关于初中“魔方与数学”选修课程的设置与实施研究
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首都师范大学
硕士学位论文
关于初中“魔方与数学”选修课程的设置与实施研究
姓名：郑燕
申请学位级别：硕士
专业：课程与教学论
指导教师：姚芳
2001年7月，国家教育部颁布了《全日制义务教育数学课程标准 实验稿 》，提出了
新的教育理念，拓展了对课程的认识，鼓励以地方和学校为基础，设置和开发适合初中学
生学习、形式活泼多样的选修课程．对于数学这一传统学科，摆脱传统模式、进行新颖的
选修课程研发，具有一定的困难．因此，在初中进行选修课程的设置、开发、实施、研究，
是数学教育研究和实践面临的一个新问题，也是数学教育研究者和数学教师需要面对问
魔方是一种有趣的益智玩具，其构造和操作过程中都蕴含着丰富的数学因素．通常情
况下，“玩"都能调动起学生的积极性，选择魔方这一具有娱乐性同时具有很强数学因素
的对象作为选修课程，在当今新的数学教育改革强调调动学生学习积极性，强调学习方式
的变革，强调从学生学习兴趣出发，强调加强校本课程的背景下，作为数学这种传统的、
具有很强抽象性的学科的选修课程研发，是一种有益的尝试．
文章分为三部分．首先介绍本研究的基本概念、课程理念，并对研究的意义和文献作
了分析；之后对“魔方与数学’’选修课程的设置作了说明；最后对课程的实施进行了总结
关键词：魔方与数学
初中数学选修课程
设置与实施
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＞＞＞请你替小健同学解答图中问题：-七年级数学-魔方格
请你替小健同学解答图中问题：
题型：解答题难度：中档来源：同步题
解：设还能买x本辞典，根据题意，得65×20+40x=2000，40x=700x=17.5，答：剩余的钱最多还能买17本辞典。
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“请你替小健同学解答图中问题：-七年级数学-魔方格”主要考查你对&&一元一次方程的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
一元一次方程的应用
许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。列一元一次方程解应用题的一般步骤：列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：&⑴审题：理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。&&⑵设元（未知数）：找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系； ①直接未知数：设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程；②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。&&⑶用含未知数的代数式表示相关的量。&&⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。&&⑸解方程及检验。&&⑹答题。&&综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。一元一次方程应用题型及技巧：列方程解应用题的几种常见类型及解题技巧： （1）和差倍分问题： ①倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。②多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。③基本数量关系：增长量＝原有量×增长率，现在量＝原有量＋增长量。 （2）行程问题： 基本数量关系：路程＝速度×时间，时间＝路程÷速度，速度＝路程÷时间， 路程=速度×时间。 ①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距； ②追及问题：快行距－慢行距＝原距； ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度， 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 例：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。 慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ 两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？ 两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？ 两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ 慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ (此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。) 323
