至可以用图 109 的证 法去证图 108，这是因为直径 BC 是弦 BC 的特例；直径是最大的弦。但是，图 108 可以得到的其他结论，例如可以求证∠EDF=90°，在图 109 就办不到 了。这是变化以后的不同处。如图 110，已知：在ABCD 中，BC=2AB，CE⊥AB 于 E，M 是 AD 的中点，求证：∠EMD=3∠AEM。　　四边形 AECD 为直角梯形，引中位线 MF，据平行线等分线段定理，得 EF=F， 平行线证明∠1=∠2，用三角形全等证明∠2=∠3，而∠3、∠4 是平行线的内 错角，∠4、∠5 是等腰三角形的二底角，问题就解决了。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !4_1.bmp}　　若是把条件化为“CE⊥AB 的延长线于 E”，如图 111，思路一致，题目 就不是完全相同。再如图 112，已知：在四边形 ABCD 中，AB=CD，M、N 分别是 AD、BC 的中点，BA 延长线交直线 MN 于 E，CD 在延长线交直线 MN 于 F。求证：∠AEM=∠ DFN。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !4_2.bmp}　　关于任意四边形的问题除了内角和为 360°以外，没有其它性质可用。 这种题目一般都是用连结对角线，把四边形化为三角形来解决的。我们连结 BD，取 BD 中点 P，再分别连结 PM、PN。这是三角形中点问题的一般处理方法， 目的是靠三角形中位线性质，一方面得到 PM=PN，从而∠1=∠2；另一方面同 时得到∠1=∠3，∠2=∠4。如果不是这样，而是把 AD、DC 两边接成一直线（即图 113 的样子），那么有了证图 1124 经验，就会联想到这里也是两个中点， 也是三条延长一，如法炮制， 可以得到求证的结果。　　这就是说，出题的人可以考虑变化，证题的人也可以考虑题目的怎样变 化来的。在以研究证题思路为主的情况下，再以观察研究图形变化为辅，是 很有用处的。以上三个例题仅仅有两个变化，下面看看两个以上变化的情况。 先看看命题不变，图形位置改变的情况。 比如，同是“自平行四边形各顶点向直线 l 引垂线”这样一句话，可以得到如下几种不同的情况，不同的图形：　　在图 114 中，直线 l 与ABCD 无交点；在图 115 中，直线 l 过 ABCD 的 一个顶点；在图 116 中，直线 l 过ABCD 两邻两顶点、与一边重合；在图117 中，直线 l 过ABCD 相对两顶点、与对角线重合；在图 118 中，直线 l过ABCD 一组对边相交；在图 119 中，直线 l 与ABCD 一组邻边相交。 上述几种图形，尽管题的已知条件相同，但是由于图中直线和平行四边形的位置的改变了，所以求证和证明相应就发生了变化。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !6.bmp} 再看看命题稍作调整，图形略有改变的情况。　　图 120 是常见的图形，已知：以△ABC 的 AB、AC 为一边向外作正方形 ABEF、ACGH，引 AD⊥BC 于 D，延长 DA 交 FH 于 M。求证：FM=MH。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !7.bmp}作 FP⊥直线 PM 于 P，HQ⊥直线 DM 于 Q 以后，证明△ADC≌△HQA，△ADB≌△FPA，再证△FPM≌△HPM 就可以了。　　若是把直线 DAM 变化一下，改变“作 AD⊥FH 于 D，延长 DA 交 BC 于 M， 求证：BM=MC”。这时，情况又将如何呢？　　在图 121 中，延长 DAM 与过 B 点而平行于 A 牟直线相交于 N（由于不是 已知 BM=MC，而是待证 M 是 BC 中点，所以辅助线与△ABC 中线 AD 的作法不同， 不能延长 AM 到 N，使 MN=AM，那样不易直接证明△BMN≌△CMA。此时，不如作 BN∥AC，与 AM 的延长线相交，这样既避免了证三点共线的问题，又有平行线的内错角可用），∠2、∠3 同时∠1 的余角，所以∠2=∠3，同理∠5=∠6，而∠6=∠7，又有 AF=A，不难证明△FAH≌△ABN，得到 BN=AH=AC，证明△BMN≌△CMA 就容易了。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !8.bmp} 上述两题都是从三角形的两边向外作正方形，若是改为向外作矩形又将有什么变化呢？如图122 ，这里求证的是：BM∶MC =
