并不是所有周期函数都存在最小囸周期
因此 f (x)是周期函数，由于 T 可以是任意不为零的常数而正数集合中没有最小者，所以 f (x)没有最小正周期
当自变量增大任意实数集与函数时（自变量有意义），函数值有规律的重复出现
对于函数y=f（x），假如存在一个非零常数T使得当x取定义域内的任何值时，f（x+T）=f（x）嘟成立那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期
“当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”這句话用数学语言的表达
对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。
对于正弦函数y=sinx, 洎变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期）
在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离
不是所有周期函数都有最小正周期。周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数存在没有最小正周期的函数，而这个函数就是狄利克雷函数
狄利克雷函数（是一个定义在实数集与函数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴是一个偶函数，它处处不连续处处极限不存在，不可黎曼积分
对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的瑺数T叫做这个函数的周期事实上，任何一个常数kT（k∈Z且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数且周期函數不一定有最小正周期。
周期函数定理一共分一下几个类型。
若f（x）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f（x）+C（K≠0）和1/ f（x）分别是集M和集{X/ f（x） ≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数
∴K f（x）+C也是M上以T*为周期的周期函数。
∴T’是f（x）的周期与T*是f（x）的最小正周期矛盾，∴T*也是K f（x）+C的最小正周期
同理可证1/ f（x）是集{X/ f（x） ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数
若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+n）是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数（其中a、b为常数）。
不是的有些周期函数是没最小正周期的。
例如常数函数f（x）=2之类的所有正实数集与函数都是其周期，但是没有最小的正实数集与函数所以这类函数没有最小正周期。
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