（3）劳力分配问题：抓住劳力调配后，从甲处人数与乙处人数之间的关系来考虑。 这类问题要搞清人数的变化。例.某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？（4）工程问题： 三个基本量：工作量、工作时间、工作效率； 其基本关系为：工作量=工作效率×工作时间；相关关系：各部分工作量之和为1。 例：一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？（5）利润问题： 基本关系：①商品利润=商品售价-商品进价； ②商品利润率=商品利润/商品进价×100%； ③商品销售额＝商品销售价×商品销售量； ④商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量。 ⑤商品售价=商品标价×折扣率例.例：一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？ （6）数字问题：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a，然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。例：有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。（7）盈亏问题：“盈”表示分配中的多余情况；“亏”表示不足或缺少部分。 （8）储蓄问题：其数量关系是：利息＝本金×利率×存期；：（注意：利息税）。 本息＝本金＋利息，利息税＝利息×利息税率。注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365。&（9）溶液配制问题：其基本数量关系是：溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量；溶质质量＝溶液中所含溶质的质量分数。这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意。&
（10）比例分配问题：&这类问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。常用等量关系：各部分之和＝总量。&还有劳力调配问题、配套问题、年龄问题、比赛积分问题、增长率问题等都会有涉及。
发现相似题
与“请你替小健同学解答图中问题：-七年级数学-魔方格”考查相似的试题有：
529541220382445145540882373932225280数学，让魔方拧得更快 | 科学人 | 果壳网 科技有意思
数学，让魔方拧得更快
拧魔方秘籍，数学好最少只要20步就可以复原任意3阶魔方，也叫“上帝之数”
魔方大概是现在最有影响力的智力游戏了，它是一个3×3×3的正方体，初始状态下每个面的9个方格都涂上同样颜色，6个面一共6种颜色。作为一个智力游戏，它的目标就是将任意拧乱的魔方尽快还原为每面所有小方格同色的初始状态。为了赢得比赛，大家都致力于找到更快的魔方复原方法。
大概一年前，Google的一帮人验证了任意拧乱的魔方可以在20步内复原。但是，一般人要在20步内复原任意魔方的话，就要记住一个硕大无比的表格（大约8EB，一EB大约是一百万TB），这东西只有拥有全知全能的上帝及其类似物（比如说团长、春哥或者高斯）才能做到，所以20这个数又被称为魔方的“上帝之数”。
魔方当然不只有一种。最简单的变化方法就是将魔方的“边长”（或者叫阶数）变大。原版的魔方是3阶的，也就是3×3×3的立方体。我们可以扩展到4阶（4×4×4），5阶，一直到7阶，甚至有人目击过11阶的魔方。魔方的阶数越大，解起来也越复杂，需要的步数也越多，它们的上帝之数也越大而且越难计算。
现在，一帮在MIT的由Erik Demaine领衔的数学家，竟然说他们找到了任意阶数魔方的上帝之数，而且还给出了一个复原的算法，需要的步数与上帝之数相差不远！我们现在就来看个究竟。
怎么转都转不出那24个陷阱
初看起来，魔方每个面可以拧得千变万化，让人无从捉摸。然而对于魔方面上涂色的小方块来说，它们可去的地方并不多（假设我们能做的操作就是将魔方的某排拧动90度）。
由24个位置组成的一个位置群
无论魔方被如何拧动，图中所示的小色块一共只能到达最多24个位置。我们把这些位置称作一个位置群。一个n阶的魔方，不算边角上的色块，只有大约(n-2)?/4个位置群。这些位置群都是相互独立的。要复原魔方，就相当于要将所有位置群复原。
Demaine从玩魔方的人们那里了解到，有标准的手法可以单单将一个位置群内的小色块复原，而不影响别的位置群的色块。这就是为什么我们说这些位置群是独立的。而因为每个位置群内色块的数目都是固定的（不多于24个），所以要复原一个位置群里的所有色块，只需要固定步数的操作。这些知识，魔方社区早就一清二楚。
但是，如果单靠这种方法来解n阶魔方的话，因为至少有(n-2)?/4个位置群，所以用这种方法复原魔方需要的步数大约与n?成正比。有没有可能用更少的步数复原魔方呢？复原所有魔方的步数有没有下限呢？
上帝之数不能太小
为了方便，我们记n阶魔方的上帝之数为D(n)。他们首先证明了，对于足够大的n，D(n)不能太小，至少是c×n?/ln(n)，其中c是一个常数。这个计算并不太难，我们就一起来试试看。
对于足够大的n，我们大约有n?/4个位置群，它们各自有24个不同位置的小色块。在这24个色块中，6种颜色分别各有4个，这是初始状态决定的。用一点简单的组合知识就可以知道，我们一共有(24!)/(4!)?种方法打乱一个位置群中的色块。因为位置群之间是独立的，所以魔方至少有 (24!)/(4!)? (n-2)?/4 种不同的打乱方式（还没算边角排列的各种可能性）。