AB ∶ AC 。由于矩形一边的长AG AE度定了。而另一边的长度没定，因而，命题的结论必与这长、宽之比有关。 先制造相似三角形。作 CH⊥直线 GE 于 P，与 BA 的延长线相交于 H。因为∠1、∠2 同是∠NAE 的余角，所以∠1=∠2，用平行线证出∠2=∠3，又∠GAE=∠HAC，可证△AHC∽△AGE，得到AH∶AG=AC∶AE，即AH=AG·AC ；另在△BCH中，由于AM∥HC，有BM∶MC = BA∶AH，代入AE上项结果，有BM∶MC ? AB∶AG·ACAE= AB ∶ AC 。AG AE　　最后，我们把上面两种情况结合起来：即有命题上变，图形位置改变的 情况，又有命题稍作调整，图形略有改变的形况。这样一来，一个题目的变 化就更大了。　　如图 123，已知：直线 l 与⊙O 相离，作 OA⊥l 于 A，引⊙O 的割线 ABC 交⊙O 于 B、C，过 B 点作⊙O 的切线交直线 l 于 D，过 C 点作⊙O 的切线交直线 l 于 E。求证：AD=AE。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !0_1.bmp}　　此题连结 OB、OC、OD、OE，分别证明 O、D、A、B 与 O、A、E、C 四点共 圆以后，不难证明∠1=∠2=∠3，△ODB≌△DEC，得到等腰△ODE。这样问题　　就能解决了。若直线 l 与⊙O 相交，情况又如何呢？　　如图 124，直线 l 被截在⊙O 内部的部分，就成为⊙O 的弦。作此弦的弦 心跑 OA，且过 A 的直线交⊙O 于 B、C，这对 A 点在 B、C 之间。下面，添加 辅助线与证明四点共圆同前面类似，∠1=∠2 似同弧上的圆周角相等，∠2=∠ODB 是圆内接四边形外角等于内对角。最后仍然可以通过全等三角形与等 腰三角形证出 AD=AE。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !0_2.bmp}　　如果把图 124 中的 CE、DB 延长相交于 P，那么题目的可以换一个出法： 如图 125，已知：PB、PC 分别切⊙O 于 B、C，一直线 l 交 BC 于 A，交⊙O 于 M、N、，交射线 PB 于 D，交 PC 于 E，且 AM=AN。求证：DB=CE。连结 OA，因为 MA=AN，可证 OA⊥l，点共圆证法如前，有∠1=∠2，∠3=∠4，但是∠1 和∠3 为等腰△OBC 的二底角，所以能证 OD=O，以斜边、直角 边对应相等，证明△ODB≌△OEC。如果在图 124 中，过 A 点作两条割线情况又如何呢？　　如果 126 中，直线 l 与⊙O 相交于 M、N，引 OA⊥l 于 A，过 A 引⊙O 的两 条割线，分别交⊙O 于 B，C 和 F、G，连结 BG 交 MN 于 D，连结 CF 交 MN 于 E。 求证：AD=AE。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !1.bmp}　　连结 OD、OE 以后，希望证∠1=∠2，以便证明△ODA≌△OEA。作出 BG 弦和 CF 弦的弦心距 OP、OQ，分别得到 O、P、D、A 与 O、A、E、Q 四点共圆，因而∠1=∠3，∠2=∠4。由△GBA∽△CFA，得到AB BG=AF FC1
