& 平行四边形的性质知识点 & “如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，...”习题详情
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如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？（2）求证：△ABG∽△BFE；（3）设AD=a，AB=b，BC=c&&& ①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；&&& ②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．　
本题难度：较难
题型：解答题&|&来源：2012-宜昌
分析与解答
习题“如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？（2）...”的分析与解答如下所示：
（1）根据折叠的性质可得AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，再根据直角三角形斜边大于直角边可得DE＞EG，从而判断点E不可能是AD的中点；（2）方法一：根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EBF，再根据折叠的性质可以判定出∠AEB=∠BEG，然后得到∠EBF=∠BEF，从而判断出△FEB为等腰三角形，再根据等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB，然后根据等腰三角形的两个底角相等求出∠BAG=∠FBE，然后根据两角对应相等，两三角形相似即可证明；方法二：与方法一相同求出∠ABG=∠EFB后，根据等腰三角形的两腰相等，然后根据两边对应成比例且夹角相等判断出两个三角形相似；（3）①方法一：根据勾股定理求出BD的长度，再利用两角对应相等，两三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；方法二：过点D作DH⊥BC于点H，然后求出∠C=∠ABD，再根据直角相等，判断出△ABD和△HCD相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；方法三：先求出△ABD和△GFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BF的长度，再求出△EDG和△FBG相似，根据平行四边形的对边相等表示出ED，再表示出DG，然后根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证；②方法一：把b=2代入a、b、c的关系式，利用求根公式求出a的两个根，再根据a是唯一的，可以判定△=c2-16=0，然后求出c=4，再代入根求出a=2，然后判断出H是BC的中点，利用解直角三角形求出∠C=45°；方法二：把b=2代入a、b、c的关系式，利用根与系数的关系判断出关于a的方程的解是正数，再根据a是唯一的，可以判定△=c2-16=0，然后求出c=4，再代入根与系数的关系求出a=2，然后判断出H是BC的中点，利用解直角三角形求出∠C=45°．
解：（1）不可以．…1分据题意得：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，∴Rt△EGD中，GE＜ED，∴AE＜ED，故，点E不可以是AD的中点；…2分（注：大致说出意思即可；反证法叙述也可）（2）方法一：证明：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBF，∵△EAB≌△EGB，∴∠AEB=∠BEG，∴∠EBF=∠BEF，∴FE=FB，∴△FEB为等腰三角形．∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，∴∠ABG=∠EFB，…4分在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°-∠ABG）÷2，∠FBE=（180°-∠EFB）÷2，∴∠BAG=∠FBE，…5分∴△ABG∽△BFE，（注：证一对角对应等评2分，第二对角对应等评1分，该小问3分，若只证得△FEB为等腰三角形，评1分．）方法二：∠ABG=∠EFB（见方法一），…4分证得两边对应成比例：ABBF=GBEF，…5分由此可得出结论．（注：两边对应成比例，夹角等证得相似，若只证得△FEB为等腰三角形，评1分．）（3）①方法一：∵四边形EFCD为平行四边形，∴EF∥DC，证明两个角相等，得△ABD∽△DCB，…7分∴ADDB=DBCB，即√a2+b2=√a2+b2c，∴a2+b2=ac；…8分方法二：如图，过点D作DH⊥BC，∵四边形EFCD为平行四边形∴EF∥DC，∴∠C=∠EFB，∵△ABG∽△BFE，∴∠EFB=∠GBA，∴∠C=∠ABG，∵∠DAB=∠DHC=90°，∴△ABD∽△HCD，…7分∴ADDH=ABHC，∴ab=bc-a，∴a2+b2=ac；…8分（注：或利用tan∠C=tan∠ABD，对应评分）方法三：证明△ABD∽△GFB，则有BFDB=BGAD，∴√a2+b2=ba√a2+b2a，…6分∵四边形EFCD为平行四边形，∴FC=ED=c-√a2+b2a，∵ED∥BC，∴△EDG∽△FBG，∴EDBF=DGBG，∴√a2+b2a√a2+b2a=√a2+b2-bb，∴a2+b2=ac；…8分②方法一：解关于a的一元二次方程a2-ac+22=0，得：a1=√c2-162＞0，a2=√c2-162＞0…9分由题意，△=0，即c2-16=0，∵c＞0，∴c=4，∴a=2…10分∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°；…11分方法二：设关于a的一元二次方程a2-ac+22=0两根为a1，a2，a1+a2=c＞0，a1oa2=4＞0，∴a1＞0，a2＞0，…9分由题意，△=0，即c2-16=0，∵c＞0，∴c=4，∴a=2，…10分∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°．…11分
本题综合考查了相似三角形的性质与判定，根的判别式，根与系数的关系，平行四边形的性质，折叠的性质，综合性较强，难度较大，需仔细分析，认真研究，结合图形理清题目边长之间的关系，角度之间的关系是解题的关键，本题对同学们的能力要求较高．
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如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．（1）点E可以是AD的中点吗？为什...
