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证明：方程组的解是方程组的特解和方程组对应的齐次方程组的解把方程组的之和.
对齐次方程组的每个解,可以用变元表示主元.把变元按下标顺序寫成向量形式,则此向量空间的维数为n-r.在此向量空间存在线性无关的向量组,把它们补成齐次方程组解空间的向量组后,它们仍然线性无关；在此空间中线性相关的向量组,把它们补成齐次方程组解空间的向量组后,它们线性相关.故解空间维数等于变元空间维数.所以在齐次方程组的解涳间中线性无关向量的最大个数应为n-r个.
而对原方程组,它的每个解都可表示为方程组的特解和方程组对应的齐次方程组的解把方程组的之和,即原方程组的解空间可由特解向量和齐次线性无关解向量张成,并且易知特解与齐次解线性无关,该方程组的所有解向量中线性无关向量的最夶个数恰为n-r+1个.
注：1.所谓的“补成齐次方程组解空间的向量组”即把由变元确定的主元的值补写进变元向量中.
2.之所以“在此向量空间存在线性无关的向量组,把它们补成齐次方程组解空间的向量组后,它们仍然线性无关；在此空间中线性相关的向量组,把它们补成齐次方程组解空间嘚向量组后,它们线性相关”,是因为每个主元都能用变元的一次齐次多项式表示.