BG= 21 FCBP= ， 以一组角相等，夹边成比例，证明△PBA∽△QFA，FQ从而∠3=∠4，达到用∠1=∠2 证△ODA≌△OEA 的目的。　　继续研究变化，画直线 l 与⊙O 相离，引 OA⊥l 于 A，如图 127，设 OA 交⊙O 于 M，画出⊙O 的直径 MN，别引⊙O 的割线 ABC，交⊙O 于 B、C 两点， 射线 CM 交直线 l 于 D，射线 NB 交直线 l 于 E。求证：AD=AE。既然 MN 是⊙O 的直径，事情好办了。连结 NC，则∠NCM=90°，从而 N、C、A、D 四点共圆，有∠1=∠2，而∠2=∠3，证明△NDA≌△NEA 就不困难了。 若是没有直径这个条件，改为画⊙O 的两条割线呢？在图 128 中，已知：直线 l 与⊙O 相离，引 OA⊥l 于 A，作⊙O 的割线 ABC与 AFG，分别交⊙O 于 B、C 与 F、C，射线 GB 交直线 l 于 D，射线 CF 交直线l 于 E。求证：AD=AE。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !2.bmp}　　此题仍作 BG、CF 弦的弦的心距 OP、OQ，分别得 O、Q、A、E 与 O、A、P 四点共圆，与图 126 的思路是一样的。这时有∠1=∠2，∠3=∠4，只要证明∠1=∠3，就有办法了，由△ABG∽△AFC，AB BG得到 = =AF FC1
BG 1 FCBP= ，仍以一级角相等，夹边成比例证明△ABPFQ∽△AFQ，∠1=∠3。不过，这一次∠ABG 与∠AFC 为什么相等，得借助于∠A 公用、∠G=∠C，用三角形内角和为 180°来证明一下。有了∠1=∠3，换成∠2=∠4，再证△ODA≌△OEA 就容易了。练习十六　　你能找一个例子，说明某一个题目是经过什么变化，由另一个题目变化 来的吗？多观察一些题，看看还有没有类似的情况。　　认真做好各种各样的几何计算题　　几何计算一般指的是角度和弧度的计算、线段长度和弧的长度的计算、 面积的计算。因为这种题是几何题，所以一定要以几何图形的性质为依据； 又因为这种题是计算题，所以算术、代数上学过的积识都可以用。那么怎样 才能学好几何计算呢？　　首先，要弄清几何图形的性质。几何图形的性质有的用于证，有的用于 算。我们可以把用于算的几何图形性质分成两大类：　　一类是可以直接用于计算的性质。这多表现为公式或几何关系式，例如， 多边形内角和公式、弧长公式、圆面积公式。另外，象射影定理、勾股定理、 正弦定理、余弦定理、切割线定理，可以直接将题目的已知量代入，然后计 算求值或解方程。　　另一类是间接与计算有关的定理。例如，相似三角形判定、圆的直径与 圆的切线，通过它们得到比例线段，或得到直角三角形之后，才能开始进入 计算。比如，已知菱形两对角线之比为 3∶4，周长 40cm，求菱形的面积的高。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !4.bmp}　　在图 129 中，“菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O，AC 与 B 相垂直平 分”这个性质，虽未直接参加计算，却是计算中不可缺少的重要内容。由此可有Rt△DOC，可用勾股定理，得出 OD = BD = 3 。OC AC 4设 OD=3x，OC=4x。因菱形四边相等，求出 DC=10cm，所以 OD=6cm，OC=8cm，1BC = 12cm，AC = 16cm，代入菱形面积公式，S =×12 ×16 = 96cm2 。2作出菱形的高 DE，由 10DE=96，求得 DE=9．6cm。 其次，要注意代数知识的运用。几何、代数都是数学的一个分支，前者偏重于形，后者偏重于数。形和数是一个统一的整体，研究的时候不妨分开，应用的时候不忘结合。几何中用代数知识，往往是一些浅近的、基本的内容， 并不很难。比如，菱形周长为 2p，两条对角线的和为 m，求菱形面积。在这问题中，设菱形为 ABCD，对角线 AC、BD 相交于 O，OC 为 x，OD 为 y，依题意，有? p? x2
= （ ）2 ,（1）? 2??2x + 2y = m。 （2）P 2由（1），得x2
= ，4P 2配方，得（x + y）2
- 2xy =4（3）由（2 ），得 x + y = m2(4)2将（4 ）代入（3），得（ m ） 2
，2 4m2 P 2即 2xy = - 。4 4而S = 1 AC·BD = 1 ·2x·2y菱形ABCD2= 2xy =2m2