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经过分析，习题“如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？（2）...”主要考察你对“平行四边形的性质”
等考点的理解。
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平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
与“如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？（2）...”相似的题目：
如图，在?ABCD中，点E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点O，则△AOE与△COD的面积比为&&&&．
如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，若S△AEF=6cm2，则S△CDF等于&&&&54cm218cm212cm224cm2
如图所示，?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F，图中全等三角形有几对？&&&&2345
“如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，...”的最新评论
该知识点好题
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求解数学题。如图，在直角梯形abcd中，角abc是90度 ad平行bc ，ab=bc ，e是ab
求解数学题。如图，在直角梯形abcd中，角abc是90度&&ad平行bc&，ab=bc&，e是ab中点&，ce垂直bd&&&1.求证be=ad2.求证ac是线段ed的垂直平分线3.三角形DBC是等腰三角形吗，请说明理由。
来自河北农业大学
证明BE=AD，需证明三角形ABD与BCE全等。因为，角BAD=角CBE=90度，AB=BC,角ABD=角BCE(都等于90度-角BEC),所以三角形ABD与BCE全等，则BE=AD。求证：AC是线段ED的垂直平分线因为E是AB的中点，所以AE=BE=AD,则三角形ADE是等腰直角三角形，则角AED=45度，在等腰直角三角形ABC中，角BAC=45度，所以AC垂直ED,三角形ADE又是等腰直角三角形，所以AC是线段ED的垂直平分线三角形DBC是等腰三角形，过D做DF垂直BC于F，则ABFD是长方形，即BF=AD,AD=BE=1/2AB=1/2BC,所以DF是三角形DBC的垂直平分线，所以三角形DBC是等腰三角形。答题不易、满意请给个好评、你的认可是我最大的动力、祝你学习愉快、&_&|||
金龙&&学生
李陈军&&学生
王航威&&学生
罗正宗&&学生
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如图所示，在△ABC中,AC=b,BC=a,a小于b，D是△ABC内一点，且AD=a,角ADB+C=180度，问C为何值时，四边形ABCD
积最大？并求出最大值，
设AB=c,BD=x则在三角形ABC中：c²=a²+b²-2abcosC （1）在三角形ADB中：c²=a²+x²-2axcos(pai-C)=a²+x²+2axcosC（2）由（1）（2）两式得x=b-2acosC然后四边形ABCD面积=ABC面积-ADB面积=(absinC-axsin(π-C))/2=1/2(a²sin2C)所以当C=π/4时，面积最大，最大值为1/2a²。
我已经解出来了，谢谢你，
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出门在外也不愁如图，在RT三角形ABC中，角BAC等于90度，AD垂直于BC，垂足为点D，BE平分角ABC，与AD相交于点F，与AC相交_百度知道
如图，在RT三角形ABC中，角BAC等于90度，AD垂直于BC，垂足为点D，BE平分角ABC，与AD相交于点F，与AC相交
于点E。EG垂直于BC，垂足为点G，连接FG，试说明四边形AEGF是菱形
提问者采纳
由BE 角分线，EG=AE又FE=FE&AEF=&FEG故三角形AFE和三角形GFE全等&FAE=&EGF=&DFG故FG//AE又AD//EGAEGF是平行四边形又AE=EG故AEGF是菱形
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∵EG⊥BC，∠BAC=90°即∠EGB=∠EAB=90°∵BE平分∠ABC即∠ABE=∠GBE& &BE=BE∴⊿EAB≌⊿EGB（AAS）∴AB＝GB& ∵BF=BF，∠ABF=∠GBF∴⊿FAB≌⊿FGB（SAS）.∴GF＝FA∠CAD＝90°-∠C＝∠B.& ∠AEF＝90°-∠B/2＝90°-∠CAD/2∠AFE＝180°-∠CAD-∠AEF＝180°-∠CAD-（90°-∠CAD/2）＝90°-∠CAD/2＝∠AEF∴AE＝AF.&四边形AEGF四边相等，是为菱形。
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＞＞＞如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=2AD，F、E分别是BA、B..