由上帝之数的定义，我们可以在D(n)步内将任意魔方复原。如果我们将这些复原的步骤倒过来操作，这其实就意味着我们可以用至多D(n)步将魔方打乱到所有可能的打乱方式。每一步我们有(6n+1)种操作，每次操作就是将某一排拧上90度，另外复原后举起魔方炫耀然后被打倒在地踩上一万只脚也算一次操作，可以爬起来然后多次重复这项操作。所以魔方至多有 (6n+1) D(n) 种打乱方式，因为某些系列操作会导致同样的打乱结果。
我们就有了以下的不等式：
从这个不等式我们可以得到：
当n趋向于无穷大的时候，上面那个看起来很复杂的量就跟 c×n?/ln(n) 差不多了，其中c大约是35.7164。
可能我们做不到在 c×n?/ln(n) 步内还原任意的n阶魔方，但是能不能提出一种方法，即使还原的步数稍多一点，但是起码增长速度跟 n?/ln(n) 一样呢？
互搭便车的暴力复原方法
可能是经济危机中人们的各种节俭方式（拼车之类的）启发了Demaine，他想，虽然位置群之间是相互独立的，但是也许可以将不同位置群的复原操作兼并起来，一次拧动同时解决多个位置群的问题。如果说原来的复原方法是每个位置群各自为政，各自拥有一条复原线路的话，Demaine他们的方法就相当于建起了一条公交线路，一次将多个位置群送到彼岸。
利用这个方法，他们给出了一个算法，可以在c'×n?/ln(n)步内还原任意的n阶魔方。在这里c'是另一个常数，它比c大得多。
本来笔者想在这里描述一下证明过程，但无奈这个证明过于暴力，打上R-18也不为过，所以笔者也不好说太细，想详细观赏的重口味同学请上
看现场。这里笔者只能写意地描绘一下。
证明过程中最重要的引理之一是，对于某些特定的k×m个位置群，要复原它们中被打乱方式相同的位置群，按照传统的方法平均需要的步数正比于k×m，但我们可以建一条公交线路，只用正比于(m+k)的步数就可以将这些位置群一下子全部解决，代价是一些别的位置群“躺着也中枪”，不知不觉就被改变了。
然后，在一些必要的预处理（比如说先解决边角问题）后，Demaine他们将魔方的所有位置群大约平均地分成n/4份，通过巧妙地应用上面的引理，使每次中枪的都是固定的几个位置群。当所有其它的位置群都被复原后，剩下满身弹孔（认识QB的同学请自行脑补）的“中枪专用位置群”数目也不多，可以用传统的方法一个一个解决。整个过程所需要的步数，恰好差不多正比于 n?/ln(n) ，与最优的可能性只差一个乘法常数。这种过于暴力的方法，也是使常数c'变得很大的原因之一。
步步逼近上帝之数
可能你会说笔者太坑爹，那些常规方法需要的步数，增长趋势也只是 n?，也就是说最多是另一个常数乘以 n?。我们现在这么费劲也就是削下来了一个 ln(n) 的因子，这个看起来没什么用啊。
但不要小看 ln(n)。常数毕竟是常数，它是不会变的，但是 ln(n) 可以无限增长。当 n 不断增长，总有一天 ln(n) 会比任何常数都要大，n? 会比 n?/ln(n) 大得多。
那么，Demaine他们的工作意义是什么呢？他们其实证明了任意 n 阶魔方的上帝之数 D(n) 的增长趋势与 n?/ln(n) 是一样的。更具体地说，尽管我们现在仍然不知道D(n)的具体表达式（可能永远也不会知道），但它必定在 c×n?/ln(n) 和 c'×n?/ln(n) 之间。用数学的语言来说，我们第一次确定了任意n阶魔方上帝之数的阶，第一次将它困在了一个区间里。这是万里长征第一步，之后我们可以进行更精细的分析，缩短两个常数的距离，更好地确定上帝之数的位置。这也是Demaine他们下一步打算做的事情。
这个结果在魔方界也引起了不少人的兴趣。据某些魔方高手所言，Demaine他们的“差一个常数最优”的算法过程，对他们探索解高阶魔方的快速方法相当有启发，只是观摩已经满足不了他们了。
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数学/化学爱好者
帅得我晕头转向
头晕眼花的飘过
有公式，大概3分钟左右可以复原
真心不会玩魔方= =最好的是恢复了一面
特喜欢那些MIT的怪才，哈哈……
我咋记得最少的好像是15步呢，OH~oh难道一直记错了，悲催了
看不懂呀，只能用老办发呀
我懂你引用：看不懂呀，只能用老办发呀
团长。。。我是不是该学某虚吐槽呢
我一分钟就好了。没那么夸张——3阶的引用super风~的回应：有公式，大概3分钟左右可以复原
最有影响力的数学游戏应该是数独.
这个以前就有人提出来过，不是google最早吧，三阶魔方的世界记录应该是28步以内
比如说团长我只是来吐槽团长的。。。。。。。。
一边看公式一边拧的路过。
記得班裏就有個30秒復原三階的人....
此文文笔幽默，甚得吾心~~
引用Czenzi的回应：記得班裏就有個30秒復原三階的人....我花痴的某男是40秒的，吉尼斯记录是不是17秒啊？
引用炎烈的回应：我花痴的某男是40秒的，吉尼斯记录是不是17秒啊？背公式的都很快的
套用公式才能在一分钟内还原三阶魔方的人表示看得头晕，完全不懂....汗...
学了两小时的后只要2分钟，后来手速快了1分多钟，但从未突破1分钟，主要是不愿意背公式
我也是来吐槽团长的。。。XD
另：记得最高纪录是10秒不到吧？不好意思，百度来的：
引用炎烈的回应：我花痴的某男是40秒的，吉尼斯记录是不是17秒啊？世界记录是5.66s，说的都是WCA（世界魔方协会）的，没人说吉尼斯的记录
3阶平均30多秒的飘……
这是WCA的三阶排名
引用马河北的回应：3阶平均30多秒的飘……是百度魔方吧的朋友么？ID眼熟。。
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