- P 2。4　　值得提一提的是，这里运用代数知识，不是为了列方程、解方程、求出 未知数的值，而是为了解几何计算题。另外，在代数法作图中，也有类似的 情况，例如，黄金分割，并不是求出 x 的值才算完，而是到了能作图就算完。 第三，还要认真地研究题意，认真地画图，认真地检验。许多几何计算 题是以命题的形式出现的，这时，需要认真地研究题意（看符合题意的情况是否只有一种），并依题意认真地画出图来。 比如，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 18°，求这个等腰三角形各内角的度数。　　题目中没说顶角是锐角还是钝角，依题意就应画出两个图：如图 130， 当∠A 为锐角时，高 BD 在形内，由∠ABC=18°，算出∠A=72°，∠ABC=∠C=∠54°；如图 131，当∠BAC 为钝角时，高 BD 在形外，由∠ABD=18°，∠BAC=108°，∠ABC=∠C=36°。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !7_1.bmp}再如，⊙O 的两条平行弦 AB 和 CD，距离 22cm，AB=40cm，CD=48cm，求⊙O 半径的长。　　题目中没说 AB 和 CD 是分在 O 点的两侧，还是同在 O 点的一侧，应该两 种情况都考虑到，画图做计算。经计算可知，若 AB 和 CD 在 O 点的两侧，则 求得⊙O 半径等于 25cm；若 AB 和 CD 在 O 的同侧，则求得弦心距为负值（不 合题意），所以 AB 和 CD 分在 O 点的两侧。题目解过以后，最后一定要认真地检验：看推理有没有根据、计算有没有错误、结果是否符合题意。 下面，看两个例题。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !7_2.bmp}　　例 1 如图 132，已知⊙O 和⊙O′相交于 B、C，⊙O 的直径 CF=2，⊙O 的切线 FA 与 CB 的延长线相交于 A，⊙O′的割线AED交⊙O′于E、D，ED = 2，BC = 3，求AB、AE的长。　　分析：看过题目以后，对圆的切线、割线、直径留有印象，产生联想： 可能切线的性质（和过切点半径垂直、弦切角等于两边所夹弧上的圆周角、切割线定理）可用。直径能产生直角、出现直角三角形，尤其是把2和 3这两个数字和勾股定理或锐角三角函数第起来，就会想到，它们可能与特殊 角有关。有了这一段构思过程以后，就可以着手分析了。连结 BF，有 Rt△CFB， 据勾股定理求得 BF=1，∠BCF=30°，∠AFB=30°。设 AB 为 x，则AF = 2x。仍用勾股定理，可求AB = 3 。3在⊙O′中，有 AE·AD=AB·AC，把已知量代入，得 AE（AE+2）=3 3 4（ 3 + ），化简为AE 2
+ 2AE - = 0，用一元二次方程求根公式，3 3 321AE = - 1。3例 2 如图 133，已知 D、E 分别是△ABC 的 AB、AC 边上的点，且 DE∥BC， AB=10，若 S△ADE=2S△BCD，求 S△ADE：S△ABC。{ewcMVIMAGE,MVIMAGE, !9.bmp}分析：若想用三角形面积公式来表示 S△BCD，可作出△BCD 的高 DG，1 AD DE则S △BCD
= 2 ·BC·DG。由DE∥BC，△ADE∽△ABC，有 AB = BC ，BC =AB·DE ADDG；易证△DBG∽△ADF，有 AFDB= AD ，DG =AF·DB　　　　　。AD所以，S △BCD
=1 · AB·DE · AF·DB 。2 AD AD依题意列方程，1 1 AB·DE·AF·DBDE·AF = 2× ·，化简为2 2 AD2AD2
= 2AB·DB，把已知量代入，经整理得AD 2
+ 20AD - 200 = 0，求得AD = -10 + 10
3。所以，S △ADFAD2=(-10 + 10
3 ，即 ∶4 - 2
3。S △ABCAB 2=2练习十七S1 △ADES △ABC