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=2AD，F、E分别是BA、BC的中点，则下列结论不正确的是（　　）A．△ABC是等腰三角形B．四边形EFAM是菱形C．S△BEF=12S△ACDD．DE平分∠CDF
题型：单选题难度：中档来源：莱芜
连接AE，如右图所示，∵E为BC的中点，∴BE=CE=12BC，又BC=2AD，∴AD=BE=EC，又AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，四边形AECD为平行四边形，又∵∠DCB=90°，∴四边形AECD为矩形，∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，∴AE垂直平分BC，∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形，故选项A不合题意；∵E为BC的中点，F为AB的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF=12AC，又∵四边形ABED为平行四边形，∴AF∥ME，∴四边形AFEM为平行四边形，又∵AF=12AB=12AC=EF，∴四边形AFEM为菱形，故选项B不合题意；过F作FN⊥BC于N点，可得FN∥AE，又∵F为AB的中点，∴N为BE的中点，∴FN为△ABE的中位线，∴FN=12AE，又∵AE=DC，BE=AD，∴S△BEF=12S△ACD，故选项C不合题意；DE不一定平分∠CDF，故选项D符合题意．故选D．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=2AD，F、E分别是BA、B..”主要考查你对&&等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形，矩形的性质，矩形的判定，梯形，梯形的中位线&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等腰三角形的性质，等腰三角形的判定三角形中位线定理矩形，矩形的性质，矩形的判定梯形，梯形的中位线
定义：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形中腰大于高10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)等腰三角形的判定：1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。则DE平行于BC且等于BC/2三角形中位线逆定理：逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2区分三角形的中位线和中线：三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。矩形:是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。矩形的性质：1．矩形的4个内角都是直角；2．矩形的对角线相等且互相平分；3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形矩形的判定：①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 ②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 ③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形矩形的面积：S矩形=长×宽=ab。 黄金矩形:宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形中不平行的两边叫做梯形的腰，梯形的两底的距离叫做梯形的高。 梯形的中位线：连结梯形两腰的中点的线段。& 梯形性质：①梯形的上下两底平行；②梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）平行于两底并且等于上下底和的一半。③等腰梯形对角线相等。
梯形判定：1.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。2.一组对边平行且不相等的四边形是梯形。梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 梯形中位线×高=（上底+下底）×高=梯形面积梯形中位线到上下底的距离相等中位线长度=（上底+下底）梯形的周长与面积：梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰，用字母表示：a+b+c+d。等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+b+2c。梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h。变形1：h=2s÷（a+b）；变形2：a=2s÷h-b；变形3：b=2s÷h-a。另一计算梯形的面积公式： 中位线×高，用字母表示：L·h。对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2。梯形的分类：等腰梯形：两腰相等的梯形。 直角梯形：有一个角是直角的梯形。 等腰梯形的性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等。 （2）等腰梯形的对角线相等。 （3）等腰梯形是轴对称图形。 等腰梯形的判定：（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形 （2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
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