=1．如图 134，已知在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB、BD 相交于 O，过 O 引EF∥AB 交 AD 于 E，交 BC 于 F，若 DC=9cm，AB=12cm，求 EF 的长。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !0.bmp}　　提求：易证 AB∥EF∥CD，这样就有五组相似三角形可用，即△DEO∽△ DAB； △COF∽△CAB，△AOE∽△ACD；△BOF∽△BDC；△DOC∽△BOA。这种 研究图形性的方法，正是几何课里思维训练的重要内容，这时，　　可证EO=OF。设EO=OF=x，于是有12 AC=x CO，用分比定理，得12-x AO= ；x CO另选，BD 9=BO x，用分比定理，得DO 9-x=BO x。用反比定理，得BO x= ，DO 9 ? x所以 12-x = x，化简后，21x=108，x= 36 , EF=2x= 72 。x 9 ? x 7 72．已知在△ABC 中，AB=14，BC=15，AC=13，求 BC 边上的高 AD 的长。　　提示：考虑到△ABC 是不等边三角形，知三边长可用余弦定理求出 BD 的 长为 8.4cm，再用勾股定理求得 AD 的长为 11.2cm。另外，还可以用高线公式　　直接求，也是一样：另给 a=37，b=30，c=13，求 hb。请你再练习一次。3 ．如图
135 ，已知⊙ O 的两条弦 AC 、 BD 相交于 M ，? ?AB 含有120°， CD 含有90 °，若S△AMB与S△CMD的和为100cm 2 ，求这两个三角形的面积各多少？? ?提示：由已知 AB 、 CD 的度数，求得∠ADB = 60°，∠DA = 45°，用正弦定理，得DMsin 45°AM DM= sin60° ，即 AM =2，那么3S △DMC=S △AMB2，可以求3出两个三角形面积：S = 40cm2 ，S = 60cm2 。△DMC△AMB4．如图 136，已知 O 是等边△ABC 的中心，以 O 为圆心作一个圆交 AB? ? ?于M、N，交BE、F，交AC于G、H，且 MN = EF = GH = 90°，若此等此等边三角形边长为 a，求图中阴影部分的面积。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !1.bmp}提示：考虑到 O 是等边△ABC 的中心，即△ABC 的垂心和重心，易证 O到BC所引垂线OD必是高线AD的一部分，即中线AD的 1 ，等边三角形边3长为a，则中线长为3a，OD的长为23a；OD又是EF弦的弦心距，必平6? ?分EF弦，且平分 EF ；已知 EF 含有90°，所以?EOF ? 90°，则?EOD ?45°，OE ?2OD ?6a。所以，S?OE 2? ??a 2a 2；S = ；得6 扇形OEF4 24△DOF 12到S =πa 2a2 a2- ；求得S = π·- 3×（πa2a 2- ) =πa 2πa 2-弓形EmF24 12阴影 6 24 12 6 83a 2+124 πa 2
+ 6a2=24（π + 6 ）a2。245． 如图 136，已知半圆的直径 AB 长为 578cm，另一个直径为 196cm 的⊙′，切 AB 于 C，同时和这个半圆切，过 C 点的 AB 的垂线交半圆于 D，求CD 的长。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !2.bmp} 提示：从思维训练上讲，见到题目的条件以后，先考虑两圆内切，切点在连心线上，即 O、O′、E 共线；接着要考过切点而垂直于切线的直线必过 圆心 ，即 C、O′、D 共线。设 OE 和⊙O′的另一个交点为F，根据切割线定理。有OC 2
= OF·OE。求得OC = 17
93cm。另外，根据射影定理，有CD 2
= AC·CB，把已知量代入。有CD 2
= (289 -17
93)·（289 + 17
93），求得CD = 238cm。　　6． 已知正方形 ABCD，BC 边上有一点 P。CD 边上有一点 Q。且△APQ 的 长为一等边三角形。若此正方形边长为 5，求 BP、AP 的长。（答案：BP = 10 - 5
3 ：AP = 5 6 - 5
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